倍長(zhǎng)中線模型-【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案（解析版）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專(zhuān)題5倍長(zhǎng)中線模型

解題策略

倍長(zhǎng)中線

倍長(zhǎng)類(lèi)中線

構(gòu)造全等

C

E

如圖①,是△ABC的中線，延長(zhǎng)A。至點(diǎn)E使QE=,易證:△ACC絲SAS).

如圖②，。是8c中點(diǎn)，延長(zhǎng)F￡＞至點(diǎn)E使Z)E=FZ),易證：△FD8絲ZXEDC(SAS)

當(dāng)遇見(jiàn)中線或者中點(diǎn)的時(shí)候，可以嘗試倍長(zhǎng)中線或類(lèi)中線，構(gòu)造全等三角形，目的是對(duì)

已知條件中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移.

經(jīng)典例題

\zuzu?吠四咸陽(yáng)?一模)問(wèn)題提出

(1)如圖，4D是AABC的中線,則4B+AC2AD；(填〈”或“=”)

BDC

問(wèn)題探究

(2)如圖，在矩形4BCO中，C。=3,BC=4,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上任意一點(diǎn)，當(dāng)

△4EF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求CF的長(zhǎng)；

HC

問(wèn)題解決

(3)如圖，在矩形4BCD中，4C=4,BC=2,點(diǎn)。為對(duì)角線4c的中點(diǎn)，點(diǎn)P為4B上任意一

點(diǎn)，點(diǎn)Q為4c上任意一點(diǎn)，連接P。、PQ、BQ,是否存在這樣的點(diǎn)Q,使折線OPQB的長(zhǎng)度

最?。咳舸嬖?，請(qǐng)確定點(diǎn)Q的位置，并求出折線OPQB的最小長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)>:(2)CF=1：(3)當(dāng)點(diǎn)Q與4C的中點(diǎn)。重合時(shí)，折線OPQB的長(zhǎng)度最小,

最小長(zhǎng)度為4.

【分析】(1)如圖(見(jiàn)解析)，先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出A8=EC,再根據(jù)

三角形的三邊關(guān)系定理即可得；

(2)如圖(見(jiàn)解析)，先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB=3/B=4BCC=90。,48〃6,從而可

得AE的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式、兩點(diǎn)之間線段最短得出A4EF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)F

的位置，然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可得；

(3)如圖(見(jiàn)解析)，先根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短得出折線OPQB的長(zhǎng)度最小時(shí)，

B',Q,P,。'四點(diǎn)共線，再利用直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)得出NB4C=30°,AB=2百，

A0=2,然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)、角的和差可得4夕=26,4。，=2,/.B'AO'=90°,由此

利用勾股定理可求出B'。'的長(zhǎng)，即折線0PQ8的最小長(zhǎng)度；設(shè)夕。交4c丁點(diǎn)。，根據(jù)等邊三

角形的判定與性質(zhì)可得力Q'=2,從而可得力Q'=A0,由此即可得折線。PQ8的長(zhǎng)度最小時(shí)，

點(diǎn)Q的位置.

【詳解】(I)如圖，延長(zhǎng)AD,使得=連接CE

???4D是AABC的中線

???BD=CD

AD=ED

在△ABD和△ECC中，\/_ADB=Z.EDC

BD=CD

ABDWAECD(SAS)

???AB=EC

在A4CE中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：EC+AOAE,即EC+4C>AZ)+DE

?,*AB+AC>2.AD

故答案為：>：

(2)如圖，作點(diǎn)E關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)G,連接FG,則CE=CG

???四邊形ABCD是矩形，C0=3,8C=4

AB=CD=3,NB=ABCD=9V,AB“CD

DC垂直平分EG

EF=FG

???點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

1

???BE=CE=—BC=2

2

AE=7AB2+BE2=V13.CG=CE=2,BG=BC+CG=6

則4尸的周長(zhǎng)為ZE+EF+AF=V13+EF+AF=V13+FG+AF

要使AAEF的周長(zhǎng)最小，只需/G+4F

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)4F,G共線時(shí)，尸G+4F取得最小值4G

vAB“CD

??△FCG~AABC

(3)如圖，作點(diǎn)8關(guān)于4c的對(duì)稱點(diǎn)夕，作點(diǎn)。關(guān)于SB的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接4B',QB',AO'.PO',B'O',

貝=QB',OP=O'P

：.折線OPQB的長(zhǎng)度為OP+PQ+QB=O'P+PQ+QB'

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，O'P+PQ+QB'2B'。'，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B',Q,P,O,四點(diǎn)共線時(shí)，折

線OPQB取得最小長(zhǎng)度為B'O'

:在矩形4BC。中,AC=4,BC=2,/.ABC=90°

：.Z-BAC=30°,AB=>JAC2-BC2=2V3

:點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)

：.AO=-AC=2

2

點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于4c對(duì)稱，點(diǎn)。與點(diǎn)。'關(guān)于4B對(duì)稱

：./LB'AC=^BAC=30°,AB'=AB=273

Z.O'AB=Z.BAC=30°,AO'=4。=2

：.^B'AO'=/-B'AC+^BAC+^O'AB=90°

B'O'=>JAB'2+AO'2=J(2V3)2+22=4

設(shè)B'O'交AC于點(diǎn)Q'

在RtAAB'O,中，AO'=2,B'O'=4

."48'。'=30°

乙4O'B'=90°-Z.AB'0'=60°,即乙4O'Q'=60°

又?.?/OSQ'=/.BAC+LO'AB=60°

...△AO'Q'是等邊三角形

：.AQ'=40，=2

"."AO=2

???AQ'-AO

...點(diǎn)Q'與4C的中點(diǎn)。重合

綜上，當(dāng)點(diǎn)Q與4c的中點(diǎn)。重合時(shí)，折線OPQB的長(zhǎng)度最小，最小長(zhǎng)度為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性

質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題(3),利用軸對(duì)稱的性質(zhì)正確找出折線

OPQB的最小長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵.

【例2】.(2021?湖北武漢?八年級(jí)期中)已知△力BC中，

(1)如圖1,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連力E并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使FE=EA,則BF與AC的數(shù)量關(guān)系

是.

(2)如圖2,若力B=4C,點(diǎn)E為邊4C一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作BC的垂線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，

連接40,若4O/1C=/.ABD,求證：AE=EC.

(3)如圖3,點(diǎn)。在△ABC內(nèi)部，且滿足AD=BC,乙BAD=4DCB,點(diǎn)M在DC的延長(zhǎng)線

上，連4M交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,若點(diǎn)N為4M的中點(diǎn)，求證：DM=AB.

A

A

【答案】(DBF=AC；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)通過(guò)證明ABEFmACE4,即可求解；

(2)過(guò)點(diǎn)A引4F||CD交BE于點(diǎn)、F,通過(guò)△ABFSA得至必F=CD,再通過(guò)△AFE=△

CDE即可求解;

(3)過(guò)點(diǎn)M作MT||4B交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)7,MG||AD,在M7上取一點(diǎn)K,使得MK=CD,

連接GK,利用全等三角形的性質(zhì)證明AB=M7、DM=MT,即可解決.

【詳解】證明：(1)BF=AC

由題意可得：BE=EC

在ABEF和△CE4中

-BE=EC

乙BEF=/.CEA

.EF=AE

：.△BEF=△CEA(SAS)

.".BF=AC

(2)過(guò)點(diǎn)A引/F||CD交BE于點(diǎn)兒如下圖：

由題意可得：CD1BC,且=

則4F1BC

又=AC

尸平分NBAC,

：./.BAF=/.EAF=/.ACD

.?.在△?"口△CW中

/.ABF=Z.DAC

AB=AC

.^BAF=/.ACD

：.^ABF^LCAD{ASA)

：.AF=CD

在和ACDE中

Z.FAE=乙DCE

^.AEF=Z.CED

.AF=CD

：.^AFE=^CDE(AAS)

：.AE=EC

(3)證明：過(guò)點(diǎn)M作MT||/B交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,MG||ADt在MT上取一點(diǎn)K,使得MK=

CD,連接GK,如下圖：

AB||MT

，乙ABN=Z.T

?：々ANB=乙MNT,AN=MN

MANB三△MNT(44S)

:?BN=NT,AB=MT

?；MG||AD

:?乙ADN=乙MGN

\9/LAND=乙MNG,AN=NM

：,〉A(chǔ)ND三△MNGQ44S)

：.AD=MG,DN=NG

：.BD=GT

?；^BAN=UMT/DAN=乙GMN

工乙BAD=乙GMT

,?"84D=乙BCD

:?乙BCD=乙GMK

*：AD=BC,AD=GM

：.BC=GM

又；MK=CD

：.LBCDGMK(SAS)

：.GK=BD/BDC=乙MKG

：.GK=GT,Z.MDT=Z.GKT

：.Z.GKT=4r

：.DM=MT

"：AB=MT

：.DM=AB

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性

質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

[例3].（2020?安徽合肥?二模）如圖，正方形ABCD中,E為8c邊上任意點(diǎn),AF平分NEW,

交CD于點(diǎn)F.

⑴如圖1,若點(diǎn)F恰好為C￡＞中點(diǎn)，求證：AE=BE+2CE；

（2）在⑴的條件下，求溝勺值；

oC

（3）如圖2,延長(zhǎng)AF交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接HG,當(dāng)

CG=D/時(shí)，求證：HG.LAG.

【答案】⑴見(jiàn)解析；（2*（3）見(jiàn)解析

【分析】（1）延長(zhǎng)BC交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,利用“AAS”證△ADF04GCF得AD=CG,

據(jù)此知CG=BC=BE+CE,根據(jù)EG=BE+CE+CE=BE+2CE=AE即可得證；

（2）設(shè)CE=a,BE=b,則AE=2a+b,AB=a+b,在RsABE中，由AB?+BE2=AE2

可得b=3a,據(jù)此可得答案；

（3）連接DG,證^ADF^ADCG得NCDG=NDAF,再證△AFH^ADFG得竺=—,

DFFG

結(jié)合NAFD=NHFG,如△ADFs/\HGF,從而得出NADF=NFGH,根據(jù)NADF=90。即

可得證.

【詳解】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)8c交A尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

圖1

■：AD//CG,

ZDAF^ZG,

又/平分/D4E,

：.ZDAF=ZEAFf

：.ZG=ZEAF,

：.EA=EG,

???點(diǎn)尸為。的中點(diǎn),

???CF=DF,

又*：/DFA=/CFG,ZFAD=ZGf

：.△A。金△GCF(AAS),

:.AD=CG9

：.CG=BC=BE+CE,

：.EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；

⑵設(shè)BE=b,則4E=2a+b,AB=a+b,

在R3ABE中，A￥+3氏A￡,BP(?+/?)W=(2?+fe)2,

解得b-3afb=-a(舍)，

.CE_a_1

**BC-a+b-4；

(3)如圖2,連接OG,

*：CG=DF,DC=DA,/ADF=/DCG,

：.AADF注ADCG(SAS),

???ZCDG=ZDAFf

：?/HAF=/FDG,

又?:NAFH=/DFG,

：.XAFHSADFG,

.AF_FH

?.DF一FG，

又；NAFD=NHFG,

：.△ADFS/\HGF,

???/ADF=/FGH,

'：ZADF=90°f

NFGH=90。,

：.AG±GH.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形和相似三

角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

【例4】.(2020?江西宜春?一模)將一大、一小兩個(gè)等腰直角三角形拼在一起，。4=OB.OC=

OD./.AOB=/.COD=90°,連接4C,8D.

(1)如圖1,若4。、。三點(diǎn)在同一條直線上，則AC與BO的關(guān)系是；

(2)如圖2,若4、。、。三點(diǎn)不在同一條直線上,AC與相交于點(diǎn)E,連接OE,猜想

AE.BE、OE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

(3)如圖3,在(2)的條件下作BC的中點(diǎn)F,連接OF,直接寫(xiě)出4D與OF之間的關(guān)系.

【答案】(1)/^=80且4。_18。；(2)4￡=8后+夜0已證明見(jiàn)解析；(3)AD=2OFB.

AD1OF.

【分析】(1)根據(jù)題意利用全等三角形的判定與性質(zhì)以及延長(zhǎng)AC交BD于點(diǎn)C進(jìn)行角的等

量代換進(jìn)行分析即可；

(2)根據(jù)題意在4E匕截取4M=BE,連接0M,并全等三角形的判定證明ZL40C=Z1B0D和

2

AAMOmABEO,進(jìn)而利用勾股定理得出。M?+0E=ME?進(jìn)行分析求解即可；

(3)過(guò)點(diǎn)B作BM〃OC,交OF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,延長(zhǎng)FO交AD于點(diǎn)N,證明ABFlVImACFO,

AAODWAOBM,進(jìn)而即可得到結(jié)論.

【詳解】解：(l)V04=OB.OC=ODjAOB=/.COD=90°,

A△AOC=^BOD(SAS),AC=BD,

延長(zhǎng)AC交BD于點(diǎn)C，，如下圖:

Ml

△AOC=△BOD,乙4co=Z.BCC,

/.ACO+Z.CA0=乙BCG+乙CBC'=90°,Z.BCC=90°,

即AC1BD,綜上4c=BDQ.AC1BD,

故答案為：AC=BDS.AC1BD；

(2)AE=BE+42OE

證明:在力E上截取4M=BE,連接OM

B

"Z.AOB=4COD=90°

???4AOB+Z.BOC=4COD+乙BOC

??Z-AOC=乙BOD

在440。和4B0D中

AO=BO

[Z.AOC=乙BOD

OC=OD

AAOC公ABODQSAS)

???Z-CAO=Z-DBO

在zMM。和dBE。中

AM=BE

[^LMAO=Z-EBO

AO=BO

AAMO=ABEO(SAS)

???OM=OE,/-AOM=乙BOE

???乙AOM+4MOB=90°

???乙BOE+乙BOM=90

OM2+OE2=ME2

即2OE2=ME2

V20E=ME

vME+MA=AE

???y/20E+BE=AE;

(3)4。=20F且/。1OF,理由如下：

過(guò)點(diǎn)B作BM〃OC,交OF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,延長(zhǎng)FO交AD于點(diǎn)N,

VBM/7OC,

/.ZM=ZFOC,

YNBFM=NCFO,BF=CF,

.'.△BFM=ACFO(AAS),

AOF=MF,BM=CO,

VDO=CO,

???DO=BM,

VBM/7OC,

.\ZOBM+ZBOC=180°,

ZBOC+ZAOD=360°-90°-90°=180°,

.'.ZOBM=ZAOD,

又YAO二BO,

.*.AAOD=AOBM(SAS),

.'.AD=OM=2OF,ZBOM=ZOAD,

'/ZBOM+ZAON=180°-90°=90°,

.'.ZOAD+ZAON=90°,即OF_LAD.

：.AD=2。尸且AD1OF.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形，熟練掌握等腰直角三角

形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

培優(yōu)訓(xùn)練

X______________________________Z

一、解答題

1.（2022?全國(guó)?八年級(jí)）如圖1,在AABC中，若4B=10,BC=8,求AC邊上的中線8。

的取值范圍.

（1）小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)BD至E,使DE=BD,連接CE,可證得△CED咨AABD.

①請(qǐng)證明^CED^/XABD-,

②中線BD的取值范圍是.

（2）問(wèn)題拓展：如圖2,在△ABC中，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，分別以AB,BC為直角邊向△ABC

外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形8cM其中，AB=BM,BC=BN,NABM=

NNBC=/90°,連接MN.請(qǐng)寫(xiě)出80與MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】（I）①見(jiàn)解析；②1<8。<9；（3）MN=28。，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）①只需要利用SAS證明ACED絲△ABO即可；

②根據(jù)△CEZ）絲△AB?？傻肁B=CE,由三角形三邊的關(guān)系可得CE-BC<BE<CE+BC即

AB-BC<BE<AB+BC則2<BE<18,再由BE=2BD,可得1<BD<9；

（2）,延長(zhǎng)8。到E使得DE=8D,同（1）原理可證△得至U/D4E=NOC8,

AE=CB,然后證明NBAE=NMBN,則可證△BAE絲ZiMBN得到MN=8E,再由

BE=BD+ED=2BD,可得MN=2BD.

【詳解】解：（1）①???8。是三角形ABC的中線，

：.AD=CD,

XVZABD=ZCDE,BD=ED,

:.2CED迫4ABD（SAS）；

②瓦?！鰽8。，

：.AB^CE,

,：CE-BC<BE<CE+BC,

：.AB-BC<BE<AB+BCUP2<BE<18,

又,：BE=BD+DE=2BD,

AlVBDV9；

故答案為：1<BD<9；

如圖所示，延長(zhǎng)8及至IJE使得。E=B。，

同(1)原理可證△AOEgaCDB(SAS),

；.NDAE=NDCB,AE=CBf

?；BC=BN,

:,AE;BN,

*.*/ABM=NNBC=900,

：.ZMBN+ZABC=3600-ZABM-ZNBC=180°,

???ZABC+ZBAC+ZACB=180°,

???ZABC+ZBAC+ZDAE=180°,

AZBAE+ZABC=180°,

，NBAE=NMBN,

又〈AB=BM,

:ABAE學(xué)4MBN(SAS),

：?MN=BE,

'：BE=BD+ED=2BD,

：.MN=2BD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，

解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握倍長(zhǎng)中線法證明兩個(gè)三角形全等.

2.（2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，△ABC中，AB=7,AC=5,點(diǎn)。為

8c的中點(diǎn)，求A。的取值范圍.

小明的解法如下：延長(zhǎng)A。到點(diǎn)E,使QE=A。，連接CE.

'BD=DC

在4ABD與4ECD中卜力。8=4EDC

,AD=DE

.’.△ABDSECD（SAS）

.'.AB=.

XVAAEC+EC-AC<AE<EC+AC,而AB=EC=7,AC=5,

<AE<.

又,.?AE=2AD.

<AD<.

【探索應(yīng)用】如圖②，ABnCD,AB=25,CD=8,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，NDFE=NBAE,求

OF的長(zhǎng)為.（直接寫(xiě)答案）

【應(yīng)用拓展】如圖③，ZBAC=60°,ZCDE=120°,AB=AC,DC=DE,連接BE,P為

BE的中點(diǎn)，求證：AP±DP.

【答案】觀察發(fā)現(xiàn)：EC,2,12,L6；探索應(yīng)用：17；應(yīng)用拓展：見(jiàn)解析

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：由“SAS'可證AABD絲△ECO,可得AB=EC,由三角形的三邊關(guān)系可求

解；

探索應(yīng)用：由“SAS'可證A/WE絲△，（“，可得A3=C//=25,即可求解；

應(yīng)用拓展：由“SAS'可證△8粗絲凡可得A8=FE,NPBA=NPEF,由“SAS'可證

^ACD^AFED,可得A￡>=F￡>,由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】觀察發(fā)現(xiàn)

解：如圖①，延長(zhǎng)4）到點(diǎn)E,使OE=AQ,連接CE,

在448。與4ECZ）中，

BD=DC

LADB=乙EDC>

.AD=DE

:?△ABgAECD（SAS）,

:?AB=EC,

在AAEC中，EC-AC<AE<EC+ACfffi]AB=EC=lfAC=5f

：.2<AE<12,

又?.?AE=2A。，

A1<AD<6,

故答案為：EC,2,12,1,6；

探索應(yīng)用

解：如圖2,延長(zhǎng)AE,CD交于H,

A

：.BE=CE,

u

：CD//ABf

:?NABE=/ECH,/H=/BAE,

：.AABE^AHCE(A4S),

；?AB=CH=25,

：.DH=CH-CD=\Jf

,?NDFE=NBAE,

：.ZH=ZDFEf

：.DF=DH=\7,

故答案為：17；

應(yīng)用拓展

證明：如圖2,延長(zhǎng)A尸到點(diǎn)R使P/H4P,連接。凡EF,AD,

在^B必與△EPF中,

PF=AP

乙EPF=/LBPA，

PE=PB

：./\BPA^/\EPF(SAS),

:?AB=FE,NPBA=NPEF,

VAC=BC,

：?AC=FE,

在四邊形BADE中,ZBAD+ZADE+ZDEB+ZEBA=360°,

VZBAC=60°,ZCDE=120°,

???NC4D+NAQC+N￡>E8+NEBA=180。.

NCAQ+NAQC+NAC0=18O。，

:.ZACD=ZDEB+ZEBA,

???ZACD=ZFED,

在△4。。與4FED中,

AC=FE

乙ACD=乙FED，

.CD=DE

：.AACD^AFED(SAS),

：.AD=FDf

?；AP=FP,

APIDP.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，作出

恰當(dāng)?shù)妮o助線，證得三角形全等是解答此題的關(guān)鍵.

3.(2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你

來(lái)加入.

【探究與發(fā)現(xiàn)】

如圖1,延長(zhǎng)ZkABC的邊3C到。，使OC=BC,過(guò)。作。E〃A5交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求

證：△ABC空△￡￡)€■.

【理解與應(yīng)用】

如圖2,已知在AABC中，點(diǎn)E在邊BC上且/CAE=/B,點(diǎn)E是C。的中點(diǎn)，若AO平分

NBAE.

(1)求證：AC=BD；

(2)若BO=3,AD—5,AE—x,求尤的取值范圍.

【答案】［探究與發(fā)現(xiàn)］見(jiàn)解析；［理解與應(yīng)用］(1)見(jiàn)解析：(2)l<x<4

【分析】［探究與發(fā)現(xiàn)］由4SA證明“8C盤(pán)△《火1即可；

［理解與應(yīng)用］(1)延長(zhǎng)AE至I」F,使EF=EA,連接DF,證△￡)￡：/絲△CE4(SAS),得AC=FD,

再證尸。(AAS),得BD=FD,即可得出結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得A8=AF=2x,再由三角形的三邊關(guān)系得AQ-BOVAB<AC+BQ,

即5-3V2xV5+3,即可求解.

【詳解】解：［探究與發(fā)現(xiàn)］

證明：'：DE//AB,

:.NB=ND,

又,：BC=DC,ZACB=ZECD,

：./\ABC^/^EDC(4SA)；

［理解與應(yīng)用］

(1)證明：如圖2中，延長(zhǎng)AE到F,使EF=E4,連接OF,

:點(diǎn)E是C￡>的中點(diǎn),

：.ED=EC,

在△/）￡：尸與ZkCEA中,

EF=EA

乙DEF=Z.CEA，

.ED=EC

：./\DEF^/\CEA（SAS）,

：.AC=FDf

：.ZAFD=ZCAEf

:/CAE二NB,

：.ZAFD=ZB,

???AD平分N8AE,

:?/BAD=/FAD,

在ZUBD與△4FO中，

Z.B=Z-AFD

Z.BAD=乙FAD,

.AD=AD

：.AABD^AAFD（A45）,

:.BD=FD,

:?AC=BD；

（2）解：由（1）得：AF=2AE=2xfAABD^AAFD,

.'.AB=AF=2x,

?；BD=3,AD=5t

在“BD中，由三角形的三邊關(guān)系得：AD-BD<AB<AD+BDf

即5-3<2x<5+3,

解得：1VXV4,

即x的取值范圍是lVx<4.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分

線定義以及三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

4.（2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：多項(xiàng)式N+4x+5可以寫(xiě)成（x-1）?+〃（X-1）+匕的

形式.

⑵△A8C的兩邊BC,AC的長(zhǎng)分別是a,b,求第三邊AB上的中線C￡>的取值范圍.

【答案】（l）a=6,8=10

(2)2<C￡X8

【分析】(1)把(％—1尸+a(%一1)+b展開(kāi)，然后根據(jù)多項(xiàng)式無(wú)2+4X+5可以寫(xiě)成(x-1)2+a

(x-l)+匕的形式，可得即可求解；

(1—Q+b=5

(2)延長(zhǎng)CD至點(diǎn)〃，使CD=DHt連接AH,可得△CDB絲4HAD,從而得到BC=AH=a=6,

再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可求解.

(1)

解:V(x-l)2+a(x-l)+&

=%2-2x+l+ax—a+b

=x2+(a—2)%+1—a+b,

根據(jù)題意得:x2+4x+5=(x-1)2+a(x-1)+b

???fl解得：=*;

(1-a+b=55=10

(2)

解：如圖，延長(zhǎng)CO至點(diǎn)從使CD=DH,連接AH,

?；CO是A8邊上的中線，

：.BD=AD,

在4HDA中，

CD=DH,ZCDB=ZADH,BD=DA,

:.XCDB沿XliDA(SAS),

BC=AH=a=6,

在△AC”中，AC-AH<CH<AC+AH,

：.10-6<2CD<10+6,

：.2<CD<S.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法和二元一次方程組的應(yīng)用，三

角形的三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法法則，三角形的三邊關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

5.(2022?山東淄博?八年級(jí)期末)如圖，。為四邊形ABCZ)內(nèi)一點(diǎn)，E為A8的中點(diǎn)，OA=

OD,OB=OC,ZAOB+ZCOD=180°.

(1)若NB0E=N8A。，AB=26求的長(zhǎng)；

(2)用等式表示線段0E和C￡＞之間的關(guān)系，并證明.

【答案】(I)2；(2)OE=\CD,理由見(jiàn)解析

【分析】(1)由已知條件/80E=NBA。，且公共角NOBE=/.ABO,證明△OBEs叢ABO,

進(jìn)而列出比例式，代入數(shù)值即可求得08；

(2)延長(zhǎng)0￡到點(diǎn)尸，使得EF=0E,連接證明△A。尸絲△OOC,進(jìn)而可得OF=CD,

即OE=(CD

【詳解】(1)解：:NBOE=NBAO,乙OBE=UB0,

.?.△OBEs△AB。，

?BEOB

??=，

OBAB

,:AB=2ME為A8的中點(diǎn)，

BE=近

.V2OB

??----――9

OB2^/2

：.0B=2(舍負(fù)).

(2)線段OE和CO的數(shù)量關(guān)系是：OE=TC。，理由如下，

證明：如圖，延長(zhǎng)0E到點(diǎn)F,使得EF=OE,連接AF,FB.

F

9：AE=BE

???四邊形AF8。是平行四邊形,

：.AFnOB,AF=OB,

???Z_F40+Z7108=180。，

*.?NAO8+NCOO=180。，

：./LFAO=LCOD,

OB=OC,

：.AF=OC,

在△40尸和4DOC中，

'OA=OD

4FAO=乙COD,

AF=OC

△AO尸絲△one,

：.OF=CD

：.0E=CD.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性

質(zhì)與判定，第(2)小問(wèn)中，根據(jù)題意正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.(2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，在銳角AABC中，41=60。，點(diǎn)D,E分別是邊48,

4c上一動(dòng)點(diǎn)，連接8E交直線CD于點(diǎn)凡

(1)如圖1,^AB>AC,且BD=CE,乙BCD=4CBE,求NCFE的度數(shù)；

(2)如圖2,若4B=4C,且BC=AE,在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到線

段CM,連接MF,點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN.在點(diǎn)。，E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，猜想線段BF,CF,CN

之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】(I)NEFC=60°

(2)BF+CF=2CN,證明見(jiàn)解析

【分析】(1)在射線CD上取一點(diǎn)K,使得CK=BE,證明AC8E三ABCK,求出ZTEB=

乙BKD=乙BDK=AADF,然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得出答案；

(2)證明△ABE三△BCD,求出N8FC=120°,倍長(zhǎng)CN至Q,連接FQ,PQ,證明ACNM三

△QNF,求出FQ=CM=BC,在CF上截取FP=FB,連接8P,易得△PBF為正三角形，

然后求出NPFQ=4P8C,iiEAPFQ=^PBC,可得PQ=PC,NQPF=NCPB=60°,則可

得4PCQ為正三角形，然后由BF+CF=PF+CF=PC=QC=2CN得出結(jié)論.

A

(1)解:如圖1,在射線CD上取一點(diǎn)K,使得CK=■:乙BCD=乙CBE,

BC=BC,.MCBEBCK(SAS),：.BK=CE=BD,：.乙CEB=4BKD=4BDK=4IDF,

；.4ADF+Z.AEF=Z.AEF+乙CEB=180。，."4+Z.DFE=180。，,.Z=60°,：.Z.DFE=

120°,：.Z.CFE=60°；

(2)BF+CF=2CN,證明：,：AB=AC,=60。，.'.△ABC是正三角形，：.AB=BC

=AC,/A=NO8C=60°,又〈BD=AE,；.4ABE三4BCD(SAS'),，乙BCF=LABE,

：.^LFBC+Z.BCF=60°,：./.BFC=120°,倍長(zhǎng)CN至Q,連接fQ,PQ,

Q

圖2

,:CN=QN,NQNF=NCNM,NF=NM,：.ACNM34QNF(SAS),:.FQ=CM,NQFN

=ZCMN,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=CM,，F(xiàn)Q=CM=BC,在CF上截取FP=FB,連接BP,

VzBFC=120°,：.^BFP=60°,；.△PB尸為正三角形，/.ZBPF=60°,4PBC+乙PCB=

^PCB+Z.FCM=120°,:.乙FCM=APBC,,:NQFN=NCMN,:.FQ//CM,:.乙PFQ=

乙FCM,：.APFQ=4PBC,又,：PB=PF,FQ=BCMPFQPBC(SAS),：.PQ=PC,

NQPF=NCPB=60。，，△PCQ為正三角形，：.BF+CF=PF+CF=PC=QC=2CN,

即BF+CF=2CN.

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和

性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，利用全等三角形轉(zhuǎn)換線段和角的關(guān)系從

而解決問(wèn)題，屬于壓軸題.

7.(2022?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖1,在△4BC中，CM是48邊的中線，乙BCN=4BCM交

48延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,2CM=CN.

A

A

(1)求證4c=BN；

(2)如圖2,NP平分乙ANC交CM于點(diǎn)、P,交8C于點(diǎn)。，若乙AMC=120°,CP=kAC,求是的

CM

值.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)金

k+1

【分析】(1)延長(zhǎng)CM至點(diǎn)。，使CM=DM,可證Z4CMW4BDM,由全等三角形的性質(zhì)從

而得出"=BD,根據(jù)題目已知，可證ZDCB=ANCB,由全等三角形的性質(zhì)從而得出BN=

BD,等量代換即可得出答案；

(2)如圖所示，作CQ=CP,可證ZCP。三ACQ0,由全等三角形的性質(zhì)相等角從而得出41=

42=43,進(jìn)而得出44=45,故可證/NOBS4N0Q等量轉(zhuǎn)化即可求出蕓的值.

CM

【詳解】(1)如圖1所示，延長(zhǎng)CM至點(diǎn)。，使CM=DM,

在△4CM與ABOM中，

CM=DM

乙AMC=乙BMD,

.AM=BM

???AACM=ABDM,

:.AC=BD,

???2CM=CN,

??.CD=CN,

在ADCB與ANCB中,

CD=CN

Z-DCB=(NCB,

CB=CB

:.ADCBwANCB,

???BN=BD,

AC=BN；

D

(2)如圖所示,v2LAMC=120°,

???乙CMN=60°,

?:NP平分乙MNC,4BCN=4BCM,

乙PNC+乙BCN=-Z.AMC=60°,

2

???乙CON=120°,4cop=60°,

???乙CMN+乙BOP=180°,作CQ=CP,

在△CP。與△CQ。中，

CQ=CP

Z.QCO=乙PCO，

CO=CO

:"CPO三ACQO,

:.z.1=z2=z3?

二z4=z5,

在ANOB與ANOQ中,

Z4=Z.5

乙BNO=Z.QNO,

NO=NO

：,ANOB三ANOQ,

ABN=NQ,

/.CN=CP+NB,

-.2CM=CPAC,

設(shè)4C=Q,

???CP=ka,CM=

2

CP2k

??---=-----.

CMk+1

M

P

N

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的綜合應(yīng)用，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.(2021?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試)⑴如圖1,△ABC中，AO為中線，求證：AB+AO2AD；

圖2

(2)如圖2,4ABe中，。為BC的中點(diǎn)，DELDF交AB、AC于E、F.求證：BE+CF>

EF.

【答案】(【)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)延長(zhǎng)4。至點(diǎn)E,使EC=4D.由為中線可知BD=CD,即易證△4BCWA

ECD(SAS),得出4B=EC.利用三角形三邊關(guān)系可知AC+EC>AE,即可證明4C+AB>

2AD.

(2)延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G,使DG=ED,連接CG,EG.由40為中線可知BD=CD.即易證△BDE￡

△CDG(S4S),得出BE=CG.由題意可得NEDF=NGDF=90。，即易證

GZ)F(S4S),得出EF=GF.利用三角形三邊關(guān)系可知CG+CF>FG,即可證明BE+CF>EF.

【詳解】(I)如圖，延長(zhǎng)4。至點(diǎn)E,使

為中線，

：.BD=CD.

BD=CD

.?.在△48。和△￡(7￡)中,乙ADB=乙EDC,

AD=ED

：.^ABD三△ECD(S4S),

：.AB=EC.

:在△4CE中，AC+EOAE,

?MC+AB>2AD.

(2)如圖，延長(zhǎng)EO至點(diǎn)G,使DG=ED,連接CG,EG.

???AD為中線，

：.BD=CD.

BD=CD

???在△BDE和△COG中，\^BDE=Z.CDG,

ED=GD

:.ABDE會(huì)△CDG(SAS),

:?BE=CG.

VDF1DF,

：2EDF=Z.GDF=90°,

(ED=GD

???在△EDF和AGOF中，zFDF=zGDF=90°,

(DF=DF

:。EDF*GDF(SAS),

：.EF=GF.

???在△CFG中，CG+CF>FG,

：.BE-VCF>EF.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系.作出常

用的輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

9.（2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1,已知△力BC中,AD是中線，求證：4B+4C>2AD；

（2）如圖2,在AABC中，D,E是BC的三等分點(diǎn)，求證：AB+AOAD+AE；

（3）如圖3,在AABC中，D,E在邊BC上，且BD=CE.求證：AB+AOAD+AE.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【分析】（1）利用“倍長(zhǎng)中線”法，延長(zhǎng)AD,然后通過(guò)全等以及三角形的三邊關(guān)系證明即可；

（2）取DE中點(diǎn)”，連接并延長(zhǎng)至。點(diǎn)，使得AH=QH,連接QE和。C,通過(guò)“倍長(zhǎng)中

線，，思想全等證明，進(jìn)而得到AB=CQ,AD=EQ,然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證

明即可得出結(jié)論；

（3）同（2）處理方式一樣，取OE中點(diǎn)M,連接AM并延長(zhǎng)至N點(diǎn)，使得AM=NM,連接

NE,CE,結(jié)合“倍長(zhǎng)中線”思想證明全等后，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得

出結(jié)論.

【詳解】證：（I）如圖所示，延長(zhǎng)月。至尸點(diǎn)，使得4>2力，連接CP,

?.?AD是AABC的中線，

二。為BC的中點(diǎn)，BD=CD,

在與△%￡>中，

?BD=CD

^ADB=乙PDC

、AD=PD

:.△ABDdPCD（SAS）,

：.AB=CP,

在"FC中，由三邊關(guān)系可得AC+POAP,

：.AB+AC>24。：

（2）如圖所示，取。E中點(diǎn)兒連接A"并延長(zhǎng)至。點(diǎn)，使得連接QE和。C,

為QE中點(diǎn)，D、E為8C三等分點(diǎn)，

:?DH=EH,BD=DE=CEf

：.DH=CH9

在AABH和中，

BH=CH

乙BHA=乙CHQ

,AH=QH

：.AABHQ/\QCH〈SAS）,

同理可得：MADgXQEH,

：?AB=CQ,AD=EQf

此時(shí)，延長(zhǎng)A區(qū)交CQ于K點(diǎn),

u

：AC+CQ=AC+CK+QKfAC+CK>AKf

：.AC+CQ>AK+QKr

又?：AK+QK=AE+EK+QK,EK+QK>QE,

：.AK+QK>AE+QE,

：.AC+CQ>AK+QK>AE-^QEt

■;AB=CQ,AD二EQ,

：.AB+AC>AD-^-AE；

A

(3)如圖所示，取OE中點(diǎn)M,連接4M并延長(zhǎng)至N點(diǎn)，使得4M=NM,連接NE,CE,

???M為。E中點(diǎn)，

；?DM=EM,

"；BD=CE,

：.BM=CM,

在和△NCM中，

(BM=CM

乙BMA=乙CMN

(4M=NM

AABM^ANCM(SAS),

同理可證△'￡：〃，

:?AB=NC,AD=NE,

此時(shí)，延長(zhǎng)交CW于T點(diǎn)，

?；AC+CN=AC+CT+NT,AC+CT>ATf

：.AC+CN>AT+NTt

又?：AT+NT=AE+ET+NT,ET+NT>NE,

:?AT+NT>AE+NE,

:?AC+CN>AT+NT>AE+NE,

":AB=NC,AD=NE,

：.AB+AC>AD+AE.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形證明問(wèn)題中輔助線的添加，掌握“倍長(zhǎng)中線”的基本思想，以及

熟練運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵.

10.(2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))在中，AM±BM,垂足為M,點(diǎn)。是

線段AM上一動(dòng)點(diǎn).

(1)如圖1,點(diǎn)C是8M延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MD=MC,連接4C,若80=17,求AC的長(zhǎng)；

(2)如圖2,在(1)的條件下，點(diǎn)E是AABM外一點(diǎn)，EC=AC,連接EC并延長(zhǎng)交BC

于點(diǎn)凡且點(diǎn)尸是線段BC的中點(diǎn)，求證：NBDF=NCEF.

(3)如圖3,當(dāng)E在8。的延長(zhǎng)上，KAEVBE,AE=EG時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出Nl、N2、Z3

之間的數(shù)量關(guān)系.(不用證明)

【答案】⑴17；(2)見(jiàn)解析；(3)/3=2N1+N2

【分析】(1)根據(jù)S4S證明AAMC四由AC=B。求出AC的長(zhǎng)；

(2)延長(zhǎng)E尸到點(diǎn)G,使FG=FE,連接8G,證明△8尸可得EC=GB,NG

=/CEF,再由3￡>=BG可得/G=N8DF,從而證得結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)AE、8M交于點(diǎn)C,作4c于點(diǎn)”，作MEL8G于點(diǎn)凡證明

=45。及AAEM絲△GEM,再證明根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)

內(nèi)角的和即可推導(dǎo)出/3=2/l+N2.

【詳解】解：（1）如圖1,

,.,AM=8M,MD=MC,

：./XAMC^ABMD(SAS),

：.AC=BD=]7.

(2)證明：如圖2,延長(zhǎng)EF到點(diǎn)G,使FG=FE,連接8G,

0圖2

?；F為BC中點(diǎn),

:?BF=CF,

■:/BFG=/CFE,

:.△BFG9ACFE(SAS),

：.BG=ECfNG=NCEF,

又???8Z)=AC,EC=AC,

:?BD=EC,

:.BG=BD,

：.ZG=ZBDFt

:?/BDF=/CEF.

(3)如圖3,延長(zhǎng)AE、8M交于點(diǎn)C,作MH_L4C于點(diǎn)”，作M8G于點(diǎn)”,

?；AM_LBM,AELBE,

:.NBEC=ZAMC=90°,

JZMBF=900-ZC=ZMAHt

,/ZBFM=NAHM=90。,BM=AM,

???△BFM絲AAHM(A4S),

；.FM=HM,

VZEFM=ZEHM=90°fEM=EM,

：.RtAEMFgRSEMH(HL),

?；NFEH=90。,

：.NFEM=NHEM=+/FEH=45。,

2

,/ZAEB=ZGEC=90°f

：.ZAEM=ZG￡M=90°+45°=135°,

9：AE=EG,EM=EM,

:.XAEMOGEM(SAS),

???/AME=NGME,

'：ZBEM=ZBAM=45%

：.ZAME=