幾何壓軸題-2022年中考數(shù)學滿分真題模擬題分類匯編（揚州專用）（解析版）-中考數(shù)學備考復習重點資料歸納

專題05幾何壓軸題

1.（2021?揚州）在一次數(shù)學探究活動中，李老師設(shè)計了一份活動單：

已知線段3c=2,使用作圖工具作Nfi4C=3O。，嘗試操作后思考：

（1）這樣的點A唯一嗎？

（2）點A的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追夢”學習小組通過操作、觀察、討論后匯報：點A的位置不唯一，它在以為弦的圓

弧上（點3、C除外），….小華同學畫出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D1）.

（1）小華同學提出了下列問題，請你幫助解決.

①該弧所在圓的半徑長為；

②A4BC面積的最大值為；

（2）經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的

弓形內(nèi)部，我們記為A，請你利用圖1證明ABAC>30°.

（3）請你運用所學知識，結(jié)合以上活動經(jīng)驗，解決問題：如圖2,已知矩形/WCD的邊長

AB=2,BC=3,點P在直線CD的左側(cè)，且tanNDPC=±.

3

①線段PB長的最小值為；

②若SMcongSwA。，則線段PD長為.

圖1圖2備用圖

【答案】⑴①2；②6+2；⑵見解析；⑶①婚；②乎

【詳解】（1）①設(shè)O為圓心，連接80,CO,

ZBCA=30°,

.?.ZBOC=60°,又OB=OC,

.?.△O8C是等邊三角形，

:.OB=OC=BC=2,即半徑為2；

②，AABC以BC為底邊，BC=2,

當點A到3c的距離最大時，A4BC的面積最大,

如圖，過點。作3c的垂線，垂足為E,延長￡?,交圓于

:.BE=CE=l,DO=BO=2，

.?.OE=y/BO2-BE2=73,

DE=5/3+2,

.??△4^。的最大面積為、2乂(6+2)=>/5+2：

2

(2)如圖，延長5A,交圓于點O,連接CO,

點。在圓上,

:,ZBDC=ZBAC,

ZBArC=ZBDC+"CD,

:.ZBAC>/BDC,

;.ZBAC>/BAC,即NB4'C>30。；

(3)①如圖，當點。在8C上，且PC=3時，

2

ZPCD=90°,AB=CD=29AD=BC=3,

tanZDPC=—=-,為定值，

PC3

連接PD,設(shè)點。為PD中點，以點。為圓心，Jp。為半徑畫圓，

A

當點P在優(yōu)弧CPD上時，tanN￡)PC=§,連接8Q,與圓Q交于P,

此時8戶即為3P的最小值，過點Q作QE_L8E,垂足為E,

點。是尸。中點，

113

，點E為PC中點,即QE=—CL>=1,PE=CE=-PC=-

224

39

;.BE=BC—CE=3——=-，

44

BQ=y/BE2+QE2=芋,

PD=y/CD2+PC2=-，

2

.?.圓Q的半徑為

224

BP=BQ-P'Q=婀二$,即BP的最小值為匹二§;

44

?

…2

CD

2=3,CD=2,S"=_5AM0>

則0=2,

AD3

.?.AR4Z）中4）邊上的高=,8中CD邊上的高，

即點P到AD的距離和點P到CD的距離相等，

則點尸到">和8的距離相等，即點P在N/WC的平分線上，如圖,

過點垂足為尸，

PD平分ZADC，

:.ZADP=NCDP=45°,

.[△CD尸為等腰直角三角形，又8=2,

.-.CF=DF=^=y/2,

近

tanZDPC=—=-.

PF3

3夜

二.PDFr=-----，

4

.?.尸。=。尸+尸尸=及+述=述.

44

E

2.(2020?揚州)如圖1,已知點O在四邊形ABCZ)的邊鉆上，h.OA=OB=OC=OD=2,

OC平分N88,與BD交于點G，AC分別與8￡＞、8交于點E、F.

(1)求證：OCHAD-,

(2)如圖2,若DE=DF,求生的值；

AF

(3)當四邊形43co的周長取最大值時，求變的值.

DF

【詳解】⑴證明：AO=OD,

.\ZOAD=ZADO^

OC平分NBOD,

:.ZDOC=/COB,

又ZDOC+ZCOB=Z.OAD+ZADO，

:.ZADO=ZDOC,

:.CO!!AD\

(2)解:如圖1,

:.ZADB=90°,

設(shè)ZZMC=0,則ZACO=ZZX4C=a.

OA=OD,DA!IOC.

:.ZODA=ZOAD=2a,

Z.DFE=3a,

DF=DE,

:.4DEF=4DFE=3a,

:.4a=90°，

."=22.5。，

/.zmo=45°,

MOD和MBD為等腰直角三角形,

:.AD=y/2AO,

*=亞，

AO

DE=DF,

:.ZDFE=ZDEF.

.ADFE=ZAFO,

:.ZAFO=ZAED,

又NAOE=NAO尸=90。，

/SADE^/\AOF，

，空=四=日

AFAO

(3)解：如圖2,

OD=OB,ZBOC=ZDOC,

\BOC=\DOC(SAS),

:.BC=CD,

設(shè)BC=CD=x,CG=m,貝lJOG=2—m,

OB1-OG2=BC2-CG1,

，4一(2-〃2)2=￡一療，

解得：A?7=—X2,

4

OD=OB,ZDOG=ZBOG,

;.G為%)的中點，

又，。為AB的中點，

：.AD=2OG=4--x2,

2

四邊形ABCD的周長為

2BC+A￡)+AB=2X+4--X2+4=--X2+2X+8=--(X-2)2+10.

222

--<0，

2

:.x=2時，四邊形45CD的周長有最大值為10.

:.BC=2,

二反5co為等邊三角形，

:.ZBOC=60°,

OC//AD,

.\ZDAO=ZCOB=60°,

ZADF=ZDOC=60°,ZDAE=30°,

.-.ZAFD=90°,

DE

..=—，DccF=—1D?A,

DA32

DE_2>/3

...-----=------.

DF3

3.(2019?揚州)如圖，已知等邊AABC的邊長為8,點P是AS邊上的一個動點(與點A、

3不重合).直線/是經(jīng)過點尸的一條直線，把AA8C沿直線/折疊，點8的對應(yīng)點是點

(1)如圖1,當。8=4時，若點月恰好在AC邊上，則A夕的長度為；

(2)如圖2,當P8=5時，若直線〃/AC,則府的長度為；

(3)如圖3,點P在4?邊上運動過程中，若直線/始終垂直于AC,AA8的面積是否變

化？若變化，說明理由；若不變化，求出面積：

(4)當P3=6時，在直線/變化過程中，求AA8面積的最大值.

【答案】(1)4或0；(2)573；(3)見解析；(4)473+24

【詳解】(1)如圖1中，

AABC是等邊三角形，

.-.ZA=60°,AB=BC=AC=8,

PB=4,

:.P8=PB=PA=4,

ZA=60°,

夕是等邊三角形，

:.AB=AP=A.

當直線/經(jīng)過C時，點&與A重合，此時A?=O

(2)如圖2中，設(shè)直線/交3c于點E.連接照交PE于O.

；."EB是等邊三角形,

PB=5,

B,8'關(guān)于PE對稱,

:.BBYPE,Bg=2OB

/.O8=P8sin600=U-,

2

:.BBf=5y/3.

(3)如圖3中，結(jié)論：面積不變.

圖3

B,夕關(guān)于直線/對稱，

直線/,

,直線/J_AC,

/.AC//BB1,

]x/3

'''^MCB,=S^CB=5x8xx8=16聲.

(4)如圖4中，當用P_LAC時，A48的面積最大,

圖4

設(shè)直線也交AC于E,

在RtAAPE中，PA=2,ZPAE=60°,

PE=PAsin60°=>/3,

B，E=6+C，

SwcB?的最大值=]x8x(6+J5)=4j5+24.

解法二：如圖5中，過點P作P"垂直于AC,

由題意可得：斤在以P為圓心半徑長為6的圓上運動，

當PH的延長線交圓P于點B'時面積最大，

此時=6+6，5叢函演大值=gx8x（6+/）=4"+24.

4.（2019?揚州）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=20,3c=10,以CD為一邊向矩形外

部作等腰直角△GDC,NG=90。.點M在線段A3上，且AM=“，點產(chǎn)沿折線4￡＞一DG運

動，點Q沿折線3C-CG運動（與點G不重合），在運動過程中始終保持線段PQ//A8.設(shè)

尸。與A3之間的距離為x.

（1）若a=12.

①如圖1,當點P在線段"＞上時，若四邊形AMQP的面積為48,則x的值為；

②在運動過程中，求四邊形AA/QP的最大面積；

（2）如圖2,若點P在線段OG上時，要使四邊形AMQP的面積始終不小于50,求。的取

值范圍.

【詳解】（1）解：①P在線段4）上，PQ=AB=20,AP=x,AW=12,

四邊形AMQP的面積=；（12+20）x=48,

解得：x=3；

②當P,在4＞上運動時，尸到。點時四邊形AMQP面積最大，四邊形AMQP為直角梯形,

.1O3,10時，四邊形4WQP面積的最大值='(12+20)10=160,

2

當尸在。G上運動，10<x<20,四邊形40。尸為不規(guī)則梯形，

作于K,交8于N,作GEJ_C￡>于E,交相于尸，如圖2所示：

則PK=x,PN=x-lO,EF=BC=IO,

△GZX7是等腰直角三角形，

:.DE=CE,GE=~CD=10,

2

.-.GF=GE+EF=20,

:.GH=20-x,

由題意得：PQ//CD,

\GPQ^\GDC,

.PQ_GH

~DC~~GE'

即絲=2,

2010

解得：尸。=40-2x,

梯形AMQP的面積=g(12+40-2x)xx=-d+26x=-(x-13)2+169，

.,.當x=13時，四邊形AMQP的面積最大=169；

(2)ft?：尸在OG上，則l(),,x<2(),AM=a,尸。=40-2x,

梯形AMQP的面積5=,(4+40—2X)XX=—X2+^1±￡X,對稱軸為：x=10+-,

一224

魄b20,

,-,10g10+-15，時稱軸在10和15之間，

4

lQ,x<20,二次函數(shù)圖象開口向下，

當x無限接近于20時，S最小，

a.5；

綜上所述，。的取值范圍為位山20.

G

5.（2018?揚州）問題呈現(xiàn)

如圖1,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點。，N和E,C,ON和EC相交于點P,

求tanZCPN的值.

方法歸納

求一個銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個直角三角形.觀察發(fā)現(xiàn)問題

中NCPN不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題，比如連接

格點M,N,可得MN//EC,則ZDNM=ZCPN,連接DM,那么NCPN就變換到RtADMN

中.

問題解決

（1）直接寫出圖1中tanNCPN的值為；

（2）如圖2,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，AM與CM相交于點P,求cosNCPN的值；

思維拓展

（3）如圖3,ABLBC,A8=43C,點/在AB上，且AM=3C,延長C3到N,使8N=28C,

連接/W交CM的延長線于點P,用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求NCPN的度數(shù).

【答案】(1)2；(2)—；(3)45°

2

【詳解】（1）如圖1中,

DC

EC//MN,

"CPN=4)NM,

/.tanZCPN=tan/DNM,

ZDAW=90°,

圖2

CD//AN,

:./CPN=ZDCM,

\DCM是等腰直角三角形，

.?.ZDCM=ZD=45。,

/.cosZCPN=cosZDCM=—

2

(3)如圖3中，如圖取格點“，連接A"、HN.

PC//HN,

.?.4CPN=/ANH,

AH=HN，ZAHN=90。，

:.ZANH=ZHAN=45°,

...ZCPN=45°.

6.(2017?揚州)如圖，已知正方形ABC。的邊長為4,點P是回邊上的一個動點，連接CP,

過點P作PC的垂線交4)于點E,以正為邊作正方形PEFG,頂點G在線段PC上，對

角線上G、尸產(chǎn)相交于點

(1)若AP=1,則AE=；

(2)①求證：點O一定在AAPE的外接圓上；

②當點P從點A運動到點3時，點O也隨之運動，求點O經(jīng)過的路徑長；

(3)在點尸從點A到點8的運動過程中，AAPE的外接圓的圓心也隨之運動，求該圓心到

45邊的距離的最大值.

【答案】(1)-；(2)①見解析；②2vL(3)-

42

【詳解】(1)解：?四邊形ABC。、四邊形P￡FG是正方形,

.?.ZA=N8=ZEPG=90。，PFLEG,AB=BC=4,NOEP=45。，

:.ZAEP+ZAPE=90°ZBPC+ZAPE=90°,

;.ZAEP=ZBPC,

^APES^BCP

AEAP日口AE1

...——=——，即---=-,

BPBC4-14

解得：AE=—；

4

(2)①證明：如圖3,

取尸E的中點Q,連接AQ,OQ,

/尸?！?90。，

OQ=；PE,

△4PE是直角三角形，

.?.點Q是RtAAPE外接圓的圓心，

:.AQ=^PE,

：.OQ=AQ,

.?.點＜2一定在AAPE的外接圓上；(到圓心的距離等于半徑的點必在此圓上)

②解：連接04、AC,如圖1所示：

.?四邊形是正方形，

ZB=90°,ZBAC=45°,

.-.AC^y/42+42=4y/2,

A、P、O、E四點共圓，

；.NOAP=NOEP=45。,

.,.點。在AC上，

當尸運動到點8時，。為AC的中點，OA=~AC=2y[2,

2

即點。經(jīng)過的路徑長為2血；

(3)解：設(shè)AAPE的外接圓的圓心為作腦V_LAB于N,如圖2所示:

則用N//AE,

ME=MP，

.-.AN=PN,

.-.MN=-AE,

2

^AP=x,則6P=4—x,

由(1)得：MPE^ABCP,

AEAPAEx

二.一=—,即HrI----=-,

BPBC4-x4

解得：AE=x--x2=--(X-2)2+1,

44

「.x=2時，AE的最大值為1,此時MN的值最大二』xl=」，

22

即AAPE的圓心到AB邊的距離的最大值為L

2

DDDC

7.(2021?廣陵區(qū)校級二模)如圖1,已知正方形ABCZ)的邊長為4,以A為圓心，3為半徑

的圓弧交邊反、于點E,F,交對角線叨于點G、”，點P為弧EF上的一個動點,

過點P作PM_L3C于M,作PNLCD于N.設(shè)9=m，PN=n.

(1)如圖2,當點p運動至G位置時，求機+〃的值；

(2)若四邊形PMC7V的面積為3.5,求四邊形PMCN的周長；

(3)求四邊形PMGV面積的最小值，并說明此時點P的位置.

【答案】(1)桃+〃=4；(2)8；(3)見解析

四邊形A88是正方形，

:.ZDBC=ZCDB=45°.

PM上BC，

.?.APA仍為等腰直角三角形.

BM=PM=m.

PM工BC,PN1DC,ZC=90°,

四邊形尸MCN為矩形.

:.CM=PN=n.

CM+BM=BC=4,

/.772+n=4.

同理，當點P運動至H位置時，,〃+〃=4.

(2)延長MP,NP,交正方形的邊AB,4)于Q,R,連接"，如圖1,

圖1

PM工BC，PNLCD,四邊形ABCD為正方形,

四邊形PR4Q為矩形.

/.AQ=PR=4-m,PQ=4-n.

AQ2+PQ2=AP2,

(4-ni)2+(4-n)2=32.

.'.\6—8m+nr+16—8"+/=9.

(m+riy-2mn-8(w?+〃)+32=9.

.?四邊形RWCN的面積為3.5,

.\mn=3.5?

(m+n)2-8(/n+H)-7+32-9=0.

/.(m+n-4)2=0.

,\m+n=4.

四邊形PMCN的周長=2(6+〃)=8.

(3)如圖1,由(2)知：(4-/?1)2+(4-/?)2=32.

即：16-8機+機2+16-8〃+〃2=9.

二.tYl~+/i~—8(/22+n)+23=0.

/.m2+2mn+n2-8(/n+〃)+23=2mn

/.2mn=(m+ri)2-8(m+n)+23.

?S矩形PMCN=mn'

12A(\231..A、？7

?.Se矩形PMCN=5(〃z7+〃x)-4[m+n)+—=-((m+n-4).

->0,

2

7

.?.當m+w=4時，S矩""“CW有最小值為j.

由(1)知，當加+〃=4時，點p運動至G、H位置.

此時點P的位置在G或"處.

8.(2021?南平模擬)如圖，在矩形ABC。中，AB=6,8C=8,點E是4)邊上的動點,

將矩形AfiCD沿8E折疊，點A落在點A處，連接AC、BD.

(1)如圖1,求證：ZDEA!=2ZABE；

(2)如圖2,若點A恰好落在83上，求tanNABE的值；

(3)若AE=2,求SA，W

(4)點E在AD邊上運動的過程中，入TCB的度數(shù)是否存在最大值，若存在，求出此時線

段AE的長；若不存在，請說明理由.

AEDAEDAD

圖1圖2備用國

【答案】(1)見解析；(2)-；(3)19.2；(4)見解析

2

【詳解】(1)證明：由折疊的性質(zhì)知：ZAEB=ZAEB,

ZAEB=1(1800-NAE0=90。-；ZA'ED,

:四邊形是矩形，

.-.ZA=90o,

ZABE=90°-ZAEB=90°-(90°-1ZA'ED)=|ZA'ED，

.-.ZAED=2ZABE-.

(2)解：四邊形A88是矩形，

...ZA=90°,AD=BC=8,

在RtAABD中，根據(jù)勾股定理得：B￡)=V62+82=10,

設(shè)AE=x,則DE=A￡)-AE=8—x,

由折疊的性質(zhì)知：A'E=AE=x,48=A8=6，N84'E=NA=90。，

.-.AD=BD-AB=4,

.-.ZDAE=90°,

在必△ZM'E中，根據(jù)勾股定理得：DE2-A'E2=A'D2=16,

即(8-x)2-%2=16,

解得：x=3,

:.AE=3,

Ap31

在RtAABE中，tan^ABE=——=-=-；

AB62

(3)解：過A'作MN_LA￡),交AD于M,交BC于N，如圖3所示：

則MN_L8C,MN=AB=6,ZA'ME=ZBM4'=90°,

:.ZEA,M+ZAEM=90°,

由折疊的性質(zhì)可知：A'E=AE=2,A'B=AB=6,ZBA'E=ZA=90°,

.-.ZEA'M+ZBA'N=90o,

/.ZA'EM=ZR4'N,

△ZEMsXBAN,

.AMA'E_2_1

"BN~BA~6~3,

設(shè)AM=x,貝l]BN=3x,AN=6—x,

在即△48N中，由勾股定理得：AN+BN?=A的,

即(6-xy+(3x)2=62,

解得：x=1.2或x=0(舍去)，

/.A'N=6-12=4.8,

-'-5=-BCXAW=-X8X4.8=19.2；

ACB22

(4)解：/4V3的度數(shù)存在最大值，理由如下：

如圖1,過點B作8bJ_C4'交C4'的延長線于F,

RFRF

在RtABFC中，sinZA'C3=——=——，

BC8

.?.所越大時，sinNA'CB越大，即NA'CB越大，

當點E在邊力。上運動時,，點A與尸重合時，BF^=A'B=AB=6,

.-.ABYAC,

:.ZBA'C=90°,

由折疊知，ZBAE=ZA=ZD=90°，

.?.點A'在CE上，如圖4所示：

四邊形A8CD是矩形，

.?.Z￡>=ZA=90°,CD=AB=6,

根據(jù)三角形面積得，S=-BCMB=-C￡A,B,

ABfCiCE￡22

A'B=AB,

:.CE=BC=8,

在RtACDE中，根據(jù)勾股定理DE=4CE--CD1=782-62=2幣,

AE=AD-DE=8-2幣.

圖4

9.(2021?揚州模擬)如圖1,在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點A在x軸的正半軸

上，在第一象限內(nèi)以。4為邊作平行四邊形。4BC,點C(2,y)和邊鉆的中點。都在反比例

函數(shù)y=K(x>0)的圖象上，已知△08的面積為

x2

圖1圖2

（1）求反比例函數(shù)解析式；

（2）點P（a,O）是x軸上一個動點，求|PC-最大時。的值；

（3）過點。作x軸的平行線/（如圖2）,在直線/上是否存在點Q,使ACOQ為直角三角

形？若存在，請直接寫出所有的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=~；（2）6；（3）（-2=）或（口,3）或（2+舊,3）或2）

x42422222

【詳解】（1）當x=2時，y=~,

-2

C（23,

2

?.,平行四邊形OWC中，BC//OA,

k

。是邊AB的中點，

1k

.?.點￡）（4,4）,

4

作CE_Lx軸于點E，。尸_Lx軸于點F,

圖1

（4-2）=?

則S&OCD=S梯形CDFE二岸

2142

:?k=6.

，反比例函數(shù)解析式為y=9;

X

(2)在△/(1￡)中，|PC-PD|<CE>：

當尸，c,。在一條直線上時，IPC—P￡>I=8,

由(1)知，C(2,3),￡)(4,-).

2

設(shè)直線CD為y=&x+b,

'2k+b=3

貝Ut3，

l2

解得：k=-—,h=—,

t142

直線CD解析式為y=—3x+g，

3Q

由一二x+—=0,

42

.*.x=6,

/JPC-PD\最大時a的值為6；

(3)存在.

QO//x軸，

，設(shè)點Q坐標為3，)，

一2

C(2,3),0(0,0),

9325

.-.co2=4+9=13,0Q2=〃+“CQ2=(〃—2)2+(3-亍2=〃+亍-4〃,

當ZCQO=90。時，則CO2=OQ2+CQ1,

s29225〃

13=a4---\-a+-----4a>

44

2±V13

..Cl=---------,

2

.?.點Q的坐標為(如普，》或(寫亙，I)；

當NCOQ=90。時,則CO?=0Q2+CO2,

一。2925.

..13+。H—=ci2H----4a，

44

9

a=——，

4

94

.??點Q的坐標為：

當Z.OCQ=90°時，則OQ2=CQ2+CO2,

9225

..ci2-\—=ciH----4yl。+113O,

44

17

ci=—,

4

.?.點。的坐標為(9二);

42

綜上所述：點Q的坐標為(-2,3)或(12,3)或(如叵，3)或」一屈,2).

42422222

10.(2021?寶應(yīng)縣一模)如圖，在AABC中，AB=AC,BC=8,tanC=。，點M、N分

4

別在他、BCL,且AM=CN=2.點尸從點用出發(fā)沿折線勻速移動，到達點N

時停止；而點。在AC邊上隨P移動，且始終保持ZAPQ=N8.

(1)求點P在BN上運動時，點P與點A的最短距離；

(2)若點P在MB上，且PQ將AABC的面積分成上下4:5兩部分時，求MP的長；

(3)求整個運動過程點。運動的路徑長.

備用圖

4

【答案】(1)3；(2)-；(3)7

3

【詳解】(1)如圖1,點尸在3N上運動時，當A尸，8C時，點尸與點A有最短距離,

AB=AC,BC=8,

；.BP=PC=4,

tanC=^3

BP4

?.AP=3,

.,.點P在BN上運動時，點。與點A的最短距離為3；

(2)如圖1,AP=3,BP=4,

AB=dAP?+BP?='9+16=5,

當點P在mB上，如圖2,

NAPQ=N8,

/.PQ//BC,

???MPg^AABC,

.出嗎2,

S^Bc48

PQ將AABC的面積分成上下4:5兩部分,

.必也_4

SMBC9

?AP_2

"w

4

:.PM=AP-AM=-；

3

(3)當點P在MB上運動時，PQ//BC,

：.CQ=BM=3,

當點P在3C上，且移動到3C中點時，如圖3,

AB=AC,BP=CP=4,

.?.ZB=NC,AP±BC,

ZAPQ=ZB,ZAPC=ZB+ZBAP=ZAPQ+ZCPQ.

/CPQ=/BAP,

AABP—ABCQ，

,CP_CQ

茄一而‘

當點P從3c中點移動到點N時，如圖4,

同理可得AABP^^BCQ,

.CPCQ

而一蕨’

212

,-.C0=-x6=y，

：.整個運動過程點Q運動的路徑長=3+y+(y-y)=7.

11.(2021?江都區(qū)模擬)平面上兩點間距離公式是解析幾何中重要的公式之一，如圖所示,

<(X1,y),P2(x2,%)，則勺6=J(W-%『+(%—X)2?請用所學知道解決問題：

己知道.O半徑為3,

(1)如圖1,P(x,y)為圓上任意一點，請?zhí)骄縳,y的關(guān)系式；

(2)如圖2,己知Q3。)，QA為JO切線，8(2,-1),且QA=QB,求人關(guān)于a的函數(shù)關(guān)

系式：

(3)如圖3,M點坐標(-5,0),在x軸是否存在點N(不同于點M),滿足對于。上任

意一點P,都有絲為一常數(shù)，若存在求出N點坐標，若不存在請說明理由.

PM

【詳解】(1)由題可得J(X—0)2+(丁-0)2=3,

即/+y2=9；

(2)連。4、OQ,

QA是.O的切線，

/OAQ=90。，

Qfic=QO2-OA2=a2+b2-9,QB2=(a-2)2+(b+\)2,

又\0=少，

:.QA2=QB2,

.?.a2+/,2-9=(a-2)2+(i+l)2,

整理得：b=2a—7.

(3)方法1：假設(shè)存在這樣的點NQ,O),當P為圓。與x軸左交點(-3,0)時，里=臣21

PM2

當p為圓。與*軸右交點G0)時，絲=左芻，依題意，二21,

PM828

解得，f=5(舍去)，或，=一2

5

下面證明點N(-1,0)對于圓O上任一點P,都有翳■為一常數(shù).

設(shè)尸(x,y),則y2=9-f,

9、2221881，、218ye

2(zxH—)+yxHx4---h9-x—(5x+17)

.PnxNz=5'=525=25=2n

"PM1~(x+5)2+y2-x2+\0x+25+9-x2~2(5x+17)-25"

從而絲=3為常數(shù).

PM5

方法2：假設(shè)存在這樣的點N(r,O),使得絲為常數(shù)兀，則尸解=儲2”，

PM

(x-r)2+/=A2[(x+5)2+/],將y2=9-x2代入得，

gPx2-2x/+r2+9-x2=22(X2+10X+25+9-X2),

2(5萬+t)x+34；12T2_9=0對一3轟上3恒成立,

f5Z2+r=0

"[3422-Z2-9=0'

解得5或1(舍去)，

f=_2…

5

所以存在點N(-*0)對于圓C上任一點P，都有得為常數(shù)|?

12.(2021?江都區(qū)一模)如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=3,3c=6,射線CM_L3C,

點。是邊BC上一動點，連接AD,過點A作AE_LA。交射線CM于點E,連接OE.

(1)求證：點A、E、C、。在同一圓上；

(2)若BD=1,則AE=.

(3)①當ACDE面積的最大時，求應(yīng))的長；

②當點。從點B運動到點C時，直接寫出MCE的外接圓圓心經(jīng)過的路徑

長.

【答案】(1)見解析；(2)2>/10；(3)BD=-x(4)3石

4

【詳解】(1)證明：根據(jù)題意可知N」DCE=90。，ZDAE=90°,

-ZDCE+ZDAE=\80°,

.?.點A、E、。、。在以為直徑的同一圓上.

(2)如圖1,

圖1

過點A作A產(chǎn)，CM,垂足為點尸，

BCVCM，BC.LAB,

AF//BC,AFJLAB,

ZE4F+ZZMF=90。，Zfi4D+ZZMF=90。，

..ZEAF=ZDAB,

RtAAEF^RtAADB,

-A-E-=-A--D,

AFAB

BD=1,AB=3,AF=BC=6,AD=DB2+AB2V10,

...空=巫，解得AE=2師

63

(3)①由(2)可知RtAAEFsRtAADB,

EFAF?

??----=-----=2，

DBAB

設(shè)。8=x,則￡F=2x,EC=2x+3,DC=BC-BD=6-x,

19,?25

S&CDE=5(6—x)(2x+3)=—(x——)'+?

.,.當△CDEffif積最大時，x=-.即80=2.

44

②如圖2所示,

圖2

由(1)可知AACE外接圓的圓心O是DE的中點，OA=OC,

.?.點O在AC的垂直平分線上運動，

.,.點O的運動路徑為0。2，

根據(jù)題意3C=6,AB=3,

AC=dBC°+AB。=3/,

ZCO2Ot,+ZO2COt=90°,NO2cq+ZACB=90°,

zcao,=ZACB,

又NCO02=ZABC=90°,

△COQyMBC,

3石

...色=空，即，_=3,

ORBC0。26

解得。。2=3有

13.(2021?寶應(yīng)縣二模)在A48C中，Z4=90。，AB=8cm,AC=6c7〃，點。、點E同

時從點A出發(fā)，點。沿邊43以4cm/s的速度向點5運動，點E從點A出發(fā)，沿邊AC以

3c7"/s的速度向點C運動(點。不與A、B重合，點E不與A、C重合)，設(shè)運動時間為

(1)求證：AADESAABC；

(2)當r為何值時，以DE為直徑的O與直線8C相切？

(3)把AM)E沿直線DE折疊得到M)EF,若ADEF與梯形BCED重疊部分的面積為s,

試求s關(guān)于/的函數(shù)表達式，并求f為何值時，s的值最大，最大值是多少？

【答案】(1)見解析；(2)z=—.V；(3)見解析

49

【詳解】(1)證明：根據(jù)題意可知AD=4r(C7H),AE=3f(cm),AB=8cm,AC=6cm,

AD4ztAE3tt

---=—=—，=—=一，

AB82AC62

在AADf和AABC中，

l/nsAZ)AE

/^DAE=/，---=---，

ABAC

.".AADE^AABC.

(2)根據(jù)題意在RtAABC中，BC^^AB2+AC2=1Ocm,

在RtAADE中，DE=^AD2+AE2=5/cm,

由題意；O以QE為直徑，

。的半徑r='z)E=2cm,

22

設(shè)AM)E中。E邊上的高和AABCU」3c邊上的高分別為々(cm)、也(cm),

貝人S^DE=%ADXAE=；DEx丸,解得九=^cm,

i?,24

48c=—xA8xAC=耳鳥。、魚,解得/4=-^~。加，

O與直線8C相切，

.,5t24\2t

/.r—/t,—h,LR、I|JI—=----------,

y255

解得好竺s.

49

(3)由題意可知當點P落在直線3c上時，。、E分別是43、AC的中點，此時f=ls,

故需分兩種情況討論：

①當I0</?1時，重疊部分面積s=SMDE=SMD￡=x4/x3/=6產(chǎn)，

.??當，=ls時，重疊部分的面積面積最大為s=6；

②當1</<2時，如下圖所示，DP、EP分別交直線于點用、點N,

由(1)可知NB=NADE,AD=4t,

:.DE/IBC，

:.ZEDM=ZBMD,

ZADE=ZEDM,

:.ZB=ZBMD,

:.DB=DM=AB-AD=8-4t，

PD=AD=4t，

.?.尸M=P￡>—ZW=4，一(8—4，)=8-8,

DE//MN,

"MNS"DE,

.SAPMN_7尸M2_產(chǎn)-82

SwPD4f

5'APDE=5MDE=2X4ZX3,=6/2,

n2/8-82

Sc*MN=6/x(4/)~?

O/_O4

22

重疊部分面積s=S&PDE-S鵑MN=6/一6/X(^―)=-18(r--)+8,

4

.??當，=w時，重疊部分面積最大為8；

3

綜上所述：當Ovr,,l時，s=6/，當lv，<2時，5=-18(r--)2+8?

3

A

當r=2時?，重疊部分面積最大，最大值為8.

3

14.（2021?德城區(qū)二模）直角三角板ABC的斜邊AB的兩個端點在上，已知NS4c=30。,

直角邊AC與O相交于點。，且點。是劣弧他的中點.

D.D

O

圖1圖2

(1)如圖1,判斷直角邊8C所在直線與O的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)如圖2,點P是斜邊A8上的一個動點(與A、B不重合)，￡＞尸的延長線交_。于點Q,

連接“、QB.

?AD=6,PD=4,則:PQ=

②當點P在斜邊A3上運動時，求證：QA+QB=6QD.

【答案】(1)見解析；(2)673:5；(3)見解析

【詳解】⑴解:BC所在的直線與O相切.

理由如卜：

如圖1,連接。4,O￡),O8.8D

ZBAC=30°,

..N3OD=60。，

OB=OD,

:.ABOD是等邊三角形,

.-.ZBD0=ZDB0=O)°,

點O是劣弧/IB的中點，

ZAOD=NBOD=60°,

OD=OA,

.?.△48是等邊三角形，

.-.ZADO=60°,

ZADB=ZADO+ABDO=120°,

ZCDB=180°-ZADB=180°-120°=60°,

/.NCBD=90°-NCDB=90°-60°=30°,

/.Z.CBO=NCBD+ZDBO=60°+30°=90°,

:.CBVOB.

OB是O的半徑，

r.BC是O的切線，即BC所在的直線與O相切;

(2)①AB與相交于點￡,如圖2,

圖2

由⑴可知，兇?！?,448都是等邊三角形,且。4,0￡),。3是一。的半徑,

.??四邊形AOM是菱形，

二/R與垂直平分，

AD=6,

:.DE=3,AE=3B

AB=2AE=6&,

ABAC=30°，點。是劣弧他的中點,

ZDQA=ZBQD,

NO0A=N84C=3O。，

,ZQDA=ZADP,

：.\QDA^^ADP,

DADP

~DQ~~D\

。。=整4=9,

;.PQ=DQ-PD=9-4=5.

②如圖3,過點。作ONLBQ交6。于點N,OM_LAQ交A。的延長線于點

圖3

ADQA^ZBQD=3Q0,

QD是/BQA的角平分線,

:.DN=DM、QN=QM,

又一DB=DA.

RtADBN=RtADAM(HL),

:.BN=AM,

在RtADNQ中，cosNOQN=cos30°=—=—,

QD2

2QN=拒QD.

垂QD=2QN=2QM=QM+QA+AM=QB+QA.

即QA+QB=也QD.

15.（2021?高郵市模擬）如圖，