132垂線（分層練習(xí)）-2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊

13.2垂線（分層練習(xí)）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2023春·七年級單元測試）在同一平面內(nèi)，若與的兩邊分別垂直，且比的3倍少40°，則的度數(shù)為（

）．A．20° B．55° C．20°或125° D．20°或55°【答案】C【分析】因為兩個角的兩邊分別垂直，則這兩個角相等或互補，又因比的3倍少，所以可設(shè)是x度，利用方程即可解決問題．【詳解】解：設(shè)是x度，根據(jù)題意，得①兩個角相等時，如圖1：，解得，，故，②兩個角互補時，如圖2：，所以，故的度數(shù)為：或故選：C．【點睛】此題主要考查了垂線，本題需仔細(xì)分析題意，利用方程即可解決問題．關(guān)鍵是得到與數(shù)量關(guān)系．2．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，則表示點A到直線CD距離的是（）A．線段CD的長度 B．線段AC的長度 C．線段AD的長度 D．線段BC的長度【答案】C【分析】根據(jù)點到直線的距離的概念：直線外一點到這條直線的垂線段的長度即為該點到這條直線的距離作答即可．【詳解】解：點A到CD的距離是線段AD的長度．故選C．【點睛】本題主要考查了點到直線的距離的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并理解點到直線的距離的概念．3．（2023春·七年級單元測試）如圖，在三角形中，，，為垂足，則下列說法中，錯誤的是（

）A．點到的距離是線段的長 B．點到的距離是線段的長 C．點到的距離是線段的長 D．點到的距離是線段的長【答案】A【分析】利用點到直線的距離定義，對選項一一進(jìn)行分析，即可得出答案．【詳解】解：A、點到的距離是線段的長，故該選項錯誤，符合題意；B、點到的距離是線段的長，故該選項正確，不符合題意；C、點到的距離是線段的長，故該選項正確，不符合題意；D、點到的距離是線段的長，故該選項正確，不符合題意．故選：A【點睛】本題考查了點到直線的距離，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握點到直線的距離就是點到直線的垂線段的長．4．（2021春·上海松江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點是直線外的一點，點、、在直線上，且，垂足是，，則下列不正確的語句是（

）A．線段的長是點到直線的距離 B．、、三條線段中，最短C．線段的長是點到直線的距離 D．線段的長是點到直線的距離【答案】C【分析】利用點到直線的距離的定義、垂線段最短分析．【詳解】解：A、根據(jù)點到直線的距離的定義：即點到這一直線的垂線段的長度．故此選項正確，不符合題意；B、根據(jù)垂線段最短可知此選項正確，不符合題意；C、線段AP的長是點A到直線PC的距離，故選項錯誤，符合題意；D、根據(jù)點到直線的距離即點到這一直線的垂線段的長度．故此選項正確，不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了點到直線的距離的定義，及垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂線段最短的概念．5．（2023春·七年級單元測試）如圖，點P在直線外，，，則線段的值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)連接從直線外一點到這條直線上的所有點的線段中，垂線段最短求解了可．【詳解】解：∵，∴于點B，∴，∴可能，故選：D．【點睛】此題主要考查了垂線段最短，熟練掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·七年級單元測試）如圖，在紙片上有一直線l，點A在直線l上，過點A作直線l的垂線、嘉嘉使用了量角器，過90°刻度線的直線a即為所求；淇淇過點A將紙片折疊，使得以A為端點的兩條射線重合，折痕a即為所求，下列判斷正確的是（

）A．只有嘉嘉對 B．只有淇淇對C．兩人都對 D．兩人都不對【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義即可解答．【詳解】解：嘉嘉利用量角器畫90°角，可以畫垂線，方法正確；淇淇過點A將紙片折疊，使得以A為端點的兩條射線重合，折痕a垂直直線l，方法正確，故選：C．【點睛】本題主要考查了作圖、垂線的定義，掌握垂直的定義是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023春·七年級單元測試）如圖，點P是直線a外的一點，點A、B、C在直線a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，則下列不正確的語句是（

）A．線段PB的長是點P到直線a的距離 B．PA、PB、PC三條線段中，PB最短C．線段AP的長是點A到直線PC的距離 D．線段AP的長是點C到直線PA的距離【答案】D【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義，垂線段最短的性質(zhì)，逐項分析判斷即可求解．【詳解】A.PB⊥a，線段PB的長是點P到直線a的距離，故該選項正確，符合題意；B.PA、PB、PC三條線段中，PB最短，故該選項正確，符合題意；C.PA⊥PC，線段AP的長是點A到直線PC的距離，故該選項正確，符合題意；D.PA⊥PC，線段CP的長是點C到直線PA的距離，故該選項不正確，不符合題意,故選D.【點睛】本題考查了點到直線的距離的定義，垂線段最短的性質(zhì)，理解點到直線的距離的定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2021春·上海金山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線AB、CD相交于點O，EF⊥AB于點O，∠COE=50°，那么∠BOD=________．【答案】##40度【分析】根據(jù)EF⊥AB，即得出，從而可根據(jù)求解．【詳解】∵EF⊥AB于點O，∴．∵∠COE=50°，∴．故答案為：．【點睛】本題考查垂線的定義和角的運算．確定出是解題關(guān)鍵．9．（2023春·七年級單元測試）如圖，OC⊥OB，如果∠AOC：∠AOB=1：4，那么∠AOB=___度．【答案】120【分析】根據(jù)垂直的定義以及角度的比，可求出∠AOC，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：∵OC⊥OB，∴∠BOC=90°，又∵∠AOC：∠AOB=1：4，∴∠AOC：∠BOC=1：3，∴∠AOC=×90°=30°，∴∠AOB=90°+30°=120°，故答案為：120．【點睛】本題考查垂線，角的計算，理解垂直的定義以及角的和差關(guān)系是正確解答的前提．10．（2021春·上海浦東新·七年級?？计谀┤鐖D，AE是中BC邊上的高，D在BC邊上，且，那么圖中表示點到直線距離的線段有______條．【答案】6【分析】根據(jù)題干中的垂直關(guān)系找到對應(yīng)的垂線段即可．【詳解】解：因為AE是高，，所以：AE表示點A到BC的距離；CE表示點C到AE的距離．BE表示點B到AE的距離；AD表示點D到AC的距離．AC表示點C到AD的距離；DE表示點D到AE的距離．故答案為：6．【點睛】本題考查了垂線段的應(yīng)用，在找垂線段時不要出現(xiàn)漏數(shù)或多數(shù)的情況，熟知垂線段的定義是解決本題的關(guān)鍵．11．（2021春·上海徐匯·七年級統(tǒng)考期中）如圖，Rt△ABC中，CD⊥AB，點B到CD邊的距離是線段__________的長；【答案】BD【分析】點到直線的距離是指垂線段的長度．【詳解】解：點B到直線CD的垂線段是BD，所以點B到CD邊的距離是線段BD的長度．故答案是：BD．【點睛】本題考查了點到直線的距離的定義．注意距離是線段的長度，不是線段．12．（2019春·上海浦東新·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）兩條相交直線所成的一個角為140°，則它們的夾角是__________.【答案】40°【分析】根據(jù)兩直線相交的特點，可求出另一個角為，然后即可求得它們的夾角（一般為較小的一個角）.【詳解】另一個角為180°140°=40°，則它們的夾角（一般為較小的一個角）為40°.故答案為40°.13．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）平面內(nèi)經(jīng)過一點且垂直于已知直線的直線共有_______條【答案】1【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，即可得出結(jié)論．【詳解】解：過平面內(nèi)一點作已知直線的垂線，這一點有可能在直線上，也可能在直線外，但是無論是這一點在直線上還是在直線外都只能做一條直線與已知直線垂直．【點睛】本題考查垂線的性質(zhì)．熟練掌握垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022春·上?！て吣昙壠谀┤鐖D，在△ABC，AD⊥BC，垂足為點D，那么點B到直線AD的距離是線段_____的長度．【答案】BD##DB【分析】根據(jù)點到直線的距離的概念進(jìn)行判斷，直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．【詳解】解：∵AD⊥BD于D，∴點B到直線AD的距離是線段BD的長，故答案為：BD．【點睛】本題主要考查了點到直線的距離，解題時注意：點到直線的距離是垂線段的長度，而不是垂線段．15．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，直線AC與直線DE相交于點O，若，，垂足為O，則______°．【答案】55【分析】先根據(jù)垂直的定義求出，再由對頂角相等求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故答案為：55．【點睛】本題主要考查了垂直的定義，對頂角相等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．16．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知于O，，那么_________．【答案】30°【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠AOB＝90°，結(jié)合圖形找到相關(guān)角間的和差關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】∵AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∵∠BOD＝120°，∴∠AOD＝∠BOD?∠AOB＝120°?90°＝30°，故答案是：30°．【點睛】本題考查了垂直的定義，如果兩個角的和等于90°，兩個角互為余角．17．（2020春·上海浦東新·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB和CD交于O點，EO⊥CD，∠EOB=50°，則∠AOC=_____．【答案】40°【分析】根據(jù)垂直的性質(zhì)即可求出∠AOC的值．【詳解】∵EO⊥CD，∴∠COE=90°，∴∠AOC=180°﹣∠BOE﹣∠COE=180°﹣50°﹣90°=40°．故答案為：40°．【點睛】本題考查了垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．三、解答題18．（2021春·上海徐匯·七年級統(tǒng)考期中）如圖：直線AB和CD相交于點O，，且，求：的度數(shù)解：∵（已知）∴（垂直定義）∵（_____________）又∵∴（___________________）∵（已知）∴__________（等量代換）∴___________(等式性質(zhì))∴_______（等式性質(zhì)）【答案】；對頂角相等；；等量代換；；；．【分析】根據(jù)垂直定義，對頂角相等的性質(zhì)，進(jìn)行等量代換求解即可．【詳解】解：∵（已知）∴（垂直定義）∵（對頂角相等）又∵∴（等量代換）∵（已知）∴（等量代換）∴(等式性質(zhì))∴（等式性質(zhì)）．【點睛】本題考查幾何圖形中角度計算，垂直定義，對頂角性質(zhì)，等量代換概念，關(guān)鍵是要熟記定義和性質(zhì)．【能力提升】一、單選題1．（2022春·上海·七年級階段練習(xí)）下列語句中錯誤的是（）A．?dāng)?shù)軸上的每一個點都有唯一一個實數(shù)與它對應(yīng)B．0.087用科學(xué)記數(shù)法可表示為8.7×10﹣2C．在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直D．點到直線的距離就是這點到這條直線的垂線段【答案】D【分析】根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸，科學(xué)記數(shù)法﹣表示較小的數(shù)，垂線，點到直線的距離定義逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．?dāng)?shù)軸上的每一個點都有唯一一個實數(shù)與它對應(yīng)，正確；B.0.087用科學(xué)記數(shù)法可表示為8.7×10﹣2，正確；C．在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，正確；D．點到直線的距離就是這點到這條直線的垂線段的長度，故D選項錯誤．故選：D．【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，科學(xué)記數(shù)法﹣表示較小的數(shù)，垂線，點到直線的距離，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上的點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)的方法，垂線的性質(zhì)定理，點到直線的距離定義．2．（2022春·七年級單元測試）觀察如圖圖形，并閱讀相關(guān)文字：那么10條直線相交，最多交點的個數(shù)是(

)A．10 B．20 C．36 D．45【答案】D【分析】根據(jù)直線的條數(shù)與交點的個數(shù)寫出關(guān)系式，然后把10代入關(guān)系式進(jìn)行計算即可得解．【詳解】2條直線相交，只有1個交點，3條直線相交，最多有3個交點，4條直線相交，最多有6個交點，…，n條直線相交，最多有個交點，n=10時，45．故選D．【點睛】本題考查了直線、射線、線段，寫出直線條數(shù)與交點個數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，OD⊥OC，那么∠AOD＝_____°．【答案】54【分析】根據(jù)∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，可求出∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝36°，再根據(jù)OD⊥OC，得出∠COD＝90°，最后根據(jù)互余求出答案．【詳解】解：∵∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝36°，又∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝90°﹣36°＝54°，故答案為：54．【點睛】本題考查角平分線，垂直，理解角平分線和垂直的意義是正確計算的前提．4．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖：∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，則點A到直線BC的距離是線段_____的長度．【答案】AD##DA【分析】根據(jù)點到直線的距離及線段的長的意義可求出答案．【詳解】解：∵AD⊥BC，垂足為D，∴點A到直線BC的距離是線段AD的長度．故答案為：AD．【點睛】此題考查點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點到直線的距離及線段的長的意義．5．（2022春·上海松江·七年級?？计谥校┤鐖D，直線、交于點，于點，，則的度數(shù)為__________．【答案】35°【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠CEF=90°，根據(jù)求出∠AEC=35°，再根據(jù)對頂角相等求出的度數(shù).【詳解】∵，∴∠CEF=90°，∴∠AEC+∠AEF=90°，∵，∴∠AEC=35°，∴=∠AEC=35°，故答案為：35°.【點睛】此題考查垂直的定義，對頂角的性質(zhì)，掌握圖形中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.6．（2020春·七年級?？颊n時練習(xí)）如圖，已知AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．（1）點A到直線BC的距離是線段_______的長；（2）點D到直線AF的距離是線段_______的長；（3）線段AF的長表示點A到直線_______距離；（4）線段CE的長表示點C到直線_______距離；（5）線段BE的長表示點_______到直線______距離；（6）線段CF的長表示點_______到直線______距離；【答案】

AE

DF

CD

AE

B

AE

C

AF【分析】點到直線的距離是指垂線段的長度，兩點間的距離是連接兩點的線段的長度．【詳解】（1）點A到直線BC的距離是線段AE的長；（2）點D到直線AF的距離是線段DF的長；（3）線段AF的長表示點A到直線CD距離；（4）線段CE的長表示點C到直線AE距離；（5）線段BE的長表示點B到直線AE距離；（6）線段CF的長表示點C到直線AF距離；故答案為：(1).AE

(2).DF

(3).CD

(4).AE

(5).B

(6).AE

(7).C

(8).AF【點睛】此題考查點到直線的距離的定義，兩點間的距離的定義，解題關(guān)鍵在于掌握其定義.7．（2020春·七年級?？颊n時練習(xí)）如圖，已知AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，BC=8，AC=6，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6．則：（1）點A到直線CD的距離為_________；（2）點A到直線BC的距離為_________；（3）點B到直線CD的距離為_________；（4）點B到直線AC的距離為_________；（5）點C到直線AB的距離為_________．【答案】

AD

AC

BD

BC

CD【分析】點到直線的距離是指垂線段的長度，兩點間的距離是連接兩點的線段的長度．【詳解】（1）點A到直線CD的垂線段是AD；（2）點A到直線BC的垂線段是AC；（3）點B到直線CD的垂線段是BD；（4）點B到直線AC的