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文檔簡介
第15章軸對稱圖形與等腰三角形15.4角的平分線第2課時角平分線的判定知識點3角平分線的判定定理基礎(chǔ)過關(guān)全練1.(2024上海寶山期末)如圖,已知BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分別
為E,F,BE與CF相交于點D,若BD=CD.求證:AD平分∠BAC.證明∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90°.在△BDF
與△CDE中,
∴△BDF≌△CDE(AAS).∴DF=DE,∴AD平分∠BAC.知識點4三角形的三條內(nèi)角平分線的性質(zhì)2.如圖,△ABC的周長為12,∠ABC和∠ACB的平分線相交于
點O,過點O作OD⊥BC于點D,當(dāng)OD=1時,△ABC的面積為
.6解析如圖,過點O作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分別為點E,F,連
接AO,∵BO平分∠ABC,OD⊥BC,OE⊥AB,∴OE=OD.∵CO平分∠ACB,OD⊥BC,OF⊥AC,∴OF=OD.∴OD=OE=OF=1.∵△ABC的周長為12,∴AB+BC+AC=12,∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=
AB·OE+
BC·OD+
AC·OF=
(AB+BC+AC)·OD=
×12×1=6.能力提升全練3.(2024安徽宣城涇縣期末,7,★★☆)如圖,△ABC的三邊
AB、BC、AC的長度分別為10cm、15cm、20cm,三條角平
分線的交點為點O,則S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=
()A.2∶3∶4
B.3∶4∶5C.1∶2∶3
D.5∶12∶13A解析如圖,過點O作OM⊥AB于點M,ON⊥BC于點N,OK⊥
AC于點K,∵△ABC的三條角平分線的交點為點O,∴OM=ON
=OK,∵S△AOB=
AB·OM,S△BOC=
BC·ON,S△AOC=
AC·OK,AB、BC、AC的長度分別為10cm、15cm、20cm,∴S△AOB∶S△
BOC∶S△AOC=AB∶BC∶AC=10∶15∶20=2∶3∶4.4.(2023安徽六安金寨聯(lián)考,10,★★☆)如圖,∠ABC、∠EAC
的平分線BP、AP交于點P,PM⊥BE交BE于點M,PN⊥BF交
BF于點N,則下列結(jié)論:①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=
180°;③∠ACB=2∠APB;④S△PAC=S△MAP+S△NCP.其中正確結(jié)論的
個數(shù)為
()A.1
B.2
C.3
D.4D解析①如圖,過點P作PD⊥AC于點D,∵BP平分∠ABC,AP
平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC,∴PM=PN,PM=PD,
∴PN=PD.∵PN⊥BF,PD⊥AC,∴點P在∠ACF的平分線上,
∴CP平分∠ACF,故①正確.②∵PM⊥BE,PN⊥BF,∴∠ABC
+90°+∠MPN+90°=360°,∴∠ABC+∠MPN=180°.在Rt△PAM和Rt△PAD中,
∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),∴∠APM=∠APD.同理可得Rt△PCD≌Rt△PCN(HL),∴∠CPD=
∠CPN,∴∠MPN=2∠APC,∴∠ABC+2∠APC=180°,故②正確.③∵AP平分∠EAC,BP平分∠ABC,∴∠CAE=∠ABC+∠
ACB=2∠PAM,∠PAM=
∠ABC+∠APB,∴∠ACB=2∠APB,故③正確.④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD,Rt△PCD≌Rt△
PCN,∴S△APD=S△APM,S△CPD=S△CPN,∴S△APM+S△CPN=S△APC,故④正確.
綜上所述,正確結(jié)論為①②③④,共4個.5.(2024安徽合肥包河期末,13,★★☆)如圖,在△ABC中,點M,
N為AC邊上的兩點,AM=NM,BM⊥AC于點M,ND⊥BC于點D,
且NM=ND,若∠A=70°,則∠C的度數(shù)為
.50°解析∵AM=NM,BM⊥AC,∴BM平分∠ABN,∠BNA=∠A=70°,∴∠ABM=∠NBM=
×(180°-70°-70°)=20°.∵ND⊥BC,NM=ND,∴BN平分∠MBD,∴∠DBN=∠NBM=20°,∴∠ABC=60°,∴∠C=180°-70°-60°=50°.素養(yǎng)探究全練6.(推理能力)如圖,∠ABC的平分線與∠ACN的平分線相交于
點P,連接AP.(1)求證:AP平分∠CAM;(2)如圖,過點C作CE⊥AP,垂足為點E,延長CE交BM于點D,求
證:CE=ED;(3)在(2)的條件下,請?zhí)砑右粋€條件,使得AP∥BC,并加以證明.解析(1)證明:如圖,過點P作PH⊥BM于點H,PF⊥BN于點F,
PG⊥AC于點G,∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACN,BP與CP交于點P,∴PH=PF,
PF=PG,∴PH=PG,∴AP平分∠CAM.(2)證明:由(1)知AP平分∠CAM,∴∠DAE=∠CAE.∵CE⊥AP,∴∠AED=∠AEC=90°.在△ADE與△ACE中,
∴△ADE≌△ACE(ASA),∴CE=ED.
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