滬科版八年級數(shù)學(xué)上冊第15章軸對稱圖形與等腰三角形15-4角的平分線第2課時角平分線的判定課件

第15章軸對稱圖形與等腰三角形15.4角的平分線第2課時角平分線的判定知識點(diǎn)3角平分線的判定定理基礎(chǔ)過關(guān)全練1.(2024上海寶山期末)如圖,已知BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分別

為E,F,BE與CF相交于點(diǎn)D,若BD=CD.求證:AD平分∠BAC.證明∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90°.在△BDF

與△CDE中,

∴△BDF≌△CDE(AAS).∴DF=DE,∴AD平分∠BAC.知識點(diǎn)4三角形的三條內(nèi)角平分線的性質(zhì)2.如圖,△ABC的周長為12,∠ABC和∠ACB的平分線相交于

點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D,當(dāng)OD=1時,△ABC的面積為

.6解析如圖,過點(diǎn)O作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分別為點(diǎn)E,F,連

接AO,∵BO平分∠ABC,OD⊥BC,OE⊥AB,∴OE=OD.∵CO平分∠ACB,OD⊥BC,OF⊥AC,∴OF=OD.∴OD=OE=OF=1.∵△ABC的周長為12,∴AB+BC+AC=12,∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=

AB·OE+

BC·OD+

AC·OF=

(AB+BC+AC)·OD=

×12×1=6.能力提升全練3.(2024安徽宣城涇縣期末,7,★★☆)如圖,△ABC的三邊

AB、BC、AC的長度分別為10cm、15cm、20cm,三條角平

分線的交點(diǎn)為點(diǎn)O,則S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=

()A.2∶3∶4

B.3∶4∶5C.1∶2∶3

D.5∶12∶13A解析如圖,過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M,ON⊥BC于點(diǎn)N,OK⊥

AC于點(diǎn)K,∵△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)為點(diǎn)O,∴OM=ON

=OK,∵S△AOB=

AB·OM,S△BOC=

BC·ON,S△AOC=

AC·OK,AB、BC、AC的長度分別為10cm、15cm、20cm,∴S△AOB∶S△

BOC∶S△AOC=AB∶BC∶AC=10∶15∶20=2∶3∶4.4.(2023安徽六安金寨聯(lián)考,10,★★☆)如圖,∠ABC、∠EAC

的平分線BP、AP交于點(diǎn)P,PM⊥BE交BE于點(diǎn)M,PN⊥BF交

BF于點(diǎn)N,則下列結(jié)論:①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=

180°;③∠ACB=2∠APB;④S△PAC=S△MAP+S△NCP.其中正確結(jié)論的

個數(shù)為

()A.1

B.2

C.3

D.4D解析①如圖,過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D,∵BP平分∠ABC,AP

平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC,∴PM=PN,PM=PD,

∴PN=PD.∵PN⊥BF,PD⊥AC,∴點(diǎn)P在∠ACF的平分線上,

∴CP平分∠ACF,故①正確.②∵PM⊥BE,PN⊥BF,∴∠ABC

+90°+∠MPN+90°=360°,∴∠ABC+∠MPN=180°.在Rt△PAM和Rt△PAD中,

∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),∴∠APM=∠APD.同理可得Rt△PCD≌Rt△PCN(HL),∴∠CPD=

∠CPN,∴∠MPN=2∠APC,∴∠ABC+2∠APC=180°,故②正確.③∵AP平分∠EAC,BP平分∠ABC,∴∠CAE=∠ABC+∠

ACB=2∠PAM,∠PAM=

∠ABC+∠APB,∴∠ACB=2∠APB,故③正確.④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD,Rt△PCD≌Rt△

PCN,∴S△APD=S△APM,S△CPD=S△CPN,∴S△APM+S△CPN=S△APC,故④正確.

綜上所述,正確結(jié)論為①②③④,共4個.5.(2024安徽合肥包河期末,13,★★☆)如圖,在△ABC中,點(diǎn)M,

N為AC邊上的兩點(diǎn),AM=NM,BM⊥AC于點(diǎn)M,ND⊥BC于點(diǎn)D,

且NM=ND,若∠A=70°,則∠C的度數(shù)為

.50°解析∵AM=NM,BM⊥AC,∴BM平分∠ABN,∠BNA=∠A=70°,∴∠ABM=∠NBM=

×(180°-70°-70°)=20°.∵ND⊥BC,NM=ND,∴BN平分∠MBD,∴∠DBN=∠NBM=20°,∴∠ABC=60°,∴∠C=180°-70°-60°=50°.素養(yǎng)探究全練6.(推理能力)如圖,∠ABC的平分線與∠ACN的平分線相交于

點(diǎn)P,連接AP.(1)求證:AP平分∠CAM;(2)如圖,過點(diǎn)C作CE⊥AP,垂足為點(diǎn)E,延長CE交BM于點(diǎn)D,求

證:CE=ED;(3)在(2)的條件下,請?zhí)砑右粋€條件,使得AP∥BC,并加以證明.解析(1)證明:如圖,過點(diǎn)P作PH⊥BM于點(diǎn)H,PF⊥BN于點(diǎn)F,

PG⊥AC于點(diǎn)G,∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACN,BP與CP交于點(diǎn)P,∴PH=PF,

PF=PG,∴PH=PG,∴AP平分∠CAM.(2)證明:由(1)知AP平分∠CAM,∴∠DAE=∠CAE.∵CE⊥AP,∴∠AED=∠AEC=90°.在△ADE與△ACE中,

∴△ADE≌△ACE(ASA),∴CE=ED.