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《1.2.3等差數(shù)列的前n項和》講義一、教學(xué)目標1、讓同學(xué)們理解等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程。2、掌握等差數(shù)列前n項和公式,并能運用公式解決簡單的實際問題。二、教學(xué)重難點1、重點等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)和理解。熟練運用公式進行計算。2、難點等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)過程中涉及的數(shù)學(xué)思想方法。如何根據(jù)實際問題判斷并正確運用公式。三、教學(xué)過程(一)導(dǎo)入(3分鐘)同學(xué)們,咱們之前學(xué)習(xí)了等差數(shù)列,那大家想一想,如果有一個等差數(shù)列,咱們想求它前n項的和,該怎么求呢?比如說,1,3,5,7,9這個等差數(shù)列,前5項的和大家能快速算出來嗎?(可以讓同學(xué)們先試著口算一下,然后提問幾位同學(xué)說說自己的想法)(二)等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)(12分鐘)1、故事引入(2分鐘)給大家講個小故事啊。有個叫高斯的小朋友,他的數(shù)學(xué)老師給他出了個題目,讓他計算1+2+3+...+100。高斯特別聰明,他發(fā)現(xiàn)1+100=101,2+99=101,3+98=101,這樣兩兩組合,一共有50組,所以結(jié)果就是101×50=5050。那咱們能不能從這個故事里得到一些啟發(fā),來推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式呢?2、公式推導(dǎo)(10分鐘)對于等差數(shù)列\(zhòng)(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n}\),它的前n項和\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}\)。咱們把這個和倒過來寫一遍,就得到\(S_{n}=a_{n}+a_{n1}+a_{n2}+\cdots+a_{1}\)。然后把這兩個式子相加,就得到\(2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n1})+(a_{3}+a_{n2})+\cdots+(a_{n}+a_{1})\)。因為這是等差數(shù)列,所以\(a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n1}=a_{3}+a_{n2}=\cdots\),一共有n組。所以\(2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\),那\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)。這就是等差數(shù)列前n項和的第一個公式。那還有沒有其他形式呢?我們知道\(a_{n}=a_{1}+(n1)d\)(這里的d是等差數(shù)列的公差),把\(a_{n}\)代入到\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)中,就得到\(S_{n}=\frac{na_{1}+a_{1}+(n1)d}{2}=na_{1}+\frac{n(n1)d}{2}\)。這就是等差數(shù)列前n項和的第二個公式。(三)公式的理解與記憶(5分鐘)1、咱們一起看看這兩個公式啊。\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)這個公式呢,需要知道首項\(a_{1}\)和末項\(a_{n}\)以及項數(shù)n就能求出前n項和。而\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)d}{2}\)這個公式呢,只要知道首項\(a_{1}\)、項數(shù)n和公差d就能求前n項和。2、大家可以自己在心里默默記一下這兩個公式,然后我找同學(xué)來背一背或者說一說這兩個公式是怎么來的。(找兩三位同學(xué)回答)(四)公式的應(yīng)用(15分鐘)1、基礎(chǔ)例題(5分鐘)例1:已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中,\(a_{1}=3\),\(n=10\),\(a_{10}=21\),求前10項和\(S_{10}\)。解:根據(jù)公式\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\),這里\(n=10\),\(a_{1}=3\),\(a_{10}=21\),那么\(S_{10}=\frac{10\times(3+21)}{2}\)\(=\frac{10\times24}{2}\)\(=120\)。2、互動環(huán)節(jié)(5分鐘)現(xiàn)在我出一道類似的題目,大家在自己的本子上做一下。已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{b_{n}\}\)中,\(b_{1}=2\),\(n=8\),\(b_{8}=16\),求前8項和\(S_{8}\)。(同學(xué)們做的時候下去巡視,看看同學(xué)們的做題情況,然后找一位同學(xué)上臺來寫解題過程)3、提高例題(5分鐘)例2:已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的首項\(a_{1}=5\),公差\(d=3\),求前20項和\(S_{20}\)。解:根據(jù)公式\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)d}{2}\),這里\(a_{1}=5\),\(n=20\),\(d=3\),那么\(S_{20}=20\times5+\frac{20\times(201)\times3}{2}\)\(=100+\frac{20\times19\times3}{2}\)\(=100+570\)\(=670\)。(五)課堂小結(jié)(3分鐘)1、今天咱們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列前n項和的兩個公式,一個是\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\),另一個是\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)d}{2}\)。2、大家要理解這兩個公式的推導(dǎo)過程,這樣才能更好地記住和運用它們。3、在做題目時,要根據(jù)題目給出的條件,選擇合適的公式來解題。(六)課后作業(yè)1、基礎(chǔ)題已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{c_{n}\}\)中,\(c_{1}=1\),\(n=15\),\(c_{15}=29\),求前15項和\(S_{15}\)。(答案:\(S_{15}=\frac{15\times(1+29)}{2}=225\))已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{d_{n}\}\)的首項\(d_{1}=4\),公差\(d=2\),求前12項和\(S_{12}\)。(答案:\(S_{12}=12\times4+\frac{12\times(121)\times2}{2}=192\))2、提高題一個等差數(shù)列的前n項和\(S_{n}=3n^{2}+2n\),求這個數(shù)列的首項\(a_{1}\)和公差d。(答案:當(dāng)\(n=1\)時,\(a_{1}=S_{1}=3\times1^{2}+2\times1=5\);當(dāng)
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