浙江省強基聯盟2024-2025學年高二上學期10月聯考數學試卷

浙江強基聯盟2024年10月高二聯考數學試題浙江強基聯盟研究院命制考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在空間直角坐標系中，已知點，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，結合向量減法運算的運算法則，即可求解.【詳解】由向量減法運算的運算法則，因為，可得。故選：A.2.直線的傾斜角為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出斜率，然后根據傾斜角與斜率的關系，即可得到結果.詳解】由方程得直線斜率，所以傾斜角.故選:C.3.已知，是兩個不重合的平面，且直線，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由線面、面面關系，結合平面的基本性質判斷線面關系，根據面面垂直的判定判斷線面是否平行，再由充分、必要性定義判斷條件間的充分、必要關系.【詳解】解：由，若，則可能平行或，充分性不成立；由，，由面面垂直的判定知，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.在平面直角坐標系中，直線，則直線過（）A.一、二、三象限 B.一、二、四象限C.二、三、四象限 D.一、三、四象限【答案】D【解析】【分析】用坐標軸上的截距得到大致草圖可解.【詳解】直線在軸上截距為，軸上截距為，畫出直線，發(fā)現直線過一、三、四象限，故選：D.5.設復數滿足，在復平面內對應的點為，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】復數滿足，由復數的模的幾何意義可得：在復平面內對應的點到復數在復平面內對應的點的距離為1，再求解即可.【詳解】解：由在復平面內對應的點為，且復數滿足，由復數的模的幾何意義可得：在復平面內對應的點到復數在復平面內對應的點的距離為1，即，則點的軌跡方程為，故選：D.【點睛】本題考查了復數的模的幾何意義，重點考查了運算能力，屬基礎題.6.已知點，平面，其中，則點到平面的距離是（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據題意，求得和平面的法向量，結合向量的距離公式，即可求解.【詳解】由點，可得，又由，可得向量為平面的法向量，且，則，所以點到平面的距離為.故選：C.7.正八面體結構（正八面體每個面都是正三角形）作為一種對稱穩(wěn)定的幾何結構，在物質世界中具有廣泛的應用.從晶體材料到生物分子，正八面體結構都發(fā)揮著重要作用，影響著物質的性質.如六氟化硫（化學式為）分子結構為正八面體結構，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.則在如圖所示的正八面體中，二面角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖可得為所求的二面角的平面角，后由余弦定理可得答案.【詳解】取中點，連結，，，由正八面體定義可知，為所求的二面角的平面角，不妨設，則，，在中，由余弦定理，得，所以.故選：B.8.已知正三角形的邊長為1，在平面內，若向量滿足，則的最大值為（）A. B.C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的坐標運算，確定出點的軌跡為圓，即可求解.【詳解】以為坐標原點，為軸建立平面直角坐標系，如圖，設，則，，所以，滿足的點坐標滿足：，即在以為圓心，1為半徑的圓上，當，，三點共線，且在如圖所示位置時，最大，因為,所以，，所以.故選：A.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題，共1.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在空間直角坐標系中，已知，，下列結論正確的有（）A. B.C.若，且，則 D.若且，則【答案】BC【解析】【分析】根據題意，得到向量，，，結合空間向量的坐標運算法則，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A，因為，，所以，可得，所以A錯誤；對于B，因，，所以，所以B正確；對于C，若，且，則，解得，所以C正確，對于D，若且，因為，可得，解得，所以D錯誤.故選：BC.10.已知曲線，點在曲線上，則下列結論正確的是（）A.曲線有4條對稱軸 B.的最小值是C.曲線圍成的圖形面積為 D.的最大值是1【答案】ACD【解析】【分析】當時，化簡方程為，結合曲線的對稱性，畫出曲線的圖象，結合圖象，可得判定A正確，把表示曲線上的點到直線的距離的倍，可判定B錯誤；結合圓的面積公式和正方形的面積公式，可判定以C正確；設表示點與點確定的直線的斜率，結合圖象，利用點到直線的距離公式，列出方程，可得判定D正確.【詳解】當時，原方程化為，即，所以曲線是以圓心為，半徑為的圓在第一象限的部分，又由圖象關于軸，軸對稱，所以曲線，如圖所示.，對于A中，由圖象可得，該曲線關于軸，軸，和對稱，所以該曲線有4條對稱軸，所以A正確，對于B中，由表示曲線上的點到直線的距離的倍，結合圖象得，當是時，距離最小值為，所以最小值為，所以B錯誤；對于C中，曲線圍成的圖形由四個直徑為的半圓和一個邊長為的正方形組成，所以面積為，所以C正確；對于D中，設表示點與點確定的直線的斜率，設該直線方程為，結合圖象，當，即，則圓心為，半徑為的圓在第四象限的部分與直線相切時，該切線的斜率是的最大值，由，可得，解得或（舍），則的最大值為1，所以D正確.故選：ACD.11.正方體的棱長為，，分別是，的中點，點在正方體表面上運動，且，記點的軌跡長度為，則下列結論正確的是（）A.B.C.若平面，且點平面，則的最小值為D.若，則【答案】AD【解析】【分析】A選項，得到點的軌跡為以為球心，1為半徑的球與正方體表面的交線，從而求出軌跡長度；B選項，與A同理可得；C選項，作出輔助線，得到點的軌跡是線段，則當時，最小，由勾股定理求出答案；D選項，作出輔助線，得到的軌跡為等腰梯形，求出軌跡總長.【詳解】對于A、B，如圖，等于以為球心，1為半徑的球與正方體表面的交線總長，所以，故A正確；等于以為球心，為半徑的球與正方體表面的交線總長，由于，所以球與過的三個正方體表面沒有交線，與另外三個面的交線長為，故B錯誤；對于C，如圖，取的中點H，的中點，連接，可知，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，故平面平面，則當點平面時，平面，又點平面，所以點的軌跡是線段，則當時，最小，由勾股定理得，即的最小值為，故C錯誤；對于D，因為，所以點與點，，共面，從而點的軌跡為平面與正方體表面的交線，連接，則，故四點共面，畫出交線如圖，所以的軌跡為等腰梯形（如圖），故軌跡總長，故D正確.故選：AD.【點睛】思路點睛：（1）直接連接法：有兩點在幾何體的同一個平面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；（2）作平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長線找交點法：若直線相交但在立體幾何中未體現，可通過作延長線的方法先找到交點，然后借助交點找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個點兩兩都不在一個側面或者底面中，則在作截面時需要作一個輔助平面.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，直線，若，則實數的值為________.【答案】?2【解析】【分析】根據垂直關系得到直線的斜率之積為，得到方程，求出.【詳解】因為，所以兩直線的斜率之積為，即，所以.故答案為：?2.13.已知在直三棱柱中，，，，是的中點，若，則________.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，設，再利用空間向量求解即可.【詳解】以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，設，則由題意：，，，則，，又所以，解得，即.故答案為：.14.在平面直角坐標系中，已知圓，直線，過上一點作圓的切線，切點為A，則的最小值為________.【答案】3【解析】【分析】利用直線與圓的位置關系，結合平面向量數量積的幾何意義將化為，計算即可.【詳解】由題意，則圓的半徑，根據向量數量積的幾何意義，得.所以只要最小即可，當時，，所以的最小值為.故答案為：3四、解答題：本大題共5小題，共7.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知空間三點，，，以向量，為一組鄰邊組成平行四邊形，（1）求點坐標；（2）求平行四邊形的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，根據空間向量的線性運算及平行四邊形法則求解即可；（2）先根據空間向量求出，進而結合面積公式求解即可.【小問1詳解】設，則，，，由平行四邊形法則：，所以，，，即點坐標為.【小問2詳解】由題意，，，，所以，所以.16.如圖，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，，，分別是棱，的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點，以點為原點建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明推理即得.（2）求出平面的法向量，利用線面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】在直三棱柱中，，，取中點，連接，則，過點作，由平面，得平面，則直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，設，則，則，，，設平面的法向量，則，取，得，于是，即，平面，又平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，，，則，，設平面的法向量為，則，取得，又，設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為.17.已知平面直角坐標系中，圓，點，（1）若是圓上的動點，線段的中點為，求的軌跡方程；（2）以為直徑圓交圓于，兩點，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用軌跡方程求法設，可求得的軌跡方程為；（2）求出公共弦的方程，利用點到直線距離以及弦長公式可得.【小問1詳解】設，，則根據題意可得所以可得，代入圓，得，化簡得，的軌跡方程為.【小問2詳解】如下圖所示：因為的中點坐標為，，所以以為直徑的圓的方程為，即.圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距為，半徑和，半徑差的絕對值為，，兩圓相交，由得直線的方程.圓心到直線的距離，圓的半徑，可得，，所以.18.如圖，三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，.（1）若，求三棱錐的外接球的表面積；（2）若異面直線和所成角的余弦值為，點是線段（不含端點）上的一個動點，平面與平面的夾角為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意可知，，兩兩垂直，所以可將其補成正方體，正方體對角線就是外接球的直徑，再根據外接球的表面積計算公式可求解；（2）根據異面直線所稱的角的關系求出，構建空間坐標系，分別求出平面的一個法向量，平面的一個法向量為，再利用空間向量法求出二面角的余弦值取值范圍.【小問1詳解】當時，，，兩兩垂直，可將其補成正方體，正方體的體對角線即為外接球的直徑.所以三棱錐的外接球直徑為：，兩邊平方得，所以.【小問2詳解】如圖，取中點，由題意，，，設，，，.則，，，因為，所成角的余弦值為，所以，得.又，，，解得或（舍去）.所以，此時，這樣，可以以，，分別為，，軸正方向，建立空間直角坐標系（如圖）.則，，，，設，因為點，所以設，，，所以.所以得因為，，設平面的一個法向量，則取，又，，同理可求得平面的一個法向量為.因為平面與平面的夾角為，所以，設，，，則，記，，顯然在上單調遞增，所以，當時，，所以.即的取值范圍是.19.古希臘亞歷山大時期最后一位重要的幾何學家帕普斯（Pappus，公元3世紀末）在其代表作《數學匯編》中研究了“三線軌跡”問題：平面上，到兩條已知直線距離的乘積是到第三條直線距離的平方的倍的動點軌跡為二次曲線（在平面上，由二元二次方程所表示的曲線，叫做二次曲線）.常數的大小和直線的位置等決定了曲線的形狀.為了研究方便，我們設平面內三條給定的直線為，當三條直線中有相交直線時，記，，，動點到直線的距離為，且滿足.閱讀上述材料，完成下列問題：（1）當，時，若，且與的距離為2，點在與之間運動時，求動點的軌跡所圍成的面積.（2）若是等腰直角三角形，是直角，點在內（包括兩邊）運動，試探求為何值時，的軌跡是圓？（3）若是等腰三角形，，點在內（包括兩邊）任意運動，當時，問在此等腰三角形對稱軸上是否存在一點，使為大于1的定值.若存在，求出點的位置，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）當時，的軌跡是圓（3）存在，點為中點【解析】【分析】（1）適當建系，以為軸，為軸，同時，再結合新定義確定軌跡方程即可求解；（2）適當建系，以為坐標原點，為軸，為軸，同時.再結合新定義即可求解；（3）適當建系，以為坐標原點，的角平分線為軸，設，，，結合新定義列出等式即可求解.【小問1詳解】以為軸，為軸，建立平面直角坐標系，，設，因為在，之間，所以，，，由定義得，所以，化簡得，表示以為圓心，1為半徑的圓.所以動點的軌跡圍成的圖形面積.【小問2