專題4.2 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導公式（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

專題4.2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導公式【五大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應用】 3【題型2誘導公式的應用】 3【題型3三角函數(shù)式的化簡、求值】 4【題型4三角恒等式的證明】 4【題型5同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導公式的綜合應用】 51、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導公式考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，，

(2)掌握誘導公式，并會簡單應用2022年浙江卷：第13題，5分2023年全國甲卷（文數(shù)）：第14題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第13題，5分2024年新課標I卷：第4題，5分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第9題，5分同角三角函數(shù)關(guān)系式與誘導公式是三角函數(shù)化簡求值的基礎(chǔ)，是高考數(shù)學的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，主要考察“弦切互化”、同角三角函數(shù)關(guān)系式與誘導公式綜合等內(nèi)容，考查較為靈活，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試題難度中等或偏下.【知識點1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系基本關(guān)系式語言描述平方關(guān)系同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1.商數(shù)關(guān)系同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.2．基本關(guān)系式的變形公式【知識點2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應用技巧】1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“積”轉(zhuǎn)換的解題技巧(1)利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化.(2)形如等類型可進行弦化切.2．注意公式的逆用及變形應用：.3．應用公式時注意方程思想的應用：對于這三個式子，利用，可以知一求二.【知識點3誘導公式的應用的解題策略】1．誘導公式的兩個應用(1)求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.2．含2π整數(shù)倍的誘導公式的應用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進行運算.如.【知識點4同角關(guān)系式和誘導公式的綜合應用的解題策略】1．化簡、求值利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形.注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.2．用誘導公式求值用誘導公式求值時，要善于觀察所給角之間的關(guān)系，利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關(guān)系有與，與，與等，常見的互補關(guān)系與，與，與等.【方法技巧與總結(jié)】1．同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形2．誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.3．同角三角函數(shù)關(guān)系式的注意事項在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號.【題型1同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應用】【例1】（2024·海南·模擬預測）若α∈0,π，且cosα?sinα=12，則tanα=（

）A．4+75 B．4?75 C．【變式1-1】（2023·山西·模擬預測）已知sinα?cosα=15A．?125 B．125 C．?【變式1-2】（2023·全國·模擬預測）已知角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊在直線y=13x上，則sinA．?15或75 B．15或?75【變式1-3】（2023·陜西咸陽·三模）已知方程sin2α+2sinαcosA．?45 B．35 C．?【題型2誘導公式的應用】【例2】（2024·河南信陽·模擬預測）若sinα+π3=1A．14 B．?14 C．±【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）已知tanπ2+θ=1A．35 B．56 C．?5【變式2-2】（2024·四川·模擬預測）已知角α+π3的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點P12,A．?32 B．?12 C．【變式2-3】（2024·全國·模擬預測）已知cosθ?2π5=A．?2 B．2 C．?23 【題型3三角函數(shù)式的化簡、求值】【例3】（2023·云南大理·模擬預測）已知tanα=3，則cos3α?A．?34 B．34 C．?【變式3-1】（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知角α0°<α<360°終邊上A點坐標為sin310°,cos310°，則A．130° B．140° C．220° D．230°【變式3-2】（2024·陜西安康·模擬預測）已知sinαsinπ3?αA．?23 B．?3 C．32【變式3-3】（2023·四川遂寧·模擬預測）已知α為第二象限角，若sin2023π2?α=A．?15 B．15 C．?1515【題型4三角恒等式的證明】【例4】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）設(shè)tanα+8π7【變式4-1】（2024高一·全國·專題練習）求證：(1)sinα?cosα+1(2)2【變式4-2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）（1）求證：tan(2π?α)（2）設(shè)tan(α+8π7【變式4-3】（23-24高一·全國·隨堂練習）求證：(1)sin4(2)sin4(3)cosα【題型5同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導公式的綜合應用】【例5】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知角α的終邊經(jīng)過點P(4(1)求sin((2)求sin3【變式5-1】（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）在①4sin(2023π+α)=3cos(2024π+α)；②已知第四象限角α滿足__________，求下列各式的值.(1)4(2)sin【變式5-2】（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知函數(shù)f(1)化簡fα(2)若fα=?15，求(3)若α∈?π6【變式5-3】（23-24高一下·遼寧大連·階段練習）在單位圓中，銳角α的終邊與單位圓相交于點Pm,32，連接圓心O和P得到射線OP，將射線OP繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ后與單位圓相交于點B(1)求4sin(2)記點B的橫坐標為fθ，若fθ?π一、單選題1．（2024·河南洛陽·模擬預測）已知tanα=2，則5sinα+A．13 B．113 C．52．（2024·湖北荊州·三模）已知sinθ+cosθ=713A．1713 B．713 C．±173．（2024·浙江·模擬預測）已知α∈0,π2，sinα?πA．?223 B．223 4．（2024·山東泰安·模擬預測）已知sin3π2+α=32A．?3 B．?33 C．5．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知sin2π7+α=A．?15 B．±26 C．26．（2024·青海西寧·二模）已知sinα+cosα=3cosαA．?35 B．?45 C．7．（2024·遼寧·三模）已知tanα=12，則sinA．?1 B．1 C．?3 D．38．（2023·山西·模擬預測）已知α,β,γ均是銳角，設(shè)sinαcosβ+sinβcosγ+A．3 B．1513 C．1 D．二、多選題9．（2024·江蘇常州·模擬預測）已知角?α?的終邊與單位圓交于點35,yA．109 B．?109 C．?10．（2024·湖南邵陽·三模）下列說法正確的有（

）A．若角α的終邊過點P12,3B．若cosα+πC．若tanα=2，則D．若扇形的周長為8cm，圓心角為2rad11．（2024·遼寧·模擬預測）設(shè)α為第一象限角,cosα?π8A．sinB．cosC．sinD．tan三、填空題12．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）已知角α的終邊經(jīng)過點P?1,2，則cosπ+α13．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知sinθ?2cosθsin14．（2024·河北·一模）已知x是第二象限角，若cosx?70°=15四、解答題15．（2024·福建三明·模擬預測）已知fx（1）求fπ（2）若fα=1，且α是第三象限角，求16．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）化簡求值.(1)化簡