12.11 勾股定理 同步練習(xí)

第十二章三角形五勾股定理12.11勾股定理基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1勾股定理1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，若∠A+∠C=90°，則有()A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2 C.a2+c2=b2 D.a+b=c2.(2023北京石景山期末)在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=213，則底邊上的高為()A.12 B.23 C.32 D.183.(2021四川成都中考)如圖，數(shù)字代表所在正方形的面積，則A所代表的正方形的面積為.

4.(2023北京通州期末)如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的面積均為1，正方形ABCM，CDEN，MNPQ的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則正方形MNPQ的面積為.

5.(2022北京海淀教師進(jìn)修學(xué)校期中)已知：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10+2，BC=10-2，則斜邊AB邊上的高為.

6.(2021江蘇宿遷中考改編)《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問(wèn)題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深，葭長(zhǎng)各幾何?”題意：如圖，有一個(gè)池塘，其底面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長(zhǎng)在池塘的中央，高出水面的部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與池塘邊垂直的方向拉向池塘邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到池塘邊的C'處，問(wèn)水深和蘆葦長(zhǎng)各多少尺?該問(wèn)題的水深為尺，蘆葦長(zhǎng)為尺.

7.(2020江蘇蘇州中考)如圖，在△ABC中，已知AB=2，AD⊥BC，垂足為D，BD=2CD.若E是AD的中點(diǎn)，則EC=.

8.如圖所示，試求出下列各直角三角形的未知邊的長(zhǎng). 圖1 圖2 圖39.《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地……；翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千OA靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺(AC=1尺)，將它往前推進(jìn)兩步(EB=10尺)，此時(shí)踏板升高離地五尺(BD=5尺)，求秋千繩索OB的長(zhǎng)度.10.類比勾股定理我們規(guī)定兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做倍勾股三角形，例如：某三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，2，5，滿足(3)2+(5)2=2×22，我們就判定該三角形是倍勾股三角形.(1)判斷等邊三角形倍勾股三角形(填是或不是)；

(2)若直角三角形的最短邊為1，且該三角形為倍勾股三角形，求另外兩條邊的長(zhǎng).11.如圖，意大利著名畫家達(dá)·芬奇用兩張一樣的紙片，拼出不一樣的空洞(圖②中的空洞可看成由兩個(gè)正方形和兩個(gè)直角三角形組成，圖③中的空洞可看成由一個(gè)正方形和兩個(gè)直角三角形組成).(1)a，b，c之間滿足的等量關(guān)系是；

(2)若圖③中的空洞的面積為36，∠α=45°，求圖③中正方形的邊長(zhǎng)c.圖① 圖② 圖③知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的驗(yàn)證12.(2021遼寧撫順期末)勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是() A B C D13.(2022吉林長(zhǎng)春朝陽(yáng)期末)我國(guó)古人運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個(gè)全等的直角三角形拼成正方形，通過(guò)證明可得中間的四邊形也是一個(gè)正方形.其中直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c.圖中大正方形的面積可表示為(a+b)2，也可表示為c2+4×12ab，即(a+b)2=c2+4×12ab，所以a2+b2=c如圖②所示，用兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)直角梯形BCDE，其中∠BAE=∠C=∠D=90°，請(qǐng)利用圖②證明a2+b2=c2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為a、b、c.求證：a2c2+a2b2=c4-b4. 圖① 圖②能力提升全練14.(2021山西中考)在勾股定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用如圖所示的圖形去驗(yàn)證勾股定理，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱為“無(wú)字證明”.實(shí)際上它也可用于驗(yàn)證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是()A.統(tǒng)計(jì)思想 B.分類思想 C.數(shù)形結(jié)合思想 D.函數(shù)思想15.(2022北京海淀首師大附中期末)如圖所示的是由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)大正方形組成的圖形，其中陰影部分的面積是()A.16 B.25 C.144 D.16916.(2022浙江湖州中考)在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)，BM=4，BN=2.若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連接PM，PN，則所有滿足∠MPN=45°的△PMN中，邊PM的長(zhǎng)的最大值是()A.42 B.6 C.210 D.3517.(2019浙江寧波中考)勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載.如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩個(gè)正方形按圖2的方式放置在最大的正方形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出() 圖1 圖2A.直角三角形的面積 B.最大的正方形的面積C.較小的兩個(gè)正方形重疊部分的面積 D.最大的正方形與直角三角形的面積和18.(2021湖南常德中考)如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD=3，BD=5，則BE的長(zhǎng)為.

19.(2023北京順義期末)如圖所示的是某路口處草坪的一角，行走路線應(yīng)是A→C→B時(shí)，但有人為了抄近道而避開(kāi)路的拐角∠ACB(∠ACB=90°)，于是在草坪內(nèi)走出了一條不該有的捷徑路AB.某學(xué)習(xí)實(shí)踐小組通過(guò)測(cè)量可知，AC的長(zhǎng)為6米，BC的長(zhǎng)為8米，為了提醒居民愛(ài)護(hù)草坪，他們想在A，B處設(shè)立“踏破青白可惜，多行數(shù)步無(wú)妨”的提示牌.則提示牌上的“多行數(shù)步”是指多行米.

20.(2022內(nèi)蒙古鄂爾多斯中考)如圖，AB⊥BC于點(diǎn)B，AB⊥AD于點(diǎn)A，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若BC=5，AD=10，BE=132，則AB的長(zhǎng)是21.(2022北京延慶期末)如圖，AD、BE為△ABC的高，∠ABC=45°，F(xiàn)是AD與BE的交點(diǎn)，AC=5，BD=2.求線段DF的長(zhǎng)度.素養(yǎng)探究全練22.(2022北京門頭溝期末)如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，過(guò)D作DE∥AC交AB于E.(1)求證：AE=DE；(2)如果AC=3，AD=23，求AE的長(zhǎng).

第十二章三角形五勾股定理12.11勾股定理答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.C根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠B=90°，根據(jù)勾股定理得a2+c2=b2.故選C.2.B如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∴BD=CD=12BC=13在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD=AB2-BD2即底邊上的高為23.故選B.3.答案100解析三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)正好是直角三角形的三邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得到A所代表的正方形的面積=36+64=100.4.答案45解析∵CM=3，CN=6，∠MCN=90°，∴MN2=CM2+CN2=32+62=45，∴正方形MNPQ的面積=MN2=45.5.答案2解析∵∠C=90°，∴由勾股定理得AB=AC2+BC2設(shè)斜邊AB上的高為h，則12AB·h=12×(10+2)(10-2解得h=263.∴AB邊上的高為6.答案12；13解析設(shè)蘆葦長(zhǎng)為x尺，則水深為(x-1)尺，由題可知，C'B=12×10=5(尺)，∠ABC'=90°在Rt△AC'B中，∠ABC'=90°，∴BC'2+AB2=AC'2，∴52+(x-1)2=x2，解得x=13，∴x-1=12.故蘆葦長(zhǎng)為13尺，水深為12尺.7.答案1解析∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE=ED，設(shè)AE=ED=x，CD=y，則BD=2y，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∴AB2=AD2+BD2，∴22=(2x)2+(2y)2，∴x2+y2=1，在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∴EC2=DE2+CD2，∴EC2=x2+y2=1，∴EC=1.8.解析題圖1：∵a2=122+52=169，∴a=13.題圖2：∵(93)2=b2+(82)2，∴b2=243-128=115，∴b=115.題圖3：∵82=(39)2+c2，∴64=39+c2，∴c2=25，∴c=5.9.解析設(shè)OA=OB=x尺，∵EC=BD=5尺，AC=1尺，∴EA=EC-AC=5-1=4(尺)，OE=OA-AE=(x-4)尺，在Rt△OEB中，OE=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺，根據(jù)勾股定理得x2=(x-4)2+102，解得x=14.5.則秋千繩索的長(zhǎng)度為14.5尺.10.解析(1)設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)a2+a2=2a2，得等邊三角形是倍勾股三角形.(2)設(shè)該直角三角形的另外兩條邊的長(zhǎng)為b和c，且1<b<c，根據(jù)勾股定理得12+b2=c2，根據(jù)倍勾股三角形的概念得12+c2=2b2，∴12+12+b2=2b2，∴b2=2，∴b=2，∴c2=12+(2)2=3，∴c=3.11.解析(1)a2+b2=c2.(2)由題可知三角形為直角三角形，且∠α=45°，∴a=b.又∵a2+b2=c2，∴c2=2a2.∵空洞的面積為36，∴c2+2×12ab=2a2+a2=36∴a2=12，∴c2=24，∴c=24=26.12.DA.12ab+12c2+12ab=12(a+b)(a+b)，整理得a2+b2=c2，能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；B.4×12ab+c2=(a+b)2，整理得a2+b2=c2，能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；C.4×12ab+(b-a)2=c2，整理得a2+b2=c2，能證明勾股定理13.證明【嘗試探究】梯形的面積=12(a+b)(b+a)梯形的面積=S△ABC+S△ABE+S△ADE=12ab+12c2+12ab=ab+12c2，∴12(a+b)(b+a)=ab+12c2，∴a【定理應(yīng)用】易知a2+b2=c2.∵a2c2+a2b2=a2(c2+b2)，c4-b4=(c2+b2)·(c2-b2)=(c2+b2)a2，∴a2c2+a2b2=c4-b4.能力提升全練14.C這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱為“無(wú)字證明”，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，故選C.15.B根據(jù)勾股定理得AB=AC2-BC2=∴陰影部分的面積=PE2+PF2=EF2=25.故選B.16.C如圖所示，∵BM=NC=4，BN=CP=2，且∠B=∠C=90°，∴△BMN≌△CNP(SAS)，∴MN=NP，∠BMN=∠CNP，∵∠BMN+∠BNM=90°，∴∠BNM+∠CNP=90°，∴∠MNP=90°，∴△NMP為等腰直角三角形，此時(shí)PM最長(zhǎng)，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根據(jù)勾股定理得MN=NP=22+4則PM=MN2+P17.C設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c，較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為b，較短的直角邊長(zhǎng)為a，由勾股定理得，c2=a2+b2，陰影部分的面積=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)，較小的兩個(gè)正方形重疊部分(長(zhǎng)方形)的寬=a-(c-b)，長(zhǎng)=a，則較小的兩個(gè)正方形重疊部分(長(zhǎng)方形)的面積=a(a+b-c)，∴知道題圖中陰影部分的面積，則一定能求出較小的兩個(gè)正方形重疊部分(長(zhǎng)方形)的面積.故選C.18.答案4解析∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC=3，∠DEB=90°，在Rt△BDE中，∠DEB=90°，BD=5，DE=3，∴BE=BD2-D19.答案4解析在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6米，BC=8米，∴AB=AC2+BC∴AC+BC-AB=6+8-10=4(米)，∴多行4米的路.20.答案12解析如圖，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，∴DE=CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE，∵∠FED=∠BEC，∴△BCE≌△FDE(ASA)，∴DF=BC=5，BE=EF，∴AF=5，BF=2BE=13，在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB=12.21.解析∵AD、BE是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°.∴∠C+∠DAC=90°，∠C+∠DBF=90°，∴∠DAC=∠DBF，∵∠ABC=45°，∴∠DAB=45°.∴∠ABC=∠DAB.∴DA=DB，在△ADC與△BDF中，∠ADC=∠BDF,∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴AC=BF，∴BF=5，在Rt△BDF中，∠BDF=90°，∴DF=BF2-B素養(yǎng)探究全練22.解析(