查補重難點03 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運用（原卷版）

查補重難點03反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運用考點一：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合反比例函數(shù)與一次函數(shù)進行綜合考查的題型是江蘇歷年中考數(shù)學對于函數(shù)考查的重點內容，那么關于反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合專題當中，我們主要涉及到函數(shù)共存問題，交點和不等式（比大小）問題、最值問題以及與幾何綜合壓軸類的題型。無論是哪一類型的題型，在綜合的考察過程當中都是對于反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像和性質有充分的了解，借助數(shù)形結合思想、方程思想、化歸思想等。通過函數(shù)的圖像來得到我們所需要的求解問題。在這過程當中，如果對于這兩類函數(shù)沒有全面的了解，那么在解題過程當中就要花費大家很多的時間而導致其解題效率的降低，那么在解決這三大類型的提醒過程當中，該如何利用這些函數(shù)的性質來進行解題，該專題可供大家在備考階段能夠進行專項的突破。題型1.反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖像共存問題函數(shù)圖象共存問題是一次函數(shù)和反比例函數(shù)當中含有共同的參數(shù)，根據(jù)分類討論的形式，由函數(shù)的圖像特點來判定符合兩個函數(shù)參數(shù)的圖形。解決這類型的題不僅是反比例函數(shù)和一次函數(shù)進行綜合考查，連同二次函數(shù)在內的題型進行考查也是比較常見的，所以解決這類型的問題時，我們先要根據(jù)一次函數(shù)或反比例函數(shù)中參數(shù)的共性，通過分別進行討論的形式逐一進行排除，最終確定滿足要求的函數(shù)圖像。例1．（2023年山東省泰安市中考數(shù)學真題）一次函數(shù)與反比例函數(shù)（a，b為常數(shù)且均不等于0）在同一坐標系內的圖象可能是（

）A．B．

C．

D．

變式1.（2023年湖北省襄陽市中考數(shù)學真題）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．變式2.（2022·廣西·中考真題）已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．題型2.反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)相關問題，牽扯到的知識點比較多，如求它們的函數(shù)解析式，或是通過兩者的圖像相交，需要考生結合兩個函數(shù)解析式轉化成一元二次方程，從而求得交點坐標等。例1.（2023·江蘇·九年級?？计谥校┮阎淮魏瘮?shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A和B兩點，其中有一個交點A的橫坐標是3．(1)求k的值(2)求A，B兩點的坐標．變式1．（2024·福建三明·一模）若正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個交點坐標為，則另一個交點坐標為（）A． B． C． D．變式2．（2023·河南南陽·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，與軸交于點．(1)求與的值；(2)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作直線，使，且與反比例函數(shù)圖象在第一象限內交于點；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用鉛筆作圖）；(3)求點的坐標．題型3.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的大小比較或不等式問題大小比較問題的呈現(xiàn)方式主要以不等式的解集的求解來進行呈現(xiàn)，而滿足條件的不等式的左右兩邊為一次函數(shù)或反比例函數(shù)的形式來存在，所以我們可以通過這類型不等式的左右兩邊的函數(shù)圖像來進行判定是大于小于的情況，從而通過其函數(shù)的交點來確定圖像的位置，滿足的解集。例1．（2023·內蒙古·中考真題）如圖，直線與雙曲線交于點和點，則不等式的解集是（

）A．B．C．或D．或變式1．（2023·山東日照·二模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與y軸相交于點A，與反比例函數(shù)的圖像相交于點、．則時x的取值范圍是（

）

A．或 B． C． D．變式2．（2023·浙江湖州·中考真題）已知在平面直角坐標系中，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個交點中，有一個交點的橫坐標為1，點和點在函數(shù)的圖象上(且)，點和點在函數(shù)的圖象上．當與的積為負數(shù)時，t的取值范圍是(

)A．或B．或C．或D．或題型4.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的面積問題1.三角形的面積型：當一次函數(shù)與反比例函數(shù)結合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．例1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于點、，與反比例函數(shù)的圖象交于點，連接．已知點，的面積是2．(1)求、的值；(2)求的面積．變式1．（2022·江蘇無錫·中考真題）一次函數(shù)y=mx+n的圖像與反比例函數(shù)y=的圖像交于點A、B，其中點A、B的坐標為A（-，-2m）、B（m，1），則△OAB的面積（

）A．3 B． C． D．變式2．（23-24九年級·廣東深圳·階段練習）將反比例函數(shù)y＝的圖象繞坐標原點O逆時針旋轉30°，得到如圖的新曲線A（﹣3，3），B（，）的直線相交于點C、D，則△OCD的面積為（）A．3 B．8 C．2 D．變式3．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，直線與y軸交于點A，與x軸交于點E，點在直線上，的頂點D在x軸上，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點B，C．(1)求a、k的值和點C的坐標；(2)求的面積．題型5.反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題型（新定義）根據(jù)新定義和相關函數(shù)的相關性質（重點考查單調性和最值、對稱性、零點等）解答即可。例1.（2023·江蘇宿遷·中考真題）規(guī)定：若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有三個不同的公共點，則稱這兩個函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”，其公共點稱為“兄弟點”．(1)下列三個函數(shù)①；②；③，其中與二次函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”的是________（填寫序號）；(2)若函數(shù)與互為“兄弟函數(shù)”，是其中一個“兄弟點”的橫坐標．①求實數(shù)a的值；②直接寫出另外兩個“兄弟點”的橫坐標是________、________；(3)若函數(shù)（m為常數(shù)）與互為“兄弟函數(shù)”，三個“兄弟點”的橫坐標分別為、、，且，求的取值范圍．變式1．（2021·江蘇南通·中考真題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”．例如，點是函數(shù)的圖象的“等值點”．（1）分別判斷函數(shù)的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標；如果不存在，說明理由；（2）設函數(shù)的圖象的“等值點”分別為點A，B，過點B作軸，垂足為C．當?shù)拿娣e為3時，求b的值；（3）若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出m取值范圍．考點二：反比例函數(shù)與幾何綜合壓軸反比例函數(shù)與幾何綜合問題，是是歷年來江蘇中考的熱點，常見于中考試卷的壓軸題中，其融合了幾何最值、特殊平行四邊形、特殊三角形的性質、（全等）相似三角形的判定及性質、等角（倍角）的應用等數(shù)學核心知識，考查了學生的分類討論、數(shù)形結合、轉化化歸等數(shù)學思想、綜合分析和應用知識的能力。題型1.反比例函數(shù)與最值問題反比例函數(shù)中的最值主要分兩類：（1）面積類最值：常將幾何圖形的面積轉化為代數(shù)式，利用函數(shù)求出代數(shù)式的最值即可；（2）長度類最值：①多線段和差類：常用將軍飲馬模型、費馬點模型、阿氏圓模型、胡不歸模型解答，②單線段最值：常用瓜豆原理（模型）、隱圓模型解答；例1．（2023·江蘇連云港·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知一次函數(shù)與坐標軸分別交于，兩點，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內交于，兩點，連接，的面積為．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式．(2)當時，請你直接寫出的取值范圍．(3)若為線段上的一個動點，當最小時，求的面積．變式1.（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，一次函數(shù)的圖像與軸相交于點，與反比例函數(shù)圖像相交于點．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)點在點的左側，過點作軸平行線，交反比例函數(shù)的圖像于點，連接．設點的橫坐標為，求當為何值時，的面積最大，這個最大值是多少？變式2．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點，頂點A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．(1)分別求反比例函數(shù)的表達式和直線所對應的一次函數(shù)的表達式；(2)在x軸上是否存在一點P，使周長的值最?。舸嬖?，求出最小值；若不存在，請說明理由．

題型2.反比例函數(shù)與圖形變換（軸對稱、平移、旋轉）反比例函數(shù)與圖形變換主要運用反比例函數(shù)自身的性質及K的幾何意義和軸對稱、平移、旋轉的相關性質解題即可。例1．（2023·江蘇常州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于兩點，與軸交于點，過作軸于點，已知，．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)表達式；(2)將線段沿直線向下平移得到線段，使得平移后的的中點恰好落在雙曲線上，求線段平移的距離．

變式1．（2023·江蘇南京·二模）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”．例如，點是函數(shù)的圖象的“等值點”．(1)分別判斷函數(shù)，的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標；如果不存在，說明理由；(2)設函數(shù)，的圖象的“等值點”分別為點，，過點作軸，垂足為．當?shù)拿娣e為時，求的值；(3)若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為，當，兩部分組成的圖象上恰有個“等值點”時，請直接寫出的取值范圍．變式2．（2023·四川成都·三模）直線：與y軸交于點C，反比例函數(shù)的圖象交于點、B．(1)求a的值及B的坐標；(2)在x軸上存在點D，使，求點D的坐標；(3)如圖2，將反比例函數(shù)的圖象沿直線：翻折得到一個封閉圖形（圖中陰影部分），若直線：與此封閉圖形有交點，求出滿足條件的k的取值范圍．

題型3.反比例函數(shù)與相似（位似）、全等反比例函數(shù)與相似（位似）、全等問題，一般字母未對齊，故存在分類討論的情形，縱然這類題型，放在以函數(shù)為背景的題型中，與反比例函數(shù)結合，相似三角形分類討論的解題技巧，仍沒有發(fā)生變化，故掌握了解題方法或解題技巧，受益的不只是一道題，而是一類型題的解決。例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，兩點，點C在x軸負半軸上，．(1)______，______，點C的坐標為______．(2)點P在x軸上，若以B，O，P為頂點的三角形與相似，求點P的坐標．

變式1．（2024·四川成都·一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于點A、點B，將直線向下平移b個單位后雙曲線交于點C、點D，M是第二象限內一點，連接、，若以M為位似中心的與位似，位似比為，則b的值為．

變式2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點，與軸交于點．(1)_________，_________；(2)連接并延長，與反比例函數(shù)的圖像交于點，點在軸上，若以、、為頂點的三角形與相似，求點的坐標．題型4.反比例函數(shù)與特殊圖形（三角形、四邊形）解反比例函數(shù)與特殊圖形（三角形、四邊形）的綜合題，一般先設出幾何圖形中的未知數(shù)，然后結合函數(shù)的圖像用含未知數(shù)的式子表示出幾何圖形與圖像的交點坐標，再由函數(shù)解析式及幾何圖形的性質寫出含未知數(shù)及待求字母系數(shù)的當成（組），解方程（組）即可得所求幾何圖形的未知量或函數(shù)解析式中待定字母的值。特殊幾何圖形的存在性問題解題思想：（1）找點構成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四邊形等問題；（2）找點構成三角形全等、相似問題；（3）求點的坐標。例1．（2023·江蘇連云港·二模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于，兩點，與x軸相交于點C．(1)求m和n的值；(2)若點在該反比例函數(shù)的圖像上，且它到y(tǒng)軸的距離小于3，則f的取值范圍是；（直接寫出答案）(3)以為邊在右側作菱形．使點D在x軸正半軸上，點E在第一象限，雙曲線交于點F，連接，則的面積為．（直接寫出答案）

變式1．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，直線、與雙曲線分別相交于點．若四邊形的面積為4，則的值是（

）

A． B． C． D．1變式2．（2023·山東泰安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)且交于、兩點，與軸、軸分別交于、兩點，連接、若；，點的坐標為(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)連接，若點是軸上一點，且是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標．題型5.反比例函數(shù)與角度問題（等角、倍角、特殊角）

1）特殊角問題：（1）利用特殊角的三角函數(shù)值找到線段之間的數(shù)量關系；（2）

遇到特殊角可以構造特殊三角形，如遇到45°構造等腰直角三角形，遇到30°、60°構造等邊三角形，遇到90°構造直角三角形。2）角的數(shù)量關系問題（1）等角問題：基于動點構造某個角使其與特定已知角相等，主要借助特殊圖形的性質、全等和相似的性質或構造圓，利用圓周角的性質來解決；（2）倍角問題：基于動點構造某個角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分線的性質、等腰三角形的性質、對稱、輔助圓等知識來解答；例1．（2019·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點和點是反比例函數(shù)圖象上的兩點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸交于點，與軸交于點，過點作軸，垂足為，連接．已知與的面積滿足．（1）＝_____，＝_____；（2）已知點在線段上，當時，求點的坐標．變式1．（2023·江蘇泰州·模擬預測）已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B．(1)直接寫出A、B兩點的坐標（用含有a的代數(shù)式表示）；(2)當時，在雙曲線位于直線下方的圖象上找一點D，使得，求出點D的坐標；(3)點C在y軸上，坐標為，且直線過一定點，試判斷的值是否會發(fā)生變化．若不變化，請求出該值；若變化，請說明理由．變式2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，在平面直角坐標系中，點在反比例函數(shù)的圖象上，點O為坐標原點，直線交反比例函數(shù)圖象于另一點B，點C是反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上的任意一點，與點A不重合，過點A作軸，過點C作軸，點E為垂足，相交于點D，連接．(1)______；(2)求證：：(3)當時，求的長．題型6.反比例函數(shù)與新定義幾何圖形例1．（2023·四川成都·一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點．與坐標軸交于C、D兩點，連接、，已知，的面積為1．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)P是線段的中點，直線向上平移個單位長度后，將的面積分成兩部分，求b的值；(3)我們把只有一組鄰邊相等，且只有一組對角為直角的四邊形，叫作“直角等補形”；設M為y軸負半軸上一點，N為平面內一點，當四邊形是直角等補形時，求點M的坐標．變式1．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)當時，根據(jù)圖象直接寫出自變量x的取值范圍；(3)我們把對角線與一邊垂直的平行四邊形叫做“鉛垂平行四邊形”．設C是第一象限內反比例函數(shù)圖象上一點，點在x軸上方，當以為頂點的四邊形是“鉛垂平行四邊形”時，求點的坐標．課后訓練1．（2023年安徽中考數(shù)學真題）已知反比例函數(shù)在第一象限內的圖象與一次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為（

）

A．

B．

C．

D．

2．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于兩點，且與反比例函數(shù)在第一象限內的圖象交于點．若點坐標，則的值是（

）．

A． B． C． D．3．（2023·廣西南寧·一模）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，點P在以為圓心，1為半徑的圓上，點Q是的中點，且長的最大值為1.5，則k的值為（

）A． B． C． D．4．（2023·山東日照·二模）在平面直角坐標系中，P是雙曲線上的一點，點P繞著原點O順時針旋轉的對應點落在直線上則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．5．（2024·河北石家莊·一模）如圖，直線及反比例函數(shù)的圖象與兩坐標軸之間的陰影部分（不包括邊界）有5個整點（橫、縱坐標都為整數(shù)），則的取值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（2021·江蘇南通·中考真題）平面直角坐標系中，直線與雙曲線相交于A，B兩點，其中點A在第一象限．設為雙曲線上一點，直線，分別交y軸于C，D兩點，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．87．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點軸于點．一次函數(shù)與交于點，若為的中點，則的值為．

8．（2024·江蘇·模擬預測）如圖，和y＝x的圖像，若一個數(shù)x大于它的倒數(shù)，可知x的取值范圍是．9．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·二模）在平面直角坐標系中，若雙曲線與直線恰有1個交點，則的值是．10．（2023·江蘇常州·一模）定義：函數(shù)圖像上到兩坐標軸的距離都不大于的點叫做這個函數(shù)圖像的“n階好點”．例如點是函數(shù)圖像的“1階好點”；點是函數(shù)圖像的“2階好點”，若y關于x的二次函數(shù)圖像的“3階好點”一定存在，則a的取值范圍為．11．（2023·四川成都·一模）如圖，反比例函數(shù)的圖形過點A，反比例函數(shù)的圖象與直線交于點B，C，已知，則；過點A分別作y軸和x軸的平行線，分別交反比例函數(shù)的圖象于點D和E，連接交y軸于G，連接交x軸于點F，當?shù)拿娣e為1時，．

12．（2024·湖南衡陽·模擬預測）定義新運算：，即的取值為，，的中位數(shù)，例如：，，已知函數(shù)與直線有個交點時，則的取值范圍為．13.（2023·江蘇·中考真題）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點、．C是y軸上的一點，連接、．(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達式；(2)若的面積是6，求點C的坐標．14．（2023·四川成都·三模）如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，與反比例函數(shù)的圖像交于，兩點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式：(2)點是反比例函數(shù)圖像在第一象限上的點，且，請求出點的坐標；(3)反比例函數(shù)具有對稱性，適當平移就可發(fā)現(xiàn)許多神奇的現(xiàn)象．將該雙曲線在第一象限的一支沿射線方向平移，使其經(jīng)過點，再將雙曲線在第三象限的一支沿射線方向平移，使其經(jīng)過點，平移后的兩條曲線相交于，兩點，如圖2，此時平移后的兩條曲線圍成了一只美麗的“眸”，為這只“眸”的“眸徑”，請求出“眸徑”的長．

15．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點，與軸交于點，與軸交于點，軸于點，，點關于直線的對稱點為點．(1)點是否在這個反比例函數(shù)的圖像上？請說明理由；(2)連接、，若四邊形為正方形．①求、的值；②若點在軸上，當最大時，求點的坐標．

16．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與反比例函數(shù)的圖象交于點．(1)求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)點是線段上一點（不與，重合），過點作軸的平行線與該反比例函數(shù)的圖象交于點，連接，，，當時，求點的坐標；(3)如圖，在（）的前