2025屆內(nèi)蒙古集寧第一中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆內(nèi)蒙古集寧第一中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知角的終邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的值為（）A. B.C. D.2．下列函數(shù)中，最小正周期是且是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.3．設(shè)函數(shù)f(x)＝x－lnx，則函數(shù)y＝f(x)（）A.在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)B.在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn)C.在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn)D.區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)4．下列各式中成立的是A. B.C. D.5．正方形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，那么A. B.C. D.6．用二分法求方程的近似解時(shí),可以取的一個(gè)區(qū)間是A. B.C. D.7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，若sinα=13A.-13C.-228．已知命題：“，方程有解”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.9．設(shè)，且，則（）A. B.C. D.10．下列說法正確的是（）A.向量與共線，與共線，則與也共線B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C.向量與不共線，則與都是非零向量D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．命題，，則為______.12．已知函數(shù)，則________.13．若，則的定義域?yàn)開___________.14．已知集合，若，求實(shí)數(shù)的值.15．如圖，扇環(huán)ABCD中，弧，弧，，則扇環(huán)ABCD的面積__________16．設(shè)b＞0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象為下列之一，則a的值為______________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且的圖像有一條對(duì)稱軸為.（1）求的解析式及最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.18．已知圓，直線.（1）若直線與圓交于不同的兩點(diǎn),當(dāng)時(shí)，求的值.（2）若是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，探究：直線是否過定點(diǎn)；（3）若為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，求四邊形的面積的最大值.19．已知(1)化簡(jiǎn)(2)若是第三象限角,且，求的值20．對(duì)于定義在上的函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得，那么稱是函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．已知（1）當(dāng)時(shí)，求的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，，且①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②設(shè)，求證在上至少有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)21．已知不過第二象限的直線l：ax-y-4=0與圓x2+（y-1）2=5相切（1）求直線l的方程；（2）若直線l1過點(diǎn)（3，-1）且與直線l平行，直線l2與直線l1關(guān)于直線y=1對(duì)稱，求直線l2的方程

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】求出，由三角函數(shù)定義求得，再由誘導(dǎo)公式得結(jié)論【詳解】依題有，∴，∴.故選：D2、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性和奇偶性對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，的最小正周期是，且是奇函數(shù)，A正確.B選項(xiàng)，的最小正周期是，且是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，的最小正周期為，且是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，的最小正周期是，且是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：A3、D【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再由零點(diǎn)存在定理得零點(diǎn)所在區(qū)間【詳解】當(dāng)x∈時(shí)，函數(shù)圖象連續(xù)不斷，且f′(x)＝－＝<0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減又＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函數(shù)f(x)有唯一的零點(diǎn)在區(qū)間(1，e)內(nèi)故選：D4、D【解析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則分別驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】中，中，，中，；且等式不滿足指數(shù)運(yùn)算法則，錯(cuò)誤；中，，錯(cuò)誤；中，，則，錯(cuò)誤；中，，正確.故選：【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】由題意點(diǎn)，分別是，中點(diǎn)，求出，，然后求出向量即得【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，點(diǎn)得是的中點(diǎn)，所以，所以，故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義，注意中點(diǎn)關(guān)系與向量的方向，考查基本知識(shí)的應(yīng)用。屬于基礎(chǔ)題。6、A【解析】分析：根據(jù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷詳解：令，因?yàn)椋?，所以可以取的一個(gè)區(qū)間是，選A.點(diǎn)睛：零點(diǎn)存在定理的主要內(nèi)容為區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，是判斷零點(diǎn)存在的主要依據(jù).7、B【解析】根據(jù)終邊關(guān)于y軸對(duì)稱可得關(guān)系α+β=π+2kπ,k∈Z，再利用誘導(dǎo)公式，即可得答案；【詳解】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，∴α+β=π+2kπ,k∈Z，∵sinα=∴sin故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查角的概念和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.8、B【解析】由根的判別式列出不等關(guān)系，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】“，方程有解”是真命題，故，解得：，故選：B9、C【解析】將等式變形后，利用二次根式的性質(zhì)判斷出，即可求出的范圍.【詳解】即故選：C【點(diǎn)睛】此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解，屬于簡(jiǎn)單題目.10、C【解析】根據(jù)共線向量（即平行向量）定義即可求解.【詳解】解：對(duì)于A：可能是零向量，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：兩個(gè)向量可能在同一條直線上，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)榕c任何向量都是共線向量，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：平行向量可能在同一條直線上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、，【解析】由全稱命題的否定即可得解.【詳解】因?yàn)槊}為全稱命題，所以為“，”.故答案為：，.12、7【解析】根據(jù)題意直接求解即可【詳解】解：因?yàn)椋?，故答案為?13、【解析】使表達(dá)式有意義，解不等式組即可.【詳解】由題，解得，即，故答案為：.【點(diǎn)晴】此題考函數(shù)定義域的求法，屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】根據(jù)題意，可得或，然后根據(jù)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】由題可知：集合，所以或，則或當(dāng)時(shí)，，不符合集合元素的互異性，當(dāng)時(shí)，，符合題意所以【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.15、3【解析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出，，再由根據(jù)扇形的面積公式求解即可.【詳解】設(shè),因?yàn)榛。?，，所以，，所以，，又扇形的面積為，扇形的面積為，所以扇環(huán)ABCD的面積故答案為：316、-1【解析】根據(jù)題中條件可先排除①,②兩個(gè)圖象，然后根據(jù)③，④兩個(gè)圖象都經(jīng)過原點(diǎn)可求出a的兩個(gè)值，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向就可確定a的值.【詳解】∵b＞0∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸不能為y軸，∴可排除掉①,②兩個(gè)圖象∵③，④兩個(gè)圖象都經(jīng)過原點(diǎn)，∴a2﹣1＝0，∴a＝±1∵當(dāng)a＝1時(shí)，二次函數(shù)圖象的開口向上，對(duì)稱軸在y軸左方，∴第四個(gè)圖象也不對(duì)，∴a＝﹣1，故答案為：-1【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，做題時(shí)注意題中條件的利用，合理地利用排除法解決選擇題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】（1）由函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)且f（x）的圖象有一條對(duì)稱軸為直線，可得最大值A(chǔ)，且能得周期并求得ω，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間【詳解】（1）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，且f（x）的圖象有一條對(duì)稱軸為直線，故最大值A(chǔ)＝4，且,∴，∴ω＝3所以.因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，.因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)?，所以，，所以，，即的單調(diào)遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+）的性質(zhì)求解析式，通常由函數(shù)的最大值求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出的值，考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于基礎(chǔ)題18、（1）；（2）直線過定點(diǎn)；（3）【解析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合點(diǎn)到的距離，可求的值；（2）由題意可知：、、、四點(diǎn)共圓且在以為直徑的圓上，、在圓上可得直線，的方程，即可求得直線是否過定點(diǎn)；（3）設(shè)圓心到直線、的距離分別為，．則，表示出四邊形的面積，利用基本不等式，可求四邊形的面積最大值【詳解】解：（1），點(diǎn)到的距離，（2）由題意可知：、、、四點(diǎn)共圓且在以為直徑的圓上，設(shè)，其方程為：，即，又、在圓上，即由，得，直線過定點(diǎn)）（3）設(shè)圓心到直線、的距離分別為，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取“”四邊形的面積的最大值為19、(1);(2).【解析】分析：(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即得，(2)先根據(jù)誘導(dǎo)公式得，再根據(jù)平方關(guān)系求，即得的值.詳解：(1).(2)由，得：∵是第三象限角,∴則點(diǎn)睛：本題考查誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系，考查基本求解能力.20、（1）的不動(dòng)點(diǎn)為和；（2）①，②證明見解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令，即可求解；（2）①由題意，得到的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式即可求解；②把可化為，設(shè)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，根據(jù)是方程的實(shí)數(shù)根，得出，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，方程可化為，解得或，所以的不動(dòng)點(diǎn)為和（2）①因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，，所以方程，即的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，記，則的零點(diǎn)為和，因?yàn)?，所以，即，解?所以實(shí)數(shù)的取值范圍為②因?yàn)榉匠炭苫癁?，即因?yàn)?，，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根設(shè)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，不妨設(shè)因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，且，，，所以記，因?yàn)?，且，所以是方程的?shí)數(shù)根，所以1是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，，因?yàn)?，所以，，且的圖象在上的圖象是不間斷曲線，所以，使得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，綜上，在上至少有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)【點(diǎn)睛】利用函數(shù)的圖象求解方程的根的個(gè)數(shù)或研究不等式問題的策略：1、利用函數(shù)的圖象研究方程的根的個(gè)數(shù)：當(dāng)方程與基本性質(zhì)有關(guān)時(shí)，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程的根就是函數(shù)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程的根據(jù)就是函數(shù)和圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；2、利用函數(shù)研究不等式：當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.21、（1）2x-y-4=0（2）2x+y-9=0【解析】（1）利用直線l與圓x2+（y-1）2=5相切，，結(jié)合直線l不過第二象限，求出a，即可求直線l的方程；（2）直線l1的方程為2x-y+b=0，直線l1過點(diǎn)（3，-1），求出b，即可求出直線l1的方程；利用直線l2與l1關(guān)于y=1對(duì)稱，求出直線的斜率，即可求直線l2的方程【詳解