專項訓(xùn)練卷（四） 第九章 統(tǒng)計中基本量的運算（解析版）-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下冊新考向多視角同步訓(xùn)練（人教A版2019）

2020-2021學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)下冊新考向多視角同步訓(xùn)練

專項訓(xùn)練卷（四）第九章統(tǒng)計中基本量的運算

試卷滿分：150分考試時長：120分鐘

注意事項：

1.本試題滿分150分，考試時間為120分鐘.

2.答卷前務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號填涂在答題紙上.

3.使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰.超出答題區(qū)書寫的答案無

效；在草稿紙、試題卷上答題無效.

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.（2021?全國高三專題練習(xí)（理））設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)%,電，…，Z的方差為001，則數(shù)據(jù)

10玉，10尤2,…，10x”的方差為（）

A.0.01B.0.1C.1D.10

【答案】C

【分析】

根據(jù)新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)關(guān)系確定方差關(guān)系，即得結(jié)果.

【詳解】

因為數(shù)據(jù)叫+。，（，=1,2,1.）的方差是數(shù)據(jù)芍（『=1,2,1,般）的方差的一倍,

所以所求數(shù)據(jù)方差為102x0.01=1，

故選：C.

2.（2021?吉林長春市?長春外國語學(xué)校高二開學(xué)考試）某班有50名學(xué)生，男女人數(shù)不等.隨機詢問了該班5

名男生和5名女生的某次數(shù)學(xué)測試成績，用莖葉圖記錄如則下：則下列說法一定正確的是（）

男生成績女生成績

4209333

86888

A.這種抽樣方法是一種分層抽樣

B.這5名男生成績的中位數(shù)大于這5名女生成績的中位數(shù)

C.該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)

D.這5名男生成績的標(biāo)準(zhǔn)差大于這5名女生成績的標(biāo)準(zhǔn)差

【答案】D

【分析】

根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)依次分析各選項即可得答案.

【詳解】

對于A選項，由于班級男女人數(shù)不等，故若是分層抽樣，則其所得樣本的男女人數(shù)比不相等，故A選項錯

誤;

對于B選項，這5名男生成績的中位數(shù)是90,這5名女生成績的中位數(shù)是93,故B選項錯誤;

對于C選項，從樣本中無法估計該班男生的平均數(shù)和女生的平均數(shù)，故C選項錯誤:

對于D選項，這5名男生成績的成績均分為90,標(biāo)準(zhǔn)差為

這5名女生成績的成績均分

為91,標(biāo)準(zhǔn)差為=瓜故D選項正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查根據(jù)莖葉圖分析統(tǒng)計結(jié)論，考查數(shù)據(jù)分析處理能力，運算求解能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在

于掌握分層抽樣的核心在于等比例抽樣，中位數(shù)需要從小到大或者從大到小排序后再計算等.

3.（2021?安徽高三開學(xué)考試（理））我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居

民用水情況進(jìn)行了調(diào)查,通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位:噸），將數(shù)據(jù)按照［0,0.5）,

［0.5,1）,…，［4,4.5］分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.則估計全市居民月均用水量的中位數(shù)

是（）

A.2.25噸B.2.24噸C.2.06噸D.2.04噸

【答案】D

【分析】

利用中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的求解即可.

【詳解】

由頻率分布直方圖可知，月用水量在［0,0.5）的頻率為0.08x0.5=0.04.

同理，在[0.5』)，[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]等組的頻率分布為0.08,0.21,0.25,

0.06,0.04，0.02.由l-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=2x0.5xa,解得a=0.30,設(shè)

中位數(shù)為x噸.因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，前4組的頻率之和

為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,所以Z,x<2.5.由0.50x(x—2)=0.5-0.48,解得x=2.04.

故選：D

【點睛】

利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時，應(yīng)注意三點：①最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是

眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布宜方圖的"重心"，等于頻

率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.

4.(2021?安徽滁州市?高二期末(理))"脫口秀大賽”上選手的分?jǐn)?shù)分為觀眾評分和嘉賓評分.組織方將觀眾

評分按照[70,80),[80,90),[90,100]分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.嘉賓評分的平均數(shù)為工，觀

眾評分的平均數(shù)為三，中位數(shù)為％中，則下列選項正確的是()

嘉賓ABcDEF

評分969796899798

A.尤中>X1>X2B.>X2>X]

C.%%/D.X2>\

【答案】C

【分析】

根據(jù)頻率分布直方圖分別計算出（，1，無中即可判斷.

【詳解】

96+97+96+89+97+98573…

由表格中的數(shù)據(jù)可知，X二二-------------------------------------------------------=---------=95.5,

66

由頻率分布直方圖可知，/=75x0.2+85x0.3+95x0.5=88,%中=90,

則X]>X中>當(dāng).

故選：C.

5.（2021?江西鷹潭市?高二期末（文））在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，我國有關(guān)機構(gòu)規(guī)定：該事件在一段時

間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標(biāo)志為"連續(xù)1（）天每天新增加疑似病例不超過7人”.根據(jù)過去1（）天甲、乙、丙、

丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（）

A.甲地總體均值為3,中位數(shù)為4B.乙地總體均值為2,總體方差大于0

C.丙地中位數(shù)為3,眾數(shù)為3D.丁地總體均值為2,總體方差為3

【答案】D

【分析】

通過舉反例可判斷ABC選項的正誤；假設(shè)石028,利用方差公式推出矛盾，可判斷D選項合乎要求.

【詳解】

對于A選項，反例：0、0、1、1、4、4、4、4、4-8,滿足中位數(shù)為4,均值為3,與題意矛盾,

A選項不合乎題意；

對于B選項，反例：0、1、1、1、1、1、1、2、4、8,滿足均值為2,方差大于0,與題意矛盾，B

選項不合乎題意；

對于C選項，反例：0、1、1、3、3、3、3、3、3、8,滿足中位數(shù)為3,眾數(shù)為3,與題意矛盾，C

選項不合乎要求；

對于D選項，將10個數(shù)由小到大依次記為X］、々、七、4、/、4、/、/、/、玉0，

102

假設(shè)與之8,若均值為2,則方差為2_50廠2）&°-2）2,矛盾，故/<8,

S=N-■3.0

1010

假設(shè)不成立，故丙地沒有發(fā)生規(guī)模群體感染，D選項合乎要求.

故選：D.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵在于以下兩點：

（1）在判斷選項不成立時，可通過舉反例來推導(dǎo)：

（2）在判斷D選項時，可假設(shè)%（）28,利用反證法來進(jìn)行推導(dǎo).

6.（2021?四川涼山彝族自治州?高二期末（文））如圖，是根據(jù)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績畫出的頻

率分布直方圖，若由直方圖得到的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）

分別為4,"C,則（）

a+c,b+c

A.b>a>cB.a>b>c------>bD.---->a

22

【答案】B

【分析】

根據(jù)頻率分布直方圖讀出眾數(shù)a,計算中位數(shù)b,平均數(shù)c,再比較大小.

【詳解】

由頻率分布直方圖可知：眾數(shù)。=四出=75；

2

中位數(shù)應(yīng)落在70-80區(qū)間內(nèi)，則有：0.01x10+0.015x10+0.015x10+0.03x0-70)=0.5,解得:

武當(dāng)=73工

33

40+5050+6060+70

平均數(shù)c=0.01xl0x-------i-0.015xl0x-------b0.015xl0x-------1-

222

70+80八八cu80+90八八，八90+100

0.03xl0x------1-0.025xlOx------+0.005xlOx

222

=4.5+8.25+9.75+22.5+21.25+4.75=71

所以a>6>c

故選：B

【點睛】

從頻率分布直方圖可以估計出的幾個數(shù)據(jù)：

⑴眾數(shù)：頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo)；

（2）平均數(shù)：頻率分布直方圖每組數(shù)值的中間值乘以頻率后相加;

⑶中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于y軸的直線橫坐標(biāo).

7.（2021?青銅峽市高級中學(xué)高二期末（文））甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人

的測試成績?nèi)缦卤恚?S2，S3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）

甲的成績

A.S3>5,>S2B.S2>5,>S3c.S,>S2>S3D,S2>S3>

【答案】B

【分析】

分別根據(jù)平均數(shù)和方差公式，計算結(jié)果.

【詳解】

=1.25,

（7+10）x6+（8+9）x4

租==8.5,

20

6x［（7-8.5）2+（10—8.5）［+4x［（8-8.5）2+^9_85^

S；=1.45,

20

（7+10）x4+（8+9）x6

工丙=8.5,

20

4X［（7-8.5）2+（10-8.5）2］+6X［（8-8.5）2+（9-8.5）2

=1.05,

20

由S；>S；>S；,得S2>S>S3.

故選：B

【點睛】

結(jié)論點睛：本題考查平均數(shù)和方差的計算,

1.平均數(shù)x=」——=-------

n

（司—可2+（”a+…+（當(dāng)—可2.

2.方差/

n

（X1-X）-+（x-X）-+...+（%?-X）2

3.標(biāo)準(zhǔn)差$=2

n

4.平均數(shù)大說明樣本的平均水平高，方差和標(biāo)準(zhǔn)差大說明樣本比較分散，與平均水平差距較大，不穩(wěn)定.

8.（2020?全國高三專題練習(xí)（理））氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于

22℃WM.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，單位：。C）：

①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22；

②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24；

③丙地：5個數(shù)據(jù)中有1個數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,總體方差為10.8.

其中肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有（）

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

【答案】B

【分析】

由已知得甲數(shù)據(jù)的前3個一定為22，22，24,則符合進(jìn)入夏季的標(biāo)準(zhǔn)；

若假設(shè)乙組數(shù)據(jù)的后3個均為27,利用均值為24可得，前兩個數(shù)據(jù)之和為39,假設(shè)前兩個數(shù)據(jù)分別為19,

20,則不符合進(jìn)入夏季的標(biāo)準(zhǔn)；

對于丙地，可設(shè)其余四個數(shù)分別為王，超，七，4，假設(shè)其中有小于22的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)其總體方差為10.8

得出矛盾，可判斷斗，x2,x3,%均不小于22,符合進(jìn)入夏季的標(biāo)準(zhǔn).

【詳解】

甲地的5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22,則甲地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)中必有22,22,24,

其余2天的記錄數(shù)據(jù)大于24,且不相等，故甲地符合進(jìn)入夏季的標(biāo)準(zhǔn)；乙地的5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總

體均值為24,當(dāng)5個數(shù)據(jù)為19,20,27,27,27時，其連續(xù)5天的日平均溫度中有低于22℃的，此

時乙地不符合進(jìn)入夏季的標(biāo)準(zhǔn)；

丙地的5個數(shù)據(jù)中有1個數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,設(shè)其余4個數(shù)據(jù)分別為再，%2.W，%，則總體方

差

222

[(32-26)2+(內(nèi)一26)+(%-26)2+(%3-26)+(x4-26)]

=7.2+([(玉—26)2+伍—26)2+(^—26)2+小一26)?,

若再，x2,x3,&有小于22的數(shù)據(jù)時，則/27.2+5=12.2，即S2>]Q8,不滿足題意，所以再，x2,

X3,4均大于或等于22,故內(nèi)地符合進(jìn)入夏季的標(biāo)準(zhǔn).

綜上所述，肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有①③.

故選：B.

【點睛】

解答本題時，主要難點在于乙地和丙地數(shù)據(jù)的判斷，可根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、均值等取特殊值進(jìn)行判斷是否

成立.

二、多項選擇題（本大題共4小題，共20.0分）

9.（2021?山東高三專題練習(xí)）2020年突如其來的新冠肺炎疫情對房地產(chǎn)市場造成明顯的沖擊，如圖為某市

2020年國慶節(jié)7天假期的樓房認(rèn)購量與成交量的折線圖，某同學(xué)根據(jù)折線圖對這7天的認(rèn)購量（單位：套）

102日3口4日5H607B

一_?--認(rèn)購—?—成交

A.日成交量的中位數(shù)是16

B.日成交量超過平均成交量的只有1天

C.10月7日認(rèn)購量量的增長率大于10月7日成交量的增長率

D.日認(rèn)購量的方差大于日成交量的方差

【答案】BD

【分析】

根據(jù)拆線圖判斷各數(shù)據(jù)特征后判斷各選項.

【詳解】

由拆線圖日成交量的中位數(shù)是26,A錯;

13+8+32+16+26+38+166

II成交量均值為?42.7,大于均值的只有一天，B正確;

7

276—112.r..J*166—38

10月7日認(rèn)購量量的增長率為y=—————?1.464,成交量的增長率為y2=———?3.368,顯然C

錯;

223+105+91+107+100+112+276

日認(rèn)購量的均值為?144.857

7

由各數(shù)據(jù)與均值的差可以看出日認(rèn)購量的方差大于日成交量的方差，D正確.

故選：BD.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查統(tǒng)計圖表，考查拆線圖的識別.解題關(guān)鍵是由拆線圖得出各數(shù)據(jù)，然后求得各數(shù)據(jù)

特征.如中位數(shù)，均值，增長率，方差，解題中還要善于估值，如本題中的方差，從而大致比較出大小.

10.（2019?沂水縣第二中學(xué)高二月考）已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個，另外六個數(shù)據(jù)分別是10、8、8、11、

16、8,若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失的數(shù)據(jù)可能為（）

A.9B.12C.23D.27

【答案】AC

【分析】

設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為X,分xW8、8cx<10和X210三種情況討論，利用這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

依次成等差數(shù)列求得x的值，進(jìn)而可得出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為龍，則七個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為上竺，眾數(shù)是8.

7

由題意知，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，

若x<8,則中位數(shù)為8,此時平均數(shù)包土土=8,解得x=-5；

7

若8vx410,則中位數(shù)為x,此時=一+8=2x,解得x=9；

若xNlO,則中位數(shù)為10,此時仙尸+8=2x10,解得了=23.

綜上，丟失數(shù)據(jù)的所有可能取值為-5、9、23.

故選：AC.

【點睛】

本題考查根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)的關(guān)系求參數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.

11.（2021?江蘇南通市?高三月考）冬末春初，乍暖還寒，人們?nèi)菀赘忻鞍l(fā)熱.若發(fā)生群體性發(fā)熱，則會影響

到人們的身體健康，干擾正常工作生產(chǎn).某大型公司規(guī)定:若任意連續(xù)7天，每天不超過5人體溫高于37.3。C，

則稱沒有發(fā)生群體性發(fā)熱.下列連續(xù)7天體溫高于373C人數(shù)的統(tǒng)計特征數(shù)中，能判定該公司沒有發(fā)生群體

性發(fā)熱的為（）

A.中位數(shù)為3,眾數(shù)為2B.均值小于1,中位數(shù)為1

C.均值為3,眾數(shù)為4D.均值為2,標(biāo)準(zhǔn)差為0

【答案】BD

【分析】

利用反例可判斷AC選項的正誤；假設(shè)為26,根據(jù)BD選項分別進(jìn)行推導(dǎo)，可判斷BD選項的正誤.

【詳解】

將7個數(shù)由小到大依次記為當(dāng)、々、馬、5、%、/、X7.

對于A選項，反例：2、2、2、3、3、4、6,滿足中位數(shù)為3,眾數(shù)為2,與題意矛盾，A選項不合

乎要求；

對于B選項，假設(shè)七26,即該公司發(fā)生了群體性發(fā)熱,

因中位數(shù)為1，則42/2%=1，平均數(shù)為—0x3+l+l+l+6,，矛盾，

x=——>---------->1

77

故假設(shè)不成立，即該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱，B選項合乎要求；

對于C選項，反例：0、1、2、4、4、4、6,滿足眾數(shù)為4,均值為3,與題意矛盾，C選項不合乎要

求；

對于D選項，假設(shè)X7N6,即該公司發(fā)生群體性發(fā)熱，

72

若均值為2,則方差為2（x-2）216C，即S>0，與D選項矛盾，

777

故假設(shè)不成立，即該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱，D選項合乎要求.

故選：BD.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵在于以下兩點：

（1）在判斷選項不成立時，可通過舉反例來推導(dǎo)：

（2）在判斷BD選項時，可假設(shè)馬26,利用反證法來進(jìn)行推導(dǎo).

12.（2020?山東高一期末）在對某中學(xué)高一年級學(xué)生身高（單位：cm）的調(diào)查中，隨機抽取了男生23人、

女生27人,23名男生的平均數(shù)和方差分別為170和10.84,27名女生的平均數(shù)和方差分別為160和28.84,

則（）

A.總樣本中女生的身高數(shù)據(jù)比男生的離散程度小

B.總樣本的平均數(shù)大于164

C.總樣本的方差大于45

D.總樣本的標(biāo)準(zhǔn)差大于7

【答案】BC

【分析】

對于A,利用方差的性質(zhì)判斷即可；對于B,利用平均的公式計算即可：對于C,利用方差公式計算即可：

對于D,利用標(biāo)準(zhǔn)差公式計算即可

【詳解】

對于A,因為方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，所以總樣本中女生的身高數(shù)據(jù)比男生的離散程度大，所以A

錯誤：

對于B,由已知可得樣本的平均數(shù)為空衛(wèi)"三則=164.6，所以B正確；

50

對于C,設(shè)23名男生的身高分別為q,4，…,。23，27名女生的身高分別為偽,偽,…,47，則

222

4+々+.一+。23=23x170,^[(170-a,)+(170-a2)+---+(170-a23)]=10.84,

222

伉+&+???+%=27x160,^-[(160-&,)+(160-^)+---+(160-/?27)]=28.84,

所以23x17()2—2x17()x23x17()+(a：+&2+…+)=23x10.84,

222

27xl6()-2xl6Ox27xl6O+0,+/?2+???+/?,/)-27x28.84

22

所以a：H---1-?23=23x10.84+23x170,

22

牙+石+…+b27=27x28.84+27xl60,

所以總樣本的方差為

索[(164.6-q)2+…+(164.6—43)2+(164.6—仿產(chǎn)+…+(164.6_%7力

222222

=—r50xl64.6-2xl64.6x50xl64.6+(a,+a2+---+?23)+(Z?1+Z?2+---+V)]

=-^[50xl64.62-2xl64.6x50xl64.6+23xl0.84+23xl702+27x28.84+27xl602]=45.4,

所以C正確，

對于D,由上面的計算可知標(biāo)準(zhǔn)差約為6.7,所以D錯誤

故選：BC

【點睛】

此題考查方差和平均數(shù)的計算，考查計算能力，屬于中檔題

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.（2021?四川高三月考（文））已知一組數(shù)據(jù)-3,2a,4,5-a,1,9的平均數(shù)為3（其中aeH）,則中位數(shù)為

【答案】3.5

【分析】

首先根據(jù)平均數(shù)求出參數(shù)。，即可一-列出數(shù)據(jù)，再求出數(shù)據(jù)的中位數(shù)即可；

【詳解】

解：因為數(shù)據(jù)—3,2a,4,5—a,1,9的平均數(shù)為3,所以一3+2a+4+5—a+l+9=3x6,解得。=2,所以

3+4

則組數(shù)據(jù)分別是一3,4,4,3,1,9,按從小到大排列分別為-3,1,3,4,4,9,故中位數(shù)為——=3.5

2

故答案為：3.5

14.（2021?遼寧營口市?高一期末）已知一組樣本數(shù)據(jù)Xi,X2，…,xio,且X；+X；+...+流=2020,平均數(shù)X=11,

則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為.

【答案】9

【分析】

根據(jù)題意，利用方差公式計算可得數(shù)據(jù)的方差，進(jìn)而利用標(biāo)準(zhǔn)差公式可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，?組樣本數(shù)據(jù)看,孫…,』0，且…+片,=2020,

平均數(shù)［=11，

則從方'S~=而《七一X)+(々-x)+…+(%0—x))

=木卜；+￥++流—10?)=L(2020-10*112)=81,

則其標(biāo)準(zhǔn)差S=a=9，

故答案為：9.

15.(2020?山東泰安市?高一期末)某校從高一新生中隨機抽取了一個容量為20的身高樣本，數(shù)據(jù)從小到大

排序如下(單位：cm)：

152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,171,X,174,

175,若樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)是173,則X的值為.

【答案】172

【分析】

根據(jù)百分位數(shù)的意義求解.

【詳解】

百分位數(shù)的意義就在于，我們可以了解的某一個樣本在整個樣本集合中所處的位置，

x+174

本題第90百分位數(shù)是173,所以--------=173,x=172

2

故答案為：172

【點睛】

本題考查樣本數(shù)據(jù)的第多少百分位數(shù)的概念.

16.（2020?廣西百色市?平果二中高二月考）已知一組數(shù)據(jù)占，々，七，.??，Z的平均數(shù)為嚏，方差為三.

若3玉+1,3X2+\,3七+1，…，3%+1的平均數(shù)比方差大%則S2的最大值為.

【答案】-1

【分析】

設(shè)新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為京，方差為S:，可得捻=3^+1，S：=9S2,由新數(shù)據(jù)的平均數(shù)比方差大4可得

_,1-1一

3X+1=9S2+4）可得5-=§萬一5,代入§2一二可得其最大值.

【詳解】

解：設(shè)新數(shù)據(jù)3芯+1,3々+1,3毛+1,…，3%+1的平均數(shù)為"，方差為S：,

可得：=3x+bS；=9S2,由新數(shù)據(jù)平均數(shù)比方差大4,

_91-1

可得3X+1=9S2+4,可得5，二耳了一§,

-21-1-2-111

可得：S9—X=-x----x=—（X—廠9-----，

33636

1-1_

由S9=-x——>0,可得x21，

--9111

可得當(dāng)冗=1時，可得S2.F的最大值為：一（1一^）o一院二一L

636

故答案為：一1.

【點睛】

本題主要考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差及其計算，屬于中檔題.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.（2021?安徽高二開學(xué)考試（文））從參加環(huán)保知識競賽的學(xué)生中抽出40名，將其成績（均為整數(shù)）整理后

畫出的頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問題.

（1）80~90這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？

（2）估計這次環(huán)保知識競賽成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)（不要求寫過程）.

【答案】（1）頻數(shù)為4,頻率為0.1：（2）平均數(shù)為68.5,眾數(shù)為75,中位數(shù)為70.

【分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有頻率和為1可求得。，得結(jié)論；

（2）用每組數(shù)據(jù)中間值乘以頻率相加得平均值，頻率最大的一組數(shù)據(jù)的中間值為眾數(shù)，頻率0.5對應(yīng)的值

為中位數(shù).

【詳解】

（1）根據(jù)題意,50口60這一組的頻率為0.015x10=0.15,

60□70這一組的頻率為0.025xl0=0.25,

70□80這一組的頻率為0.035x10=0.35,

90口100這一組的頻率為0.005x10=為05,

則80口90這一組的頻率為gx[l—（0.15+0.25+0.35+0.05）]=0.1,其頻數(shù)為40*0.1=4

(2)這次競賽成績的平均數(shù)為

45x0.1+55x0.15+65x0.25+75x0.35+85x0.1+95x().05=68.5

70口80這一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)為75;

70分左右兩側(cè)的頻率為0.5,則中位數(shù)為70.

18.(2021?湖南永州市?高三二模)為快速控制新冠病毒的傳播，全球多家公司進(jìn)行新冠疫苗的研發(fā).某生物

技術(shù)公司研制出一種新冠滅活疫苗，為了檢測其質(zhì)量指標(biāo)，從中抽取了100支該疫苗樣本，經(jīng)統(tǒng)計質(zhì)量指

標(biāo)得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求所抽取的樣本平均數(shù)置同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(2)將頻率視為概率,若某家庭購買4支該疫苗,記這4支疫苗的質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,3()］內(nèi)的支數(shù)為X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)7=26.5；(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：2.

【分析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出平均數(shù)；

(2)首先求出每支滅活疫苗的質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30］內(nèi)的概率，可得即可求出隨機變量

X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

【詳解】

解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可得各組的頻率為：

（0,10］的頻率為：0.010x10=0.1；（0,20］的頻率為：0.020x10=0.2；

（20,30］的頻率為：0.030x10=0.3：（30,40］的頻率：0.025x10=0.25；

（40,50］的頻率為：0.015x10=0.15.

???x=5x0.1+15x0.2+25x0.3+35x0.25+45x0.15=26.5.

（2）根據(jù)題意得每支滅活疫苗的質(zhì)量指標(biāo)值位于（10,30］內(nèi)的概率為0.2+0.3=0.5，

所以X~X的可能取值為：0,1,2,3,4,

p（X=0）=C：I）小尸（x=D=c：

3

P（X=2）=C：P（X=3）=C：

o

<1Y1

ax=4）y由『

X的分布列為:

X01234

13j_1

P

?648416

￡（X）=0x—+lxl+2x-+3xl+4x—=2.

1648416

19.（2021?河南高三月考（文））2020年"雙H■一”購物節(jié)之后，某網(wǎng)站對購物超過1000元的20000名購物

者進(jìn)行年齡調(diào)查，得到如下統(tǒng)計表:

分組編號年齡分組購物人數(shù)

1[20,30)5500

2[30,40)4500

3[40,50)3a

4[50,60)3000

5[60,70]4a

(1)從這20000名購物者中隨機抽取1人，求該購物者的年齡不低于50歲的概率；

(2)從年齡在［50,70］的購物者中用分層抽樣的方法抽取7人進(jìn)一步做調(diào)查問卷，再從這7人中隨機抽取

2人中獎，求中獎的2人中年齡在［50,60),［60,70］內(nèi)各有一人的概率.

4

【答案】(1)0.35；(2)

7

【分析】

(1)根據(jù)參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)確定。的值，進(jìn)而求得購物者的年齡不低于50歲的概率；

(2)年齡在［50,70］的購物者中用分層抽樣的方法抽取7人，則年齡在［60,70］的應(yīng)抽取4人，年齡在

［50,60)的應(yīng)抽取3人，利用古典概型，確定中獎的2人中年齡在［50,60),［60,70］內(nèi)各有一人的概率.

【詳解】

(1)因為參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為20000人,

由表中數(shù)據(jù)可得5500+4500+3。+3000+4。=20000,解得a=1000，

所以從這20000名購物者中隨機抽取1人，該購物者的年齡不低于so歲的概率為

3000+4a_7000

'20000-20000--

（2）由（2）知，這20000名購物者中，年齡在［50,60）的有3000人，年齡在［60,70］的有4000人，從年

齡在［50,70］的購物者中用分層抽樣的方法抽取7人，則年齡在［60,70］的應(yīng)抽取4人，用4,4,A3,A4

表示，年齡在［50,60）的應(yīng)抽取3人，用B2,員表示.

在這7人中隨機取出2人中獎的所有可能情況有：

瓦，為魚，鳥，人回，

44，44，AA-44A2A3,44，A2B2,A,B3,44，45,A3B2,

,共種情況，

44，44,A4B2,A4B3,B］B2,B}B3,B2B321

其中中獎的2人中在［50,60）,［60,70］內(nèi)各有一人有：

片，名，fi4B3,人&，&用，,共種情況，

44A3>44，AB2,A3B,,A3B2,A4B2,A4B312

124

所以所求的概率為8=天=7

【點睛】

有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù).⑴基本事件總數(shù)

較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助"樹狀圖"列舉.（2）注意區(qū)

分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.

20.（2021?四川宜賓市?高二期末（理））6月17日是聯(lián)合國確定的“世界防治荒漠化和干旱日”，為增強全社

會對防治荒漠化的認(rèn)識與關(guān)注，聚焦聯(lián)合國2030可持續(xù)發(fā)展目標(biāo)一一實現(xiàn)全球土地退化零增長.自2004年

以來，我國荒漠化和沙化狀況呈現(xiàn)整體遏制、持續(xù)縮減、功能增強、成效明顯的良好態(tài)勢.治理沙漠離不開

優(yōu)質(zhì)的樹苗，現(xiàn)從苗埔中隨機地抽測了200株樹苗的高度（單位：cm）,得到以下頻率分布直方圖.

(1)求直方圖中。的值及眾數(shù)、中位數(shù);

(2)若樹高185cm及以上是可以移栽的合格樹苗.

①求合格樹苗的平均高度(結(jié)果精確到個位);

②從樣本中按分層抽樣方法抽取20株樹苗作進(jìn)一步研究，不合格樹苗、合格樹苗分別應(yīng)抽取多少株?

【答案】(1)。=0.0250,眾數(shù)190,中位數(shù)為190；(2)①197(cm)；②不合格樹苗、合格樹苗分別應(yīng)

抽取7株和13株.

【分析】

(1)根據(jù)頻率和為1,求。，再根據(jù)眾數(shù)公式和平均數(shù)公式求解；(2)①首先求樹苗高度185cm及以上的

頻率，再根據(jù)公司擬求合格樹苗的平均高度；②根據(jù)不合格、合格樹苗的頻率求解.

【詳解】

(1)?.?(0.0015+0.0110+0.0225+0.0300+a+0.0080+0.0020)xl0=l

a=0.0250

/皿185+195

眾數(shù)：------------190

2

設(shè)中位數(shù)為％，因為(().0015+0.0110+0.0225)x10=0.35<().5

(0.(X)15+0.0110+0.0225+0.030)x10=0.65>0.5則185<x<195

(0.0015+0.0110+0.0225)x10+0.030(x-185)=0.5

，x=190

(2)-/樹苗高度185cm及以上的頻率是：(0.0300+0.0250+0.0080+0.0020)x10=0.65

/.x=[190(0.030x10)+200(0.0250x10)+210(0.0080xl0)+220(0.0020x10)]-0.65?197(cm)

⑶不合格的抽取20x0.35=7株，合格的抽取20x0.65=13株，

故不合格樹苗、合格樹苗分別應(yīng)抽取7株和13株.

【點睛】

易錯點睛：本題第二問需注意審題，求合格樹苗的平均高度，計算185以后的每個小矩形的數(shù)據(jù)中點值乘

以本組的頻率后，不要忘記除以合格樹苗的頻率.

21.(2021?湖南省平江縣第一中學(xué)高二月考)某蔬果經(jīng)銷商銷售某種蔬果，售價為每千克25元，成本為每

千克15元,其銷售宗旨是當(dāng)天進(jìn)貨當(dāng)天銷售,若當(dāng)天未銷售完,未售出的全部降價以每千克10元處理完.據(jù)

以往銷售情況，按。100),[l()0,200),[2()(),300),[30(),4()0),[40(),5(X))進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分

布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖求該蔬果日需求量的平均數(shù)嚏(同組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點值代表)；

(2)該經(jīng)銷商某天購進(jìn)了250千克蔬果，假設(shè)當(dāng)天的日需求量為X千