天津市和平區(qū)第一中學2023-2024學年高一下學期6月月考試題數(shù)學

天津一中20232024學年第二學期高一數(shù)學第二次單元測驗高一下學期數(shù)學階段性測驗2一、選擇題（每題5分）1.若a、b是異面直線，b、c是異面直線，則()A.a∥c B.a、c是異面直線C.a、c相交 D.a、c平行或相交或異面2.已知點，則與向量AB同方向的單位向量為（）A. B. C. D.3.空間四邊形ABCD中，E、F分別為AC、BD中點，若，EF⊥AB，則EF與CD所成的角為A30° B.45° C.60° D.90°4.已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）．A若，，，則B.若，，，，則C.若，，則D.若，，則5.在中，角對邊分別為，若，則角的大小為（）A. B. C.或 D.或6.下列說法錯誤是（）A.平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行B.一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行C.垂直于同一條直線的兩條直線平行D.平行于同一平面的兩個平面互相平行7.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，則此球的表面積等于（）A.8π B.9π C.10π D.11π8.在梯形中，已知，且，設點為邊上的任一點，則的最小值為（）A. B. C.3 D.二、填空題（每題5分）9.若為虛數(shù)單位，復數(shù)，則________.10.已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的表面積為___________．11.設，滿足且，則的值為________.12.在正四棱錐PABCD中，PA=2，直線PA與平面ABCD所成角為60°，E為PC的中點，則異面直線PA與BE所成角的大小為___________．13.如圖，在正三棱柱中，．若二面角大小為，則點C到平面的距離為______________．14.已知三棱錐的三個側面與底面全等，且，，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的平面角大小為___________.三、解答題（每題15分）15.在中，內角A，B，C的對邊a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.16.如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點．（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．天津一中20232024學年第二學期高一數(shù)學第二次單元測驗高一下學期數(shù)學階段性測驗2一、選擇題（每題5分）1.若a、b是異面直線，b、c是異面直線，則()A.a∥c B.a、c是異面直線C.a、c相交 D.a、c平行或相交或異面【答案】D【解析】【詳解】例如在正方體中，取，所在直線分別為，，所在直線為，滿足條件要求，此時；又取所在直線分別為，，，所在直線為，也滿足題設要求，此時與相交；又取，所在直線分別為，，所在直線為，則此時，與異面，故選D.2.已知點，則與向量AB同方向的單位向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再運用公式計算即可.【詳解】，，故選：A.3.空間四邊形ABCD中，E、F分別為AC、BD中點，若，EF⊥AB，則EF與CD所成的角為A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】【詳解】試題分析：設，取的中點，連接，則，且，則即為與所成的角，，且又，故選A.考點：1、異面直線所成的角；2、中位線的性質.4.已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）．A.若，，，則B.若，，，，則C.若，，則D.若，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面平行的必要條件可以判定ABC錯誤，根據(jù)線面垂直的性質定理和面面平行的判定定理可知D正確.【詳解】若，則α，β可以相交，故A錯誤；若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則當m、n相交時才能推出α∥β，故B錯誤；若α⊥γ，β⊥γ，則α、β可以相交，故C錯誤；若⊥α，m⊥β，過m作平面，,則,從而,同理過m另作平面,則,又因為相交，所以α∥β，故D正確，故選:D.5.在中，角的對邊分別為，若，則角的大小為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】將，變形為求解.【詳解】因為，所以，即，因為，所以，因為，所以或，故選：C6.下列說法錯誤的是（）A.平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行B.一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行C.垂直于同一條直線的兩條直線平行D.平行于同一平面的兩個平面互相平行【答案】ABD【解析】【分析】借助平行和垂直的判定定理和性質，結合長方體模型可以解決.【詳解】如圖，對于A,由線面平行的定理直接推出.故A正確.對于B,由線面平行的性質直接推出.故B正確.對于C,，但是，故C錯誤.對于D,相互平行的平面都不會有交點，故平行.故D正確.故選:ABD.7.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，則此球的表面積等于（）A.8π B.9π C.10π D.11π【答案】A【解析】【分析】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°可得三角形ABC的面積及外接圓的半徑，再由三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是過底面外接圓的圓心作垂直于底面的直線與中截面的交點，可得外接球的半徑，進而求出外接球的表面積．【詳解】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，由余弦定理可得：BC，∴，∠ACB＝90°，∴底面外接圓的圓心在斜邊AB的中點，設三角形ABC的外接圓的半徑為r，則r1，又，所以V柱＝S△ABC?AA1，所以可得AA1＝2，因為三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是過底面外接圓的圓心作垂直于底面的直線與中截面的交點，設外接球的半徑為R，則R2＝r2+（）2＝12+12＝2，所以外接球的表面積S＝4πR2＝4π×2＝8π，故選：A．【點睛】本題考查三棱柱的體積及三棱柱的棱長與外接球的半徑之間的關系，以及球的表面積公式，屬于中檔題．8.在梯形中，已知，且，設點為邊上的任一點，則的最小值為（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由求出向量夾角的余弦值，設,然后建立平面直角坐標系利用向量坐標求解數(shù)量積.【詳解】設則由，則，所以過點作交于點，以為原點，為軸，為軸，建立平面直角坐標系.在直角中，由，可得，則所以設所以所以當時，有最小值故選：B【點睛】關鍵點睛：本題考查利用向量的數(shù)量積求向量夾角利用向量坐標求解向量數(shù)量積的最小值，解答本題的關鍵是由求出向量的夾角的余弦值，再建立坐標系，得出點的坐標，設，利用向量的坐標得出，屬于中檔題.二、填空題（每題5分）9.若為虛數(shù)單位，復數(shù)，則________.【答案】5【解析】【分析】把已知等式變形，然后利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)求模公式計算得答案．【詳解】解：，則．故答案為：5．【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)模的求法，屬于基礎題．10.已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的表面積為___________．【答案】【解析】【分析】利用圓柱的高和圓柱外接球半徑，求出圓柱底面圓半徑，由圓柱表面積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意得，球半徑，圓柱底面圓半徑，該圓柱的表面積.故答案為：．11.設，滿足且，則的值為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知，利用向量的數(shù)量積運算得到,進而計算得到.【詳解】由，因為，所以所以，所以，故答案為：12.在正四棱錐PABCD中，PA=2，直線PA與平面ABCD所成角為60°，E為PC中點，則異面直線PA與BE所成角的大小為___________．【答案】45°【解析】【分析】先確定直線PA與平面ABCD所成的角，然后作兩異面直線PA和BE所成的角，最后求解．【詳解】∵四棱錐P－ABCD是正四棱錐，∴就是直線PA與平面ABCD所成角，即＝60°，∴是等邊三角形，AC＝PA＝2，設BD與AC交于點O，連接OE，則OE是的中位線，即，且，∴是異面直線PA與BE所成的角，正四棱錐P－ABCD中易證平面PAC，∴，中，，∴是等腰直角三角形，∴＝45°．∴異面直線PA與BE所成的角是45°．故答案為45°．【點睛】本題考查異面直線所成的角，考查直線與平面所成的角，考查正四棱錐的性質．要注意在求空間角時，必須作出其“平面角”并證明，然后再計算．13.如圖，在正三棱柱中，．若二面角的大小為，則點C到平面的距離為______________．【答案】##0.75【解析】【分析】根據(jù)二面角的定義，找到二面角的平面角，解三角形求，再利用等體積法求點C到平面的距離.【詳解】由多面體為正三棱柱可知，為正三角形，且,取的中點為，連接，，則，，所以即為二面角的平面角，所以，在中，，，所以，所以，設點C到平面的距離為，因為，所以，由，，所以，所以點C到平面的距離為，故答案為：.14.已知三棱錐的三個側面與底面全等，且，，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的平面角大小為___________.【答案】【解析】【分析】取中點，由于三個側面與底面全等，，可證，則是面BCD與面BCA為面的二面角的平面角，根據(jù)余弦定理即可求解．【詳解】取中點，連接因為，三個側面與底面全等，則，所以，故是面BCD與面BCA為面的二面角的平面角，又所以由，所以故答案為：三、解答題（每題15分）15.在中，內角A，B，C的對邊a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）由和，得ac=6.由余弦定理，得.解，即可求出a，c；（2）在中，利用同角基本關系得由正弦定理，得，又因為，所以C為銳角，因此，利用，即可求出結果.（1）由得，，又，所以ac=6由余弦定理，得.又b=3，所以.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因為a>c,∴a=3，c=2.（2）在中，由正弦定理，得，又因為，所以C為銳角，因此.于是=.考點：1.解三角形；2.三角恒等變換.16.如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點．（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．【答案】（I）證明見解析；（II）；（III）.【解析】【分析】（I）建立空