天津市和平區(qū)第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月月考試題數(shù)學(xué)

天津一中20232024學(xué)年第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)第二次單元測(cè)驗(yàn)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)階段性測(cè)驗(yàn)2一、選擇題（每題5分）1.若a、b是異面直線(xiàn)，b、c是異面直線(xiàn)，則()A.a∥c B.a、c是異面直線(xiàn)C.a、c相交 D.a、c平行或相交或異面2.已知點(diǎn)，則與向量AB同方向的單位向量為（）A. B. C. D.3.空間四邊形ABCD中，E、F分別為AC、BD中點(diǎn)，若，EF⊥AB，則EF與CD所成的角為A30° B.45° C.60° D.90°4.已知，是兩條不同的直線(xiàn)，，，是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）．A若，，，則B.若，，，，則C.若，，則D.若，，則5.在中，角對(duì)邊分別為，若，則角的大小為（）A. B. C.或 D.或6.下列說(shuō)法錯(cuò)誤是（）A.平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行B.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行C.垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行D.平行于同一平面的兩個(gè)平面互相平行7.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，則此球的表面積等于（）A.8π B.9π C.10π D.11π8.在梯形中，已知，且，設(shè)點(diǎn)為邊上的任一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.3 D.二、填空題（每題5分）9.若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則________.10.已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的表面積為_(kāi)__________．11.設(shè)，滿(mǎn)足且，則的值為_(kāi)_______.12.在正四棱錐PABCD中，PA=2，直線(xiàn)PA與平面ABCD所成角為60°，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)PA與BE所成角的大小為_(kāi)__________．13.如圖，在正三棱柱中，．若二面角大小為，則點(diǎn)C到平面的距離為_(kāi)_____________．14.已知三棱錐的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且，，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的平面角大小為_(kāi)__________.三、解答題（每題15分）15.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.16.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．（I）求證：平面；（II）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．天津一中20232024學(xué)年第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)第二次單元測(cè)驗(yàn)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)階段性測(cè)驗(yàn)2一、選擇題（每題5分）1.若a、b是異面直線(xiàn)，b、c是異面直線(xiàn)，則()A.a∥c B.a、c是異面直線(xiàn)C.a、c相交 D.a、c平行或相交或異面【答案】D【解析】【詳解】例如在正方體中，取，所在直線(xiàn)分別為，，所在直線(xiàn)為，滿(mǎn)足條件要求，此時(shí)；又取所在直線(xiàn)分別為，，，所在直線(xiàn)為，也滿(mǎn)足題設(shè)要求，此時(shí)與相交；又取，所在直線(xiàn)分別為，，所在直線(xiàn)為，則此時(shí)，與異面，故選D.2.已知點(diǎn)，則與向量AB同方向的單位向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再運(yùn)用公式計(jì)算即可.【詳解】，，故選：A.3.空間四邊形ABCD中，E、F分別為AC、BD中點(diǎn)，若，EF⊥AB，則EF與CD所成的角為A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】【詳解】試題分析：設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，則，且，則即為與所成的角，，且又，故選A.考點(diǎn)：1、異面直線(xiàn)所成的角；2、中位線(xiàn)的性質(zhì).4.已知，是兩條不同的直線(xiàn)，，，是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）．A.若，，，則B.若，，，，則C.若，，則D.若，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面平行的必要條件可以判定ABC錯(cuò)誤，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理和面面平行的判定定理可知D正確.【詳解】若，則α，β可以相交，故A錯(cuò)誤；若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則當(dāng)m、n相交時(shí)才能推出α∥β，故B錯(cuò)誤；若α⊥γ，β⊥γ，則α、β可以相交，故C錯(cuò)誤；若⊥α，m⊥β，過(guò)m作平面，,則,從而,同理過(guò)m另作平面,則,又因?yàn)橄嘟?，所以α∥β，故D正確，故選:D.5.在中，角的對(duì)邊分別為，若，則角的大小為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】將，變形為求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以或，故選：C6.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行B.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行C.垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行D.平行于同一平面的兩個(gè)平面互相平行【答案】ABD【解析】【分析】借助平行和垂直的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合長(zhǎng)方體模型可以解決.【詳解】如圖，對(duì)于A,由線(xiàn)面平行的定理直接推出.故A正確.對(duì)于B,由線(xiàn)面平行的性質(zhì)直接推出.故B正確.對(duì)于C,，但是，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,相互平行的平面都不會(huì)有交點(diǎn)，故平行.故D正確.故選:ABD.7.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，則此球的表面積等于（）A.8π B.9π C.10π D.11π【答案】A【解析】【分析】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°可得三角形ABC的面積及外接圓的半徑，再由三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是過(guò)底面外接圓的圓心作垂直于底面的直線(xiàn)與中截面的交點(diǎn)，可得外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積．【詳解】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，由余弦定理可得：BC，∴，∠ACB＝90°，∴底面外接圓的圓心在斜邊AB的中點(diǎn)，設(shè)三角形ABC的外接圓的半徑為r，則r1，又，所以V柱＝S△ABC?AA1，所以可得AA1＝2，因?yàn)槿庵鵄BC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是過(guò)底面外接圓的圓心作垂直于底面的直線(xiàn)與中截面的交點(diǎn)，設(shè)外接球的半徑為R，則R2＝r2+（）2＝12+12＝2，所以外接球的表面積S＝4πR2＝4π×2＝8π，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三棱柱的體積及三棱柱的棱長(zhǎng)與外接球的半徑之間的關(guān)系，以及球的表面積公式，屬于中檔題．8.在梯形中，已知，且，設(shè)點(diǎn)為邊上的任一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由求出向量夾角的余弦值，設(shè),然后建立平面直角坐標(biāo)系利用向量坐標(biāo)求解數(shù)量積.【詳解】設(shè)則由，則，所以過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.在直角中，由，可得，則所以設(shè)所以所以當(dāng)時(shí)，有最小值故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用向量的數(shù)量積求向量夾角利用向量坐標(biāo)求解向量數(shù)量積的最小值，解答本題的關(guān)鍵是由求出向量的夾角的余弦值，再建立坐標(biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，利用向量的坐標(biāo)得出，屬于中檔題.二、填空題（每題5分）9.若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則________.【答案】5【解析】【分析】把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算得答案．【詳解】解：，則．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題．10.已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的表面積為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】利用圓柱的高和圓柱外接球半徑，求出圓柱底面圓半徑，由圓柱表面積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意得，球半徑，圓柱底面圓半徑，該圓柱的表面積.故答案為：．11.設(shè)，滿(mǎn)足且，則的值為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算得到,進(jìn)而計(jì)算得到.【詳解】由，因?yàn)?，所以所以，所以，故答案為?2.在正四棱錐PABCD中，PA=2，直線(xiàn)PA與平面ABCD所成角為60°，E為PC中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)PA與BE所成角的大小為_(kāi)__________．【答案】45°【解析】【分析】先確定直線(xiàn)PA與平面ABCD所成的角，然后作兩異面直線(xiàn)PA和BE所成的角，最后求解．【詳解】∵四棱錐P－ABCD是正四棱錐，∴就是直線(xiàn)PA與平面ABCD所成角，即＝60°，∴是等邊三角形，AC＝PA＝2，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，連接OE，則OE是的中位線(xiàn)，即，且，∴是異面直線(xiàn)PA與BE所成的角，正四棱錐P－ABCD中易證平面PAC，∴，中，，∴是等腰直角三角形，∴＝45°．∴異面直線(xiàn)PA與BE所成的角是45°．故答案為45°．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)所成的角，考查直線(xiàn)與平面所成的角，考查正四棱錐的性質(zhì)．要注意在求空間角時(shí)，必須作出其“平面角”并證明，然后再計(jì)算．13.如圖，在正三棱柱中，．若二面角的大小為，則點(diǎn)C到平面的距離為_(kāi)_____________．【答案】##0.75【解析】【分析】根據(jù)二面角的定義，找到二面角的平面角，解三角形求，再利用等體積法求點(diǎn)C到平面的距離.【詳解】由多面體為正三棱柱可知，為正三角形，且,取的中點(diǎn)為，連接，，則，，所以即為二面角的平面角，所以，在中，，，所以，所以，設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，因?yàn)椋?，由，，所以，所以點(diǎn)C到平面的距離為，故答案為：.14.已知三棱錐的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且，，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的平面角大小為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】取中點(diǎn)，由于三個(gè)側(cè)面與底面全等，，可證，則是面BCD與面BCA為面的二面角的平面角，根據(jù)余弦定理即可求解．【詳解】取中點(diǎn)，連接因?yàn)?，三個(gè)側(cè)面與底面全等，則，所以，故是面BCD與面BCA為面的二面角的平面角，又所以由，所以故答案為：三、解答題（每題15分）15.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）由和，得ac=6.由余弦定理，得.解，即可求出a，c；（2）在中，利用同角基本關(guān)系得由正弦定理，得，又因?yàn)?，所以C為銳角，因此，利用，即可求出結(jié)果.（1）由得，，又，所以ac=6由余弦定理，得.又b=3，所以.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因?yàn)閍>c,∴a=3，c=2.（2）在中，由正弦定理，得，又因?yàn)椋訡為銳角，因此.于是=.考點(diǎn)：1.解三角形；2.三角恒等變換.16.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．（I）求證：平面；（II）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）；（III）.【解析】【分析】（I）建立空