第03講圖形的平移

第03講圖形的平移1.什么叫平行線之間的距離？其性質(zhì)是什么？

定義：從一條平行線上的任意一點到另一條直線作垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離．

性質(zhì)：平行線間的距離處處相等．2.什么是平移？平移有哪些性質(zhì)？生活中有哪些平移的現(xiàn)象？定義：在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移；平移是指圖形的平行移動，平移時圖形中所有點移動的方向一致，并且移動的距離相等。性質(zhì):①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點．連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等．平移作圖的要點是什么？你能利用平移設(shè)計圖案嗎?會怎樣設(shè)計？①確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離．

②作圖時要先找到圖形的關(guān)鍵點，分別把這幾個關(guān)鍵點按照平移的方向和距離確定對應(yīng)點后，再順次連接對應(yīng)點即可得到平移后的圖形．設(shè)計圖案：確定一個基本圖案按照一定的方向平移一定的距離，連續(xù)作圖即可設(shè)計出美麗的圖案．

通過改變平移的方向和距離可使圖案變得豐富多彩．平移的性質(zhì)：1.把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同（△ABC與△DEF相等）。2.新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點．連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等（①AD=CF；②AC∥DF；④∠DAE=∠AEB）。考點剖析（平移現(xiàn)象）例1：如圖所示的圖案分別是三菱、大眾、奧迪、奔馳汽車的車標，其中可以看著是由“基本圖案”經(jīng)過平移得到的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)：不改變物體的形狀和大小，朝一個方向移動能夠得到的圖形．【詳解】解：觀察圖形可知A，D選項的圖形由旋轉(zhuǎn)可得到，B選項的圖形由對折可得到；選項C的圖形是通過圖形平移得到的，符合題意；∴選項A、B、D圖形不能通過平移得到，不符合題意．故選C【點睛】此題考查了圖形的平移，平移只改變位置，不改變大小和性質(zhì)，要注意與旋轉(zhuǎn)和翻折的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．變式11：下列現(xiàn)象是數(shù)學(xué)中的平移的是.（填序號）①．蘋果垂直從樹上落下②．電梯從底樓升到頂樓③．騎自行車時輪胎的滾動④．鐘擺的擺動【答案】①②【分析】平移，是指在同一平面內(nèi)，將一個圖形上的所有點都按照某個直線方向做相同距離的移動，這樣的圖形運動叫做圖形的平移運動，簡稱平移。平移不改變圖形的形狀和大小。圖形經(jīng)過平移，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點所連的線段相等．【詳解】①．蘋果垂直從樹上落下，只沿著豎直方向向下改變，符合題意；②．電梯從底樓升到頂樓，只沿著豎直方向向上改變，符合題意；③．騎自行車時輪胎的滾動，是沿著圓做圓周運動，不符合題意；④．鐘擺的擺動，是沿著弧線左右擺動，不符合題意；故答案為①②【點睛】此題考查的知識點：平移的概念；抓?。核悬c都按照某個直線方向做相同距離的移動，是解答此題的關(guān)鍵．變式12：如圖，凱瑞酒店準備進行裝修，把樓梯鋪上地毯，已知樓梯的寬度是2米，樓梯的總長度為8米，總高度為6米，已知這種地毯每平方米的售價是60元.請你幫助酒店老板算下，購買地毯至少需要多少元？【答案】購買地毯至少需要1680元【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得，所需的地毯的總長度等于樓梯的總長度與總高度的和，從而求出所需地毯的總面積，即可解答．【詳解】如圖，利用平移線段，把樓梯的橫、豎兩面分別向下、向右平移，即所需的地毯的總長度等于樓梯的總長度與總高度的和，即可得地毯的長度為6+8=14（米），地毯的面積為14×2=28（平方米），故買地毯至少需要：28×60=1680(元).答：購買地毯需要1680元．【點睛】本題考查了生活中的平移現(xiàn)象，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（圖形平移）例2：如圖，要將圖①中的圖形N平移后得到圖②，則下列關(guān)于圖形N的平移方法中，正確的是（

）A．向下平移1格 B．向上平移1格C．向上平移2格 D．向下平移2格【答案】D【解析】略變式21：中國象棋是中華民族的文化瑰寶，它歷史久遠、博大精深，如圖①，“馬”走一步可到達A、B、C、D、E、F、G、H中的某一個位置，俗稱“馬走日”．在如圖②所示的象棋盤中，“馬”至少走步才能到達“帥”的位置．

【答案】3【分析】結(jié)合“馬走日”規(guī)則，分析“馬”和“帥”之間相距的格數(shù)，并以此作為依據(jù)推出“馬”行走的步數(shù)．【詳解】已知“馬”和“帥”之間縱向相距個單位長度，橫向相距個單位長度，結(jié)合圖像進行以下假設(shè)：①如果走步，“馬”應(yīng)落點黃色箭頭所指的點，可直觀看出無法走到“帥”處；②如果走步，在①基礎(chǔ)上，“馬”應(yīng)落點藍色箭頭所指的點，也無法步到達“帥”點；

③如果走步，在①②基礎(chǔ)上，可有條線路能到達“帥”點，如下圖綠色箭頭所示．

故答案為：．【點睛】本題考查的是對題意中“馬走日”規(guī)則的理解，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖像進行假設(shè)．變式22：如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，將△ABC向右平移4格，再向上平移2格，其中每個格子的邊長為1個單位長度．⑴在圖中畫出平移后的△A′B′C′；⑵若連接AA′、CC′，則這兩條線段的關(guān)系是；⑶作△ABC的高AD，并求△ABC的面積．

【答案】（1）見解析（2）平行且相等；（3）3【分析】（1）根據(jù)平移畫圖；（2）由平移的性質(zhì)得：?AA′C′C，可得結(jié)論；（3）如圖3，畫出高線AD,根據(jù)題意，利用三角形面積公式即可求得△ABC的面積.【詳解】解：（1）如圖1，△A′B′C′即為所求；（2）AA'，CC'的關(guān)系是平行且相等；理由是：如圖2，連接AA'，CC'，根據(jù)平移的性質(zhì)可得：AA'=CC'，AA'∥CC'，故答案為相等且平行；（3）如圖3所示，AD即為所求.△ABC的面積=.【點睛】本題考查的是平移變換作圖以及平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找關(guān)鍵點的對應(yīng)點及熟記三角形的面積公式.（平移求解）例3：如圖，將向右平移得到，已知A，D兩點的距離為1，，則的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】將向右平移得到，可得圖形中每一點都沿平移方向平移了相同的距離，從而可得答案．【詳解】解：∵將向右平移得到，∴，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查的是利用平移的性質(zhì)解決問題，熟記平移的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．變式31：如圖，將沿著點B到點C的方向平移到的位置，已知，，，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】60【分析】本題主要考查平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平移的性質(zhì)得出，，結(jié)合圖形確定．【詳解】解：解：由平移的性質(zhì)知，，∴，∴．故答案為：．變式32：如圖，將沿的方向平移得到．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求平移的距離．【答案】(1)(2)1cm【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，得到對應(yīng)角相等，即可得解；（2）根據(jù)，求出的長，即為平移的距離【詳解】（1）解：將沿的方向平移得到，∴；（2）解：∵，∴，即：平移的距離為1cm．【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（平移應(yīng)用）例4：小芳和小亮在手工課上各自制作樓梯模型，如圖，則他們所用的周長（

）

A．亮亮的長 B．小芳的長 C．一樣長 D．不確定【答案】C【分析】首先根據(jù)已知圖形中兩個圖形中共同含有的邊，再判斷形狀不同的邊的長度即可．【詳解】解：兩個圖形右側(cè)邊與左側(cè)相等，上側(cè)與下側(cè)相等，即兩個圖形都可以利用平移的方法變?yōu)殚L為，寬為的長方形，所以兩個圖形的周長都為，所以他們用的周長一樣長．故選：C．【點睛】此題主要考查了平移的應(yīng)用，考生通過觀察、分析識別圖形的能力，解決此題的關(guān)鍵是通過觀察圖形確定右側(cè)與上側(cè)各邊的長相等．變式41：如圖，有一塊長方形區(qū)域，，現(xiàn)在其中修建兩條長方形小路，每條小路的寬度均為1米，若邊的長為5米，則圖中空白區(qū)域的面積為平方米．

【答案】36【分析】利用平移的性質(zhì)得出空白區(qū)域為一個矩形，則矩形的長為米，寬為米，根據(jù)矩形面積公式計算即可．【詳解】解：由平移的性質(zhì)知，空白區(qū)域為一個矩形，則矩形的長為（米），寬為（米），∴空白區(qū)域的面積（平方米），故答案為：36．【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，利用平移把空白區(qū)域可以拼成一個矩形．變式42：如圖，在一塊梯形稻田中間修兩條1米寬的路．(1)稻田實際種植的面積是多少平方米？(2)若每公頃收割水稻千克，這塊稻田共能收割水稻多少噸？【答案】(1)平方米(2)噸【分析】（1）根據(jù)圖示可知，把剩余稻田部分平移，可以拼成一個上底為米、下底為米、高為25米的梯形，利用梯形面積公式：，求其面積即可．（2）先把平方米化為公頃，再乘每公頃收割水稻千克數(shù)，最后把千克數(shù)化為噸即可得解．【詳解】（1）解：＝＝（平方米）答：稻田實際種植的面積是平方米．（2）解：平方米＝公頃=（千克）千克＝噸答：這塊稻田共能收割水稻噸．【點睛】此題的解題關(guān)鍵是把組合圖形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的梯形，靈活運用梯形的面積公式求解，注意面積、質(zhì)量單位之間的換算．（平移作圖）例5：如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，將周長為12的格點三角形ABC向右平移，得到三角形DEF（點A、B、C分別對應(yīng)點D、E、F），則四邊形AEFC的周長和面積分別為（

）A．10，14 B．14，10 C．22，20 D．20，22【答案】D【分析】先畫出平移圖形，利用平移性質(zhì)，得出四邊形AEFC的邊長，再由周長與面積公式求解．【詳解】解：如圖，因△ABC周長為12，則AB=3，BC=4，AC=5，又由圖知AD=4，由平移性質(zhì)，得CF=AD=4，DE=AB=3，EF=BC=4，∴AE=AD+DE=7，∴四邊形AEFC的周長=AE+EF+FC+AC=7+4+4+5=20，四邊形AEFC的面積=（AE+FC）BC=(7+4)×4=22．故選：D．【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是銀題的關(guān)鍵．變式51：如圖，將長為，寬為的長方形先向右平移，再向下平移，得到長方形，則陰影部分的面積為．

【答案】【分析】根據(jù)圖形移動可求出，的長，根據(jù)幾何圖形面積的計算方法即可求解，本題主要考查圖形的平移，掌握圖形平移求線段長度的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，陰影部分是矩形，長，寬，∴陰影部分的面積，故答案為：．變式52：如圖是由小正方形組成的5×7網(wǎng)格，每個小正方形邊長為1，頂點叫做格點，畫圖過程用虛線表示．(1)在圖（1）中，畫出平移后的圖形．點A、B、C平移后的對應(yīng)點分別是；(2)平移掃過的面積是______；(3)在圖（2）中，過點C畫出的平行線l，則在此網(wǎng)格內(nèi)l上有______個格點（C點除外）．【答案】(1)見解析(2)9(3)2【分析】本題考查平移的性質(zhì)．（1）根據(jù)平移的規(guī)則，畫出即可；（2）分割法求平移掃過的面積即可；（3）根據(jù)題意，畫出直線，確定l上的格點個數(shù)即可；熟練掌握平移的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）由題意，平移掃過的面積為：；故答案為：9；（3）如圖所示，直線l即為所求，由圖可知，直線上除了格點有2個格點；故答案為：2．過關(guān)檢測選擇題（共6題，每題4分）1．春節(jié)聯(lián)歡晚會上，歌手站在升降臺上上升出場的過程可以看作數(shù)學(xué)中的（

）A．對稱 B．平移 C．轉(zhuǎn)動 D．對折【答案】B【解析】略2．甲骨文是我國的一種古代文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（）A．杯 B．立 C．

比 D．曲【答案】C【分析】根據(jù)圖形平移的性質(zhì)解答即可．本題考查的是利用平移設(shè)計圖案，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖可知A不是平移得到，B不是平移得到，D不是平移得到，C是利用圖形的平移得到．故選：C．3．如圖，通過平移就能達到陰影部分位置的圖形共有______塊（注意：陰影部分本身除外）（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】略4．如圖是6級臺階側(cè)面的示意圖，如果要在臺階上鋪地毯，臺階寬為2米，那么至少要買地毯（

）平方米．A．8 B．15 C．16 D．30【答案】C【分析】本題考查有關(guān)平移的性質(zhì)、面積計算，將圖形中較短的豎線左移，較短的橫線上移，平移線段后，地毯的長度是長5米，寬3米的長方形的一組鄰邊長度和．地毯的面積=樓梯寬度×矩形的長．【詳解】解：（平方米），（平方米），∴至少要買地毯16平方米．故選：C．5．如圖所示，把直角梯形沿方向平移到梯形，，，，則陰影部分的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意，，則陰影部分的面積等于，故，即可作答．【詳解】解：因為把直角梯形沿方向平移到梯形，所以，那么則陰影部分的面積等于，即陰影部分的面積等于，故選：A【點睛】本題考查了平移性質(zhì)，難度較小，準確掌握陰影部分的面積等于是解答本題的關(guān)鍵．6．如圖，是一塊從一個邊長為的正方形材料中剪出的墊片，經(jīng)測得，則這個剪出的圖形的周長是（

）

A．80 B．89 C．98 D．99【答案】C【分析】首先把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置，根據(jù)平移的性質(zhì)可得這個墊片的周長等于正方形的周長加．【詳解】解：把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置，

這個墊片的周長：．答：這個墊片的周長為．故選：C．【點睛】此題主要考查了生活中的平移，關(guān)鍵是利用平移的方法表示出墊片的周長等于正方形的周長加．填空題（共8題，每題4分）7．如圖，將沿直線向下平移得到．如果，，那么線段的長是．【答案】4【解析】略8．已知線段，經(jīng)過平移線段得到線段，端點A移到處，端點B移到處，且，則的長為．【答案】3【分析】根據(jù)新圖形與原圖形各對應(yīng)點的連線平行且相等，即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵線段經(jīng)過平移線段得到線段，端點A移到處，端點B移到處，且，∴的長為．故答案為：3．【點睛】解答本題的關(guān)鍵是要準確把握平移的性質(zhì)：經(jīng)過平移，對應(yīng)線段平行（或共線）且相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點所連接的線段平行且相等．9．在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，右邊的“小魚”圖案是由左邊的圖案經(jīng)過一次平移得到的，則平移的距離是．

【答案】6【分析】確定一組對應(yīng)點，從而確定平移距離．【詳解】解：如圖，點是一組對應(yīng)點，，所以平移距離為6；故答案為：6

【點睛】本題考查圖形平移；確定對應(yīng)點從而確定平移距離是解題的關(guān)鍵．10．如圖所示的是一塊邊長為的正方形紙板，上面貼有四條彩帶，每條彩帶的寬度為．該正方形紙板的白色部分的面積為．【答案】196【解析】略11．如圖，，，，將沿方向平移，得到，連接，則陰影部分的周長為．【答案】11【分析】本題考查平移的性質(zhì)，根據(jù)平移性質(zhì)得到，，然后計算出陰影部分周長為的周長即可求解．利用平移的性質(zhì)得到，是解答的關(guān)鍵．【詳解】解：∵將沿方向平移，得到，∴，，∴陰影部分的周長為，故答案為：11．12．如圖，在一塊長為11，寬為8的長方形草地上，有一塊彎曲的小路，小路的左邊線向右平移1就是它的右邊線，則這塊草地的綠地面積為．

【答案】80【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得，這塊草地可看作是一個長為，寬為的矩形，然后進行計算即可解答．【詳解】解：由題意得：，這塊草地的綠地面積為，故答案為：80．【點睛】本題考查了生活中的平移現(xiàn)象，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在長為80米，寬為60米的長方形地塊上，有縱橫交錯的幾條小路（圖中陰影部分），寬均為4米，其他部分均種植花草，則種植花草的面積是平方米．

【答案】4256【分析】利用平移的思想，小路的面積相當(dāng)于橫向與縱向的兩條小路，剩下的仍是一個矩形，長為米，寬為米，再利用矩形面積公式即可求出種植花草的面積．【詳解】解：根據(jù)題意，小路的面積相當(dāng)于橫向與縱向的兩條小路，種植花草的面積（平方米）．故答案為：4256．【點睛】本題考查了圖形的平移的性質(zhì)，利用平移的思想得出新矩形是解題的關(guān)鍵．14．在一矩形花園里有兩條綠化帶．如圖所示的陰影部分，、、，、、、，且，這兩塊綠化帶的面積分別為和，則與的大小關(guān)系是．

【答案】【分析】設(shè)矩形花園的寬，根據(jù)題意可知，兩條綠化地的面積都相當(dāng)于長為，寬為的長方形的面積．【詳解】解：設(shè)矩形花園的寬，根據(jù)題意可知，兩條綠化地的面積都相當(dāng)于長為，寬為的長方形的面積，，故答案為：．【點睛】本題考查了生活中的平移，根據(jù)平移確定綠化帶的長和寬是解題的關(guān)鍵．解答題（共5題，前三題每題8分，后兩題每題10分）15．如圖，將網(wǎng)格中的圖形平移，使點A移到點處．(1)指出平移的方向和平移的距離；(2)畫出平移后的圖形．【答案】(1)平移的方向是點A到點的方向，平移的距離是線段的長度(2)見解析【詳解】解：（1）如圖，連接，平移的方向是點A到點的方向，平移的距離是線段的長度．（2）如圖，該圖形即為所求．16．如圖，三角形沿方向平移到三角形的位置．

(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)當(dāng)，時，求平移的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，得到對應(yīng)角相等．（2）由平移的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】（1）解：由平移可知，．（2）由平移可知，，，，平移的距離為．【點睛】本題主要考查圖形的平移的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．17．如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，點A、B、C均在小正方形的頂點，把三角形平移得到三角形，使C點的對應(yīng)點為．

(1)請在圖中畫出三角形；(2)過點畫出線段的垂線，垂足為O；(3)直接寫出三角形的面積為________平方單位．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)6【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，找到對應(yīng)的、然后畫出即可；（2）根據(jù)垂線的定義作圖即可；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：如圖為所作圖形；

（2）解：如圖線段為所作圖形；

（3）解：的面積為，根據(jù)平移的性質(zhì)，可得的面積也是6．18．如圖，線段AB，BC被直線AC所截，D是線段AC上的點，過點D作DE∥AB，連接AE，．將線段AE沿著直線AC平移得到線段PQ，連接DQ．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【詳解】解：（1）證明：，．，，．（2）如圖，過點D作DF∥AE交AB于點F，則．∵，由平移的性質(zhì)，得，，．，，，，19．如圖1，AB，BC被直線AC所截，點D是線段AC上的點，過點D作DEAB，連接AE，∠B＝∠E＝75°．(1)請說明AEBC的理由．(2)將線段AE沿著直線AC平移得到線段PQ，連接DQ．①如圖2，當(dāng)DE⊥DQ時，求∠Q的度數(shù)；②在整個運動中，當(dāng)∠Q＝2∠EDQ時，求∠Q的度數(shù)．③在整個運動中，求∠E、∠Q、∠EDQ之間的的等量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)①∠Q＝15°；②∠Q＝50°或150°，③∠EDQ＝∠E﹣∠Q或∠EDQ＝∠Q﹣∠E或∠