第2章分子動理論2(玻耳茲曼分布-范氏氣體-自由程)-741303594

12.4玻耳茲曼分布保守場中粒子按勢能的分布一.麥克斯韋速度分布率二.玻耳茲曼分布函數(shù)三.玻耳茲曼粒子按勢能的分布2一.麥克斯韋速度分布速度分布函數(shù)定義式為間隔內(nèi)各種速度均有3速度空間各個方向等幾率分布，因此而因此可以猜測怎么定系數(shù)？4與分子動能相連速度分布因子麥克斯韋速率分布率5

若分子速度的大小被限制在v

v+dv內(nèi)，方向可以任意，這些分子的速度矢量端點都在半徑為v,厚度為dv的球殼內(nèi)。由于在平衡態(tài)時分子速度的方向是均勻分布的，取球殼的體積4

v2dv作為體積元,有討論：可得∴有6單位時間、單位面積上的分子碰壁數(shù)

小柱體dAvxdtx器壁n各種速度方向、大小的分子都有，怎么辦？用小柱體法！

作如圖的小柱體，處于小柱體內(nèi)的，是速度基本上為的分子，它們都能在dt時間內(nèi)碰到面積

dA上

先看對速度為的分子按速度空間來看，應(yīng)對速度空間積分7

小柱體內(nèi)的分子數(shù)為n

vxdtdA

如圖小柱體內(nèi)，速度在附近，速度空間體積元dvxdvydvz內(nèi)的分子數(shù)是小柱體dAvxdtx器壁n它們都能在dt時間內(nèi)碰到面積

dA上

我們應(yīng)考慮以dA為底的各種各樣的小柱體，而且要考慮到有個分布在速度空間附近麥氏速度分布函數(shù)：單位體積內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率這就要用到麥克斯韋速度分布函數(shù)

:8小柱體dAvxdtx器壁n把各種方向大小的(vxvyvz)分子都考慮進來，就要積分：單位

時間里打到單位面積上的總分子數(shù)為（x,y,z）9積分公式：（x,y,z）=

10單位時間、單位面積上的分子碰壁數(shù)

化簡一下11

p0V

Ap外T求：【解】設(shè)t時刻容器內(nèi)分子數(shù)為N，則：例.如圖所示，已知：p0>>p外，體積V，T保持不變，小孔面積

A按麥氏分布的，N12積分：得：例如對氧

氣，設(shè)V=103cm3，

t=62.3s則計算得：T=300K時，

A=0.1mm2溫度相同時,13應(yīng)用舉例：擴散法分離同位素

生產(chǎn)核武器時，235U濃度需高達90%天然鈾235U的豐度為0.71%因為金屬U要在2500K以上才能成為鈾蒸汽所以采用在室溫下具有高蒸汽壓的U化合物UF6

分離238UF6（質(zhì)量m238）和235UF6（質(zhì)量m235）：假如和相同，多孔膜真空同位素混合氣n235n23814

“分離系數(shù)”：經(jīng)計算要使235U濃度達90%，級聯(lián)數(shù)為1131,這需要占用大量的廠房，消耗大量的電力。讓新比例的同位素混合氣向下一級真空室擴散，又可以使235U的比例增大。………多級擴散器15麥克斯韋速率分布律的實驗驗證1920.Stern實驗

1934.葛正權(quán)實驗

1955.Milletandkusch實驗葛正權(quán)實驗O---鉍蒸氣源,

溫度為TS1,S2,S3---狹縫Q---圓筒,轉(zhuǎn)速可達

500轉(zhuǎn)/秒G---玻璃薄板16實驗的物理思想:

設(shè)速率為v

的分子沉積在P’處,

飛行時間一定的S

值相應(yīng)于一定的分子速率

v弧長PP’

=S17實驗中,圓筒轉(zhuǎn)動約十幾小時;用測微光度計測定薄玻璃板上各處分子的沉積厚度分子的沉積厚度隨S的變化關(guān)系實驗結(jié)果：符合麥克斯韋速率分布率分子數(shù)與速率的關(guān)系18二.玻耳茲曼分布函數(shù)玻耳茲曼把麥氏速度分布推廣到理想氣體處在保守力場的情形。19在坐標附近單位坐標間隔內(nèi)速度附近單位速度間隔內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比物理含義？20區(qū)間內(nèi)分子數(shù)分布于單位體積內(nèi)的分子數(shù)三.玻耳茲曼粒子按勢能的分布21重力場中粒子按重力勢能分布22高度計的原理：式中

P0=n0kT為地面處的壓強，此式假設(shè)了高處與低處的溫度T

相同所以上式稱為恒溫氣壓公式可以從氣壓計上氣壓的讀數(shù)P

知道離地面的高度

h23任何物質(zhì)微粒(氣體、液、固體分子、原子、布朗粒子等)在任何保守場(重力場、靜電場--)中運動性形均相同愈小粒子數(shù)愈多原子中粒子數(shù)按能級的分布基態(tài)粒子數(shù)最多242.5氣體分子的平均自由程一.平均碰撞頻率二.真空的概念25發(fā)難：荷蘭化學家巴洛特---擴散與矛盾分子運動論的佯謬解釋：粒子走了一條艱難曲折的路26平均自由程平均碰撞頻率描述的物理量是27一.平均碰撞頻率典型的推導必要的假設(shè)：1)同種分子分子有效直徑2)彈性碰撞3)一個分子動其余不動平均來看相對運動速度為2829推導：跟蹤a分子平均碰撞頻率——一個分子一秒鐘被碰的次數(shù)碰撞截面3031令3233二.真空的概念理論公式表明34但容器的線度l<<實際分子的平均自由程就是容器的線度l與壓強無關(guān)微觀上的真空時35例1標況下平均碰撞頻率和平均自由程解:36例2直徑5厘米的容器內(nèi)部充滿氮氣真空度10-3Pa

求:常溫(293K)下平均自由程的理論計算值解：37>>容器線度5厘米382.6范德瓦耳斯方程一.范氏氣體模型二.真實氣體的狀態(tài)方程三.范氏氣體等溫線與真實氣體等溫線39真實氣體問題解決問題的基本思路：真實氣體用理想氣體模型有兩個明顯缺陷:

理想氣體忽略了分子本身的體積（即忽略了分子間的斥力）理想氣體忽略了分子間的引力必須建新的模型

從物理上審視理想氣體模型→結(jié)果→與實際比較分子力：t=47~s=915~引力斥力力分子斥力引力rfo

分子間在距離較近時表現(xiàn)為斥力距離較遠時表現(xiàn)為引力一.范德瓦耳斯氣體模型41范氏微觀簡化模型：

（1）分子是直徑為d（~10-10m）的剛性小球;dsrfO范氏氣體模型（2）在d–s

范圍內(nèi)分子間有恒定吸引力。有引力的分子剛球模型s稱為分子作用球半徑。當分子碰撞時才反映出排斥力。sr0r合力斥力引力dfO10-9m分子力42二.真實氣體的狀態(tài)方程1mol理氣狀態(tài)方程理氣分子活動的空間實際測量值431mol

氣體分子的空間體積為=分子本身體積之和BA1.斥力引起對活動空間的修正一對分子空間體積為44引入一個因子b

修正理氣方程中的實測與分子種類有關(guān)完成了第一步的修正1mol理氣狀態(tài)方程452.考慮分子間引力引起的修正理氣P--分子碰壁的平均作用力動量定理真實氣體βpia理氣壓強實測壓強為什么不考慮器壁和分子之間的吸引力？46

并不影響氣體對器壁的壓強

考慮器壁的吸引力后分子給器壁的沖量一覽表關(guān)鍵:在器壁吸引分子的同時，氣體分子也吸引器壁

飛向器壁的過程中彈性碰撞的過程中

飛離器壁的過程中總計分子同樣大小的動量增加分子同樣大小的動量減小由于動量增加多出來的沖量47修正為內(nèi)壓強基本完成了第二步的修正由于分子之間存在引力而造成對器壁壓強減少481)與碰壁的分子數(shù)成正比2)與對碰壁分子有吸引力作用的分子數(shù)成正比即寫成內(nèi)壓強49與分子的種類有關(guān)需實際測量1mol范氏氣體狀態(tài)方程為與分子有關(guān)的修正因子查表對CO2：a=3.64

10-1

米6

帕/摩爾2，b=4.36米3/摩爾50任意摩爾數(shù)的范氏氣體方程范德瓦爾斯(1837-1923)

荷蘭人范德瓦耳斯由于在研究氣態(tài)和液態(tài)方程方面的貢獻,

獲1910年諾貝爾物理學獎。51數(shù)據(jù)：1摩爾氮氣在T=273K時的數(shù)據(jù)：這表明范氏方程適用性更大實

驗

值計

算

值p(atm)v（l）pv(latm)l)(atm))((2.-+bapvv122.4122.4122.411000.222422.2422.405000.0623531.1722.677000.0532537.2722.659000.0482543.4022.410000.046446.422.0.CO等溫壓縮實驗2pVO三.范氏氣體的等溫線和真實氣體的等溫線真實氣體的等溫線壓強計.v(10-3m3.kg-1)k2.1773.231.10C210C130Cp/×105Pa45.5o比容壓強48.10C氣汽液共存液CO2

等溫線臨界點48C13C00CPVo臨界點范德瓦爾斯等溫線和真實氣體等溫線的比較′AA..過飽和蒸汽（云室）過熱液體（氣泡室）不可能實現(xiàn)范氏氣體能較好地描述真實氣體AA′BB′AB′′B.B.′55相圖與水的三相點物質(zhì)的汽、液、固三相的變化，是在一定的溫度（T）和壓強(P)下發(fā)生的相圖常以P-T圖的形式畫出:這時等溫線是一條垂直線相變時體積會發(fā)生變化，同時有一定的熱量吸入或放出。56前面OK段汽液共存的狀態(tài)（壓強不變）只是一個點，這個點相應(yīng)的壓強就是飽和蒸汽壓。

不同溫度T1,T2,TK有不同的飽和蒸汽壓。

汽液共存點構(gòu)成的曲線（OK）上方為液相，下方為汽相。OK線稱為汽化線。

同理，通過O點有另外兩條相變曲線稱為熔解線，升華線。O稱為三相點。57可以看出，水的三相點相應(yīng)于確定的壓強和溫度，是唯一的（為什么）。它不象水的冰點（二相點）和沸點（二相點）,隨壓強而改變。（它們只是在1大氣壓下才是0oC,

和100oC,）它被取作國際公認的溫度標準。58范氏氣體內(nèi)能理想氣體：分子動能考慮1mol氣體范氏氣體：除分子動能外，還有勢能Ep(v)。勢能多大？例.設(shè)分子間距為無限大時分子之間的勢能為零，即氣體體積為無限大時氣體的勢能為零證明1mol范氏氣體的內(nèi)能為：59【證】范氏氣體由于分子力的存在，靠活塞處分子受向內(nèi)的力，(內(nèi)壓強為Pi)分子力是保守力，保守力的功與系統(tǒng)勢能的關(guān)系為

piVSdl1mol60

1mol范氏氣體：證畢當氣體體積增大，活塞右移時，活塞處氣體分子也向右移動，受的保守引力作負功，或Pi

作負功：612.7輸運過程三種基本輸運過程：內(nèi)摩擦，熱傳導，擴散。當流體內(nèi)各部分流動速度不同時，就有內(nèi)摩擦（或粘滯）現(xiàn)象。宏觀性質(zhì)不均勻的非平衡態(tài)在不受外界的影響下由于分子的熱運動和分子之間的碰撞宏觀性質(zhì)均勻的平衡態(tài)一.內(nèi)摩擦62設(shè)兩個大平板之間裝有流體，下板靜止，上板沿x方向勻速運動。板間流體都被帶動，但是各層流體的定向運動速度不同，存在流速梯度。流體設(shè)在zo處,面積dS的上層對下層的內(nèi)摩擦力

(或粘滯力)為;下層對上層的內(nèi)摩擦力為其反作用力。

63宏觀實驗規(guī)律：

內(nèi)摩擦系數(shù)(或粘滯系數(shù)),

與流體的性質(zhì)和狀態(tài)有關(guān),

可以實驗測定。測定

的實驗裝置簡圖：A筒保持一定的轉(zhuǎn)速，B筒相應(yīng)地偏轉(zhuǎn)一定的角度（可由小鏡反射的光線測得）；小鏡ABC64從微觀分子動理論推導得（見后面）：懸絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)和B筒的半徑都是已知的，可算出內(nèi)摩擦力；小鏡ABC速度梯度和面積也可以直接測得；于是，從公式可以算出內(nèi)摩擦系數(shù)

。與實驗基本符合。65從分子運動角度看內(nèi)摩擦現(xiàn)象：從分子運動看,各層流體的流速不同,是在各層分子無規(guī)則熱運動之上加上去的定向運動的速度不同。由于熱運動,下層的分子跑到上層時帶去較小的定向動量;上層的分子跑到下層時帶去較大的定向動量,下層的定向動量增大,所以宏觀上看等于下層受到了指向前方的內(nèi)摩擦力。66內(nèi)摩擦現(xiàn)象的微觀本質(zhì)是：分子在無序的熱運動中輸運定向動量的過程簡化模型:(1)認為dS上下交換的分子都是沿z軸運動的，并且單位體積中各有的分子沿+z,-z方向運動。下面近似地推導關(guān)系式：微觀本質(zhì):67

這樣,在dt時間內(nèi),從

dS一側(cè)跑到另一側(cè)的分子數(shù)為（2）假設(shè)分子越過

dS面之前都是在離dS面距離約為平均自由程處發(fā)生最后一次碰撞的而且它們帶過來的定向動量，就是在那里的定向動量……

“一次同化論”假設(shè)68

分子由上到下攜帶的動量是;

分子由下到上攜帶的動量是.

因此,在dt時間內(nèi),

在dS下方的流體層凈增加的定向動量為69由牛Ⅱ,dS下方的流體層相應(yīng)受到的內(nèi)摩擦力就是因為定向運動動量為p=mu70二.熱傳導宏觀實驗規(guī)律：在dt時間內(nèi)，通過x0

處dS面，沿+x

方向傳遞的熱量為當流體內(nèi)各部分溫度不同時，就有熱傳導現(xiàn)象。71說明：(1)負號的意義：熱量總是由高溫處傳向低溫處。

若dx=x2-x1>0,dT=T2-T1>0,

則dQ<0-----表示向-x方向傳熱；(2)導熱系數(shù)

：與流體的性質(zhì)和狀態(tài)有關(guān),可以實驗測定，也可以理論推導得（不要求）式中Cv——定容比熱72實驗指出：

一般與壓強P無關(guān)；

但在壓強很低時

隨壓強p的減小而減?。ɡ?，暖水瓶膽）。理論上如何解釋

73

理論上解釋：所以

一般與P無關(guān)。

但是在壓強P很低時，，

所以

就與P有關(guān)了：