2.3.2 等腰、等邊三角形的判定

第2章三角形2.3等腰三角形第2課時等腰、等邊三角形的判定基礎過關全練知識點3等腰三角形的判定10.如圖所示的三角形中，等腰三角形的個數(shù)是()A.4 B.3 C.2 D.111.(2023湖北宜昌期中)如圖，AD=BC，AB=AC=BD，∠D=∠DEA=∠C，則圖中的等腰三角形一共有()A.2個 B.3個 C.4個 D.5個12.如圖，AD是等腰三角形ABC的底邊BC上的中線，DE∥AB，交AC于點E.求證：△AED是等腰三角形.13.如圖，P是△ABC內部一點，若∠PBC=∠PCB=10°，△APC是等邊三角形，求∠ABP的度數(shù).14.如圖，∠1+∠2=180°，GP平分∠BGH.(1)求證：GH=PH；(2)若∠1=116°，求∠GPD的度數(shù).15.如圖，在△ABC中，DE∥AC，EF∥AB，∠BED=∠CEF.(1)試證明△ABC是等腰三角形；(2)探索AB+AC與四邊形ADEF周長的關系.知識點4等邊三角形的判定16.(2023廣西桂林龍勝期中)下列三角形：①有兩個角等于60°的三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個角都相等的三角形；④三條邊都相等的三角形，其中是等邊三角形的是()A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④17.如圖，∠B=∠C，AB∥DE，EC=ED，求證：△DEC為等邊三角形.18.如圖，AC與BD相交于點O，若OA=OB，∠A=60°，且AB∥CD，求證：△OCD是等邊三角形.能力提升全練19.(2022山東淄博中考)某城市幾條道路的位置關系如圖所示，道路AB∥CD，道路AB與AE的夾角∠BAE=50°.城市規(guī)劃部門想新修一條道路CE，要求CF=EF，則∠E的度數(shù)為()A.23° B.25° C.27° D.30°20.(2022四川自貢中考)一個等腰三角形頂角的度數(shù)比它的一個底角度數(shù)的2倍多20°，則這個底角的度數(shù)是()A.30° B.40° C.50° D.60°21.(2023湖南岳陽期中)如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，則△AED的周長為()A.2 B.3 C.4 D.522.(2022山東濱州中考改編)如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且頂角∠BAC=120°，則∠DAC的度數(shù)為.

23.(2023湖南長沙瀏陽期中)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD的平分線與BA的延長線相交于點E，且BH⊥EC于點H.(1)判斷△EBC的形狀并證明；(2)求證：CH=EH.24.(2022山西臨汾期末)如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，BC=8，∠BAC=90°，AD是∠BAC的平分線，交BC于D，AD=4，E是AB的中點，連接DE.(1)求∠B的度數(shù)；(2)求△BDE的面積.25.(2022浙江溫州中考)如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E.(1)求證：∠EBD=∠EDB；(2)當AB=AC時，請判斷CD與ED的大小關系，并說明理由.26.(2022陜西西安蓮湖期中)如圖，△ABC是邊長為10cm的等邊三角形，動點P從點B出發(fā)以3cm/s的速度沿著B→A→C→B的路徑移動，最終回到B點，同時動點Q從點C出發(fā)以2cm/s的速度沿著C→B→A→C的路徑移動，最終回到C點，它們移動的時間為ts.(1)當動點P在AB邊上移動時，BP=cm，BQ=cm；(用含t的式子表示)

(2)當PQ∥AC時，求t的值.素養(yǎng)探究全練27.(2021浙江紹興中考)如圖，在△ABC中，∠A=40°，點D，E分別在邊AB，AC上，BD=BC=CE，連接CD，BE.(1)若∠ABC=80°，求∠BDC，∠ABE的度數(shù)；(2)寫出∠BEC與∠BDC之間的數(shù)量關系，并說明理由.28.在數(shù)學實踐課上，老師以“含30°角的直角三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學們開展如下數(shù)學活動：在等腰三角形紙片ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，將一塊含30°角的足夠大的直角三角板PMN(∠M=90°，∠MPN=30°)按如圖所示的方式放置，頂點P在線段AB上滑動(點P不與A，B重合)，三角板的直角邊PM始終經(jīng)過點C，并與CB的夾角為α(∠PCB=α)，斜邊PN交AC于點D.【特例感知】(1)當∠BPC=110°時，α=，點P從B向A滑動時，∠ADP逐漸變(填“大”或“小”)；

【思維拓展】(2)在點P滑動的過程中，△PCD可以是等腰三角形嗎?若可以，請求出α的大??；若不可以，請說明理由.

第2章三角形2.3等腰三角形第2課時等腰、等邊三角形的判定答案全解全析基礎過關全練10.B三角形①有兩條邊相等，故是等腰三角形；三角形②的三個內角分別為50°，35°，95°，故不是等腰三角形；三角形③的三個內角分別為100°，40°，40°，故是等腰三角形；三角形④的三個內角分別為90°，45°，45°，故是等腰三角形.綜上，是等腰三角形的有3個.11.D∵AB=AC=BD，∴△ABD和△ABC是等腰三角形，∵∠D=∠C=∠DEA=∠BEC，∴AD=AE，BC=BE，∴△ADE和△BEC是等腰三角形，∵AD=BC，∴AE=BE，∴△AEB是等腰三角形，圖中共有5個等腰三角形，故選D.12.證明∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，∵AD是底邊BC上的中線，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD，∴∠ADE=∠CAD，∴△AED是等腰三角形.13.解析∵△APC是等邊三角形，∴∠PAC=∠PCA=60°，AP=PC，∵∠PBC=∠PCB=10°，∴PB=PC，∴AP=PB，∴∠ABP=∠PAB=12∴∠ABP的度數(shù)為20°.14.解析(1)證明：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠BGH=180°，∴∠2=∠BGH，∴AB∥CD，∴∠GPH=∠PGB，∵GP平分∠BGH，∴∠PGH=∠PGB，∴∠GPH=∠PGH，∴GH=PH.(2)∵∠1=116°，∴∠GHP=∠1=116°，∠BGH=180°-∠1=64°，∵GP平分∠BGH，∴∠PGH=32°，∵∠GPD是△GPH的外角，∴∠GPD=∠PGH+∠GHP=148°.15.解析(1)證明：∵DE∥AC，∴∠BED=∠C，∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B，∵∠BED=∠CEF，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形.(2)由(1)可得∠C=∠CEF=∠BED=∠B，∴EF=CF，DE=DB，∴AB+AC=AD+BD+CF+AF=AD+DE+EF+AF=四邊形ADEF的周長.16.D根據(jù)等邊三角形的判定定理可知①②③④都是等邊三角形.17.證明∵∠B=∠C，AB∥DE，∴∠DEC=∠B=∠C，∵EC=ED，∴∠C=∠EDC，∴∠DEC=∠C=∠EDC=60°，∴△DEC為等邊三角形.18.證明∵OA=OB，∴∠B=∠A=60°，∵AB∥CD，∴∠C=∠A=60°，∠D=∠B=60°，∴∠DOC=180°-∠D-∠C=60°，∴△OCD是等邊三角形.能力提升全練19.B∵AB∥CD，∴∠DFE=∠BAE=50°，∵CF=EF，∴∠C=∠E，∵∠DFE=∠C+∠E，∴∠E=12∠DFE=120.B設一個底角的度數(shù)是x°，則頂角的度數(shù)為(2x+20)°，根據(jù)題意得x+x+2x+20=180，解得x=40，故選B.21.C∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵ED∥BC，∴∠CBD=∠BDE，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，∴△AED的周長=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=3+1=4.故選C.22.答案60°解析∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，又∵∠BAC=120°，∴∠DAC=1223.解析(1)△EBC是等腰三角形，證明如下：∵AB∥CD，∴∠E=∠ECD，∵CE平分∠BCD，∴∠ECB=∠ECD，∴∠ECB=∠E，∴BE=BC，即△EBC是等腰三角形.(2)證明：由(1)知，BE=BC，又∵BH⊥CE，∴CH=EH.24.解析(1)∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=12(2)∵AB=AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，BD=12∴S△BED=S△AED=12S△ABD=12×12AD·BD=125.解析(1)證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD=∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB.(2)CD=ED，理由：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴AC-AD=AB-AE，即CD=BE，由(1)得，∠EBD=∠EDB，∴BE=DE，∴CD=ED.26.解析(1)∵△ABC是邊長為10cm的等邊三角形，∴AB=BC=10cm，又∵動點P的速度為3cm/s，動點Q的速度為2cm/s，∴當動點P在AB邊上移動時，BP=3tcm，BQ=(10-2t)cm.故答案為3t；(10-2t).(2)①當動點P在AB邊上移動時，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠C=∠B=60°，當PQ∥AC時，∠BQP=∠C=60°，∠BPQ=∠A=60°，∴△BQP是等邊三角形，∴BQ=BP，即10-2t=3t，解得t=2；②當動點P在BC邊上移動時，同理可得10-(3t-20)=2t-10，解得t=8.綜上所述，當PQ∥AC時，t的值為2或8.素養(yǎng)探究全練27.解析(1)∵∠ABC=80°，BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=12∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°，∴∠ACB=180°-40°-80°=60°，又∵CE=BC，∴△BCE是等邊三角形，∴∠EBC=60°，∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=80°-60°=20°.(2)∠BEC+∠BDC=110°.理由：設∠BEC=α，∠BDC=β，則α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE，∵CE=BC，∴∠CBE=∠BEC=α，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2∠ABE=40°+2∠ABE，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=β，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°，∴β=70°-∠ABE，∴α+β=40°+∠ABE+70°-∠ABE=110°，∴∠BEC+∠BDC=110°.28.解析(1)40°；小.詳解：∵CA=CB，∠ACB=120°，∴∠B=30°，∴α=180°-110°-30°=40°.∵∠ADP是△DCP的外角，∴∠ADP=∠ACP+∠MPN，∵在點P從B向A滑動時，α逐漸變大，∠ACP=∠ACB-α，∴∠ACP隨著α的變大而逐漸變小，又∵∠MPN=30°，保持不變，∴∠ADP