新課程新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修3：全概率公式

第七章隨機(jī)變量及其分布

7.1條件概率與全概率公式7.1.2全概率公式

條件概率1.定義:一般地,設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(A)>0,我們稱

P(B|A)

為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率,簡(jiǎn)稱條件概率.2.概率的乘法公式:對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A).我們稱該式為概率的乘法公式.熱身訓(xùn)練——回顧舊知2.已知

(

)A.

B.

C.

D.

熱身訓(xùn)練——回顧舊知C解:設(shè)A=“下雨”,B=“刮風(fēng)”,AB=“既刮風(fēng)又下雨”,則C條件概率概率的乘法公式一、探入與展示引例：一個(gè)盒子中有6只紅球、4只黑球，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.顯然,第1次摸到紅球的概率為0.6，那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計(jì)算這個(gè)概率呢？假設(shè)A1=“第一次摸到紅球”A2=“第一次摸到黑球”B=“第二次摸到紅球”A2A1B

易知,A1∪A2=Ω，且互斥，

一、探入與展示引例：一個(gè)盒子中有6只紅球、4只黑球，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.顯然,第1次摸到紅球的概率為0.6，那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計(jì)算這個(gè)概率呢？A2A1B一、探入與展示引例：一個(gè)盒子中有6只紅球、4只黑球，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.顯然,第1次摸到紅球的概率為0.6，那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計(jì)算這個(gè)概率呢？A2A1B所以，第2次摸到紅球的概率是0.6.

加法公式

乘法公式

按照某種標(biāo)準(zhǔn),將一個(gè)復(fù)雜事件表示為兩個(gè)互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式，求得這個(gè)復(fù)雜事件的概率.B

思考：按照某種標(biāo)準(zhǔn),將一個(gè)復(fù)雜事件B表示為n個(gè)(A1,A2,....An)互斥事件的并,根據(jù)概率的加法公式和乘法公式，如何求這個(gè)復(fù)雜事件B的概率？A1A2A3AnA4…B

加法公式

乘法公式全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對(duì)任意的事件B?Ω,有P(B)=_______________.=_______________.二、探讀與思考A1A2A3AnA4…B10二、探讀與思考例1：某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計(jì)算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率。解：設(shè)A1=“第1天去A餐廳用餐”,

A2=“第1天去B餐廳用餐”,B=“第2天去A餐廳用餐”，B0.50.5A2A10.60.8

設(shè)事件

根據(jù)題意P(A1)=P(A2)=0.5,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.8,由因求果三、探疑與點(diǎn)撥

寫(xiě)概率例1：某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計(jì)算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率。由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B|A1)+

P(A2)P(B|A2)=0.5?0.6+0.5?0.8=0.7因此，王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為0.7.BA2A10.50.50.60.8

代公式由因求果三、探疑與點(diǎn)撥【小結(jié)】全概率公式求概率的步驟：1.設(shè)事件：把事件B（結(jié)果事件）看作某一過(guò)程的結(jié)果,把A1,A2,…,An

看作導(dǎo)致結(jié)果的若干個(gè)原因；2.寫(xiě)概率：由已知，寫(xiě)出每一原因發(fā)生的概率(即P(Ai

)),

且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度(即P(B|Ai

))；3.代公式：用全概率公式計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率(即P(B)

).由因求果

例2：某人去某地，乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4，乘坐這四種交通工具遲到的概率分別為0.25,0.3,0.1,0.2,求他遲到的概率．解：設(shè)A1＝“乘火車去”,

A2＝“乘輪船去”，

A3＝“乘汽車去”,A4＝“乘飛機(jī)去”，

B＝“遲到”.

易知,A1∪A2∪A3∪A4=Ω，

且兩兩互斥，

BA1A2A3A40.30.20.10.40.250.30.10.2由因求果設(shè)事件四、引導(dǎo)與遷移

例2：某人去某地，乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4，乘坐這四種交通工具遲到的概率分別為0.25,0.3,0.1,0.2,求他遲到的概率．由已知得

P(A1)＝0.3,P(A2)=0.2，

P(A3)＝0.1,P(A4)＝0.4，

P(B|A1)＝0.25,P(B|A2)＝0.3，

P(B|A3)＝0.1,P(B|A4)＝0.2，

=0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0.2=0.225BA1A2A3A40.30.20.10.40.250.30.10.2由因求果寫(xiě)概率代公式四、引導(dǎo)與遷移16

變式：例2中，條件不變，問(wèn)題變?yōu)椋?/p>

“他遲到了，求他乘汽車遲到的概率”．貝葉斯公式已知結(jié)果四、引導(dǎo)與遷移求原因分析：就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下，事件A3發(fā)生的概率.對(duì)分子用乘法公式

分母用全概率公式9*貝葉斯公式

k

P(Ai

)P(

B

|

Ai

)i

1P(A

|

B)

P(Ak

)P(

B

|

Ak

) ; k

1,

2,...,

n,

證明:由條件概率的公式:kP(

B)

P(A

|

B)

P(Ak

B)

P(Ak

)P(B

|

Ak

)

.

P(Ai

)P(

B

|

Ai

)i

1對(duì)分子用乘法公式對(duì)分母用全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩