中考數(shù)學二次函數(shù)動點問題-因動點產(chǎn)生的面積問題

因動點產(chǎn)生的面積問題例12013年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b、c是常數(shù)，且c＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸的負半軸交于點C，點A的坐標為(－1,0)．（1）b＝______，點B的橫坐標為_______（上述結果均用含c的代數(shù)式表示）；（2）連結BC，過點A作直線AE//BC，與拋物線交于點E．點D是x軸上一點，坐標為(2,0)，當C、D、E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一動點，連結PB、PC．設△PBC的面積為S．①求S的取值范圍；②若△PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的△PBC共有_____個．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“13蘇州29”，拖動點C在y軸負半軸上運動，可以體驗到，△EHA與△COB保持相似．點擊按鈕“C、D、E三點共線”，此時△EHD∽△COD．拖動點P從A經(jīng)過C到達B，數(shù)一數(shù)面積的正整數(shù)值共有11個．請打開超級畫板文件名“13蘇州29”，拖動點C在y軸負半軸上運動，可以體驗到，△EHA與△COB保持相似．點擊按鈕“C、D、E三點共線”，此時△EHD∽△COD．拖動點P從A經(jīng)過C到達B，數(shù)一數(shù)面積的正整數(shù)值共有11個．思路點撥1．用c表示b以后，把拋物線的一般式改寫為兩點式，會發(fā)現(xiàn)OB＝2OC．2．當C、D、E三點共線時，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．3．求△PBC面積的取值范圍，要分兩種情況計算，P在BC上方或下方．4．求得了S的取值范圍，然后羅列P從A經(jīng)過C運動到B的過程中，面積的正整數(shù)值，再數(shù)一數(shù)個數(shù)．注意排除點A、C、B三個時刻的值．滿分解答（1）b＝，點B的橫坐標為－2c．（2）由，設E．過點E作EH⊥x軸于H．由于OB＝2OC，當AE//BC時，AH＝2EH．所以．因此．所以．當C、D、E三點在同一直線上時，．所以．整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或（舍去）．所以拋物線的解析式為．（3）①當P在BC下方時，過點P作x軸的垂線交BC于F．直線BC的解析式為．設，那么，．所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．因此當P在BC下方時，△PBC的最大值為4當P在BC上方時，因為S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．綜上所述，0＜S＜5．②若△PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的△PBC共有11個．考點伸展點P沿拋物線從A經(jīng)過C到達B的過程中，△PBC的面積為整數(shù)，依次為（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．當P在BC下方，S＝4時，點P在BC的中點的正下方，F(xiàn)是BC的中點．例22012年菏澤市中考第21題如圖1，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A(0,1)、B(2,0)、O(0,0)，將此三角板繞原點O逆時針旋轉90°，得到三角形A′B′O．（1）一拋物線經(jīng)過點A′、B′、B，求該拋物線的解析式；（2）設點P是第一象限內拋物線上的一個動點，是否存在點P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出它的兩條性質．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12菏澤21”，拖動點P在第一象限內的拋物線上運動，可以體驗到，當四邊形PB′A′B是等腰梯形時，四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．請打開超級畫板文件名“12菏澤21”，拖動點P在第一象限內的拋物線上運動，可以體驗到，當四邊形PB′A′B是等腰梯形時，四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．思路點撥1．四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，可以轉化為四邊形PB′OB的面積是△A′B′O面積的3倍．2．聯(lián)結PO，四邊形PB′OB可以分割為兩個三角形．3．過點向x軸作垂線，四邊形PB′OB也可以分割為一個直角梯形和一個直角三角形．滿分解答（1）△AOB繞著原點O逆時針旋轉90°，點A′、B′的坐標分別為(－1,0)、(0,2)．因為拋物線與x軸交于A′(－1,0)、B(2,0)，設解析式為y＝a(x＋1)(x－2)，代入B′(0,2)，得a＝1．所以該拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．（2）S△A′B′O＝1．如果S四邊形PB′A′B＝4S△A′B′O＝4，那么S四邊形PB′OB＝3S△A′B′O＝3．如圖2，作PD⊥OB，垂足為D．設點P的坐標為(x，－x2＋x＋2)．．．所以．解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．所以點P的坐標為(1，2)．圖2圖3圖4（3）如圖3，四邊形PB′A′B是等腰梯形，它的性質有：等腰梯形的對角線相等；等腰梯形同以底上的兩個內角相等；等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是經(jīng)過兩底中點的直線．考點伸展第（2）題求四邊形PB′OB的面積，也可以如圖4那樣分割圖形，這樣運算過程更簡單．．．所以．甚至我們可以更大膽地根據(jù)拋物線的對稱性直接得到點P：作△A′OB′關于拋物線的對稱軸對稱的△BOE，那么點E的坐標為(1，2)．而矩形EB′OD與△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四邊形EB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．因此點E就是要探求的點P．例32012年河南省中考第23題如圖1，在平面直角坐標系中，直線與拋物線y＝ax2＋bx－3交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為3．點P是直線AB下方的拋物線上的一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PD⊥AB于點D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）設點P的橫坐標為m．①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；②連結PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三角形的面積比為9∶10？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12河南23”，拖動點P在直線AB下方的拋物線上運動，可以體驗到，PD隨點P運動的圖象是開口向下的拋物線的一部分，當C是AB的中點時，PD達到最大值．觀察面積比的度量值，可以體驗到，左右兩個三角形的面積比可以是9∶10，也可以是10∶9．思路點撥1．第（1）題由于CP//y軸，把∠ACP轉化為它的同位角．2．第（2）題中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）題已經(jīng)做好了鋪墊．3．△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應高DN與BM的比．4．兩個三角形的面積比為9∶10，要分兩種情況討論．滿分解答（1）設直線與y軸交于點E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．因為PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．將A(－2,0)、B(4,3)分別代入y＝ax2＋bx－3，得解得，．（2）由，，得．所以．所以PD的最大值為．（3）當S△PCD∶S△PCB＝9∶10時，；當S△PCD∶S△PCB＝10∶9時，．圖2考點伸展第（3）題的思路是：△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應高DN與BM的比．而，BM＝4－m．①當S△PCD∶S△PCB＝9∶10時，．解得．②當S△PCD∶S△PCB＝10∶9時，．解得．例42011年南通市中考第28題如圖1，直線l經(jīng)過點A(1，0)，且與雙曲線(x＞0)交于點B(2，1)．過點(p＞1)作x軸的平行線分別交曲線(x＞0)和(x＜0)于M、N兩點．（1）求m的值及直線l的解析式；（2）若點P在直線y＝2上，求證：△PMB∽△PNA；（3）是否存在實數(shù)p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11南通28”，拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，當直線MN經(jīng)過（0，2）點時，圖形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是兩個同高的三角形，MN＝4MP存在兩種情況．思路點撥1．第（2）題準確畫圖，點的位置關系盡在圖形中．2．第（3）題把S△AMN＝4S△AMP轉化為MN＝4MP，按照點M與線段NP的位置關系分兩種情況討論．滿分解答（1）因為點B(2，1)在雙曲線上，所以m＝2．設直線l的解析式為，代入點A(1，0)和點B(2，1)，得解得所以直線l的解析式為．（2）由點(p＞1)的坐標可知，點P在直線上x軸的上方．如圖2，當y＝2時，點P的坐標為(3，2)．此時點M的坐標為(1，2)，點N的坐標為(－1，2)．由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三點的位置關系，可知△PMB為等腰直角三角形．由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三點的位置關系，可知△PNA為等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．圖2圖3圖4（3）△AMN和△AMP是兩個同高的三角形，底邊MN和MP在同一條直線上．當S△AMN＝4S△AMP時，MN＝4MP．①如圖3，當M在NP上時，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或（此時點P在x軸下方，舍去）．此時．②如圖4，當M在NP的延長線上時，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解得或（此時點P在x軸下方，舍去）．此時．考點伸展在本題情景下，△AMN能否成為直角三角形？情形一，如圖5，∠AMN＝90°，此時點M的坐標為（1，2），點P的坐標為（3，2）．情形二，如圖6，∠MAN＝90°，此時斜邊MN上的中線等于斜邊的一半．不存在∠ANM＝90°的情況．圖5圖6例52010年廣州市中考第25題如圖1，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為(3,0)，(0,1)．點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線交折線OAB于點E．（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關系式；（2）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出重疊部分的面積；若改變，請說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“10廣州25”，拖動點D由C向B運動，觀察S隨b變化的函數(shù)圖象，可以體驗到，E在OA上時，S隨b的增大而增大；E在AB上時，S隨b的增大而減?。p擊按鈕“第（3）題”，拖動點D由C向B運動，可以觀察到，E在OA上時，重疊部分的形狀是菱形，面積不變．雙擊按鈕“第（2）題”可以切換．思路點撥1．數(shù)形結合，用b表示線段OE、CD、AE、BE的長．2．求△ODE的面積，要分兩種情況．當E在OA上時，OE邊對應的高等于OC；當E在AB邊上時，要利用割補法求△ODE的面積．3．第（3）題中的重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形．4．圖形翻著、旋轉等運動中，計算菱形的邊長一般用勾股定理．滿分解答(1)①如圖2，當E在OA上時，由可知，點E的坐標為(2b,0)，OE＝2b．此時S＝S△ODE＝．②如圖3，當E在AB上時，把y＝1代入可知，點D的坐標為(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入可知，點E的坐標為，AE＝，BE＝．此時S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD＝．(2)如圖4，因為四邊形O1A1B1C1與矩形OABC關于直線DE對稱，因此DM＝DN，那么重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形，即四邊形DMEN是菱形．作DH⊥OA，垂足為H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．設菱形DMEN的邊長為m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得．所以重疊部分菱形DMEN的面積為．圖2圖3圖4考點伸展把本題中的矩形OABC繞著它的對稱中心旋轉，如果重疊部分的形狀是菱形（如圖5），那么這個菱形的最小面積為1，如圖6所示；最大面積為，如圖7所示．圖5圖6圖7例62010年揚州市中考第28題如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜邊AB上的高，點E在斜邊AB上，過點E作直線與△ABC的直角邊相交于點F，設AE＝x，△AEF的面積為y．（1）求線段AD的長；（2）若EF⊥AB，當點E在斜邊AB上移動時，①求y與x的函數(shù)關系式（寫出自變量x的取值范圍）；②當x取何值時，y有最大值？并求出最大值．（3）若點F在直角邊AC上（點F與A、C不重合），點E在斜邊AB上移動，試問，是否存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請說明理由．圖1備用圖動感體驗請打開幾何畫板文件名“10揚州28”，拖動點E在AB上運動，從y隨x變化的圖象可以體驗到，當F在AC上時，y隨x的增大而增大；當F在BC上時，y隨x變化的圖象是開口向下的拋物線的一部分，y的最大值對應拋物線的頂點．雙擊按鈕“第（3）題”，我們已經(jīng)設定好了EF平分△ABC的周長，拖動點E，觀察圖象，可以體驗到，“面積AEF”的值可以等于3，也就是說，存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分．雙擊按鈕“第（2）題”可以切換。思路點撥1．第（1）題求得的AD的長，就是第（2）題分類討論x的臨界點．2．第（2）題要按照點F的位置分兩種情況討論．3．第（3）題的一般策略是：先假定平分周長，再列關于面積的方程，根據(jù)方程的解的情況作出判斷．滿分解答(1)在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中，．(2)①如圖2，當F在AC上時，．在Rt△AEF中，．所以．如圖3，當F在BC上時，．在Rt△BEF中，．所以．②當時，的最大值為；當時，的最大值為．因此，當時，y的最大值為．圖2圖3圖4(3)△ABC的周長等于12，面積等于6．先假設EF平分△ABC的周長，那么AE＝x，AF＝6－x，x的變化范圍為3＜x≤5．因此．解方程，得．因為在3≤x≤5范圍內（如圖4），因此存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分．考點伸展如果把第（3）題的條件“點F在直角邊AC上”改為“點F在直角邊BC上”，那么就不存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分．先假設EF平分△ABC的周長，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．因此．解方程．整理，得．此方程無實數(shù)根．例72009年蘭州市中考第29題如圖1，正方形ABCD中，點A、B的坐標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發(fā)沿A→B→C→D勻速運動，同時動點Q以相同速度在x軸上運動，當P點到D點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．（1）當P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標（長度單位）關于運動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖2所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；（2）求正方形邊長及頂點C的坐標；（3）在（1）中當t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標．（4）如果點P、Q保持原速度速度不變，當點P沿A→B→C→D勻速運動時，OP與PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由圖1圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“09蘭州29”，拖動點Q在x軸上運動，可以體驗到，點Q運動的起點為（1，0）；當P在AB上時，△OPQ的面積隨x變化的圖象是開口向下的拋物線的一部分；觀察點P與OQ的垂直平分線的位置關系，可以體驗到，有兩個時刻，PO=PQ．雙擊按鈕“PO＝PQ，P在AB上”和“PO＝PQ，P在CD上”，可以準確顯示PO＝PQ．思路點撥1．過點B、C、P向x軸、y軸作垂線段，就會構造出全等的、相似的直角三角形，出現(xiàn)相等、成比例的線段，用含有t的式子