24.4 解直角三角形 華東師大版數(shù)學九年級上冊教案3

第23課時銳角三角函數(shù)與解直角三角形考點一：銳角三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)定義1、如圖，在△ABC中，∠C=90°∠A,∠B,∠C的對邊分別是a，b，c，則sinA=cosA=tanA。2.特殊角的三角函數(shù)值：3.三角函數(shù)之間的關(guān)系：

（1）同角三角函數(shù)之間的關(guān)系：（2）互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系4、銳角三角函數(shù)的增減性：（同學們總結(jié)，教師歸納）典型考題展示：1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下邊各組邊的比不能表示sinB的（）A． B． C． D． 考點： 銳角三角函數(shù)的定義．分析： 利用兩角互余關(guān)系得出∠B=∠ACD，進而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出即可．解答： 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，∴sinB===，故不能表示sinB的是．故選：B．點評： 此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確把握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，則BC的長是（）A． 2 B．8 C．2 D． 4考點： 銳角三角函數(shù)的定義．專題： 計算題．分析： 根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得出tanA=，代入求出即可．解答： 解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故選：A．點評： 本題考查了銳角三角函數(shù)定義的應用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．3．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，則tanA=（）A． B． C． D． 考點： 銳角三角函數(shù)的定義．專題： 網(wǎng)格型．分析： 在直角△ABC中利用正切的定義即可求解．解答： 解：在直角△ABC中，∵∠ABC=90°，∴tanA==．故選：D．點評： 本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，則tanB的值為（）A． B． C． D． 考點： 互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系．專題： 計算題．分析： 根據(jù)題意作出直角△ABC，然后根據(jù)sinA=，設(shè)一條直角邊BC為5x，斜邊AB為13x，根據(jù)勾股定理求出另一條直角邊AC的長度，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出tan∠B．解答： 解：∵sinA=，∴設(shè)BC=5x，AB=13x，則AC==12x，故tan∠B==．故選：D．點評： 本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義和勾股定理的運用．5．計算sin245°+cos30°?tan60°，其結(jié)果是（）A． 2 B．1 C． D． 考點： 特殊角的三角函數(shù)值．專題： 計算題．分析： 根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算即可．解答： 解：原式=（）2+×=+=2．故選：A．6．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，則∠C的度數(shù)是（）A． 45° B．60° C．75° D． 105°考點： 特殊角的三角函數(shù)值；非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方；三角形內(nèi)角和定理．專題： 計算題．分析： 根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得出cosA及tanB的值，繼而可得出A和B的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得出∠C的度數(shù)．解答： 解：由題意，得cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故選：C．點評： 此題考查了特殊角的三角形函數(shù)值及絕對值、偶次方的非負性，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是熟記一些特殊角的三角形函數(shù)值，也要注意運用三角形的內(nèi)角和定理．考點二解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的邊角關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°（3）邊角之間的關(guān)系：典型考題展示：7．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點．△ABC的頂點都在方格的格點上，則cosA=．考點： 銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．專題： 網(wǎng)格型．分析： 根據(jù)勾股定理，可得AC的長，根據(jù)鄰邊比斜邊，可得角的余弦值．解答： 解：如圖，由勾股定理得AC=2，AD=4，cosA=，故答案為：．點評： 本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，角的余弦是角鄰邊比斜邊．8.⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD。若⊙O的半徑r=，AC=2，則cosB的值是（）解：在⊙O中，r=，AC=2∵AD是⊙O的直徑∴∠ACD=90°∴∵∠B=∠D∴cosB=cosD==9．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，則tan∠BPC=．考點： 銳角三角函數(shù)的定義；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．專題： 計算題．分析： 先過點A作AE⊥BC于點E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的長，利用銳角三角函數(shù)的定義，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．解答： 解：過點A作AE⊥BC于點E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案為：．點評： 求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值．10．在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的長．考點： 解直角三角形；勾股定理．專題： 計算題．分析： 先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADB，得出AB=3，根據(jù)勾股定理求出BD=2，解Rt△ADC，得出DC=1；然后根據(jù)BC=BD+DC即可求解解答： 解：在Rt△ABD中，∵，又∵AD=1，∴AB=3，∵BD2=AB2﹣AD2，∴．在Rt△ADC中，∵∠C=45°，∴CD=AD=1．∴BC=BD+DC=+1．點評： 本題考查了三角形的高的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解Rt△ADB與Rt△ADC，得出BD=2，DC=1是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．①求BD和AD的長；②求tan∠C的值．考點： 解直角三角形；勾股定理．專題： 幾何圖形問題．分析： （1）由BD⊥AC得到∠ADB=90°，在Rt△ADB中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系先得到BD=AB=3，再得到AD=BD=3；（2）先計算出CD=2，然后在Rt△BCD中，利用正切的定義求解．解答： 解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，∴BD=AB=3，∴AD=BD=3；（2）CD=AC﹣AD=5﹣3=2，