2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題10利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題10利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍1、極值點(diǎn)偏移的含義函數(shù)滿足對(duì)于定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱．可以理解為函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點(diǎn)，如圖(1)所示，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是極值點(diǎn)；①若的兩根為，，則剛好滿足，則極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒(méi)有偏移（如圖1）．若，則極值點(diǎn)偏移．若單峰函數(shù)的極值點(diǎn)為，且函數(shù)滿足定義域左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點(diǎn)左右側(cè)變化快慢不同．如圖(2)(3)所示．故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)，，滿足，則與極值點(diǎn)必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點(diǎn)左偏如圖（2）；若，則稱為極值點(diǎn)右偏如圖（3）．2、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般解法2.1對(duì)稱化構(gòu)造法主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和，積相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題．其解題要點(diǎn)如下：(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)．(2)構(gòu)造函數(shù)，即對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)或；(3)對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究的單調(diào)性獲得不等式．(4)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．(5)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．(6)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．2.2．差值代換法（韋達(dá)定理代換令.）差值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)之差作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用差值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問(wèn)題求解．2.3．比值代換法比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)的比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問(wèn)題求解．二、典型題型1．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，求的最小值．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且．（i）求的取值范圍；（ii）證明：.3．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底）若，是的極值點(diǎn)且.若，且.證明：.4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.5．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.6．（2024·吉林·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的直角頂點(diǎn)在軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)圖象上(1)當(dāng)頂點(diǎn)在軸上方時(shí)，求以軸為旋轉(zhuǎn)軸，邊和邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的體積的最大值；(2)已知函數(shù)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍;（ii）證明：.7．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)已知關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．三、題型歸類練1．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：.2．（23-24高二下·安徽宿州·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足，求證：.3．（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明：．7．（2023·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的極值；(2)若（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：．8．（22-23高二下·河北張家口·期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若方程的兩個(gè)解為、，求證：.9．（21-22高三上·廣東深圳·期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)①證明函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn)；②設(shè)①中函數(shù)的零點(diǎn)為，記（其中表示中的較小值），若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：.10．（2023·北京通州·三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍并證明.專題10利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍1、極值點(diǎn)偏移的含義函數(shù)滿足對(duì)于定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱．可以理解為函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點(diǎn)，如圖(1)所示，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是極值點(diǎn)；①若的兩根為，，則剛好滿足，則極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒(méi)有偏移（如圖1）．若，則極值點(diǎn)偏移．若單峰函數(shù)的極值點(diǎn)為，且函數(shù)滿足定義域左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點(diǎn)左右側(cè)變化快慢不同．如圖(2)(3)所示．故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)，，滿足，則與極值點(diǎn)必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點(diǎn)左偏如圖（2）；若，則稱為極值點(diǎn)右偏如圖（3）．2、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般解法2.1對(duì)稱化構(gòu)造法主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和，積相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題．其解題要點(diǎn)如下：(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)．(2)構(gòu)造函數(shù)，即對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)或；(3)對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究的單調(diào)性獲得不等式．(4)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．(5)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．(6)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．2.2．差值代換法（韋達(dá)定理代換令.）差值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)之差作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用差值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問(wèn)題求解．2.3．比值代換法比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)的比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問(wèn)題求解．二、典型題型1．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)可得，在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得；（2）由題意計(jì)算可得，從而可設(shè)，得到，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)單調(diào)性即可得其最小值，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，由題意，即對(duì)恒成立，整理得：，即，在上恒成立，顯然時(shí)成立．當(dāng)時(shí)，設(shè)，顯然且對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，所以只要，又，所以；綜上，；（2），即為方程的兩個(gè)根，由題意可得，∴，解得，又，，兩式相減得，令，則，令，，所以在遞減，，所以的最小值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)在于結(jié)合題意，得到的范圍，并借助換元法，令，從而將多變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題.2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且．（i）求的取值范圍；（ii）證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）多次求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性及正負(fù)即可判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（i）原條件可轉(zhuǎn)化有三個(gè)不等實(shí)根，從而構(gòu)造函數(shù)，研究該函數(shù)即可得；（ii）借助的單調(diào)性，得到，從而將證明，轉(zhuǎn)化為證明，再設(shè)，從而將三個(gè)變量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，即可構(gòu)造函數(shù)，證明其在上大于即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，令，，令，可得，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）（i）有三個(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)根，由不是該方程的根，故有三個(gè)根，且，令，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故時(shí)，有三個(gè)根；（ii）由在上單調(diào)遞增，，故，由（i）可得，且，即只需證，設(shè)，則，則有，即有，故，，則，即，即只需證，令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.3．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底）若，是的極值點(diǎn)且.若，且.證明：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】求出，要證明，即證明，即證明.令，對(duì)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，即可證明.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，由是的極值點(diǎn)，得，即，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，顯然，，，因此是唯一負(fù)極值點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要證明，即證明，亦即證明，由在上單調(diào)遞增，且，，知，則，從而由，得，而，因此，令，求導(dǎo)得，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，則，所以，即不等式成立.4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.【答案】(1)在上單調(diào)遞增(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)的符號(hào)得出的單調(diào)性；（2）由題意可知有兩解，求出的過(guò)原點(diǎn)的切線斜率即可得出的范圍，設(shè)，根據(jù)分析法構(gòu)造關(guān)于的不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式恒成立即可，【詳解】（1）時(shí)，，故，在上單調(diào)遞增.（2）關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根,，即有兩不同實(shí)根，，得，令，，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，取得最大值，且，得圖象如圖：.

，則，即當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)根，，兩根滿足，，兩式相加得：，兩式相減地，上述兩式相除得，不妨設(shè)，要證：，只需證：,即證，設(shè)，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且,，即，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題：1，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2，利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；3，適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4，構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).5．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.【答案】(1)無(wú)最小值，最大值為(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后得，分別求出和的解集，從而可求解.（2）由有兩個(gè)極值點(diǎn)，從而要證，令，構(gòu)建函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解的最值，從而可求解證明.【詳解】（1）由題意得，則.令，解得；令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，無(wú)最小值，最大值為.（2），則，又有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，欲證，即證，原式等價(jià)于證明①.由，得，則②.由①②可知原問(wèn)題等價(jià)于求證，即證.令，則，上式等價(jià)于求證.令，則，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，原不等式成立，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，首先找到兩極值點(diǎn)的相應(yīng)關(guān)系,然后構(gòu)造商數(shù)或加數(shù)關(guān)系；通過(guò)要證明的不等式，將兩極值點(diǎn)變形后構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解出構(gòu)造函數(shù)的最值，從而證明不等式或等式成立.6．（2024·吉林·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的直角頂點(diǎn)在軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)圖象上(1)當(dāng)頂點(diǎn)在軸上方時(shí)，求以軸為旋轉(zhuǎn)軸，邊和邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的體積的最大值；(2)已知函數(shù)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍;（ii）證明：.【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明過(guò)程見(jiàn)詳解.【分析】（1）先確定所求幾何體何時(shí)能取到最大值，寫出函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求最大值；（2）（i）根據(jù)題意知，，進(jìn)行同構(gòu)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，再進(jìn)行分離參數(shù)，研究的單調(diào)性和極值，即可求出a的取值范圍.（ii）由知，先證，即極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，求，在單調(diào)遞增，，得，從而可得即，再由的單調(diào)性，即可得到.【詳解】（1）因?yàn)樵谳S上方，所以：；為直角三角形，所以當(dāng)軸時(shí)，所得圓錐的體積才可能最大.設(shè)，則，（）.設(shè)（），則，由.因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.從而：.（2）（i）因?yàn)椋?，即，令，所以，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以即，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于有兩個(gè)不等實(shí)根，令，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由洛必達(dá)法則知；所以.（ii）由（i）知，，令，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所以，即在單調(diào)遞增，，所以.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，且在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般方法——對(duì)稱化構(gòu)造的步驟如下：（1）求極值點(diǎn)：求出函數(shù)的極值點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖像，由得出的取值范圍；（2）構(gòu)造函數(shù)：對(duì)結(jié)論為的情況，構(gòu)造函數(shù)；①，則單調(diào)遞增；②注意到，則即；③，根據(jù)在單調(diào)減，則④得到結(jié)論.7．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)已知關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可確定的單調(diào)性；（2）（i）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同交點(diǎn)的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，從而得到的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定的范圍；（ii）設(shè)，根據(jù)：，，采用取對(duì)數(shù)、兩式作差整理的方式可得，通過(guò)分析法可知只需證即可，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，從而得到，由此可證得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則；令，解得：或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）（i）由得：，恰有個(gè)正實(shí)數(shù)根，恰有個(gè)正實(shí)數(shù)根，令，則與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)從的右側(cè)無(wú)限趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)無(wú)限趨近于時(shí)，的增速遠(yuǎn)大于的增速，則趨近于；則圖象如下圖所示，當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（ii）由（i）知：，，，，，不妨設(shè)，則，要證，只需證，，，，則只需證，令，則只需證當(dāng)時(shí)，恒成立，令，，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，恒成立，原不等式得證.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性、方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題和極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的求解；本題求解極值點(diǎn)偏移的基本思路是通過(guò)引入第三變量，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，進(jìn)而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式證明關(guān)于的不等式恒成立.三、題型歸類練1．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，求出，討論其符號(hào)后結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得參數(shù)的取值范圍.（2）結(jié)合的單調(diào)性可得等價(jià)于，，，討論的單調(diào)性后可得原不等式成立.【詳解】（1），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故即.此時(shí)且，故在有且只有一個(gè)零點(diǎn).令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，故，故當(dāng)時(shí)，有，故此時(shí)在有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上，.（2）由（1）分析可得，要證：，即證：，因即，故即證，即證：，其中，設(shè)，，則，故（因?yàn)?，等?hào)不可?。?，所以在上為增函數(shù)，故即，故成立即.2．（23-24高二下·安徽宿州·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足，求證：.【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷得單調(diào)性；（2）將變形為得到，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)得單調(diào)性和得到，最后根據(jù)和得單調(diào)性即可證明.【詳解】（1），令，解得，令，解得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）證明：將兩邊同時(shí)除以得，即，所以，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，令，則，由得，所以，，所以，在上單調(diào)遞增，又，所以，當(dāng)時(shí)，，即，即，又，所以，又，，在上單調(diào)遞減，所以，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的類似于的問(wèn)題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.3．（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明：．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，(2)見(jiàn)解析【分析】（1）求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）由，得，設(shè)，畫出的圖象可得；由，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)可得，又，再由在上單調(diào)遞減，可得，即可證明.【詳解】（1）由題意可得，所以，的定義域?yàn)?，又，由，得，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，（2）由，得，設(shè)，，由，得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，又，，且當(dāng)趨近于正無(wú)窮，趨近于，的圖象如下圖，所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根，證明：不妨設(shè)，則，，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，又，所以，又，，在上單調(diào)遞減，所以，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）解此問(wèn)的關(guān)鍵在于求出的導(dǎo)數(shù)，并能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)結(jié)合相關(guān)知識(shí)判斷出單調(diào)性；（2）解此問(wèn)的關(guān)鍵在于把轉(zhuǎn)化為來(lái)證，又，構(gòu)造，對(duì)求導(dǎo)，得到的單調(diào)性和最值可證得，即可證明.4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分類討論的取值情況，從而可求解.（2）結(jié)合（1）中結(jié)論可知，從而求出，，然后設(shè)并構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解，然后再構(gòu)造函數(shù)證明，從而求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）因?yàn)槭呛膬蓚€(gè)零點(diǎn)，由（1）知，因?yàn)?，設(shè)，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．又因?yàn)?，且，所以，．首先證明：．由題意，得，設(shè)，則兩式相除，得．要證，只要證，即證．只要證，即證．設(shè)，．因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增．所以，即證得①．其次證明：．設(shè)，．因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減．所以，即．所以②．由①②可證得．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．（4）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題．5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若對(duì)任意的都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若且，，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）分別計(jì)算，的導(dǎo)函數(shù)，接著分析它們的單調(diào)性，求得在時(shí)，的最大值為，的最小值為，問(wèn)題得解；（2）先將轉(zhuǎn)化為，再設(shè)，數(shù)形結(jié)合得到，接著構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得到，最后利用放縮法證明不等式.【詳解】（1）由，，得，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由得，兩邊取對(duì)數(shù)并整理，得，即，即．由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，（技巧：注意對(duì)第（1）問(wèn)結(jié)論的應(yīng)用）而，當(dāng)時(shí)，恒成立，不妨設(shè)，則．記，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，，于是，，又在上單調(diào)遞減，因此，即，所以．【點(diǎn)睛】利用對(duì)稱化構(gòu)造的方法求解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的“三步曲”：（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性、極值情況，作出函數(shù)圖象，由得到的大致范圍．（2）構(gòu)造輔助函數(shù)（若要證，則構(gòu)造函數(shù)；若要證，則構(gòu)造函數(shù).），限定的范圍，求導(dǎo)，判定符號(hào)，獲得不等式．（3）代入，利用及的單調(diào)性即得所證結(jié)論．6．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖像與直線交于不同的兩點(diǎn)，，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用構(gòu)造函數(shù)且結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.【詳解】證明：由題意，，令，得，當(dāng)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到極小值.所以與交于不同的兩點(diǎn)，，所以不妨設(shè)，且，令，則，代入上式得，得，所以，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，所以，故證：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)從而求解極值點(diǎn)偏移.7．（2023·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的極值；(2)若（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后分討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將原式變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可證明.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，若，則，無(wú)極值；若，由，可得，若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，此時(shí)，函數(shù)有唯一極小值，無(wú)極大值；若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，此時(shí)，函數(shù)有唯一極大值，無(wú)極小值；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，無(wú)極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，無(wú)極小值；（2）證明：由，兩邊取對(duì)數(shù)可得，即，當(dāng)時(shí)，，，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，而，時(shí)，恒成立，因此，當(dāng)時(shí)，存在且，滿足，若，則成立；若，則，記，，則，即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，于是，而，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問(wèn)題以及極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，難度較大，解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合其單調(diào)性證明.8．（22-23高二下·河北張家口·期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若方程的兩個(gè)解為、，求證：.【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得出結(jié)果；（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，分析可知，要證，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，證明出對(duì)任意的恒成立，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值.（2）解：設(shè)，其中，則，令，可得，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，可得，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，設(shè)，則，即且，要證，即證，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，只需證明：，即證，令，其中，則，因?yàn)椋瑒t，所以，，故函數(shù)在上為減函數(shù)，又因?yàn)?，所以，?duì)任意的恒成立，則，即，故成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明極值點(diǎn)偏移的相關(guān)問(wèn)題，一般有以下幾種方法：（1）證明（或）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問(wèn)題；（2）證明（或）（、都為正數(shù)）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相