2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題10利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值點偏移問題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題10利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值點偏移問題(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍1、極值點偏移的含義函數(shù)滿足對于定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱．可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點，如圖(1)所示，函數(shù)圖象的頂點的橫坐標(biāo)就是極值點；①若的兩根為，，則剛好滿足，則極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移（如圖1）．若，則極值點偏移．若單峰函數(shù)的極值點為，且函數(shù)滿足定義域左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點左右側(cè)變化快慢不同．如圖(2)(3)所示．故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)，，滿足，則與極值點必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點左偏如圖（2）；若，則稱為極值點右偏如圖（3）．2、極值點偏移問題的一般解法2.1對稱化構(gòu)造法主要用來解決與兩個極值點之和，積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值點為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點．(2)構(gòu)造函數(shù)，即對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)或；(3)對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究的單調(diào)性獲得不等式．(4)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．(5)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．(6)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．2.2．差值代換法（韋達(dá)定理代換令.）差值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關(guān)系，然后利用兩個極值點之差作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用差值(一般用表示)表示兩個極值點，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題求解．2.3．比值代換法比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關(guān)系，然后利用兩個極值點的比值作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個極值點，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題求解．二、典型題型1．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．(2)當(dāng)時，設(shè)的兩個極值點為，且，求的最小值．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2)若有三個零點，且．（i）求的取值范圍；（ii）證明：.3．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底）若，是的極值點且.若，且.證明：.4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明.5．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點，記作，且，求證：.6．（2024·吉林·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的直角頂點在軸上，另一個頂點在函數(shù)圖象上(1)當(dāng)頂點在軸上方時，求以軸為旋轉(zhuǎn)軸，邊和邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的體積的最大值；(2)已知函數(shù)，關(guān)于的方程有兩個不等實根.（i）求實數(shù)的取值范圍;（ii）證明：.7．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)已知關(guān)于的方程恰有個不同的正實數(shù)根．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．三、題型歸類練1．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在兩個不同的零點.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：.2．（23-24高二下·安徽宿州·開學(xué)考試）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若為兩個不相等的實數(shù)，且滿足，求證：.3．（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個根，，求實數(shù)a的取值范圍，并證明：．7．（2023·云南大理·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的極值；(2)若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：．8．（22-23高二下·河北張家口·期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若方程的兩個解為、，求證：.9．（21-22高三上·廣東深圳·期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)①證明函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點；②設(shè)①中函數(shù)的零點為，記（其中表示中的較小值），若在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，證明：.10．（2023·北京通州·三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，求實數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個零點，，求實數(shù)a的取值范圍并證明.專題10利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值點偏移問題(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍1、極值點偏移的含義函數(shù)滿足對于定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱．可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點，如圖(1)所示，函數(shù)圖象的頂點的橫坐標(biāo)就是極值點；①若的兩根為，，則剛好滿足，則極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移（如圖1）．若，則極值點偏移．若單峰函數(shù)的極值點為，且函數(shù)滿足定義域左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點左右側(cè)變化快慢不同．如圖(2)(3)所示．故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)，，滿足，則與極值點必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點左偏如圖（2）；若，則稱為極值點右偏如圖（3）．2、極值點偏移問題的一般解法2.1對稱化構(gòu)造法主要用來解決與兩個極值點之和，積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值點為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點．(2)構(gòu)造函數(shù)，即對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)或；(3)對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究的單調(diào)性獲得不等式．(4)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．(5)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．(6)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．2.2．差值代換法（韋達(dá)定理代換令.）差值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關(guān)系，然后利用兩個極值點之差作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用差值(一般用表示)表示兩個極值點，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題求解．2.3．比值代換法比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關(guān)系，然后利用兩個極值點的比值作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個極值點，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題求解．二、典型題型1．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．(2)當(dāng)時，設(shè)的兩個極值點為，且，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)可得，在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可得；（2）由題意計算可得，從而可設(shè)，得到，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)單調(diào)性即可得其最小值，即可得解.【詳解】（1）因為，由題意，即對恒成立，整理得：，即，在上恒成立，顯然時成立．當(dāng)時，設(shè)，顯然且對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，所以只要，又，所以；綜上，；（2），即為方程的兩個根，由題意可得，∴，解得，又，，兩式相減得，令，則，令，，所以在遞減，，所以的最小值為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題最后一問關(guān)鍵點在于結(jié)合題意，得到的范圍，并借助換元法，令，從而將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題.2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2)若有三個零點，且．（i）求的取值范圍；（ii）證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）多次求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性及正負(fù)即可判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（i）原條件可轉(zhuǎn)化有三個不等實根，從而構(gòu)造函數(shù)，研究該函數(shù)即可得；（ii）借助的單調(diào)性，得到，從而將證明，轉(zhuǎn)化為證明，再設(shè)，從而將三個變量的問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，即可構(gòu)造函數(shù)，證明其在上大于即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，，令，，令，可得，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）（i）有三個零點，即有三個根，由不是該方程的根，故有三個根，且，令，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，時，，當(dāng)時，，時，，故時，有三個根；（ii）由在上單調(diào)遞增，，故，由（i）可得，且，即只需證，設(shè)，則，則有，即有，故，，則，即，即只需證，令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即得證.【點睛】方法點睛：極值點偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個零點且，求證：（為函數(shù)的極值點）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點）；3.若函數(shù)存在兩個零點且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.3．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底）若，是的極值點且.若，且.證明：.【答案】證明見解析【分析】求出，要證明，即證明，即證明.令，對求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，即可證明.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)，求導(dǎo)得，由是的極值點，得，即，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，顯然，，，因此是唯一負(fù)極值點，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要證明，即證明，亦即證明，由在上單調(diào)遞增，且，，知，則，從而由，得，而，因此，令，求導(dǎo)得，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，則，所以，即不等式成立.4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明.【答案】(1)在上單調(diào)遞增(2)，證明見解析【分析】（1）對求導(dǎo)，根據(jù)的符號得出的單調(diào)性；（2）由題意可知有兩解，求出的過原點的切線斜率即可得出的范圍，設(shè)，根據(jù)分析法構(gòu)造關(guān)于的不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式恒成立即可，【詳解】（1）時，，故，在上單調(diào)遞增.（2）關(guān)于的方程有兩個不同實根,，即有兩不同實根，，得，令，，令，得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，時，取得最大值，且，得圖象如圖：.

，則，即當(dāng)時，有兩個不同實根，，兩根滿足，，兩式相加得：，兩式相減地，上述兩式相除得，不妨設(shè)，要證：，只需證：,即證，設(shè)，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且,，即，.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2，利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3，適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4，構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).5．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點，記作，且，求證：.【答案】(1)無最小值，最大值為(2)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后得，分別求出和的解集，從而可求解.（2）由有兩個極值點，從而要證，令，構(gòu)建函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解的最值，從而可求解證明.【詳解】（1）由題意得，則.令，解得；令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，無最小值，最大值為.（2），則，又有兩個不同的極值點，欲證，即證，原式等價于證明①.由，得，則②.由①②可知原問題等價于求證，即證.令，則，上式等價于求證.令，則，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，原不等式成立，即.【點睛】方法點睛：對于極值點偏移問題，首先找到兩極值點的相應(yīng)關(guān)系,然后構(gòu)造商數(shù)或加數(shù)關(guān)系；通過要證明的不等式，將兩極值點變形后構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解出構(gòu)造函數(shù)的最值，從而證明不等式或等式成立.6．（2024·吉林·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的直角頂點在軸上，另一個頂點在函數(shù)圖象上(1)當(dāng)頂點在軸上方時，求以軸為旋轉(zhuǎn)軸，邊和邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的體積的最大值；(2)已知函數(shù)，關(guān)于的方程有兩個不等實根.（i）求實數(shù)的取值范圍;（ii）證明：.【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明過程見詳解.【分析】（1）先確定所求幾何體何時能取到最大值，寫出函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求最大值；（2）（i）根據(jù)題意知，，進(jìn)行同構(gòu)，將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不等的實數(shù)根，再進(jìn)行分離參數(shù)，研究的單調(diào)性和極值，即可求出a的取值范圍.（ii）由知，先證，即極值點偏移問題，構(gòu)造函數(shù)，求，在單調(diào)遞增，，得，從而可得即，再由的單調(diào)性，即可得到.【詳解】（1）因為在軸上方，所以：；為直角三角形，所以當(dāng)軸時，所得圓錐的體積才可能最大.設(shè)，則，（）.設(shè)（），則，由.因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.從而：.（2）（i）因為，即，即，令，所以，因為為增函數(shù)，所以即，所以方程有兩個不等實根等價于有兩個不等實根，令，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以.當(dāng)時，；當(dāng)時，由洛必達(dá)法則知；所以.（ii）由（i）知，，令，，因為，所以，因為，，所以，即在單調(diào)遞增，，所以.因為，所以，又因為，所以，因為，，且在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以.【點睛】方法點睛：極值點偏移問題的一般方法——對稱化構(gòu)造的步驟如下：（1）求極值點：求出函數(shù)的極值點，結(jié)合函數(shù)的圖像，由得出的取值范圍；（2）構(gòu)造函數(shù)：對結(jié)論為的情況，構(gòu)造函數(shù)；①，則單調(diào)遞增；②注意到，則即；③，根據(jù)在單調(diào)減，則④得到結(jié)論.7．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)已知關(guān)于的方程恰有個不同的正實數(shù)根．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可確定的單調(diào)性；（2）（i）將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個不同交點的問題，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，從而得到的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定的范圍；（ii）設(shè)，根據(jù)：，，采用取對數(shù)、兩式作差整理的方式可得，通過分析法可知只需證即可，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，從而得到，由此可證得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時，，則；令，解得：或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）（i）由得：，恰有個正實數(shù)根，恰有個正實數(shù)根，令，則與有兩個不同交點，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)從的右側(cè)無限趨近于時，趨近于；當(dāng)無限趨近于時，的增速遠(yuǎn)大于的增速，則趨近于；則圖象如下圖所示，當(dāng)時，與有兩個不同交點，實數(shù)的取值范圍為；（ii）由（i）知：，，，，，不妨設(shè)，則，要證，只需證，，，，則只需證，令，則只需證當(dāng)時，恒成立，令，，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，恒成立，原不等式得證.【點睛】思路點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性、方程根的個數(shù)問題和極值點偏移問題的求解；本題求解極值點偏移的基本思路是通過引入第三變量，將問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，進(jìn)而通過構(gòu)造函數(shù)的方式證明關(guān)于的不等式恒成立.三、題型歸類練1．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在兩個不同的零點.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，求出，討論其符號后結(jié)合零點存在定理可得參數(shù)的取值范圍.（2）結(jié)合的單調(diào)性可得等價于，，，討論的單調(diào)性后可得原不等式成立.【詳解】（1），設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因存在兩個不同的零點，故即.此時且，故在有且只有一個零點.令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，故，故當(dāng)時，有，故此時在有且只有一個零點.綜上，.（2）由（1）分析可得，要證：，即證：，因即，故即證，即證：，其中，設(shè)，，則，故（因為，等號不可?。?，所以在上為增函數(shù)，故即，故成立即.2．（23-24高二下·安徽宿州·開學(xué)考試）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若為兩個不相等的實數(shù)，且滿足，求證：.【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷得單調(diào)性；（2）將變形為得到，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)得單調(diào)性和得到，最后根據(jù)和得單調(diào)性即可證明.【詳解】（1），令，解得，令，解得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）證明：將兩邊同時除以得，即，所以，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時，，設(shè)，則，令，則，由得，所以，，所以，在上單調(diào)遞增，又，所以，當(dāng)時，，即，即，又，所以，又，，在上單調(diào)遞減，所以，即.【點睛】方法點睛：處理極值點偏移問題中的類似于的問題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.3．（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個根，，求實數(shù)a的取值范圍，并證明：．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，(2)見解析【分析】（1）求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）由，得，設(shè)，畫出的圖象可得；由，設(shè)，對求導(dǎo)可得，又，再由在上單調(diào)遞減，可得，即可證明.【詳解】（1）由題意可得，所以，的定義域為，又，由，得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，（2）由，得，設(shè)，，由，得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，又，，且當(dāng)趨近于正無窮，趨近于，的圖象如下圖，所以當(dāng)時，方程有兩個根，證明：不妨設(shè)，則，，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，又，所以，又，，在上單調(diào)遞減，所以，故.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）解此問的關(guān)鍵在于求出的導(dǎo)數(shù)，并能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號結(jié)合相關(guān)知識判斷出單調(diào)性；（2）解此問的關(guān)鍵在于把轉(zhuǎn)化為來證，又，構(gòu)造，對求導(dǎo)，得到的單調(diào)性和最值可證得，即可證明.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點，，且，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分類討論的取值情況，從而可求解.（2）結(jié)合（1）中結(jié)論可知，從而求出，，然后設(shè)并構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解，然后再構(gòu)造函數(shù)證明，從而求解.【詳解】（1）因為函數(shù)的定義域是，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）因為是函的兩個零點，由（1）知，因為，設(shè)，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．又因為，且，所以，．首先證明：．由題意，得，設(shè)，則兩式相除，得．要證，只要證，即證．只要證，即證．設(shè)，．因為，所以在上單調(diào)遞增．所以，即證得①．其次證明：．設(shè)，．因為，所以在上單調(diào)遞減．所以，即．所以②．由①②可證得．【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（4）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若對任意的都有，求實數(shù)的取值范圍；(2)若且，，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）分別計算，的導(dǎo)函數(shù)，接著分析它們的單調(diào)性，求得在時，的最大值為，的最小值為，問題得解；（2）先將轉(zhuǎn)化為，再設(shè)，數(shù)形結(jié)合得到，接著構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得到，最后利用放縮法證明不等式.【詳解】（1）由，，得，，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，的最大值為．當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，的最小值為．所以，故實數(shù)的取值范圍為．（2）由得，兩邊取對數(shù)并整理，得，即，即．由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，（技巧：注意對第（1）問結(jié)論的應(yīng)用）而，當(dāng)時，恒成立，不妨設(shè)，則．記，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，，于是，，又在上單調(diào)遞減，因此，即，所以．【點睛】利用對稱化構(gòu)造的方法求解極值點偏移問題的“三步曲”：（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性、極值情況，作出函數(shù)圖象，由得到的大致范圍．（2）構(gòu)造輔助函數(shù)（若要證，則構(gòu)造函數(shù)；若要證，則構(gòu)造函數(shù).），限定的范圍，求導(dǎo)，判定符號，獲得不等式．（3）代入，利用及的單調(diào)性即得所證結(jié)論．6．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖像與直線交于不同的兩點，，求證：．【答案】證明見解析【分析】利用構(gòu)造函數(shù)且結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解極值點偏移問題.【詳解】證明：由題意，，令，得，當(dāng)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取到極小值.所以與交于不同的兩點，，所以不妨設(shè)，且，令，則，代入上式得，得，所以，設(shè)，則，所以當(dāng)時，為增函數(shù)，，所以，故證：.【點睛】關(guān)鍵點睛：通過構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)從而求解極值點偏移.7．（2023·云南大理·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的極值；(2)若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后分討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將原式變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可證明.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，若，則，無極值；若，由，可得，若，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，此時，函數(shù)有唯一極小值，無極大值；若，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，此時，函數(shù)有唯一極大值，無極小值；所以當(dāng)時，函數(shù)無極值；當(dāng)時，函數(shù)有極小值，無極大值；當(dāng)時，函數(shù)有極大值，無極小值；（2）證明：由，兩邊取對數(shù)可得，即，當(dāng)時，，，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，而，時，恒成立，因此，當(dāng)時，存在且，滿足，若，則成立；若，則，記，，則，即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，于是，而，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題以及極值點偏移問題，難度較大，解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合其單調(diào)性證明.8．（22-23高二下·河北張家口·期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若方程的兩個解為、，求證：.【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值；(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得出結(jié)果；（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，分析可知，要證，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，證明出對任意的恒成立，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為，且，令可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值.（2）解：設(shè)，其中，則，令，可得，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，可得，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，是函數(shù)的極小值點，因為函數(shù)有兩個零點、，設(shè)，則，即且，要證，即證，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，只需證明：，即證，令，其中，則，因為，則，所以，，故函數(shù)在上為減函數(shù)，又因為，所以，對任意的恒成立，則，即，故成立.【點睛】方法點睛：證明極值點偏移的相關(guān)問題，一般有以下幾種方法：（1）證明（或）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個零點，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；（2）證明（或）（、都為正數(shù)）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個零點，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相