2.3 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式(分層練習(xí))（解析版）

第二章直線和圓的方程2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇經(jīng)過兩條直線2x+y?8=0和x?2y+1=0的交點(diǎn)，且垂直于直線3x?2y+4=0的直線的方程是（

）A．2x+3y?13=0 B．2x+3y?12=0C．2x?3y=0 D．2x?3y?5=0【答案】B【分析】聯(lián)立方程計(jì)算交點(diǎn)為3,2，根據(jù)直線垂直得到k=?2【詳解】2x+y?8=0x?2y+1=0，解得x=3y=2，故直線交點(diǎn)為直線3x?2y+4=0的斜率k1=3故所求直線方程為y=?23x?3+2，整理得到2x+3y?12=0已知兩條平行直線l1:3x?4y+6=0與l2【答案】21或?9【分析】根據(jù)兩平行直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閮蓷l平行直線l1:3x?4y+6=0與所以C?69+16=3，解得C=21或直線3x?(k+2)y+k+5=0與直線kx+(2k?3)y+2=0相交，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A．k≠1或k≠9 B．k≠1或k≠?9 C．k≠1或k≠9 D．k≠1且k≠?9【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用兩條直線相交的充要條件，列式求解作答.【詳解】因直線3x?(k+2)y+k+5=0與直線kx+(2k?3)y+2=0相交，則3(2k?3)?k[?(k+2)]≠0，即(k+9)(k?1)≠0，解得k≠1且k≠?9，所以實(shí)數(shù)k的值為k≠1且k≠?9.故選：D點(diǎn)A6,0，P在直線y=?x上，AP=32，則PA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由點(diǎn)A6,0到直線y=?x的距離，可判斷滿足條件的P【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A6,0到直線y=?x的距離為6+0所以P點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1個(gè).故選：B.點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線A．125,175 B．75,125【答案】C【分析】由點(diǎn)到距離公式把距離表示成θ的三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求得距離的取值范圍.【詳解】由點(diǎn)到直線距離公式有：P到直線的距離為d=3cosθ+4sinθ?1232由三角函數(shù)性質(zhì)易知，5sin(θ+φ)?12∈[?17,?7]，故d∈75,直線x?2y?1=0關(guān)于直線y?x=0對(duì)稱的直線方程是（）A．2x?y+1=0 B．2x+y?1=0C．2x+y+1=0 D．x+2y+1=0【答案】A【分析】在直線x?2y?1=0上任取一點(diǎn)P(a,b)，設(shè)其關(guān)于直線y?x=0的對(duì)稱點(diǎn)為Q(x,y)，然后根據(jù)對(duì)稱關(guān)系列方程可表示出a,b，再代入x?2y?1=0中化簡可得答案【詳解】在直線x?2y?1=0上任取一點(diǎn)P(a,b)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線y?x=0的對(duì)稱點(diǎn)為Q(x,y)，則y?bx?a=?1y+b2=因?yàn)辄c(diǎn)P(y,x)在直線x?2y?1=0上，所以y?2x?1=0，即2x?y+1=0，所以所求直線方程為2x?y+1=0，故選：A.已知點(diǎn)Px，y在直線x?y?1=0上的運(yùn)動(dòng)，則x?2A．12 B．22 C．14 【答案】A【分析】x?22+y?22表示點(diǎn)Px，y與2，2【詳解】x?22+y?22表示點(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)2,2到直線x?y?1=0的距離d=1所以2,2的最小值為d2=經(jīng)過直線2x+y?4=0與直線3x?y?1=0的交點(diǎn)且在y軸上截距為6的直線方程是．【答案】4x+y?6=0【分析】聯(lián)立兩直線解出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線過點(diǎn)1,2、0,6，求出直線斜率，寫出直線的斜截式方程.【詳解】聯(lián)立直線2x+y?4=0與直線3x?y?1=0的方程2x+y?4=03x?y?1=0解得x=1y=2，即交點(diǎn)坐標(biāo)為1,2由直線在y軸上截距為6，即直線過點(diǎn)0,6，斜率k=2?6所以直線的方程為y=?4x+6，化為一般式方程可得4x+y?6=0.故答案為：4x+y?6=0.直線2x+my+1=0與直線y=x+1相交，則m的取值范圍為．【答案】(?∞,?2)∪(?2,+∞)【分析】根據(jù)兩直線相交的條件即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€2x+my+1=0與直線y=x+1，即x?y+1=0相交，所以m+2≠0，解得m≠?2.所以m的取值范圍為(?∞,?2)∪(?2,+∞).經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)和兩直線l1:x+2y?2=0；l2【答案】x+y?1=0【分析】設(shè)所求直線方程為x+2y?2+λ(3x?2y+2)=0，將點(diǎn)P代入方程，求得λ，即可求解.【詳解】設(shè)所求直線方程為x+2y?2+λ(3x?2y+2)=0，點(diǎn)P(1,0)在直線上，∴1?2+λ(3+2)=0，解得λ=1∴所求直線方程為x+2y?2+15×(3x?2y+2)=0故答案為：x+y?1=0.已知定點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)B在直線x+y=0上運(yùn)動(dòng)，則A，B兩點(diǎn)的最短距離為【答案】2【分析】線段AB最短，就是說A,B的距離最小，此時(shí)直線AB和直線x+y=0垂直，可先求AB的斜率，再求直線AB的方程，然后與直線x+y=0聯(lián)立求交點(diǎn)即可．【詳解】定點(diǎn)A(0,1)，點(diǎn)B在直線x+y=0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，就是直線AB和直線x+y=0垂直，AB的方程為：y?1=x，它與x+y=0聯(lián)立解得x=?12,y=12所以|AB|=?12直線l經(jīng)過兩條直線l1:x+y?4=0和l2:x?y+2=0的交點(diǎn)P，且直線l在(1)求直線l的方程；(2)求直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．【答案】(1)2x?y+1=0；(2)1【分析】（1）聯(lián)立l1和l2的直線方程，求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)斜式或者兩點(diǎn)式即可求出直線（2）分別求出直線l與x軸和y軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)的絕對(duì)值即是三角形的底邊和高.【詳解】（1）∵直線l經(jīng)過兩條直線l1:x+y?4=0和∴x+y?4=0,x?y+2=0,解得x=1，y=3，即P由題意可知直線的斜率存在，設(shè)為k且k≠0，則y?3=kx?1過?代入可得k=2．∴直線l的方程2x?y+1=0．（2）在直線l:2x?y+1=0中，令x=0可得y=1，令y=0可得x=?12，所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積提升篇提升篇已知直線l在x軸上的截距為1．又有兩點(diǎn)A(?2,?1),B(4,5)到l的距離相等，則l的方程為（

）A．x=1 B．2x?y?1=0C．x?y?1=0 D．2x?3y?1=0【答案】AC【分析】討論直線l的斜率，斜率存在時(shí)設(shè)直線方程，利用點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)，即可得直線方程.【詳解】顯然l⊥x軸時(shí)符合要求，此時(shí)l的方程為x=1；當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的斜率為k，則l的方程為y=k(x?1)，即kx?y?k=0.∵點(diǎn)A,B到l的距離相等，∴|?2k+1?k|k2+1=|4k?5?k|k2+1，整理得綜上，l的方程為x=1或x?y?1=0.故選：AC點(diǎn)P?2,?1到直線l:1+3λx+1+λy?2?4λ=0A．13；x+y?2=0 B．11；3x+y?4=0C．13；3x+2y?5=0 D．11；2x?3y+1=0【答案】C【分析】首先求出直線l過的定點(diǎn)Q，若要P?2,?1到直線l的距離最大，只需PQ⊥l【詳解】將只需l的方程整理得：x+y?2+λ3x+y?4若?λ∈R，有x+y?2+λ3x+y?4=0成立，則只能x+y?2=0即直線l過定點(diǎn)Q1,1若要P?2,?1到直線l的距離最大，只需PQ⊥l此時(shí)點(diǎn)P?2,?1到直線l的最大距離為線段PQ的長度，即PQ又直線PQ的斜率為kPQ=故此時(shí)直線l的方程為：y?1=?32x?1，即3x+2y?5=0著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事體．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：(x?a)2+(y?b)2可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M(x,y)與點(diǎn)N(a,b)的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得A．42 B．22 C．2+10【答案】A【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式可將問題轉(zhuǎn)化為x軸上一點(diǎn)Px,0到點(diǎn)A?2,?2與點(diǎn)B2,2的距離之和的最小值，當(dāng)A,P,B【詳解】∵y=f(x)=x

則fx可看作x軸上一點(diǎn)Px,0到點(diǎn)A?2,?2與點(diǎn)即PA+PB，則可知當(dāng)A,P,B三點(diǎn)共線時(shí)，即PA+故選：A.若兩條直線y=kx+2k+1和2x+y?4=0的交點(diǎn)在第四象限，則k的取值范圍是（

）A．?2<k<?14 B．?14<k<0 C．【答案】A【分析】聯(lián)立兩直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)在第四象限列出不等式即可求出.【詳解】聯(lián)立y=kx+2k+12x+y?4=0，可解得x=因?yàn)榻稽c(diǎn)在第四象限，所以3?2kk+2>08k+2k+2<0（多選）已知直線l1:ax?y+1=0，l2A．不論a為何值時(shí)，l1與lB．直線l1過定點(diǎn)(0,1)，l2過定點(diǎn)C．如果l1與l2交于點(diǎn)M，則點(diǎn)MD．如果l1與l2交于點(diǎn)M，則|MO|【答案】ABD【分析】A.根據(jù)兩直線垂直的公式，即可判斷；B.根據(jù)含參直線過定點(diǎn)問題，即可判斷；C.取特殊點(diǎn)0，0，即可判斷；D.首先求交點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間距離公式，即可判斷.【詳解】對(duì)于A，a×1+(?1)×a=0恒成立，l1與l2互相垂直恒成立，故A正確；對(duì)于B,無論a為何值，直線l1過定點(diǎn)(0,1)，l2過定點(diǎn)(?1,0)，故對(duì)于C，（0，0）能使方程x2+y對(duì)于D，聯(lián)立ax?y+1=0x+ay+1=0，解得x=?a?1a所以MO=?a?1a2+12+故選：ABD．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A?4,0，B0,4，C2,0，則△ABC【答案】x?y+2=0【分析】根據(jù)給定信息，利用三角形重心坐標(biāo)公式求出△ABC的重心，再結(jié)合對(duì)稱性求出△ABC的外心，然后求出歐拉線的方程作答.【詳解】因△ABC的頂點(diǎn)A?4,0，B0,4，C2,0，則△ABC顯然△ABC的外心M在線段AC中垂線x=?1上，設(shè)M(?1,a)，由|MA|=|MB|得：9+a2=1+(a?4)直線MG:y?1=43?1所以△ABC歐拉線的方程為x?y+2=0.故答案為：x?y+2=0光線從A(1,2)射向x軸上一點(diǎn)B，又從B反射到直線x?y+3=0上一點(diǎn)C，最后從點(diǎn)C反射回到點(diǎn)A，則BC所在的直線方程為．【答案】3x+y?1=0【分析】分別求點(diǎn)A關(guān)于x軸和直線x?y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)，再根據(jù)幾何關(guān)系求得直線BC的方程.【詳解】點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'1,?2，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x?y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為則y0?2x0?1=?1由對(duì)稱性可知，點(diǎn)A',A所以kBC=?2?41??1即3x+y?1=0.使三條直線4x+y?4=0,mx+y=0,2x?3my?4=0不能圍成三角形的實(shí)數(shù)m的值最多有幾個(gè)（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)，討論存在兩條直線平行或三條直線交于一點(diǎn)，分別求出對(duì)應(yīng)m值，進(jìn)而驗(yàn)證是否滿足題設(shè)，即可得答案.【詳解】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點(diǎn)，若4x+y?4=0,mx+y=0平行，則4m=1若mx+y=0,2x?3my?4=0平行，則m2若4x+y?4=0,2x?3my?4=0平行，則42=1若三條直線交于一點(diǎn)，4x+y?4=0mx+y=02x?3my?4=0，可得m=2經(jīng)檢驗(yàn)知：m∈{?1,?16,故選：B若直線l:y=kx?3與直線2x+3y?6=0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線lA．π6,π3B．π6,π2【答案】D【分析】法一：聯(lián)立直線方程求交點(diǎn)，根據(jù)所在象限求斜率k范圍，進(jìn)而確定傾斜角范圍；法二：確定直線2x+3y?6=0位于第一象限部分的端點(diǎn)，結(jié)合直線l與其交點(diǎn)在第一