向量基本定理課件

人教B版

數(shù)學(xué)

必修第二冊第六章平面向量初步6.2.1向量基本定理課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解共線向量基本定理和平面向量基本定理.2.能夠利用共線向量基本定理求解共線問題.3.能靈活應(yīng)用平面向量基本定理和向量的線性運(yùn)算進(jìn)行向量之間的相互表示.4.加強(qiáng)直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、共線向量基本定理1.若a=λb(λ∈R),則是否一定有a∥b?若a∥b,則是否一定有a=λb(λ∈R)?提示:一定;不一定.2.(1)共線向量基本定理.如果a≠0且b∥a,則存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使得

b=λa.在共線向量基本定理中:①b=λa時(shí),通常稱為b能用a表示.②其中的“唯一”指的是,如果還有b=μa,則有

λ=μ.(2)如果A,B,C是三個(gè)不同的點(diǎn),則它們共線的充要條件是:存在實(shí)數(shù)λ,使得3.“存在λ∈R,使b=λa”是“b∥a”的什么條件?提示:充分不必要.4.下列各組向量中,一定有a∥b的是(

)

A.a=3e,b=-0.1eB.a=m+n,b=m-nC.a=i,b=3j+iD.a=2e1+3e2,b=2e1-e2答案:A二、平面向量基本定理1.給出力F,任給兩個(gè)不在同一直線上的方向,F是否一定可以在這兩個(gè)方向上進(jìn)行分解?若可以,則有多少種不同的分解結(jié)果?提示:一定可以;一種.2.平面向量基本定理.如果平面內(nèi)兩個(gè)向量a與b不共線

,則對該平面內(nèi)任意一個(gè)向量c,存在唯一的實(shí)數(shù)對(x,y),使得c=xa+yb.其中a與b組成的集合{a,b},常稱為該平面上向量的一組基底,此時(shí)如果c=xa+yb,則稱

xa+yb為c在基底{a,b}下的分解式.3.基底{a,b}中可以有0嗎?提示:不可以.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若b與a共線,則存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa.(

)(2)若向量a與b不共線,則a與b都是非零向量.(

)(3)一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底.(

)(4)若e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,則λ1e1+λ2e2(λ1,λ2為實(shí)數(shù))可以表示該平面內(nèi)的所有向量.(

)(5)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),則a=c,b=d.(

)×√×√×合作探究釋疑解惑探究一共線向量定理的應(yīng)用分析:利用共線向量定理判斷.“若a=λb(λ∈R),則a∥b”是證明向量共線的重要依據(jù)和方法.反思感悟【變式訓(xùn)練1】

已知e1,e2不共線,若a=3e1-4e2,b=6e1+ke2,則當(dāng)k=_______

時(shí),a∥b.

答案:-8探究二用基底表示平面內(nèi)的向量延伸探究反思感悟由平面向量基本定理知,只要基底{a,b}確定,平面內(nèi)的任何向量都可以用基底表示,且結(jié)果唯一.探究三平面向量基本定理的應(yīng)用分析:利用不同的三角形或平行四邊形,用a,b將

表示出來,再根據(jù)“唯一性”確定相關(guān)參數(shù).平面上的基底一旦確定,任何向量用此基底表示的結(jié)果是唯一的,這就是求解此類問題的理論依據(jù).反思感悟【思想方法】

用方程思想求解向量問題【典例】

已知非零向量e1和e2不共線,欲使ke1+e2和e1+ke2共線,試確定實(shí)數(shù)k的值.分析:根據(jù)兩向量共線及e1,e2為非零向量列方程組求解.解:

若ke1+e2與e1+ke2共線,則一定存在λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),即(k-λ)e1=(λk-1)e2.由于e1與e2不共線,則k=±1.本題求解的依據(jù)是共線向量基本定理和平面向量基本定理,根據(jù)向量共線列出方程(組)從而求出相關(guān)參數(shù)值.反思感悟答案:7隨堂練習(xí)A.A,B,C三點(diǎn)共線

B.A,B,D三點(diǎn)共線C.A,C,D三點(diǎn)共線

D.B,C,D三點(diǎn)共線答案:B2.如果e1,e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底,那么(

)A.若實(shí)數(shù)λ1,λ2,使λ1e1+λ2e2=0,則λ1=λ2=0B.空間任一向量a可以表示為a=λ1e1+λ2e2,這里λ1,λ2是實(shí)數(shù)C.對實(shí)數(shù)λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面α內(nèi)D.對平面α中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的實(shí)數(shù)λ1,λ2有無數(shù)對解析:平面α內(nèi)任一向量都可寫成e1與e2的線性組合形式,