第十三章 軸對稱（單元重點綜合測試）

第十三章軸對稱（單元重點綜合測試）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．點關于軸對稱的點的坐標是（）A． B． C． D．2．下列長度的三條線段，能組成等腰三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，3．年全國民航工作會議介紹了年民航業(yè)發(fā)展目標：民航業(yè)將按照安全第一、市場主導、保障先行的原則，在做好運行保障能力評估的基礎上，把握好行業(yè)恢復發(fā)展的節(jié)奏．下列航空圖標，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（）A．

春秋航空 B．

東方航空C．

廈門航空 D．

海南航空4．如圖，中邊的垂直平分線分別交，于點，，，的周長為，則的周長是

A． B． C． D．5．如圖，在中，，，點在上，，則等于（）A．4 B．5 C．6 D．86．如圖，有三個居民小區(qū)的位置成三角形，現決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應建在（）

A．三條中線的交點處 B．三條角平分線的交點處C．三條高線的交點處 D．三條邊的垂直平分線的交點處7．如圖，在中，，，點P從點B出發(fā)以每秒的速度向點A運動，同時點Q從點A出發(fā)以每秒的速度向點C運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，當是以為底的等腰三角形時，的長度是（）

A． B． C． D．8．如圖，等腰的底邊，面積為，腰的垂直平分線分別交于點E、F，若D為邊的中點，M為線段上一動點，則周長的最小值為多少？（）

A．4 B．6 C．8 D．109．如圖，在平面直角坐標系中，對進行循環(huán)往復地軸對稱變換，若原來點的坐標是，則經過第2023次變換后點的對應點的坐標為（）

A． B． C． D．10．如圖，C是線段的中點，與都是等邊三角形，連接和交于點O，與交于點F，和交于點G，則下列結論中正確的有（）①；②；③是等腰三角形；④．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．在方正黑體字：“幸、福、開、陽”中，是軸對稱圖形的字是_____．12．在平面直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標是________．13．如圖，在中，，的垂直平分線交于點N，交的延長線于點M，若．則的度數為__________．（用含a的式子表示）14．如圖，四邊形是長方形紙條，將紙條沿折疊成圖，再沿折疊成圖，圖中的的度數是________．

15．如圖，在中，邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點O，這兩條垂直平分線分別交于點D、E．已知的周長為，分別連接，若的周長為，則的長為_________．

16．等腰中，，垂足為點，且，則等腰底角的度數為_______．三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）17．如圖，在中，，的平分線交于點，若垂直平分，求的度數．18．如圖，在中，，是邊上的高，是的角平分線，與交于點，求證：是等腰三角形．19．請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫畫法，保留作圖痕跡.

(1)如圖①，四邊形中，，，，畫出四邊形的對稱軸；(2)如圖②，四邊形中，，，畫出邊的垂直平分線.20．如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網格中，點A，B

(1)在圖中畫出關于直線l成軸對稱的；(2)求的面積；(3)在直線l上找一點P，使的長最短，標出點P．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）21．如圖，在中，為的平分線，于點E，于點F．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若的面積是，，，求的長．22．在平面直角坐標系中的位置如圖所示．

(1)作出關于軸對稱的，并寫出各頂點的坐標；(2)將向右平移6個單位長度，作出平移后的，并寫出各頂點的坐標；(3)觀察和，它們是否關于某條直線對稱？若是，請在圖中畫出這條直線；(4)求的面積．23．如圖，在中，，，點D在線段上運動（點D不與點B、C重合），連接，作，交線段于點E．

(1)當時，______°，______°；(2)若，試說明；(3)在點D的運動過程中，的形狀可以是以為腰的等腰三角形嗎？若可以，求的度數；若不可以，請說明理由．五、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）24．【概念認識】在四邊形中，．如果在四邊形內部或邊上存在一點P，滿足，那么稱點P是四邊形的“映角點”．【初步思考】（1）如圖①，在四邊形中，，點P在邊上且是四邊形的“映角點”．若，，則的度數為_；【綜合運用】（2）如圖②，在四邊形中，，點P在四邊形內部且是四邊形的“映角點”，延長交邊于點E．求證：①②．

25．在和中，，連接，恰好平分，在上存在一點D，使與互為補角，連接．

(1)如圖1，當時，求的度數；(2)如圖2，當，時，試說明與的位置關系；(3)在（2）問的條件下，如圖3連接并延長，分別交，于點M，N，若，，P，Q分別為和上的動點，請直接寫出周長的最小值．

第十三章軸對稱（單元重點綜合測試）答案全解全析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．點關于軸對稱的點的坐標是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】關于軸對稱點坐標為，據此判斷即可求解．【詳解】解：由題意得關于軸的對稱點坐標為，關于軸的對稱點坐標為，故選：A．【點睛】本題考查了點坐標關于軸對稱規(guī)律，掌握坐標對稱規(guī)律是解題的關鍵．2．下列長度的三條線段，能組成等腰三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】根據三角形的三邊關系及等腰三角形的判定定理解答即可．【詳解】解：、，不能組成三角形，不符合題意；B、，不能組成三角形，不符合題意；C、，能組成三角形，符合題意；D、，不能構成等腰三角形，不符合題意．故選：．【點睛】本題考查的是等腰三角形的定義和三角形的三邊關系，熟知以上知識是解題的關鍵．3．年全國民航工作會議介紹了年民航業(yè)發(fā)展目標：民航業(yè)將按照安全第一、市場主導、保障先行的原則，在做好運行保障能力評估的基礎上，把握好行業(yè)恢復發(fā)展的節(jié)奏．下列航空圖標，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（）A．

春秋航空 B．

東方航空C．

廈門航空 D．

海南航空【答案】D【分析】根據軸對稱的定義，進行判斷即可得．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，選項說法錯誤，不符合題意；B、不是軸對稱圖形，選項說法錯誤，不符合題意；C、不是軸對稱圖形，選項說法錯誤，不符合題意；D、是軸對稱圖形，選項說法正確，符合題意；故選：D．【點晴】本題考查了軸對稱的圖形，解題的關鍵是掌握軸對稱的定義：圖形沿著某一直線折疊能夠完全重合的圖形是軸對稱圖形．4．如圖，中邊的垂直平分線分別交，于點，，，的周長為，則的周長是

A． B． C． D．【答案】C【分析】由中，邊的垂直平分線分別交、于點、，，根據線段垂直平分線的性質，即可求得，，又由的周長為，即可求得的值，繼而求得的周長．【詳解】解：中，邊的垂直平分線分別交、于點、，，，，的周長為，，的周長為：．故選：C．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質，三角形的周長等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．5．如圖，在中，，，點在上，，則等于（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】根據等腰三角形的性質求出和度數，利用直角三角形中含所對應的邊是斜邊的一半求出的長度，根據角度相等求出以及對應長度，從而求出長度．【詳解】解：，，，，，，∵AB⊥AD，，，，，，．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，解題的關鍵在于熟練掌握相關性質定理．6．如圖，有三個居民小區(qū)的位置成三角形，現決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應建在（）

A．三條中線的交點處 B．三條角平分線的交點處C．三條高線的交點處 D．三條邊的垂直平分線的交點處【答案】D【分析】根據線段垂直平分線的性質選擇即可．【詳解】解：∵線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，∴超市應建在三條邊的垂直平分線的交點處．故選D．【點睛】本題考查線段垂直平分線的實際應用．掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題關鍵．7．如圖，在中，，，點P從點B出發(fā)以每秒的速度向點A運動，同時點Q從點A出發(fā)以每秒的速度向點C運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，當是以為底的等腰三角形時，的長度是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設運動時間為x秒時，，根據點P、Q的出發(fā)點及速度，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：設運動的時間為x秒，在中，，，∵點P從點B出發(fā)以每秒的速度向點A運動，同時點Q從點A出發(fā)以每秒的速度向點C運動，∴當是以為底的等腰三角形時，，，，即，解得，∴，故選：C．【點睛】此題主要考查學生對等腰三角形這一知識點的理解和掌握，此題涉及到動點，一元一次方程的應用，關鍵是根據題意列出方程．8．如圖，等腰的底邊，面積為，腰的垂直平分線分別交于點E、F，若D為邊的中點，M為線段上一動點，則周長的最小值為多少？（）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】連接，，由于是等腰三角形，點是邊的中點，故，再根據三角形的面積公式求出的長，再根據是線段的垂直平分線可知，點A關于直線的對稱點為點B，，推出，故的長為的最小值，由此即可得出結論．【詳解】解：連接，．

是等腰三角形，點是邊的中點，，，解得，是線段的垂直平分線，點A關于直線的對稱點為點B，，，的長為的最小值，的周長最短．故選：B．【點睛】本題考查的是軸對稱最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．9．如圖，在平面直角坐標系中，對進行循環(huán)往復地軸對稱變換，若原來點的坐標是，則經過第2023次變換后點的對應點的坐標為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先得出前幾次變化的坐標，總結出一般變化規(guī)律，即可解答．【詳解】解：經過第1次變換后點A的對應點的坐標為，經過第2次變換后點A的對應點的坐標為，經過第3次變換后點A的對應點的坐標為，經過第4次變換后點A的對應點的坐標為，經過第5次變換后點A的對應點的坐標為，……∴該變化每4個一循環(huán)，∵，∴經過第2023次變換后點為第組的第三個坐標，即，故選：A．【點睛】本題主要考查了點的坐標變化規(guī)律，解題的關鍵是掌握關于y軸對稱的點，橫坐標互為相反數，縱坐標相同；關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數．10．如圖，C是線段的中點，與都是等邊三角形，連接和交于點O，與交于點F，和交于點G，則下列結論中正確的有（）①；②；③是等腰三角形；④．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由即可判斷；②由等邊三角形及等腰三角形的性質即可判斷；③由“等角對對邊”即可判斷；④由三角形的外角定理即可判斷．【詳解】解：①∵C是線段的中點∴又∵與都是等邊三角形，∴，∴，①正確；②∵都是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，②正確；③同理可得：，∴即，∴，∴是等腰三角形，③正確；④∵，∴，④錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質、三角形的外角等知識點．熟記相關結論是解題關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．在方正黑體字：“幸、福、開、陽”中，是軸對稱圖形的字是_____．【答案】幸【分析】根據軸對稱圖形的定義，可直接求得答案．【詳解】解：根據軸對稱圖形的定義，“幸”存在一條豎直的對稱軸，為軸對稱圖形，“?！薄伴_”“陽”沒有對稱軸，不是軸對稱圖形．故答案為：幸．【點評】本題主要考查軸對稱圖形的定義，即如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．牢記軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．12．在平面直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標是________．【答案】【分析】根據軸對稱的點的坐標特征，可知橫坐標互為相反數，縱坐標不變，即可求解．【詳解】解：點關于軸對稱的點的坐標是，故答案為：．【點睛】本題考查了關于軸對稱的點的坐標，熟練掌握關于軸對稱的點的坐標特征是解題的關鍵．13．如圖，在中，，的垂直平分線交于點N，交的延長線于點M，若．則的度數為__________．（用含a的式子表示）【答案】/【分析】根據等腰三角形的性質得出，根據，求出即可．【詳解】解：∵，，∴，∵的垂直平分線交于點N，交的延長線于點M，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．14．如圖，四邊形是長方形紙條，將紙條沿折疊成圖，再沿折疊成圖，圖中的的度數是________．

【答案】/度【分析】由平行線的性質知，進而得到圖中，依據圖中的進行計算．【詳解】解：，，在圖中，在圖中．故答案為：．【點睛】此題考查平行線的性質，圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變．15．如圖，在中，邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點O，這兩條垂直平分線分別交于點D、E．已知的周長為，分別連接，若的周長為，則的長為_________．

【答案】【分析】根據線段垂直平分線的性質可得，，，從而可求出，然后根據的周長為，即可求出的長，即可解答．【詳解】解：是的垂直平分線，，，是的垂直平分線，，，，的周長為，，，，的周長為，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵．16．等腰中，，垂足為點，且，則等腰底角的度數為_______．【答案】或或【分析】分點是頂角頂點、點是底角頂點、在外部和在內部三種情況，根據等腰三角形的性質、直角三角形的性質計算．【詳解】解：①如圖1，當點是頂角頂點時，

，，，，，在中，；②如圖2，當點是底角頂點，且在外部時，

，，，，；③如圖3，當點是底角頂點，且在內部時，

，，，，；故答案為：或或．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質、等腰三角形的性質，掌握在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）17．如圖，在中，，的平分線交于點，若垂直平分，求的度數．【答案】【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到，，再根據角平分線的定義、三角形內角和定理計算即可．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∴，∵是的平分線，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質、三角形內角和定理、角平分線的定義．掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．18．如圖，在中，，是邊上的高，是的角平分線，與交于點，求證：是等腰三角形．【答案】見解析【分析】根據直角三角形兩銳角互余求得，然后根據三角形外角的性質求得，根據等角對等邊求得，從而求得是等腰三角形．【詳解】證明：∵在中，，∴，∵是邊上的高，∴，∴，∵是的角平分線，∴，∴，即，∴，∴是等腰三角形．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定、直角三角形兩銳角互余、角平分線的定義、三角形外角的定義和性質等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．19．請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫畫法，保留作圖痕跡.

(1)如圖①，四邊形中，，，，畫出四邊形的對稱軸；(2)如圖②，四邊形中，，，畫出邊的垂直平分線.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據軸對稱的性質，對稱線交點在對稱軸上，結合，，，找到交點即可得到答案；（2）根據軸對稱的性質，對稱線交點在對稱軸上，結合，，，找到交點即可得到答案；【詳解】（1）解：由軸對稱的性質可得，∵，，，∴與，與，關于對稱軸對稱，連接即可得到對稱軸，如圖所示，

（2）解：由軸對稱的性質可得，∵，，∴與關于對稱軸對稱，連接交于一點，相交于一點，連接兩點得到直線即為對稱軸，如圖所示；【點睛】本題考查作對稱軸及軸對稱的性質，解題的關鍵是熟練掌握：對稱線交點在對稱軸上．20．如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網格中，點A，B

(1)在圖中畫出關于直線l成軸對稱的；(2)求的面積；(3)在直線l上找一點P，使的長最短，標出點P．【答案】(1)見解析(2)的面積為(3)見解析【分析】（1）直接利用對稱點的性質得出對應點位置進而得出答案；（2）利用割補法即可得出答案；（3）利用軸對稱求最短路線的方法得出答案．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求．

（2）解：的面積為；（3）解：如圖，連接交直線l于點P，連接，

∵點B和點關于直線l對稱，∴直線l垂直平分，∴，∴，這時的長最短，∴點P即為所作．【點睛】本題考查作圖—軸對稱變換，軸對稱—最短路線．解題的關鍵是根據軸對稱的定義作出變換后的對應點及割補法求三角形的面積．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）21．如圖，在中，為的平分線，于點E，于點F．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若的面積是，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據角平分線的性質得出，說明點D在的垂直平分線上，證明，得出，說明點A在的垂直平分線上，即可證明結論；（2）根據，，得出求出結果即可．【詳解】（1）證明：∵為的平分線，，，∴，∴點D在的垂直平分線上，∵，∴，∴，∴點A在的垂直平分線上，∴是的垂直平分線；（2）解：∵，∴，即，解得：．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，垂直平分線的判定，三角形全等的判定和性質，三角形面積的計算，解題的關鍵是熟練掌握垂線平分線的判定和角平分線上的點到角的兩邊距離相等．22．在平面直角坐標系中的位置如圖所示．

(1)作出關于軸對稱的，并寫出各頂點的坐標；(2)將向右平移6個單位長度，作出平移后的，并寫出各頂點的坐標；(3)觀察和，它們是否關于某條直線對稱？若是，請在圖中畫出這條直線；(4)求的面積．【答案】(1)見解析，，；(2)見解析，，，；(3)是，見解析(4)2【分析】（1）根據軸對稱的圖形作法，先找到對稱點，然后依次連接，對稱點坐標根據軸對稱的性質求出即可；（2）根據平移圖形的作法：先找出平移后的點，然后依次連接作圖即可；（3）連接對應點，然后找出其中點，連線即為對稱軸；（4）利用割補法求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，關于y軸對稱的圖形為，

根據點在坐標系中的位置可得：，；（2）解：如圖所示，為平移后的圖形，，，；（3）解：是，如圖所示，連接，，找到中點D、E，連接可得對稱軸為直線；（4）解：的面積．【點睛】題目主要考查坐標平面內的圖形變換，解題關鍵是熟練掌握軸對稱和平移的特征及坐標變化規(guī)律，如何根據點的位置確定對稱軸．23．如圖，在中，，，點D在線段上運動（點D不與點B、C重合），連接，作，交線段于點E．

(1)當時，______°，______°；(2)若，試說明；(3)在點D的運動過程中，的形狀可以是以為腰的等腰三角形嗎？若可以，求的度數；若不可以，請說明理由．【答案】(1)，(2)見解析(3)可以，【分析】（1）由平角的定義和三角形外角的性質可求，的度數即可；（2）由“”證即可；（3）分，兩種情況討論，由等腰三角形的性質和三角形外角的性質可求的度數．【詳解】（1）解：，且，，，∵，，，，故答案為：，；（2），，，，∵，∴，在和中，∵，()；（3）①若時，，，，，

②當時，，∴此時不符合題意，舍去．綜上所述：的形狀可以是以為腰的等腰三角形，此時．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定，三角形內角和定理，三角形外角的性質，靈活運用相關的性質定理、綜合運用知識是解題的關鍵，注意分類討論思想的應用．五、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）24．【概念認識】在四邊形中，．如果在四邊形內部或邊上存在一點P，滿足，那么稱點P是四邊形的“映角點”．【初步思考】（1）如圖①，在四邊形中，，點P在邊上且是四邊形的“映角點”．若，，則的度數為_；【綜合運用】（2）如圖②，在四邊形中，，點P在四邊形內部且是四邊形的“映角點”，延長交邊于點E．求證：①②．

【答案】（1）60°；（2）①見解析；②見解析【分析】（1）根據“映角點”可得：