1.5.1 全稱量詞與存在量詞（教學課件）-人教A版2019必修第一冊高一數(shù)學（人教A版2019必修第一冊）

人教A版2019高一數(shù)學（必修一）第一章集合與常用邏輯用語1.5.1全稱量詞與存在量詞目錄/CONTENTS新知探究情景導入學習目標課堂小結分層練習錯因分析學習目標1.了解含有量詞的全稱量詞命題和存在量詞命題的含義,并能用數(shù)學符號表示含有量詞的命題，提升數(shù)學抽象核心素養(yǎng)（重點）2.會判斷全稱量詞命題、存在量詞命題的真假，強化邏輯推理核心素養(yǎng)。（難點）情景導入情景導入全稱量詞

下列語句是命題嗎?(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關系?(1)x>3(2)2x+1是整數(shù)(3)對所有的xR,x>3(4)對任意一個xZ,2x+1是整數(shù)是是不是不是(3)在(1)的基礎上,用量詞“所有的”對變量x進行限定;關系:(3)(4)全稱量詞命題(4)在(2)的基礎上,用短語”對任意一個”對變量x進行限定.1.全稱量詞與全稱命題新知探究1.全稱量詞與全稱命題(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做__________,并用符號“?”表示.(2)含有全稱量詞的命題,叫做__________________.(3)全稱命題的表述形式:對M中任意一個x,有p(x)成立,可簡記為:___________,讀作“對任意x屬于M,有p(x)成立”.(4)全稱量詞命題的真假判斷:要判斷一個全稱命題量詞是真命題,必須對限定集合M中的每一個元素x,驗證p(x)成立;但要判斷一個全稱量詞命題是假命題,只需列舉出一個x0∈M,使得p(x0)不成立即可.名師點撥常用的全稱量詞還有“所有”“每一個”“任何”“任意”“一切”“任給”“全部”.只要含有這些量詞,或者命題具有全稱量詞所表達的含義,就是全稱量詞命題.全稱量詞全稱量詞命題?x∈M,p(x)概念歸納例1.判斷下列全稱量詞命題的真假.(1)所有的素數(shù)都是奇數(shù);(2)xR,|x|+1≥1(3)對每一個無理數(shù)x,x2也是無理數(shù)解:(1)∵2是素數(shù),但不是奇數(shù).∴全稱命題(1)是假命題(2)∵xR,|x|≥0,從而|x|+1≥1∴全稱命題(2)是真命題(3)∵是無理數(shù),但

是有理數(shù)∴全稱命題(3)是假命題典例剖析思考：如何判斷全稱量詞命題的真假？方法:

若判定一個全稱量詞命題是真命題,必須對限定集合M中的每個元素x驗證P(x)成立;

若判定一個全稱量詞命題是假命題,只要能舉出集合M中的一個x=x0

,使得P(x)不成立即可。典例剖析關系:存在量詞下列語句是命題嗎?(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關系?(1)2x+1=3(2)x能被2和3整除;(3)存在一個x∈R,使2x+1=3;(4)至少有一個x∈Z,x能被2和3整除.(3)在(1)的基礎上,用短語“存在一個”對變量x的取值進行限定,使(3)變成了可以判斷真假的語句;不是不是是是(4)在(2)的基礎上,用“至少有一個”對變量x的取值進行限定,從而使(4)變成了可以判斷真假的語句.(3)(4)存在量詞命題2.存在量詞與存在量詞命題新知探究2.存在量詞與存在量詞命題(1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做_________,并用符號“?”表示.(2)含有存在量詞的命題,叫做__________________.(3)存在量詞命題的表述形式:存在M中的一個x0,使p(x0)成立,可簡記為_____________:,讀作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.(4)存在量詞命題的真假判斷:要判斷一個存在量詞命題是真命題,只要在限定集合M中,能找到一個x0,使得命題p(x0)成立即可;否則這一命題就是假命題.名師點撥常用的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“存在”、“某個”、“有的”等.只要含有這些量詞,或者命題具有存在量詞所表達的含義,就是存在量詞命題.全稱量詞全稱量詞命題?x0∈M,p(x0)概念歸納例2.下列命題是不是存在量詞命題？（1）有的平行四邊形是菱形;（2）有一個素數(shù)不是奇數(shù)都是存在量詞命題.練習：

設q(x):x2=x,使用不同的表達方法寫出存在量詞命題“?x∈R,q(x)”解:存在實數(shù)x,使x2=x成立至少有一個x∈R,使x2=x成立對有些實數(shù)x,使x2=x成立有一個x∈R,使x2=x成立對某個x∈R,使x2=x成立典例剖析例3.下列語句是不是全稱量詞命題或存在量詞命題(1)有一個實數(shù)a,a不能取倒數(shù)；(2)所有不等式的解集A,都是A?R；(3)有的四邊形不是平行四邊形。存在量詞命題全稱量詞命題存在量詞命題典例剖析例4.判斷下列存在量詞命題的真假(1)有一個實數(shù)x,使x2+2x+3=0;(2)平面內存在兩條相交直線垂直于同一條直線;(3)有些平行四邊形是菱形.解:(2)由于平面內垂直于同一條直線的兩條直線是互相平行的,因此不存在兩個相交的直線垂直于同一條直線.所以,存在量詞命題(1)是假命題.所以,存在量詞命題(2)是假命題.(1)由于

因此使x2+2x+3=0的實數(shù)x不存在.（3）由于正方形既是平行四邊形又是菱形，所以存在量詞命題“有些平行四邊形是菱形”是真命題。典例剖析

要判斷存在量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)成立即可.思考：如何判斷存在量詞命題的真假方法:

如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么這個存在量詞命題是假命題.例1.判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題．(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)矩形的對角線不相等；(3)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；(4)有些實數(shù)a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(5)方程3x－2y＝10有整數(shù)解．素養(yǎng)點睛：考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．題型1全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷典例剖析解：(1)可以改為：所有的凸多邊形的外角和等于360°，故為全稱量詞命題．(2)可以改為：所有矩形的對角線不相等，故為全稱量詞命題．(3)若一個四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱量詞命題．(4)含存在量詞“有些”，故為存在量詞命題．(5)可改寫為：存在整數(shù)x，y，使3x－2y＝10成立，故為存在量詞命題．典例剖析全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷思路[注意]

全稱量詞命題可能省略全稱量詞，存在量詞命題的存在量詞一般不能省略．概念歸納1．給出下列命題：①存在實數(shù)x>1，使x2>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一個實數(shù)a，使ax2－ax＋1＝0的根為負數(shù)．其中存在量詞命題的個數(shù)為

(

)A．1

B．2

C．3

D．4【答案】C

【解析】①③④為存在量詞命題，②為全稱量詞命題．故選C．練一練例2.判斷下列命題的真假．(1)?x∈Z，x3<1；(2)存在一個四邊形不是平行四邊形；(3)在平面直角坐標系中，任意有序實數(shù)對(x，y)都對應一點P；(4)?x∈N，x2>0.素養(yǎng)點睛：考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．題型2

全稱量詞命題、存在量詞命題的真假判斷典例剖析解：(1)因為－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“?x∈Z，x3<1”是真命題．(2)真命題，如梯形．(3)由有序實數(shù)對與平面直角坐標系中的點的對應關系知，它是真命題．(4)因為0∈N,02＝0，所以命題“?x∈N，x2>0”是假命題．典例剖析判斷全稱量詞命題與存在量詞命題真假的技巧(1)要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判定全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個x，使得p(x)不成立即可．(2)要判定一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個x使p(x)成立即可；否則，這個存在量詞命題就是假命題．概念歸納2．下列是存在量詞命題且是真命題的是

(

)A．?x∈R，x2>0 B．?x∈Z，x2>2C．?x∈N，x2∈N D．?x，y∈R，x2＋y2<0【答案】B

【解析】對于A，?x∈R，x2>0是全稱量詞命題，不合題意；對于B，?x∈Z，x2>2是存在量詞命題，且是真命題，滿足題意；對于C，?x∈N，x2∈N是全稱量詞命題，不合題意；對于D，?x，y∈R，x2＋y2<0是存在量詞命題，是假命題，不合題意．故選B．練一練例3.(1)命題“存在實數(shù)x，使x>1”的否定是

(

)A．對任意實數(shù)x，都有x>1B．不存在實數(shù)x，使x≤1C．對任意實數(shù)x，都有x≤1D．存在實數(shù)x，使x≤1題型3全稱量詞命題與存在量詞命題的否定典例剖析(2)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(

)A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2素養(yǎng)點睛：考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．【答案】(1)C

(2)D

典例剖析【解析】(1)利用存在性命題的否定為全稱命題可知，原命題的否定為：對于任意的實數(shù)x，都有x≤1.故選C．(2)由于存在量詞命題的否定形式是全稱量詞命題，全稱量詞命題的否定形式是存在量詞命題，所以“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式為“?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2”．故選D．典例剖析全稱量詞命題與存在量詞命題的否定的思路(1)一般地，寫含有一個量詞的命題的否定，首先要明確這個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并找到量詞及相應結論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞，

同時否定結論．(2)對于省略量詞的命題，應先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再依據(jù)規(guī)則來寫出命題的否定．概念歸納3．命題p：“有些三角形是等腰三角形”，則?p是

(

)A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等邊三角形C．所有三角形都不是等腰三角形D．所有三角形是等腰三角形【解析】在寫命題的否定時，一是更換量詞，二是否定結論．更換量詞，“有些”改為“所有”，否定結論，“是等腰三角形”改為“都不是等腰三角形”，故綈p為“所有三角形都不是等腰三角形”．C練一練

例4.已知命題“?x∈R，ax2＋2x＋1≠0”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．題型四：根據(jù)命題的真假求參數(shù)范圍典例剖析【素養(yǎng)養(yǎng)成】由命題的真或假推斷參數(shù)的取值范圍考查邏輯推理的核心素養(yǎng)，由全稱量詞命題和存在量詞命題的真假，推斷不等式成立與否，考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．概念歸納隨堂練隨堂練隨堂練4.下列語句不是全稱量詞命題的是(

)A.任何一個實數(shù)乘零都等于零B.自然數(shù)都是正整數(shù)C.高一(1)班絕大多數(shù)同學都是團員D.所有二次函數(shù)的圖象都開口向上解析:“高一(1)班絕大多數(shù)同學都是團員”,即“高一(1)班有的同學不是團員”,是存在量詞命題.隨堂練C解析:當x=0時,0∈N,但0<1.故“?x∈N,x≥1”是假命題.隨堂練B6.存在量詞命題“至少有一個整數(shù),它既能被3整除又能被5整除”是

命題.(填“真”或“假”)

7.若對任意x>3,x>a恒成立,則a的取值范圍是

.

解析:對任意x>3,x>a恒成立,即大于3的數(shù)恒大于a,故a≤3.隨堂練真a≤38.用全稱量詞表述下列命題,并判斷真假:(1)x2+2x+3≥2;(2)負數(shù)都沒有算術平方根;(3)對角線垂直的四邊形是菱形.解:(1)?x∈R,x2+2x+3≥2.x2+2x+3=(x+1)2+2≥2.是真命題.(2)所有的負數(shù)都沒有算術平方根.是真命題.(3)所有對角線垂直的四邊形都是菱形.是假命題.隨堂練

（1）每個四邊形的內角和都是360°；

（2）任何實數(shù)都有算術平方根；

（3）?x∈{x｜x是無理數(shù)}，x３是無理數(shù)．1.判斷下列全稱量詞命題的真假:(1)命題真(2)命題假

(3)命題假

課本練習（1）存在一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直；

（2）至少有一個整數(shù)n，使得n2＋n為奇數(shù)；

（3）?x∈{y｜y是無理數(shù)｝，x2是無理數(shù)．2.判斷下列存在量詞命題的真假:(1)命題真(2)命題假

(3)命題真

課本練習錯因分析防范措施是記準兩點：一是否定量詞，二是否定結論．錯因分析對量詞理解不到位致錯判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.(1)矩形有一個外接圓;(2)非負實數(shù)有兩個平方根.錯解:(1)存在量詞命題.(2)存在量詞命題.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?錯因分析提示:(1)誤認為含有存在量詞“有一個”,(2)誤認為含有存在量詞“有兩個”,即判斷為存在量詞命題.正解:(1)可以改寫為“所有的矩形都有一個外接圓”,是全稱量詞命題.(2)可以改寫為“所有的非負實數(shù)都有兩個平方根”,是全稱量詞命題.錯因分析防范措施1.全稱量詞命題就是陳述某集合所有元素都具有某種性質的命題,存在量詞命題就是陳述在某集合中有(存在)一些元素具有某種性質的命題,是對某集合一些元素的限定,而不是對結論的限定.2.注意對全稱量詞命題和存在量詞命題概念的理解,培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng).錯因分析【變式訓練】

用全稱量詞或存在量詞表述下列命題:(1)有理數(shù)都能寫成分數(shù)形式;(2)n邊形的內角和等于(n-2)