專題23 數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和-2022年高考數(shù)學(xué)45天核心考點(diǎn)專題訓(xùn)練（解析版）

備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)專題訓(xùn)練

專題17數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和

一、單選題（本大題共10小題，共50分）

1.據(jù)《乾陵百迷》記載：乾陵是陜西關(guān)中地區(qū)唐十八陵之一，位于乾縣縣城北部的梁山上，是唐高宗李

治和武則天的合葬墓.乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓.1961年3月被國務(wù)院公布為第一批全國重

點(diǎn)文物保護(hù)單位.乾陵氣勢(shì)雄偉，規(guī)模宏大.登乾陵需要通過一段石階路，如圖所示，石階路共526級(jí)臺(tái)

階（各臺(tái)階高度相同）和18座平臺(tái)，寬11米，全路用32000塊富平墨玉石砌成.右階有許多象征意義.比

如第一道平臺(tái)的34級(jí)臺(tái)階，象征唐高宗李治在位執(zhí)政34年，第二道平臺(tái)的21級(jí)臺(tái)階，象征武則天執(zhí)政

21年……第九道平臺(tái)的108級(jí)臺(tái)階，象征有108個(gè)“吉祥”現(xiàn)己知這108級(jí)臺(tái)階落差高度為17.69米，那么

乾陵石階路526級(jí)臺(tái)階的落差高度約為（）

A.86.2米B.83.6米C.84.8米D.85.8米

【答案】A

【解析】解：由題意可知所求高度為

17.694-108x526?86.2,

所以乾陵石階路526級(jí)臺(tái)階的落差高度約為86.2米，

故選：A

2.一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一周歲生日開始，每年到銀行儲(chǔ)蓄。元

一年定期，若年利率為「保持不變，且每年到期時(shí)存款（含利息）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18歲生

日時(shí)不再存入，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為（）

A.<2（1+/?）'7B.q［（l+r）L-（l+r）］

C.a（l+r）'sD.—^（l+r）l!s-（l+r）J

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，當(dāng)孩子18歲生日時(shí)，孩子在一周歲牛日時(shí)存入的。元產(chǎn)生的本利合計(jì)為a（l+r）”,

同理：孩子在2周歲生日時(shí)存入的。元產(chǎn)生的本利合計(jì)為?(1+r)'6，

孩子在3周歲生日時(shí)存入的。元產(chǎn)生的本利合計(jì)為a(l+r)1

孩子在17周歲生日時(shí)存入的。元產(chǎn)生的本利合計(jì)為a(l+r),

可以看成是以a(l+r)為首項(xiàng)，1+/?為公比的等比數(shù)列的前17項(xiàng)的和，

此時(shí)將存款(含利息)全部取回，則取回的錢的總數(shù)：

°八八F+an,us,j

S=tz(l+r)++...+a(l+r)=-----------j----=~|_(^+r)一(1+〃))

故選：D

3.復(fù)利是指一筆資金產(chǎn)生利息外，在下一個(gè)計(jì)息周期內(nèi)，以前各計(jì)息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息也計(jì)算利息的計(jì)

息方法，單利是指一筆資金只有本金計(jì)取利息，而以前各計(jì)息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息在下一個(gè)計(jì)息周期內(nèi)不計(jì)

算利息的計(jì)息方法.小闖同學(xué)一月初在某網(wǎng)貸平臺(tái)貸款10000元，約定月利率為1.5%,按復(fù)利計(jì)算，從一

月開始每月月底等額本息還款，共還款12次，直到十二月月底還清貸款，把還款總額記為x元.如果前十

一個(gè)月因故不還貸款，到十二月月底一次還清，則每月按照貸款金額的1.525%,并且按照單利計(jì)算利息,

這樣的還款總額記為)，元.則y-x的值為()(參考數(shù)據(jù)：1.01512句.2)

A.0B.1200C.1030D.900

【答案】C

【解析】解：由題意知，按復(fù)利計(jì)算，設(shè)小闖同學(xué)每個(gè)月還款。元，則小闖同學(xué)第一次還款。元后，還欠

本金及利息為I。。。。。+15%)元，

第二次還款〃元后，還欠本金及利息為10000(1+1.5%尸-a(l+1.5%)-a,

第三次還款。元后，還欠本金及利息為10000(1+1.5%)3-a(l+1.5%)2-a(l+1.5%)-a,

依次類推，直到第十二次還款后，全部還清，即

1(XX)()(1+1.5%)12-iz(l+1.5%)"-iz(l+1.5%)l(,----a(l+1.5%)-a=0,

i_inic>2

B|J10000(1+1.5%)'2=a——：----,解得a。900，

1-1.015

故x=12x900=10800元，

按照單利算利息，12月后,所結(jié)利息共10000x0.01525x12=1830元,

故y=10000+1830=11830元，

所以y-x=11830-10800=103(),

故選：C

4.已知數(shù)歹uf飆盤中的前降:項(xiàng)和為，黑，對(duì)任意聰把彘r，黑=(砥"％為春替斑：-蔽，且

豳底寂一瞿釐跟一喊,"：旗恒成立，則實(shí)數(shù)承的取值范圍是

A.%苧B.依學(xué)

。.?廊D.《氣奈

【答案】A

117

【解析】由蜀廣&喈孤樸忘普樂:-顏有，當(dāng)”=1時(shí),4=d=-%+g+2-6.求得囚=一，當(dāng)心2時(shí)，

??=S?-S?.,=(-ir??+^+2n-6-(一1廣％1+3+2(〃_1)-6，化簡得

[1+(-1嚴(yán)]。“=(-1)%,1-￡+2,當(dāng)”=2/々右葉),《1=-2+￡,所以?！盻產(chǎn)-2+5,4刈=-2+擊,當(dāng)

1工1,1

n=2k-i(keN*),2a〃=一生一一5r+2,所以雕花國=一囁◎皿書甥一漕4=一絲施穌i咎獸一濟(jì)現(xiàn)二幅一萍?

因?yàn)檩v次一城的《一城卜：電恒成立，所以當(dāng)當(dāng)"=2—k￡N*),(〃-a2A+i)(〃-a2A)<°，，-2+￡T<P<6-Tr，

319511723

即一記<〃<記，當(dāng)"=2左伏e".)，(〃一4人)(〃一。21)〈°,-2+產(chǎn)<〃<6—產(chǎn),「.一^<P<],綜上兩種情

723

況，有一二〈?

44

S

5.在數(shù)列｛%｝中,4=1,當(dāng)〃之2時(shí)，其前〃項(xiàng)和為S“滿足S：=a〃(S〃-1)，設(shè)a=log?「，數(shù)歹U｛〃｝的前〃項(xiàng)

U+2

和為刀,，則滿足126的最小正整數(shù)〃是

A.12B.11C.10D.9

【答案】C

【解析】由5；=4母—1)可得工2=(5,-5,1)6一1),即所以數(shù)列;是等差數(shù)列，首項(xiàng)

J〃3“

為i,公差為1,則g=i+(〃-i)=〃，解得s“=L所以〃,=1嗎￡=1鳴9,數(shù)列間的前〃項(xiàng)和

>n'+2n

,131415.n+l,n+2..345

7；,=log-+log,-+log-+---+log--+log----=iog2(；xqx彳x...x

212232n-\2n123

n+\〃+2、,(H+1)(H+2).，,(〃+l)(〃+2),//A

LrznnnlX

——X----)=log.---------.Lb?；,>6p｛fgiog2^----------^>6,即(〃+l)(〃+2)之2,令

H-1n22

;?(》)=9+3》_]26=(》+^]-128-1,可得函數(shù)/(力在口,收)上單調(diào)遞增，而〃9)=—18<0,

/(10)=4>0,若xeN*,則〃210,則滿足(26的最小正整數(shù)"是10.故選C.

6.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且q=5,4=-3鳳_1+6(〃22),若對(duì)任意的“eM,14P(S.-4〃)43

恒成立，則實(shí)數(shù)P的取值范圍為

A.(2,3]B.[2,3]C.(2,4]D.[2,4]

【答案】B

【解析】由數(shù)列的遞推公式可得：*-4=-；(4-4),

則數(shù)列｛4-4｝是首項(xiàng)為q-4=1,公比為-；的等比數(shù)列，

分組求和可得：S“=|-;)+4〃，

題中的不等式即l4px|>(-；)43恒成立，

結(jié)合恒成立的條件可得實(shí)數(shù)"的取值范圍為[2,3]

本題選擇B選項(xiàng).

7.公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面

1000米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了

1000米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，烏龜先他10米，當(dāng)阿基里斯跑完下

一個(gè)10米時(shí)，烏龜先他1米.…所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x

恰好為0.1米時(shí)，烏龜爬行的總距離為()

A,”二1米一米

B.

90090

C.3米?米

D.

90090

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，這是一個(gè)等比數(shù)列模型,

設(shè)q=100,9=,為

0.1,

所以4=0.1=100X

解得〃=4,

10

故選：D.

8.朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)

啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題,主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有132根相同的圓形鉛筆，

小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2,且從最下面一層

開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】設(shè)最上面一層放生根，一共放"(n>2)層，則最下一層放q+(〃-1)根，

由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得：=]32,

2

?。2644

??2。]=---724-1,

n

???qwN：??〃為264的因數(shù),且竺一〃+1為偶數(shù)，

n

把各個(gè)選項(xiàng)分別代入，驗(yàn)證，可得：〃=8滿足題意.

故選：D

9.刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3,…中的所有完全平方數(shù)，得到一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的第2018項(xiàng)是

A.2062B.2063C.2064D.2065

【答案】B

【解析】由題意可得,這些數(shù)可以寫為：F,2,3,22,5,6,7,8,3?,…，第公個(gè)平方數(shù)與第&+1個(gè)平方數(shù)之間有2攵

個(gè)正整數(shù),而數(shù)列『,2,3,22,5,6,7,8,3?,…45?共有2025項(xiàng),去掉45個(gè)平方數(shù)后,還剩余2025-45=1980個(gè)

數(shù)，所以去掉平方數(shù)后第2018項(xiàng)應(yīng)在2025后的第38個(gè)數(shù)，即是原來數(shù)列的第2063項(xiàng)，即為2063,故選

B.

10.設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為5.，。向+%=2"+3,且S,=1450,若見<4,貝ij〃的最大值為

A.51B.52C.53D.54

【答案】A

a

【解析】n+\+〃“=2〃+3,-(〃+2)=-(々〃一(〃+1)),

???｛4-(〃+1)｝是以-1為公比的等比數(shù)列,

-5+1）=（《一2）.（一1）”，

〃（〃+3）/、1一（一1）〃

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，$"5+'=145。無解,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S=跡型+“-2=1450,

"2"2

/?（/?+3）廠L,

:.a,=1452一一-----,又6+%=5,.?.%=5-4<4,即q>1,

2

即〃（〃+3）<2902,又n為奇數(shù)，故n的最大值為51.

故選A

二、填空題（本大題共4小題，共20分）

2

H.設(shè)數(shù)列｛%｝滿足q=§,且對(duì)任意的滿足4+2-%V2",4"4-。"25乂2”,則。珈,=

92017

【答案】—

3

【解析】???對(duì)任意的“eM,滿足八-%42",4+4-。“25x2”,

+2

‘5x2"<a?+4-a?=(??+4-a?t2)+(a?+2-a?)<2"+2"=5x2",

4+4-0“=5x2".

??。2017=(電017—以2013)+(°2013-出009)(%—4)+4

=5X(220,3+22009+-+2')+|

2X(1-165,M),2220,7

=3CXT-

1-1633

92017

答案：?

3

12.數(shù)列數(shù)〃｝滿足44+14+2=an+%+1+%+2(的〃+尸1，〃￡N"),且6=1,。2=2.若

an=Asin（G〃+e）+c（G>0j夕|<、）,則實(shí)數(shù)A=.

【答案】_巫

3

【解析】由題意，數(shù)列｛為｝滿足。②+。+2=q+?！?1+〃"2且4=1，%=2,

令刀=1,可得=4+。2+生，即2%=1+2+。3，解得％=3,

令〃=2,可得〃2〃3〃4=〃2+〃3+〃4，即6〃4=2+3+〃4，解得/二1，

同理可得的=2,4=3,…，可得數(shù)列｛見｝的周期為3,

乂由a“=Asin（3〃+e）+c,所以且=3,所以卬=紅，g|Ja?=Asm\^-n+<p\+c,

w3\3J

與+sj+c=l

4=Asin

2zr

又由，a、=Asinx2+°)+c=2,解得A二一2弋、(p=_',c=2,

2萬

%=Asinx3+夕+c=3

所以A=_&5.

3

13.1967年，法國數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線有多長？》標(biāo)志著幾何概念從整數(shù)維到分?jǐn)?shù)維

的飛躍.1977年他正式將具有分?jǐn)?shù)維的圖形成為“分形”,并建立了以這類圖形為對(duì)象的數(shù)學(xué)分支——分形幾

何.分形幾何不只是扮演著計(jì)算機(jī)藝術(shù)家的角色，事實(shí)表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)

象的工具.下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1,線段A8的長度為1,在線段A8上取兩個(gè)

點(diǎn)C,D,使得4C=￡>B=：A8,以C。為一邊在線段43的上方做一個(gè)正三角形，然后去掉線段CD,得

到圖2中的圖形；對(duì)圖2中的線段EC、作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了

以下一系列圖形:

記第〃個(gè)圖形（圖1為第一個(gè)圖形）中的所有線段長的和為S“，對(duì)任意的正整數(shù)〃，都有則a的

最小值為.

【答案】2.

【解析】設(shè)第八個(gè)圖形中新出現(xiàn)的等邊三角形的邊長為耳，則當(dāng)〃22時(shí),

2

設(shè)第〃個(gè)圖形中新增加的等邊三角形的個(gè)數(shù)為々，則當(dāng)“W2時(shí)，bn=2"-,

故S,-S,i=[g)x2f其中〃22,

由累加法可得S.=1+3+-+(|「=l+；x士x1一(|)

3

〃=1時(shí)，，=1也符合該式，故5,=2-同，

故S,,<2對(duì)任意的“21恒成立,故a22即"的最小值為2.

故答案為：2.

14.對(duì)于實(shí)數(shù)x,[x]表示不超過x的最大整數(shù)，已知正數(shù)列｛a。｝滿足S產(chǎn)!(an+—),nSN*,其中S”為

2an

111

數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)的和，則[履+1+…+「]=.

、2,121

【答案】20

【解析】由題可知s“>o,當(dāng)時(shí)，S“=?(S"一S.T)+[]化簡可得s：-s3=i,當(dāng)"=i,s：=a；=i

所以數(shù)列｛S：｝是以首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列，即S：=〃:.S,產(chǎn)品

/222/

又〃>1時(shí)，2(+1—y/n)=\一一7=<--<—?=J---=2(Vn—-1)

\Jn+l+\/n2S〃5

「111

ipS=—+——+-----

°1°2°121

一方面S>2[Vi^—71^1+…3—1]=2(7^5-1)>20

另一方面s<i+2[(Vi^i—7^5)+…+(8―1)]=i+2(ViIT—i)=21

所以20vSv21

即[S]=20

故答案為20

三、解答題(本大題共3小題，共30分)

15.已知等比數(shù)列｛4｝的前八項(xiàng)和為5,,("€2*),-252,S3"成等差數(shù)列，且生+2%+4=上.

(1)求數(shù)列伍“｝的通項(xiàng)公式；

(2)若4=-(〃+2)logM求數(shù)列｛9的前〃項(xiàng)和心

,T=32〃+3

【答案】(1)??(-)”一廠2(〃+1)("+2)

【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛?｝的公比為4,

由-2S2,S3,4S4成等差數(shù)列知,2s3=-2邑+4S4,

所以2%=-%，即4=-；

又〃2+2%+%=—，所以qg+2qq-+qq3=--,所以4=—

所以等比數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式4=

（2）由（I）知2=_（〃+2）嚏，?=n（n+2），

所哈=花片

2(〃n+2J

所以數(shù)列的前"項(xiàng)和:

32/7+3

42(〃+1)(〃+2)

所以數(shù)列目的前〃項(xiàng)和7H2〃+3

2(〃+1)(〃+2)

16.設(shè)數(shù)列｛《,｝的前n項(xiàng)和為S,,S“=/，）（4，q-0,妤1）

1一夕

（1）求證：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列；

（2）若qcN*,是否存在q的某些取值，使數(shù)列｛““｝中某一項(xiàng)能表示為另外三項(xiàng)之和？若能求出q的全

部取值集合，若不能說明理由.

（3）若qeR,是否存在qe[3,+8）,使數(shù)列｛q｝中，某一項(xiàng)可以表示為另外三項(xiàng)之和？若存在指出q的

一個(gè)取值，若不存在，說明理由.

【答案】解：（1）見詳解；（2）不存在；（3）不存在

【解析】（l）n=l時(shí)，at=St=a,

〃22時(shí)，-S?_,=-—（<]"-q"'）=aqn"'（n=l也符合）

\-q'/

；.a.=aqSM）,，T=q,即數(shù)列｛4“｝是等比數(shù)列.

（2）若&,=a?s+a?2+%則=q'b+?，”+/6N,q22）

可設(shè)〃4>4>%>〃I，兩邊同除以4%得：q-—qf=1

因?yàn)樽筮吥鼙籷整除，右邊不能被q整除，因此滿足條件的q不存在.

h

(3)若%=an)+a?2+冊(cè)則q"，=q"'+q'+q'"(4eN,q22)

可設(shè)?.?qW3,q"，=q.q"C23q"C23q%>q%+q%+q"',；.%,=4、+4,?+4”不成立.

17.己知無窮數(shù)列｛““｝與無窮數(shù)列出“｝滿足下列條件：①￡｛0,1,2｝,〃eN*；②

導(dǎo)=（-I）"-I一>用1，〃eN?.記數(shù)列｛瓦｝的前n項(xiàng)積為。.

（1）若4=4=1,。2=0，“3=2,〃4=1,求方；

（2）是否存在《,生,%,%,使得仿也也也成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)寫出一組4,%，％，毋若不存在，請(qǐng)說

明理由；

（3）若4=1,求（⑼的最大值.

2.X1020100

【答案】（1）7；=—;（2）不存在，理由見解析；（3）（金2鼠=目

【解析】⑴仇=（-1>|多-與他=一:，仇=（一1）2?停一與也=一，

242244

d=（?吟-孕

:.T=—

4128

（2）不