數(shù)學基礎知識-概率和統(tǒng)計初步

檄率與統(tǒng)計初步

I教學要求

1.掌握分類、分步計數(shù)原理.

2.了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機事件的概率的意義，會計算一些等可能事

件的概率.

3.了解互斥事件與相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事

件的概率乘法公式計算一些事件的概率.

4.了解直方圖與頻率分布.

5.理解總體、樣本的概念，了解抽樣方法.

6.理解用樣本均值估計總體均值，用樣本標準差估計總體標準差.

7.了解一元線性回歸.

II教材分析

本章內(nèi)容介紹

本章的主要內(nèi)容是概率和統(tǒng)計.在現(xiàn)實世界中，隨機現(xiàn)象是廣泛存在的.概率與統(tǒng)計

是從數(shù)量這一側面研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的學科.概率論是用數(shù)學觀點研究隨機現(xiàn)象的基本性

質(zhì)；統(tǒng)計是利用搜集到的隨機數(shù)據(jù)，估計或推斷隨機現(xiàn)象的基本特征.本世紀以來，由于

生產(chǎn)和科學技術的飛速發(fā)展，概率與統(tǒng)計在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學技術中都獲得了越來越廣泛

的應用，成為研究自然現(xiàn)象，處理工程乃至公眾事業(yè)問題的有力工具.在現(xiàn)代社會中，雖

然還不能確切地預報未來，然而學習本章知識有利于更好地處理各種不確定因素，這對中

等職業(yè)學校學生畢業(yè)后參加工作或進一步學習都有很大幫助.

本章第1節(jié)介紹了兩種計數(shù)原理.第2~3節(jié)介紹隨機事件的概率及相關性質(zhì).首先通

過一些簡單具體的隨機現(xiàn)象進行分析，引入了必然事件、不可能事件和隨機事件的概念，

由分析事件發(fā)生的頻率的定義與事件發(fā)生可能性（概率）的關系，介紹了一般的隨機事件,

并引入概率的統(tǒng)計定義，用例題介紹了統(tǒng)計概率的應用，接著通過“投擲硬幣”和“擲骰

-66-

子”引出古典概率，并介紹了古典概率的應用.緊接著研究了互斥事件和概率的加法公式,

相互獨立事件與概率的乘法公式.第4節(jié)主要介紹了頻率分布直方圖的畫法.第5~6節(jié)介

紹的是數(shù)理統(tǒng)計的一些初步知識.數(shù)理統(tǒng)計是一門研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的科學.它以

概率論為基礎，利用試驗或觀察到的數(shù)據(jù)，對研究對象的客觀規(guī)律性作出種種合理的估計

和推斷.教材首先聯(lián)系學生初中學習的統(tǒng)計初步知識，進一步研究了總體和樣本的有關概

念；接著介紹了用樣本均值、標準差估計總體均值、標準差.第7節(jié)簡單地介紹了一元線

性回歸的原理.回歸分析是研究變量之間相互關系的一種重要的數(shù)理統(tǒng)計方法，也是一種

應用很廣泛的數(shù)量分析法.

本章教學中需要注意的問題：

(1)要注意區(qū)分樣本及樣本觀測值.例如，對總體，抽取〃個個體。，…4,構

成一個容量為〃的樣本(。，…的一組數(shù)值.

(2)在畫頻率直方圖時，注意縱軸表示頻率與組距的比值，而不是頻率.

(3)總體數(shù)字特征的估計，用(=估計總體均值，用s=J」一支(斗-if來估

〃仁\〃T汽

計息體標準差，而不是用］：工(七一￡)2來估計總體標準差.

(4)本章的統(tǒng)計計算比較復雜，應學會用計算器來計算.

本章教學重點

1.事件的概率的定義，以及運用古典概率公式計算等可能事件的概率.

2.概率的加法公式.

3.繪制頻率分布直方圖.

4.總體與樣本的概念.

5.用樣本均值、標準差估計總體均值、總體標準差.

本章教學難點

1.繪制頻率分布直方圖.

2.樣本均值、樣本標準差的計算.

數(shù)學（基礎模塊）下冊教學參考書

本章學時安排如下（僅供參考）

10.1分類、分步計數(shù)原理約2學時

10.2隨機事件和概率約3學時

10.3互斥事件與相互獨立事件的概率約2學時

10.4直方圖與頻率分布約1學時

10.5樣本和抽樣方法約2學時

10.6用樣本均值、標準差估計總體均值、標準差約3學時

10.7一元線性回歸約1學時

本章小結與復習約2學時

III教學建議和習題答案

10.1分類、分步計數(shù)原理

1.分類計數(shù)原理：完成一件事，完成它有〃類辦法：在第1類辦法中有g種不同的

方法；在第2類辦法中有嗎種不同的方法……在第〃類辦法中有此種不同的方法.那么

完成這件事共有N=叫+”+…叫種不同的方法.

2.分步計數(shù)原理：完成一件事，完成它有〃個步驟：做第1步有㈣種不同的方法；

做第2步有〃馬種不同的方法……做第n步有啊種不同的方法.那么完成這件事共有

N二叫x嗎x…啊種不同的方法.

3.在解給定的具體問題時，弄清分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的根本區(qū)別，確定是

分類問題，還是分步問題是非常關鍵的.要做到準確無誤，需要對兩個原理有全面深刻

的認識.

如果完成一件事有幾類方法，這幾類方法彼此之間是互相獨立的，不論用哪一類方法中

的哪一種，都能單獨完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就應用分類計數(shù)原理；如果完

成一件事要分成幾個步驟，各步驟都是不可缺的，需要依次完成所有步驟，才能完成這件事,

而完成每一個步驟各有若干種方法，求完成這件事的方法種數(shù)，就應用分步計數(shù)原理.

需要注意的是：

（1）“做一件事，完成它有〃類方法”，這是對能夠完成這件事所有方法的分類.分類

時，首先要根據(jù)這件事的特點確定一個分類的標準，然后在所確定的分類標準下進行分類;

-68-

其次，分類要滿足如下要求：完成這件事的任何一種方法必須包含于某一類之中，且僅包

含于該類之中,只有滿足這些條件，才能應用分類計數(shù)原理.

(2)“做一件事，完成它需要分成〃個步驟”，這是指完成這件事的任何一種方法都

要分成〃個步驟.分步時，首先要根據(jù)這件事的特點確定一個分步的標準；其次，分步要

滿足如下要求：完成這件事必須且只需連續(xù)完成這〃個步驟.只有滿足這些條件，才能運

用分步計數(shù)原理.

4.講解例題時要緊扣基本原理解這些例題的目的，重點放在加深對基本原理的理解上.

教材中的例1、例2、例3均是分類、分步計數(shù)原理的簡單應用.這些例題都是單獨應

用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理就可以解決的問題.對這類問題要給予高度的重視，學生

只有熟練掌握了這類問題，才能進一步解決較復雜的問題.

課堂練習答案

1.11

2.(1)12(2)60

習題10.1答案

1.60

2.42

3.16,10

4.⑴36(2)16

10.2隨機事件和概率

1.為了研究隨機現(xiàn)象，就要對客觀事物進行觀察，觀察的過程稱為試驗.概率論里所

研窕的試驗具有以下特點：

(1)在相同的條件下試驗可以重復進行；

(2)每次試驗的結果具有多種可能性,而且在試驗之前可以明確試驗的所有可能結果;

(3)在每次試驗之前不能確定該次試驗出現(xiàn)哪一種結果.

在概率論中，將試驗的結果稱為事件.

數(shù)學(基礎模塊)下冊數(shù)學參考書

2.在一定的條件下必然要發(fā)生的事件叫做必然事件，記作。；在一定的條件下不可

能發(fā)生的事件，叫做不可能事件，記作0；在一定的條件下隨機試驗的結果，叫做隨機事

件.隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復試驗的情況下，

它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性.

3.一般地，在大量重復進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率%總是接近于某個常數(shù),

n

在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).概率從數(shù)量上反映了一

個事件發(fā)生的可能性的大小.

4.記隨機事件A在〃次試驗中發(fā)生了加次，那么有

0<m<n

0<—<1

n

于是可得：OWP(A)W1

很顯然，必然事件的概率是1,不可能事件的概率為0.

5.在實際計算中，即使在重復試驗次數(shù)〃充分大時，頻率通常也只能作為概率的近似

值，即&A)《絲■.

n

6.若隨機試驗模型滿足以下兩個條件：

(1)基本事件的總數(shù)是有限的；

(2)每一個基本事件發(fā)生的可能性是相等的.

則稱此隨機試驗模型為古典概率.

7.若基本事件的總數(shù)為n,事件4包含的基本事件數(shù)為小,則事件A的概率為P(A)=—.

n

在利用古典概率講題時，應重點分析清楚公式P(A)=%中的基本事件總數(shù)〃、事件A包含

n

的基本事件數(shù)加的確定方法.

課堂練習10.2.1答案

1.(1)必然事件(2)隨機事件(3)不可能事件(4)必然事件

2.(1)0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91(2)0.9

-70-

課堂練習10.2.2答案

97

⑴高⑵高(3)-----

100

習題10.2答案

1.(1)0.52,0.51,0.52,0.52(2)0.52

2.⑴0.90(2)0.64

3.⑴006(2)0.04

10.3互斥事件與相互獨立事件的概率

1.不可能同時發(fā)生的事件叫做互斥事件.如果事件…,4中的任何兩個都是互

斥事件，那么則稱44,…,人彼此互斥.從集合的角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各

個事件所含的結果組成的集合彼此互不相交.

2.兩個事件其中必有一個發(fā)生的互斥事件叫做對立事件，事件A的對立事件通常記作

從集合的角度看，由事件彳所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組

成的集合的補集.

3.如果事件A、B互斥,那么事件A+8發(fā)生(即A、8中有一個發(fā)生)的概率，等于事

件A,8分別發(fā)生的概率的和，即：P(A+B)=P(A)+P(B)

4.如果事件A，…,4彼此互斥，那么事件4+A2+…發(fā)生(即44,…，4中有

一個發(fā)生)的概率,等于這〃個事件分別發(fā)生的概率的和，即互斥事件的概率的加法公式為:

p(a+4+…+A)=p(A)+p(A2)+-P(A“)

5.對立事件的概率的和等于1,即P(A)+P(Q=P(A+X)=1,于是則有

P(A)=1-P(A)

6.事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相

互獨立事件.

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7.兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即

P(AB)=P(A)P(B)

8.在同一試驗下來考慮事件a，4,…,4,如果事件4人,…,凡相互獨立，那么這〃

個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即相互獨立事件的概率的乘法公

式為：

P(A?4??…A)=P(A)?尸(4)??…P(A)

9.本節(jié)教學的難點是如何正確地把應用題中“至少……”、至多……”等分解成易求

(或已知)其概率的幾個事件的和，特別是正確理解與它們意義相同的另外的說法.如向3

座互相毗鄰的敵軍火庫發(fā)射1枚炮彈.只要射中其中任何1座，這3座軍火庫就會因連續(xù)

爆炸而被摧毀.不少學生不能把“3座軍火庫被摧毀分解成“第一座被摧毀”、“第二座被

摧毀”、“第三座被摧毀”三個事件的和.建議利用學生對“或”字的理解，引導他們先把

“至多”“至少”轉化為用“或”字連接的幾種情況，再用事件的并來解決問題.并提醒

學生注意不要遺漏.

10.兩個事件4、B相互獨立與互斥是兩個不同的概念.前者指兩個事件之一是否發(fā)

生對另一方的概率沒有影響.而后者是指兩個事件不可能同時發(fā)生.判斷兩個事件是否互

斥.只考慮它們是否會同時發(fā)生，絲毫不涉及它們發(fā)生的概率的大??；判斷兩個事件是否

相互獨立，就一定要考慮其中一個事件發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率是否有大小變化的影

響.這兩個概念雖然沒有明顯的聯(lián)系，但在某些條件下，兩者也有一定的關系.例如，當

P(A)>0,P(8)>0時，如果A、B互斥,則A、8一定不相互獨立.事實上有

4口8=0,JP(AA^)=O.

?.*P(A)>0,P(B)>0,JP(A)P(8)w0.

/.P(AAB)P(A)-P(B).

在教學中，可以安排一些鑒別“互斥”與“相互獨立”的練習題，使學生通過對比，

更好地區(qū)別這兩個概念.

課堂練習10.3.1答案

1.(1)0.82(2)0.38(3)0.24

2.0.58

-72-

課堂練習10.3.2答案

1,不是相互獨立的

33

習題10.3答案

1.(1)0.52(2)0.29

2.0.83

3.(1)0.0001,0.0005,0.001(2)0.0016

4.0.22*0.83=0.02048

5.0.96*0.97=0.9312

6.(1)0.12(2)0.42(3)0.58

10.4直方圖與頻率分布

1.極差在一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差叫做極差.

2.組距組距是指一個小組的兩個端點之間的距離.

3.組數(shù)例如，鰲="=72,要將數(shù)據(jù)分成8組.

組距33

4.頻數(shù)和頻率

用選舉時唱票的方法，對落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)進行累計，我們就可以得到落

在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)，這個個數(shù)叫做各個小組的頻數(shù).每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)

的比值叫做這一小組的頻率.

5.頻率分布直方圖

在直角坐標系中，以橫軸表示身高，縱軸表示頻率與組距的比值，畫出一系列矩形，

矩形以組距為底，以頻率與組距之比為高，這就是頻率分布直方圖.

在統(tǒng)計工作和質(zhì)量管理中，直方圖是一種常用的工具.以頻率為高的直方圖叫做頻率

直方圖.本節(jié)使用頻率直方圖是因為

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頻率

頻率密度X組距二X組距二頻率,

于是每一個小矩形的面積恰好等于隨機變量落在這個區(qū)間的頻率，從而便于導出連續(xù)型隨

機變量的概率分布的概念.

存經(jīng)濟管理中使用頻數(shù)直方圖較多，主要原因是在統(tǒng)計數(shù)據(jù)和作圖中使用它比較

方便.

在質(zhì)量管理工作中，通常以質(zhì)量特征值為橫坐標，以頻數(shù)為縱坐標作直方圖，從直方

圖的形狀可以觀察出質(zhì)量特征值的分布狀態(tài)，從而判斷生產(chǎn)過程是否正常，是否穩(wěn)定.若

有異常狀態(tài)，可根據(jù)直方圖的形狀分析原因，采取措施.

正常的直方圖是左右基本對稱的，呈中間高，兩邊低的山峰形狀，它一般表示生產(chǎn)過

程處于穩(wěn)定狀態(tài).

生產(chǎn)過程若出現(xiàn)異常、不穩(wěn)定狀態(tài)，則直方圖可能出現(xiàn)各種不正常形狀.

課堂練習答案

根據(jù)所給數(shù)據(jù)，列出頻率分布表:

頻率—1

分組頻數(shù)(m)累積頻率

16.95?17.0530.0500.050

17.05-17.1540.0670.117

17.15-17.2560.1000.217

17.25-I7.3590.1500.367

17.3577.45140.2330.600

17.45~17.55100.1660.766

17.55?17.6570.1170.883

17.65-17.7540.0670.950

17.75~17.8530.0501.000

合計601

-74-

在直角坐標系中，以橫軸表示長度，縱軸表示頻率與組距的比值，畫出頻率分布直方

圖:

根據(jù)頻率分布表，得到累積頻率分布圖:

習題10.4答案

略

10.5樣本和抽樣方法

1.本節(jié)的教學基本要求是會判斷總體、個體、樣本、樣本的容量，會用樣本抽樣的3

種常用方法進行抽樣.

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2.在講解總體、個體、樣本、樣本的容量時，一定要把它們的內(nèi)涵及其關系闡述清楚,

并舉出一些例子加以說明總體、個體、樣本三者之間的關系是，所有的個體構成了總體,

樣本取自于總體，因此，樣本是總體的一部分，沒有個體就沒有總體.

3.用樣本的數(shù)量特征去估計總體的數(shù)量特征是統(tǒng)計的重要思想方法.在教學中要向

學生指出為什么要從總體中抽取樣本.在統(tǒng)計學中，采用抽取樣本，用樣本的情況去估計

總體的情況的原因有兩點：

(1)在很多情況下總體包含的個體數(shù)目往往很多，甚至無限，不可能一一考察；

(2)有些試驗帶有破壞性.

4.簡單隨機抽樣、等距抽樣、分層抽樣是3種常用的抽樣方法.這3種抽樣方法的共

同特點是在抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等，體現(xiàn)了這些抽樣方法的客觀性和公平

性.其中簡單隨機抽樣是最基本的抽樣方法，在等距抽樣和分層抽樣時都要用到簡單隨機

抽樣方法.當總體中的個數(shù)較少時，常采用簡單隨機抽樣；當總體中的個數(shù)較多時，常采

用分層抽樣.采用不同的方法抽樣后，用樣本的特性估計總體的準確程度是不同的.所以

應當根據(jù)總體情況，適當選擇相應的抽樣方法，以提高估計總體的特性的準確程度.

課堂練習10.5.1答案

1.總體指這批零件的直徑；個體指每個零件的直徑；樣本指這25個零件的直徑；樣

本容量是25.

2.樣本容量為3,是小樣本.

3.略

課堂練習1052答案

1.這10個數(shù)據(jù)是一個簡單隨機樣本.

2.略

3.略

4.略

-76-

習題10.5答案

1.一般地，把考察對象的全體叫做總體；每一個考察對象叫做個體；從總體中抽出的

一部分個體，叫做總體的一個樣本；個體的數(shù)目叫做樣本容量.

一般情況下，總體的量比較大，研究起來有很大的難度，也沒有必要，因此，選取具

有代表性的樣本，通過樣本研究總體.

2.總體是指該學校2005年新生的上網(wǎng)時間；個體是指該學校2005年每個新生的上網(wǎng)

時間；樣本是指被抽出的20名學生的上網(wǎng)時間；樣本容量為20.

3.采取等距抽樣.將總體（320人）的每一個個體作編號.在1~16之間取一個隨機數(shù)字,

然后每隔16固定一個，那么被抽到的20個號碼，就組成了總體的一個樣本.

4.每名學生被抽到的可能性為5%,高一、高二、高三分別抽取15人，20人，10人.

5.大型商店、中型商店和小型商店分別抽取2家，4家和15家.

10.6用樣本均值、標準差估計總體均值、標準差

1.本節(jié)主要是討論用樣本均值、標準差估計總體均值、標準差，它是根據(jù)樣本的信息,

對總體的特征做出推斷，即統(tǒng)計推斷.統(tǒng)計推斷是數(shù)理統(tǒng)計的主要內(nèi)容，概率知識是推斷

的基礎.

2.均值反映了樣本和總體的平均水平，方差和標準差則反映了樣本和總體的波動大小

程度.方差和標準差在比較兩組數(shù)據(jù)波動大小時是等價的.標準差的優(yōu)點是其度量單位與

原數(shù)據(jù)的度量單位一致，有時比較方便.在教學中應向?qū)W生指出，樣本方差越大，樣本的

波動就越大.從一個總體中抽取的樣本方差與總體方差有密切的聯(lián)系.總體方差可用樣本

方差來估計，樣本容量越大，樣本的方差就越接近總體方差，在統(tǒng)計學里常用樣本方差來

估計總體方差.平均數(shù)、方差和標準差的計算工作量較大，一般采用計算器進行.這個計

算過程也是培養(yǎng)學生計算能力和耐心嚴謹作風的過程，必須要重視，要讓學生動手.

3.本教材定義的樣本方差是

數(shù)學（基礎模塊）下冊數(shù)學參考書

/=^—[（^1-X）2+（W-%）2+--+（X?-X）2].

72-1

為什么要除以〃-1,而不是除以〃，這是因為參加求和的〃個離差X-嚏，X2-L-,

受約束條件f（匕-6=0制約，只有（〃-1）個量可以自由變化.它是總體的無偏估計量.

r=l

課堂練習答案

1.該校學生的平均體重為46.7kg.

2.此距離的均值約為2808m,標準差約為32.66m.

習題10.6答案

1.這批釘子的總體均值約為2.124cm,標準差約為17.13.

2.該地區(qū)雙職工年平均收入約為6187元，標準差約為478.

3.樣本均值為13.41mm,樣本標準差為0.076mm.

10.7一元線性回歸

1.對未來事件的預測是經(jīng)濟管理、生產(chǎn)和經(jīng)營等有關人員制定決策的重要依據(jù)，而要

進行科學的預測，常常需要根據(jù)已知的變量和所要估計的變量之間的相互關系來進行分

析，然后才能做出準確可靠的決策.回歸分析和相關分析，可以確定變量之間存在的某種

關系，從而可以在某種精度下，用來預測未知變量的值.

回歸一詞是英國科學家高樂頓（Golton,1822-191