2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.1.2離散型隨機(jī)變量的分布列二學(xué)案含解析新人教A版選修2-3

PAGE2．1.2離散型隨機(jī)變量的分布列(二)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.進(jìn)一步理解離散型隨機(jī)變量的分布列的求法作用．2.理解兩點(diǎn)分布和超幾何分布.利用數(shù)學(xué)抽象提升數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第29頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點(diǎn)一兩點(diǎn)分布eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P47，思索并完成以下問題)在探討隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，須要依據(jù)所關(guān)切的問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量．例如，假如我們僅關(guān)切電燈泡的運(yùn)用壽命是否不少于1000小時(shí)，那么就可以定義如下的隨機(jī)變量：Y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，壽命＜1000小時(shí)；,1，壽命≥1000小時(shí).))與電燈泡的壽命X相比較，隨機(jī)變量Y的構(gòu)造更簡潔，它只取兩個(gè)不同的值0和1，是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，探討起來更加簡潔．200件產(chǎn)品中，有190件合格品、10件不合格品，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件，若規(guī)定X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1取得不合格品,0取得合格品))求X的分布列．提示：P(X＝1)＝eq\f(10,200)＝eq\f(1,20)，P(X＝0)＝eq\f(190,200)＝eq\f(19,20)，∴X的分布列為：X10Peq\f(1,20)eq\f(19,20)像這樣隨機(jī)變量的值只有0和1的分布稱為兩點(diǎn)分布．學(xué)問梳理兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量X的分布列為：X01P1－pp若隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱X聽從兩點(diǎn)分布，并稱p＝P(X＝1)為勝利概率．思索：兩點(diǎn)分布中，隨機(jī)變量的值域是什么？分布列P(X＝2)＝0.4，P(X＝3)＝0.6是否為兩點(diǎn)分布．提示：{0,1}不是兩點(diǎn)分布．學(xué)問點(diǎn)二超幾何分布eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P48，思索并完成以下問題)在含有5件次品的100件產(chǎn)品中，任取3件，求：取到的次品數(shù)X的分布列．解析：X的可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,95),C\o\al(3,100))，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,95)C\o\al(1,5),C\o\al(3,100))，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,95)C\o\al(2,5),C\o\al(3,100))，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,100)).因此X的分布列為：X0123Peq\f(C\o\al(3,95),C\o\al(3,100))eq\f(C\o\al(2,95)C\o\al(1,5),C\o\al(3,100))eq\f(C\o\al(1,95)C\o\al(2,5),C\o\al(3,100))eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,100))在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，M≤N，n≤N，N，m、n∈N*.學(xué)問梳理超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，則稱分布列X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))為超幾何分布列．假如隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X聽從超幾何分布．對超幾何分布的三點(diǎn)說明(1)超幾何分布的模型是不放回抽樣．(2)超幾何分布中的參數(shù)是M，N，n.(3)超幾何分布可解決產(chǎn)品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同學(xué)中的男和女等問題，往往由差異明顯的兩部分組成．[自我檢測]1．設(shè)袋中有80個(gè)紅球、20個(gè)白球，若從袋中任取10個(gè)球，則其中恰有6個(gè)紅球的概率為()A.eq\f(C\o\al(4,80)C\o\al(6,10),C\o\al(10,100)) B.eq\f(C\o\al(6,80)C\o\al(4,10),C\o\al(10,100))C.eq\f(C\o\al(4,80)C\o\al(6,20),C\o\al(10,100)) D.eq\f(C\o\al(6,80)C\o\al(4,20),C\o\al(10,100))答案：D2．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的勝利率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量ξ去表示1次試驗(yàn)的勝利次數(shù)，則P(ξ＝0)等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)答案：C授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第30頁探究一兩點(diǎn)分布[閱讀教材P47例1]在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中，令X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，針尖向上；,0，針尖向下.))假如針尖向上的概率為p，試寫出隨機(jī)變量X的分布列．題型：兩點(diǎn)分布方法步驟：(1)寫出X的取值0,1；(2)寫出X取各個(gè)值時(shí)的概率；(3)列出分布列．[例1]一個(gè)袋中裝有除顏色外其他都相同的3個(gè)白球和4個(gè)紅球．(1)從中隨意摸出1個(gè)球，用0表示摸出白球，用1表示摸出紅球，即X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，摸出白球，,1，摸出紅球.))求X的分布列；(2)從中隨意摸出兩個(gè)球，用X＝0表示“兩個(gè)球全是白球”，用X＝1表示“兩個(gè)球不全是白球”，求X的分布列．[解析](1)由題意知P(X＝0)＝eq\f(3,7)，P(X＝1)＝eq\f(4,7)，所以X的分布列為：X01Peq\f(3,7)eq\f(4,7)(2)由題意知P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝eq\f(6,7)，所以X的分布列為：X01Peq\f(1,7)eq\f(6,7)方法技巧兩點(diǎn)分布的兩個(gè)特點(diǎn)(1)兩點(diǎn)分布中只有兩個(gè)對應(yīng)結(jié)果，且兩個(gè)結(jié)果是對立的．(2)由對立事務(wù)的概率求法可知：P(X＝0)＋P(X＝1)＝1.跟蹤探究1.隨機(jī)變量ξ聽從兩點(diǎn)分布，且P(ξ＝1)＝0.8，η＝3ξ－2，則P(η＝－2)＝________.解析：當(dāng)η＝－2時(shí)，ξ＝0，所以P(η＝－2)＝P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝0.2.答案：0.2探究二超幾何分布[閱讀教材P50習(xí)題2.1A組6題改編]學(xué)校要從30名候選人中選10名同學(xué)組成學(xué)生會，其中某班有4名候選人．假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會被選到，求該班被選到的人數(shù)X的分布列．解析：X的取值為0,1,2,3,4.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(10,26),C\o\al(10,30))，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(9,26)C\o\al(1,4),C\o\al(10,30))，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(8,26)C\o\al(2,4),C\o\al(10,30))，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(7,26)C\o\al(3,4),C\o\al(10,30))，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(10,30)).∴X的分布列為：X01234Peq\f(C\o\al(4,26),C\o\al(10,30))eq\f(C\o\al(3,26)C\o\al(1,4),C\o\al(10,30))eq\f(C\o\al(2,26)C\o\al(2,4),C\o\al(10,30))eq\f(C\o\al(1,26)C\o\al(3,4),C\o\al(10,30))eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(10,30))[例2]一個(gè)袋中裝有6個(gè)形態(tài)大小完全相同的小球，其中紅球有3個(gè)，編號為1,2,3；黑球有2個(gè)，編號為1,2；白球有1個(gè)，編號為1.現(xiàn)從袋中一次隨機(jī)抽取3個(gè)球．(1)求取出的3個(gè)球的顏色都不相同的概率．(2)記取得1號球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列．[解析](1)從袋中一次隨機(jī)抽取3個(gè)球，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝Ceq\o\al(3,6)＝20，取出的3個(gè)球的顏色都不相同包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝6，所以取出的3個(gè)球的顏色都不相同的概率P＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(2)由題意知X＝0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20).所以X的分布列為：X0123Peq\f(1,20)eq\f(9,20)eq\f(9,20)eq\f(1,20)方法技巧求解超幾何分布問題的留意事項(xiàng)(1)在產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)中，假如采納的是不放回抽樣，則抽到的次品數(shù)聽從超幾何分布．(2)在超幾何分布公式中P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}．這里N是產(chǎn)品總數(shù)，M是產(chǎn)品中次品數(shù)，n是抽樣的樣品數(shù)．(3)假如隨機(jī)變量X聽從超幾何分布，只要代入公式即可求得相應(yīng)概率，關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量X的全部取值．(4)當(dāng)超幾何分布用表格表示較繁雜時(shí)，可用解析式法表示．延長探究1.在例2的條件下，記取到白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量η，求隨機(jī)變量η的分布列．解析：由題意η＝0,1，聽從兩點(diǎn)分布，又P(η＝1)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)，所以η的分布列為：η01Peq\f(1,2)eq\f(1,2)2.將例2的條件“一次隨機(jī)抽取3個(gè)球”改為“有放回地抽取3次球，每次抽取1個(gè)球”其他條件不變，結(jié)果又如何？解析：(1)取出3個(gè)球顏色都不相同的概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)×C\o\al(1,2)×C\o\al(1,1)×A\o\al(3,3),63)＝eq\f(1,6).(2)由題意知X＝0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(33,63)＝eq\f(1,8)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)×3×3×3,63)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3)×3×3,63)＝eq\f(3,8)，P(X＝3)＝eq\f(33,63)＝eq\f(1,8).所以X的分布列為：X0123Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)跟蹤探究2.某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參與辯論賽，A中學(xué)舉薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)舉薦了3名男生、4名女生，兩校所舉薦的學(xué)生一起參與集訓(xùn)．由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參與集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)．(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(2)某場競賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列．解析：(1)由題意知，參與集訓(xùn)的男生、女生各有6人．代表隊(duì)中的學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(1,100).因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1－eq\f(1,100)＝eq\f(99,100).(2)依據(jù)題意，知X的全部可能取值為1,2,3.P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(1,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5).所以X的分布列為：X123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)探究三分布列的綜合應(yīng)用[閱讀教材P48例3]在某年級的聯(lián)歡會上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)嬉戲，在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球和20個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．一次從中摸出5個(gè)球，至少摸到3個(gè)紅球就中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率．題型：超幾何分布中某事務(wù)的概率方法步驟：(1)設(shè)摸出紅球個(gè)數(shù)為x，則x聽從超幾何分布；(2)由中獎(jiǎng)規(guī)則知中獎(jiǎng)概率就是x≥3時(shí)的概率，從得求出P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)即可．[例3]袋中裝有標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球．用X表示取出的3個(gè)小球的最大數(shù)字．(1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)隨機(jī)變量X的概率分布列．[解析](1)“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事務(wù)記為A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,3).(2)由題意，X全部可能的取值是2,3,4,5.P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,15)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(8,15).所以隨機(jī)變量X的概率分布列為：X2345Peq\f(1,30)eq\f(2,15)eq\f(3,10)eq\f(8,15)方法技巧1.在求某些比較難計(jì)算的事務(wù)的概率時(shí)，我們可以先求隨機(jī)變量取其他值時(shí)的概率，再依據(jù)概率之和為1的性質(zhì)即可解決問題．2．在解決含有“至少”“至多”的問題時(shí)，利用對立事務(wù)進(jìn)行求解不失為一種好方法．跟蹤探究3.某人有5把鑰匙，其中只有一把能打開辦公室的門，一次他醉酒后拿鑰匙去開門．由于看不清是哪把鑰匙，他只好逐一去試．若不能開門，則把鑰匙扔到一邊，記打開門時(shí)試開門的次數(shù)為ξ，試求ξ的分布列，并求他至多試開3次的概率．解析：ξ的全部可能取值為1,2,3,4,5.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,1),C\o\al(1,5))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝5)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1))＝eq\f(1,5).因此ξ的分布列為：ξ12345Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)由分布列知P(ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＝eq\f(3,5).授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第31頁[課后小結(jié)](1)兩點(diǎn)分布：兩點(diǎn)分布是很簡潔的一種概率分布，兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能，要留意勝利概率的值指的是哪一個(gè)量．(2)超幾何分布：超幾何分布在實(shí)際生產(chǎn)中常用來檢驗(yàn)產(chǎn)品的次品數(shù)，只要知道N，M和n就可以依據(jù)公式：P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))求出X取不同值k時(shí)的概率．[素養(yǎng)培優(yōu)]1.隨機(jī)變量的取值不正確致誤從4張編號1,2,3,4的卡片中隨意取出兩張，若ξ表示這兩張卡片之和，請寫出ξ的分布列．易錯(cuò)分析：審題不細(xì)致得出ξ的取值為2,3,4,5,6,7,8致誤．考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科