2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章解析幾何第五講橢圓學(xué)案新人教版

PAGE第五講橢圓學(xué)問梳理·雙基自測(cè)eq\x(知)eq\x(識(shí))eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問點(diǎn)一橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的__距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|__的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的__焦點(diǎn)__，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的__焦距注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a(1若a＞c，則集合P為__橢圓__；(2若a＝c，則集合P為__線段F1F2(3若a＜c，則集合P為__空集__．學(xué)問點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0，A2(a,0B1(0，－b，B2(0，bA1(0，－a，A2(0，aB1(－b,0，B2(b,0軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為__2短軸B1B2的長(zhǎng)為__2b__焦距|F1F2|＝__2離心率e＝__eq\f(c,a)__∈(0,1a、b、c的關(guān)系__c2＝a2－b2__eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)1．a(chǎn)＋c與a－c分別為橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值和最小值．2．過橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦|AB|＝eq\f(2b2,a)，稱為通徑．3．若過焦點(diǎn)F1的弦為AB，則△ABF2的周長(zhǎng)為4a4．e＝eq\r(1－\f(b2,a2))．5．橢圓的焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大．6．AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的弦，A(x1，y1，B(x2，y2，弦中點(diǎn)M(x0，y0，則(1弦長(zhǎng)l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2直線AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0)．7．若M、N為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1長(zhǎng)軸端點(diǎn)，P是橢圓上不與M、N重合的點(diǎn)，則KPM·KPN＝－eq\f(b2,a2)．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測(cè))題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”(1平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．(×)(2橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(×)(3方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n表示的曲線是橢圓．(√)(4eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0與eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0的焦距相同．(√)題組二走進(jìn)教材2．(必修2P42T4橢圓eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的焦距為4，則m等于(C)A．4 B．8C．4或8 D．12[解析]當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10－m＞m－2＞0，10－m－(m－2＝4，∴m＝4．當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m＝4，∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A組T3過點(diǎn)A(3，－2且與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為(A)A．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C．eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝1題組三走向高考4．(2024·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則CA．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C．eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\r(3)－1[解析]設(shè)|PF2|＝x，則|PF1|＝eq\r(3)x，|F1F2|＝2x，故2a＝|PF1|＋|PF2|＝(1＋eq\r(3)x,2c＝|F1F2|＝2x，于是離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2x,1＋\r(3)x)＝eq\r(3)－1．5．(2024·課標(biāo)Ⅰ，10已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0，F(xiàn)2(1,0，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(B)A．eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]設(shè)|F2B|＝x(x＞0，則|AF2|＝2x，|AB|＝3x，|BF1|＝3x，|AF1|＝4a－(|AB|＋|BF1|＝4a－6由橢圓的定義知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x所以|AF1|＝2x．在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2－2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF由①②得x＝eq\f(\r(3),2)，所以2a＝4x＝2eq\r(3)，a＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝2．所以橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1．故選B．考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一橢圓的定義及應(yīng)用——自主練透例1(1(2024·泉州模擬已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假如M是線段F1P的中點(diǎn)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是(B)A．圓 B．橢圓C．雙曲線的一支 D．拋物線(2已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,1是肯定點(diǎn)．則|PA|＋|PF|的最大值和最小值分別為__6＋eq\r(2)，6－eq\r(2)__．(3已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°．若△PF1F2的面積為3eq\r(3)，則b＝__3__．[解析](1如圖所示，由題知|PF1|＋|PF2|＝2a，設(shè)橢圓方程：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(其中a＞b＞0．連接MO，由三角形的中位線可得：|F1M|＋|MO|＝a(a＞|F1O|，則M的軌跡為以F1、O為焦點(diǎn)的橢圓．(2如下圖所示，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F1，則|PF|＋|PF1|＝6．∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6．由橢圓方程eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1知c＝eq\r(9－5)＝2，∴F1(2,0，∴|AF1|＝eq\r(2)．利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當(dāng)P、A、F1共線時(shí)等號(hào)成立．∴|PA|＋|PF|≤6＋eq\r(2)，|PA|＋|PF|≥6－eq\r(2)．故|PA|＋|PF|的最大值為6＋eq\r(2)，最小值為6－eq\r(2)．(3|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2即(|PF1|＋|PF2|2－3|PF1||PF2|＝4c2所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b所以|PF1||PF2|＝eq\f(4,3)b2，又因?yàn)镾△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin60°＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)b2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)b2＝3eq\r(3)，所以b＝3．故填3．[引申]本例(2中，若將“A(1,1”改為“A(2,2”，則|PF|－|PA|的最大值為__4__，|PF|＋|PA|的最大值為__8__．[解析]設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，則∵|PF1|＋|PA|≥|AF1|＝2(P在線段AF1上時(shí)取等號(hào)，∴|PF|－|PA|＝6－(|PF1|＋|PA|≤4，∵|PA|－|PF1|≤|AF1|＝2，(當(dāng)P在AF1延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào)，∴|PF|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF1|≤8．名師點(diǎn)撥(1橢圓定義的應(yīng)用范圍：①確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓．②解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問題．(2焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用：橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)；利用定義和余弦定理可求|PF1||PF2|；通過整體代入可求其面積等．〔變式訓(xùn)練1〕(1(2024·大慶模擬已知點(diǎn)M(eq\r(3)，0，橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1與直線y＝k(x＋eq\r(3)交于點(diǎn)A、B，則△ABM的周長(zhǎng)為__8__．(2(2024·課標(biāo)Ⅲ，15設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為__(3，eq\r(15)__．(3(2024·河北衡水調(diào)研設(shè)F1、F2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上隨意一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4，則|PM|－|PF1|的最小值為__－5__．[解析](1直線y＝k(x＋eq\r(3)過定點(diǎn)N(－eq\r(3)，0．而M、N恰為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，由橢圓定義知△ABM的周長(zhǎng)為4a＝4×(2因?yàn)镕1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，由M點(diǎn)在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知|F1M|＝|F1F2|，又由橢圓方程eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1，知|F1F2|＝8，|F1M|＋|F2M|＝2×6＝12，所以|F1M|＝|F1F2|＝8，所以|F設(shè)M(x0，y0(x0＞0，y0＞0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＋42＋y\o\al(2,0)＝64，,x0－42＋y\o\al(2,0)＝16，))解得x0＝3，y0＝eq\r(15)，即M(3，eq\r(15)．(3由題意可知F2(3,0，由橢圓定義可知|PF1|＝2a－|PF2∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào)，又|MF2|＝eq\r(6－32＋4－02)＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值為－5．考點(diǎn)二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程——師生共研例2求滿意下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1長(zhǎng)軸是短軸的3倍且經(jīng)過點(diǎn)A(3,0；(2短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為eq\r(3)；(3經(jīng)過點(diǎn)P(－2eq\r(3)，1，Q(eq\r(3)，－2兩點(diǎn)；(4與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同離心率，且經(jīng)過點(diǎn)(2，－eq\r(3)．[解析](1若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0．∵橢圓過點(diǎn)A(3,0，∴eq\f(9,a2)＝1，∴a＝3．∵2a＝3×2b，∴b＝1．∴方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1．若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0．∵橢圓過點(diǎn)A(3,0，∴eq\f(9,b2)＝1，∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9．∴方程為eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1．綜上所述，橢圓方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1．(2由已知，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))從而b2＝a2－c2＝9．∴所求橢圓方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1．(3設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n，∵點(diǎn)P(－2eq\r(3)，1，Q(eq\r(3)，－2在橢圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，))解得m＝eq\f(1,15)，n＝eq\f(1,5)．故橢圓方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1．(4若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t(t＞0，將點(diǎn)(2，－eq\r(3)代入，得t＝eq\f(22,4)＋eq\f(－\r(3)2,3)＝2．故所求方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1．若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝λ(λ＞0代入點(diǎn)(2，－eq\r(3)，得λ＝eq\f(25,12)，∴所求方程為eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1．綜上可知橢圓方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1．名師點(diǎn)撥(1求橢圓的方程多采納定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形態(tài)時(shí)，肯定要留意常數(shù)2a＞|F1F(2用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟：①作推斷：依據(jù)條件推斷焦點(diǎn)的位置；②設(shè)方程：焦點(diǎn)不確定時(shí)，要留意分類探討，或設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠0；③找關(guān)系：依據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，c或m，n的方程組；④求解，得方程．(3橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)應(yīng)用①方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0與eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ(λ＞0有相同的離心率．②與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0共焦點(diǎn)的橢圓系方程為eq\f(x2,a2＋k)＋eq\f(y2,b2＋k)＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0，恰當(dāng)運(yùn)用橢圓系方程，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．〔變式訓(xùn)練2〕(1“2＜m＜6”是“方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2(2024·廣東深圳二模已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a＞0的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿意|OF|＝|FP|，則C的方程為(D)A．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[解析](1eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2＞0,6－m＞0,m－2≠6－m))?2＜m＜6且m≠4，∴“2＜m＜6”是方程“eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓”的必要不充分條件，故選B．(2依據(jù)對(duì)稱性知P在x軸上，|OF|＝|FP|，故a＝2c，a2＝3＋c2，解得a＝2，c故橢圓方程為：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．故選D．考點(diǎn)三橢圓的幾何性質(zhì)——師生共研例3(1(2024·全國(guó)橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0，F(xiàn)2(1,0，點(diǎn)P在C上，F(xiàn)2P＝2，∠F1F2P＝eq\f(2π,3)，則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為(D)A．2 B．2eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D．2＋2eq\r(3)(2(2024·河北省衡水中學(xué)調(diào)研直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的eq\f(1,4)，則該橢圓的離心率為(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)(3(2024·廣東省期末聯(lián)考設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右焦點(diǎn)，若在直線x＝eq\f(a2,c)上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，則橢圓離心率的取值范圍是(D)A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))[解析](1橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0，F(xiàn)2(1,0，則c＝1，∵|PF2|＝2，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·coseq\f(2π,3)，即(2a－22＝4＋4－2×2×2×eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，解得a＝1＋eq\r(3)，a＝1－eq\r(3)(舍去，∴2a＝2＋2eq\r(3)，故選D．(2不妨設(shè)直線l：eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0?橢圓中心到l的距離eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(2b,4)?e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故選B．(3如圖F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由題意可知eq\f(a2,c)－c≤2c，∴e2＝eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,3)，即e≥eq\f(\r(3),3)，又0＜e＜1，∴eq\f(\r(3),3)≤e＜1．故選D．名師點(diǎn)撥橢圓離心率的求解方法求橢圓的離心率，常見的有三種方法：一是通過已知條件列方程組，解出a，c的值；二是由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解；三是通過取特別值或特別位置，求出離心率．橢圓離心率的范圍問題一般借助幾何量的取值范圍求解，遇直線與橢圓位置關(guān)系通常由直線與橢圓方程聯(lián)立所得方程判別式Δ的符號(hào)求解．求橢圓離心率的取值范圍的方法方法解讀適合題型幾何法利用橢圓的幾何性質(zhì)，如|x|≤a，|y|≤b,0＜e＜1，建立不等關(guān)系，或者依據(jù)幾何圖形的臨界狀況建立不等關(guān)系題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系干脆法依據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，干脆轉(zhuǎn)化為含有a，b，c的不等關(guān)系式題設(shè)條件干脆有不等關(guān)系〔變式訓(xùn)練3〕(1(2024·全國(guó)卷Ⅲ已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(A)A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)(2(2024·內(nèi)蒙古呼和浩特市質(zhì)檢已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若∠A1PA2的最大可以取到120°，則橢圓C的離心率為(D)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(6),3)(3已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率的取值范圍是__eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))__．[解析](1由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0，半徑為a又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，∴圓心到直線的距離d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3)．故選A．(2當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)∠A1PA2最大，由題意可知eq\f(a,b)＝tan60°＝eq\r(3)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)，故選D．(3由題意可知當(dāng)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)∠OPF1＝∠OPF2≥45°，即c≥b，∴c2≥a2－c2，∴eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，即e≥eq\f(\r(2),2)，又0＜e＜1，∴eq\f(\r(2),2)≤e＜1．考點(diǎn)四直線與橢圓——多維探究角度1直線與橢圓的位置關(guān)系例4(多選題若直線y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點(diǎn)，則m的值可能是(BCD)A．eq\f(1,2) B．1C．eq\r(3) D．4[解析]解法一：由于直線y＝kx＋1恒過點(diǎn)(0,1，所以點(diǎn)(0,1必在橢圓內(nèi)或橢圓上，則0＜eq\f(1,m)≤1且m≠5，故m≥1且m≠5．故選B、C、D．解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,mx2＋5y2－5m＝0，))消去y整理得(5k2＋mx2＋10kx＋5(1－m＝0．由題意知Δ＝100k2－20(1－m(5k2＋m≥0對(duì)一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0對(duì)一切k∈R恒成立，由于m＞0且m≠5，∴m≥1且m≠5．故選B、C、D．角度2中點(diǎn)弦問題例5(1(2024·湖北省宜昌市調(diào)研過點(diǎn)P(3,1且傾斜角為eq\f(3π,4)的直線與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0相交于A，B兩點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，則該橢圓的離心率為(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(3),3)(2已知橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1，點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，則以P為中點(diǎn)的橢圓的弦所在直線的方程為__2x＋4y－3＝0__．[解析](1由題意可知P為AB的中點(diǎn)，且kAB＝－1，設(shè)A(x1，y1，B(x2，y2，則eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，兩式相減得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝－eq\f(3b2,a2)＝－1，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)，故選C．(2設(shè)弦的兩端點(diǎn)為A(x1，y1，B(x2，y2，中點(diǎn)為M(x0，y0，則有eq\f(x\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),2)＋yeq\o\al(2,2)＝1．兩式作差，得eq\f(x2－x1x2＋x1,2)＋(y2－y1(y2＋y1＝0．∵x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，eq\f(y2－y1,x2－x1)＝kAB，代入后求得kAB＝－eq\f(x0,2y0)＝－eq\f(1,2)，∴其方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即2x＋4y－3＝0．角度3弦長(zhǎng)問題例6已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0經(jīng)過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(1,2)))，橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為(eq\r(3)，0．(1求橢圓E的方程；(2若直線l過點(diǎn)M(0，eq\r(2)且與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值．[解析](1依題意，設(shè)橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－eq\r(3)，0，F(xiàn)2(eq\r(3)，0．由橢圓E經(jīng)過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(1,2)))，得|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，∴a＝2，c＝eq\r(3)，∴b2＝a2－c2＝1．∴橢圓E的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1．(2當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋eq\r(2)，A(x1，y1，B(x2，y2．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\r(2)，,\f(x2,4)＋y2＝1))得(1＋4k2x2＋8eq\r(2)kx＋4＝0．由Δ＞0得(8eq\r(2)k2－4(1＋4k2×4＞0，∴4k2＞1．由x1＋x2＝－eq\f(8\r(2)k,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4,1＋4k2)得|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(－6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋4k2)))2＋\f(1,1＋4k2)＋1)．設(shè)t＝eq\f(1,1＋4k2)，則0＜t＜eq\f(1,2)，∴|AB|＝2eq\r(－6t2＋t＋1)＝2eq\r(－6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,12)))2＋\f(25,24))≤eq\f(5\r(6),6)，當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(1,12)時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，|AB|＝2＜eq\f(5\r(6),6)．綜上，|AB|的最大值為eq\f(5\r(6),6)．名師點(diǎn)撥直線與橢圓綜合問題的常見題型及解題策略(1直線與橢圓位置關(guān)系的推斷方法①聯(lián)立方程，借助一元二次方程的判別式Δ來推斷；②借助幾何性質(zhì)來推斷．(2求橢圓方程或有關(guān)幾何性質(zhì)．可依據(jù)條件找尋滿意條件的關(guān)于a，b，c的等式，解方程即可求得橢圓方程或橢圓有關(guān)幾何性質(zhì)．(3關(guān)于弦長(zhǎng)問題．一般是利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式求解．設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1，B(x2，y2，則|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(其中k為直線斜率．提示：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的狀況下進(jìn)行的，不要忽視判別式．(4對(duì)于中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)問題，一般利用點(diǎn)差法求解．若直線l與圓錐曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，一般地，首先設(shè)出A(x1，y1，B(x2，y2，代入曲線方程，通過作差，構(gòu)造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，從而建立中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系．留意答題時(shí)不要忽視對(duì)判別式的探討．〔變式訓(xùn)練4〕(1(角度1直線y＝kx＋k＋1與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置關(guān)系是__相交__．(2(角度2(2024·廣東珠海期末已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的右焦點(diǎn)為F，離心率eq\f(\r(2),2)，過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)為(1,1，則直線l的斜率為(D)A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)(3(角度3斜率為1的直線l與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為(C)A．2 B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(4\r(10),5) D．eq\f(8\r(10),5)[解析](1由于直線y＝kx＋k＋1＝k(x＋1＋1過定點(diǎn)(－1,1，而(－1,1在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓必相交．(2因?yàn)閑q\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴4c2＝2a2，∴4(a2－b2＝2a2，∴a2＝2b2，設(shè)A(x1，y1，B(x2，y2，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2x\o\al(2,1)＋a2y\o\al(2,1)＝a2b2,b2x\o\al(2,2)＋a2y\o\al(2,2)＝a2b2))，相減得b2(x1＋x2(x1－x2＋a2(y1＋y2(y1－y2＝0，所以2b2(x1－x2＋2a2(y1－y2＝0，所以2b2＋4b2eq\f(y1－y2,x1－x2)＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－eq\f(1,2)，選D．(3設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x