考場仿真卷01-2021年高考數(shù)學(xué)模擬考場仿真演練卷（解析版）

絕密★啟用前

2021年高考數(shù)學(xué)模擬考場仿真演練卷(新高考)

第一模擬

本試卷共22題。全卷滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

I.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.命題“□￡>(),2-工2+1$0”的否定是()

A.Dx>0,爐?/+1>0B.□%>(),x3-^+1>0

C.□爛0,A-3-x2+l>0D.Dx>0,x3-^+1>0

【答案】A

【分析】

由含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.

【詳解】

因?yàn)槊}為全稱命題，則其否定為3>0,

故選：A.

2.f表示虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(1+2力2”在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】

先將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義就可以作出判斷.

【詳解】

□z=(1+2J)2?i=(1+4/-4)<=-4-3i,

匚復(fù)數(shù)N=(l+2z)2”在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(?4,-3),位于第三象限.

故選：C.

3.如圖，長方體A3C￡>-A4G〃被兩平面分成三部分，其中EF//GHNBC,則這三個(gè)幾何體中是棱

柱的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】

根據(jù)棱柱的定義判斷即可.

【詳解】

長方體ABCD-A4GA被兩平面分成三部分，其中EF//GH//BC,

其中兩個(gè)三棱柱，底面是直角三角形；

另一個(gè)是底面為6邊形的直棱柱，

所以這三個(gè)幾何體中是棱柱的個(gè)數(shù)為：3.

故選：D.

_____________uuUU1X11

4.若3_1而,|幅|=1，則04(04+08)=()

A.2B.1C.-1D.0

【答案】A

【分析】

根據(jù)5AAB=O川-求出函?歷=1，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求出結(jié)果.

【詳解】

函J_函函=1,

OAAB=OA(AO+OS)=-(OA)2+OAOB=-\+OAO§=O,

OAOB=\，

次(厲+9)=加+方歷=1+1=2.

故選：A.

TT]

5.已知函數(shù)/(x)=sin(5+。)6y?的圖象如圖所示，則()

\乙)

A.函數(shù)/*)的最小正周期是2乃

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(5,乃J上單調(diào)遞減

C.函數(shù)/(x)在區(qū)間——-上的最小值是-1

43

D.曲線y=/x+關(guān)于直線工=-]對稱

【答案】C

【分析】

根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，再結(jié)合選項(xiàng)一一判斷即可:

【詳解】

解：|11函數(shù)怪I象川知————..———,所以T=7T,因?yàn)?*=---=1,所以最小正周期為冗?所以G=2，

41264co

故A錯(cuò)誤;

(5萬、‘所以/修1，所以學(xué)+。=￡+2攵萬次eZ,解得

又函數(shù)過點(diǎn)二,1sin|2x—+

U2JI1262

(p=~+2k7r,keZ,因?yàn)閨夕|＜曰，所以尹=一?，所以/(%)=sin2x-7^tj,當(dāng)參")所以

3

()仃

匯/2式75q乃、qj7~、

2x——G—,因?yàn)閥=sinx在XE上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤;

31I333JI33)

,「3乃4乃~|?！?兀7兀］“一.（c萬、1v3

當(dāng),所以2%—二￡—,—,所以sin2x-二■€-1,—故C正確;

L43J3|_63」I3）2

,當(dāng)x=一巴時(shí)，y=sin—=—^±1故尢=_：不

2622

是函數(shù)y=/（x+^J的對稱軸，故D錯(cuò)誤

故選：c

222

6.已知橢圓C：=+與=1（?>/）>0）的左焦點(diǎn)為尸（?c,0）,上頂點(diǎn)為/（0,b）,直線》=-幺上

a2b2c

存在一點(diǎn)P滿足（FP+FA）>AP=0?則橢圓的離心率的取值范圍為（）

A,占，1）B.[―,1）C.[@二L1）D.（0,—]

2222

【答案】C

【分析】

設(shè)點(diǎn)尸（--ym）?由（所+另5）?而=0，得。4-312+04=-/〃2c2&0,從而可得出e的不等式，從而

可求得其范圍.

【詳解】

由題意可得4（0,6）,尸（-60）,設(shè)點(diǎn)八一—,m），則而二（c一幺，咐，麗=（c㈤，而二（一幺,m-刀,

因?yàn)椋核?萬5）?麗=0,所以多一2?2—6+加2=0，即/-3a2c2+"=-用2c24），即〃-34+100,

解得主必we2g紅叵，即避二Iwew墾1,又因?yàn)闄E圓離心率eVL所以橢圓的離心率為

2222

[與,1），

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛:本題考查求離心率的取值范圍.解題關(guān)鍵是找到關(guān)于a，c的齊次不等式.只要設(shè)點(diǎn)P（-—jn）,

c

由向量數(shù)曷積的坐標(biāo)表示以列出方程，利用方程有解即由機(jī)2之o可得a,c的不等式，得出離心率的范圍.

7.已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè)，另外六個(gè)數(shù)據(jù)分別是10,8,8,11,16,8,若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中

位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為

A.12B.20C.25D.27

【答案】D

【分析】

設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)這組數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，列出關(guān)系式，因?yàn)樗鶎懗龅慕Y(jié)果對于X

的值不同所得的結(jié)果不同，所以要討論X的三種不同情況.

【詳解】

設(shè)這個(gè)數(shù)字是％,則平均數(shù)為W?,眾數(shù)是8,若用,8,則中位數(shù)為8,此時(shí)％=-5,

若8<x<10,則中位數(shù)為X,此時(shí)2/=生尸+8,X=9,

若"10,則中位數(shù)為10,2x10=巴上+8,x=23,

所芍可能值為-5,9,23,其和為27.

故選￡>.

【點(diǎn)睛】

本題考查眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查未知數(shù)的分類討論，是一個(gè)綜合題目，這

是一個(gè)易錯(cuò)題目.

8.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：

設(shè)工=凡用卜[表示不超過X的最大整數(shù)，則），=[目稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：

[-3.7]=-4,[2.3]=2.己知/（力=/1一，，則函數(shù)y=[〃x）]的值域?yàn)椋ǎ?/p>

ex+12

A.{0}B.{-1,0}C.{-2,—1,（）}D.{-1,0,1}

【答案】C

【分析】

利用常數(shù)分離法將原函數(shù)解析式化為/（"=-告|■+；,然后分析函數(shù)/（力的值域，再根據(jù)高斯函數(shù)的

含義確定丁=[/(力]的值域.

【詳解】

ex1e'+l—2121

f\X)=-------=----------=------1—，

―ex+\2ex+\2ex+\2

291-11A

當(dāng)xNO時(shí)，ev>1?則TV--；―-<0,故f(x)=一一-+-e,故[f(x)]w｛-1,0｝；

eI1e+izL乙)

但x<0時(shí)，0<e*<1,則一2<-----<-1,故/(x)=一一；―l?[/(x)]e｛-2,—1｝；

ei1eI1zzzj

綜上所述，函數(shù)y=[f(x)]的值域?yàn)椋?2,-1,0｝.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義函數(shù)及函數(shù)值域求解問題，解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析清楚

/(力=1一3的值域，然后確定y=[〃x)]的值域.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.在公比4為整數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若4+。4=18,%+々3=12,則下列

說法正確的是()

A.4=2B.數(shù)列｛1g4｝是公差為2的等差數(shù)列

C.數(shù)列的前〃項(xiàng)和的最大值為1D.數(shù)列｛S“+2｝是等比數(shù)列

【答案】AD

【分析】

利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解可，q,進(jìn)而求得igq，s“+2,從而判斷各選項(xiàng).

【詳解】

伍=4.(1+/)=18

由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得<?4:;、

[a2+a3=(q+q~)=12

4=16

4=2

解得《1，或《1，

4二2q=3

又公比g為整數(shù)，故〈?），4=4?內(nèi)=2〃，故A選項(xiàng)正確；

q=2

Iga”=lg2“=〃lg2,故數(shù)列｛電q｝是公差為lg2的等差數(shù)列，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

數(shù)列是以:?為首項(xiàng)和公比為;"的等比數(shù)列，故前幾項(xiàng)和為北、2|=]'J"'故C

~2

選項(xiàng)錯(cuò)誤；

S“十2=2向，故｛S“+2｝為等比數(shù)列，即D選項(xiàng)正確：

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

本題的解題關(guān)鍵在于結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得基本量.

10.“楊輝三角”是中國占代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組

平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1,1,2,3,5,8,13,…，則（）

/4

，匕2二才

,二3：二3二二丫

?才"/二4??41

1051

I-■15201561

A.在第9條斜線上，各數(shù)之和為55

B.在第〃（幾.5）條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小

C.在第〃條斜線上，共有2〃十1一（一1）,個(gè)數(shù)

4

D,在第11條斜線上，最大的數(shù)是C；

【答案】BCD

【分析】

根據(jù)從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1,1,2,3,5,8,13,…，得到數(shù)列規(guī)律為4+4向=（+2判

斷A選項(xiàng)，再根據(jù)楊輝三角得到第〃條斜線上的數(shù)為：c'cLC'cL-ct；，。、叫'…判斷BCD

選項(xiàng)；

【詳解】

從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1,1,2,3,5,8,13,…，

其規(guī)律是4+?！?1=q+2，

所以第9條斜線上各數(shù)之和為13+21=34,故A錯(cuò)誤；

第1條斜線上的數(shù)：°：,

第2條斜線上的數(shù)：C：：

第3條斜線.上的數(shù)：

第4條斜線上的數(shù)：C；,C；，

第5條斜線上的數(shù)：C?,C；，G，

第6條斜線的數(shù)：

??????,

依此規(guī)律，第〃條斜線上的數(shù)為：。二，。：_2,。：3，。二，?-，。二；,。二（川廠?，

在第11條斜線上的數(shù)為c：。，c：,c；c；，c：,c；，最大的數(shù)是c；,

由上面的規(guī)律可知；〃為奇數(shù)時(shí)，第〃條斜線上共有等個(gè)數(shù)；

〃為偶數(shù)時(shí)，第〃條斜線上共有共有］=日個(gè)數(shù)，

所以笫n條斜線上共2〃+1一（—1）”,故c正確；

4

由上述每條斜線的變化規(guī)律可知：在第〃（〃..5）條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小，故B正確；

故選：BCD

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是找到第〃條斜線上的數(shù)為C:，C：.2,C：3，CL-C：t，C：（?.武???

11.太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種互相轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)?的和諧

美.定義：能夠?qū)A0的周長和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱為圓。的一個(gè)“太極函數(shù)”.則下列有關(guān)說

法中，正確的是()

A.對于圓。：f+y2=l的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)

B.函數(shù)/(x)=sinx+l是圓。：/+仃一］)2=］的一個(gè)太極函數(shù)

C.存在圓。，使得=是圓。的一個(gè)太極函數(shù)

D,直線(機(jī)+l)x—(2m+l)y—l=0所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓。：(x—2『+(y—1)2=R2(R＞。)的太極函

數(shù)

【答案】BCD

【分析】

利用“太極函數(shù)”的定義逐個(gè)判斷函數(shù)是否滿足新定義即可.

【詳解】

對于A,如下圖所示，若太極函數(shù)為偶函數(shù)，QSACE=SK0rspDFB，所以該函數(shù)平分圓。的周

對于B,/(x)=siiu:+l也關(guān)于圓心(0,1)對稱，平分圓。的周長和面積，所以函數(shù)/(x)=sinr+l是圓

。：/+(),一球=］的一個(gè)太極函數(shù)；故B正確；

對于3f(x)=

"+1-，+1--7+1

v/（-x）=—^-=-^一=-^-r=-/（x）,該函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

e+1，+]1+e

7

2使得了⑺ex-\

所以存在圓0：X+y2=i是圓。的一個(gè)太極函數(shù)，如下圖所示，故C正確;

ex+\

對于D,對于直線(m+l)x-(2m+l)y-l=0的方程,變形為〃z(x-2y)+(x-y-1)=0,

〔(…x-2y=二0。叫K=2

令《直線（機(jī)+1）%—（2心+1）>-1二0經(jīng)過圓。的圓心，可以平分圓。周長和面

積，故D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)對稱性的判定與應(yīng)用，將新定義理解為函數(shù)的對稱性為解題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于較

難題.

12.在口48。中角A、B、。所對的邊分別為。、b、C,能確定。為銳角的有（）

A.ACCB>0B.a2+b1>c2

C.A、3均為銳角，且sinA>cosBD.tanA+tanB+tanC>0

【答案】BCD

【分析】

判斷出cosC的符號，可判斷AB選項(xiàng)；判斷A+8與J的大小關(guān)系，可判斷C選項(xiàng)；判斷tanC的符號,

2

可判斷D選項(xiàng).

【詳解】

對于A選項(xiàng)，AC-C5=-CA-C5=-|c4|-|cfi|cosC>0,可得cosC<0,則C為鈍角，A選項(xiàng)不滿足

條件:

2?22

對于B選項(xiàng)，由余弦定理可得cosC=-十一°>0,則C為銳角，B選項(xiàng)滿足條件;

2ab

71

對于C選項(xiàng)，因?yàn)锽為銳角，則也為銳角，

2

因?yàn)閟inA>cos8=sin（2一81，且函數(shù)y=sinx在（0,3[上單調(diào)遞增，A、巴-B均為銳角,

U）I2）2

所以，A>￡—3,則所以，0vC=%—（A+8）V￡,C選項(xiàng)滿足條件；

對于D選項(xiàng)，若□ABC為直角三角形，則tanA、tanB、tanC中有一個(gè)無意義，不合乎題意.

,

t.?A-^-B+C=Jr,A+B=7T-Ct..tan(A+B)=tan(^--C)=-tanC,

tan4+tanB

由兩角和的正切公式可得tan(A+B)=,則tanA+tanB=tan(A+B)(l-tanAtanB),

1-tanAtanB

所以，tanA+tan9+tanC=tan(A+占)(1—tanAtanB)+tanC

=tanC-tanC（l-tanAtan^）=tan4tanBtanC>0,

由于口A8C中至少有兩個(gè)銳角，則lanA、tanB、tanC中至少有兩個(gè)正數(shù),

進(jìn)而可知tanA、tan8、tanC均為正數(shù)，從而C為銳角，D選項(xiàng)滿足條件.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：判斷口43。的內(nèi)角C為銳角，可從以下方面來進(jìn)行分析；

（1）：.角函數(shù)值符號：cosC>0或tanC>0；

（2）平面向量數(shù)量積：G4.C§>0

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)隨機(jī)變量〃~N（2,l）,若尸（77<36+1）=尸則機(jī)=.

【答案】2

【分析】

根據(jù)v3機(jī)+1）=尸（〃>加一5）,利用正態(tài)分布的對稱性求解.

【詳解】

因?yàn)镻（7<3w+1）=P[rj>m-5）,

一i…3加+1+加一5-

加以-------------=2,

2

解得m=2.

故答案為：2

冗冗

14.記集合力=口，b],當(dāng)先時(shí)，函數(shù)/'(夕)=2j5sin8cose+2cos2。的值域?yàn)?若

_64

是七口5”的必要條件，則方-。的最小值是

【答案】3

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)知識求出B,再根據(jù)必要條件的概念列式可解得結(jié)果.

【詳解】

函數(shù)/(〃)=273sin6>uus04-2uus20=43sin2^+cos2^+1=2sin(2^+^)+1.

o

當(dāng)比時(shí),2。+9￡[-9，4]，所以sin(2e+m)￡[-[,l],

64J66362

TT

所以2sin(26>+-)+1e[0,3],即B=[0,3],

6

若“xA”是'口8”的必要條件，則8口4

a<0

所以C，所以人一。23,

[b>3

□b-a的最小值是3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將是、口歹的必要條件轉(zhuǎn)化為8口人是解題關(guān)鍵.

15.過雙曲線。:夕-￡=13>°乃>0)的焦點(diǎn)耳作以焦點(diǎn)鳥為圓心的圓的切線，其中一個(gè)切點(diǎn)為M,

△6巴M的面積為其中。為半焦距，線段峙恰好被雙曲線。的一條漸近線平分，則雙曲線C的離

心率為.

【答案】&

【分析】

由圖像可得耳N_LON,由焦點(diǎn)到漸近線的距離等于b可求得忻N|=b,進(jìn)而圖像中線段的長度，根據(jù)

的面積為°2列出等量關(guān)系式，最后解方程求出離心率即可.

【詳解】

由題意，可得圖像如圖:

ON//MF2,F、N工ON,

j\FlN\=b,[\ON\=a,

叫|=周=3,

4a2(c2-a2^=c4,

□e4-4e2+4=0.

□e2=2?e=V2-

故答案為：&.

【點(diǎn)睛】

雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法:

□求出a,c,代入公式e=￡；

a

□只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,。的齊次式，結(jié)合62=°2—加轉(zhuǎn)化為。的齊次式，然后等式（不等

式）兩邊分別除以a或加轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

16.在四棱錐S—44c。中，AB//CD,AD=AB=BC=；CD=2,SA=5SB=SD=&，則三

棱錐S-AB。外接球的表面積為.

【答案】竺乃

4

【分析】

依題意知。。的中點(diǎn)。1為外接圓的圓心，設(shè)三棱錐S-4BD外接球的球心為。，則0?_L平面

ABCD,設(shè)外接球的半徑為H，則尺2=0。；+00：=5￡2+0石2,代入數(shù)據(jù)即可求解半徑，從而得球表

面積.

【詳解】

如圖所示，取CO的中點(diǎn)。1,連接4Q,BO「并連接。。交AQ于H,

連接SH.因?yàn)?8〃CO,AD=AB=BC=-CD=2,

2

所以囚邊形AB。。和四邊形ABCQ均為平行四邊形，

所以AD=BO】=BC=AO],故BO]=DO]=CO、=AO1,

所以0]為△ABO外接圓的圓心且BC1.BD,

則￡>=2有，BH=*D=6,A"=gAq=l,

因?yàn)镾B=SD=?，所以S”_L8。，所以SH=2.

因?yàn)?A=逐，AH=l,所以S42=A”2+S”2,所以S〃J_A”，

因?yàn)锳HcBH=H,所以S〃_L平面

設(shè)三棱錐S—A8。外接球的球心為0,連接0。，OS,00],

則00、_L平面ABCD，則S”〃OQ.過點(diǎn)。作OE_LS”于點(diǎn)E,則OEHHO、,

故四邊形。。1座為矩形，故OM=OE=1,HE=OO].

設(shè)oq=x,外接球的半徑為R,則氏2=00：+9=5石2+0E2,

又。?=2,則/+4=(2—4+1,解得X=L所以R2=粵，

416

所以三棱錐S-ABD外接球的表面積為4.T/?2=—7t.

故答窠為：—

4

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求外接球半徑的常用方法：

（1）補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形或正四面體或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中去

求解；

（2）利用球的性質(zhì)：幾何體在不同面均對直角的棱必然是球的直徑；

（3）定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一

定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.（10分）如圖，已知口人〃。的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、力、C,其中人工。，且尻os8=ccosC,

延長線段8C到點(diǎn)O,使得BC=4C0=4,ZC4D=30°

（1）求證：N3AC是直角；

（2）求f的值.

AD

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【分析】

（1）利用正弦定理邊化角，利用二倍角的正弦公式得到sin2B=sin2C,注意到bHc,排除2B=2C的情況，

得到28+2C=180。，即可進(jìn)一步求得L瓦IC的值；

（2）分別在三角形NC0和三角形48c中使用正弦定理得到AO=2sinNAC0,AB=4sinZACB,進(jìn)

而求得.

【詳解】

（1）由正弦定理可得sin8cos8=sinCcosC,

即sin2B=sin2C,

b^c,

28+20=180。

B+C=90°,

ZB.4C=180o-90o=90°

（2）由（1）可知,

BC=4,CD=\,

ZR4C=90%NCAO=30。，

ADABAB.

2,---=---sinZ.ACB.

sinZACDsin30°BC4

AD=2sinZACDfA8=4sinN4CB,且sinNACD=sinNACB.

四二2

AD

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練利用正弦定理邊角互化和計(jì)算.

18.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5，4>1,若數(shù)列｛4｝滿足q+1>可，且105〃=（24+1）（4+2）,

nGN..

（L）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)；

（口）是否存在加，九，kWN*，且機(jī)<"<%,使得成立？若存在，寫出一組符合條件的機(jī)，H,

A的值；若不存在，請說明理由.

從口3（5“一S〃,）=&,□zg,一4"%這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并作答.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（匚）（□）答案見解析.

【分析】

（）利用已知條件和數(shù)列通項(xiàng)％與前〃項(xiàng)和5“間的關(guān)系進(jìn)行推理，利用定義得到數(shù)列為等差數(shù)列，最后

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列的通項(xiàng)：

（一）首先假設(shè)存在相，n,keN'，且6<〃<2,使得結(jié)論成立，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或前〃

項(xiàng)和公式進(jìn)行推理，求得一組值或說明正整數(shù)機(jī)，n,2不存在.

【詳解】

解：（□）由10q=（2q+l）（q+2）,得2a；-54+2=0,解得q=2或a=；.

由于q＞1,所以q=2.

因?yàn)?0\=（勿〃+l）（q,+2）,所以1OS”=加：+5%+2.

故1的川=IOS…-10S?=2a；+i+5。,用+2—2＜/：-5alt-2,

整理，得2(°3一。：)-5(%+4)=0,即(4+]+4)[2(%+「％)-5]=0.

5

因?yàn)閿?shù)列｛q｝滿足勺+1＞外,所以｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列，且q=2,故。向+《工0,因此4

則數(shù)列｛〃“｝是以2為首項(xiàng)，￡為公差的等差數(shù)列，

所以%=2+g(〃_l)=g(5〃_l).

()若選□:滿足條件的正整數(shù)機(jī)，n,%存在，如m=n=2,k=3.

假設(shè)存在機(jī)，*ksN"，且相＜〃＜2,使得3(S〃一S〃J=SQ

53則3卻+。人于+%2

因?yàn)閟.=/+r=-k+-k,

44、44)44

整理,得315（〃2-〃/）+3（〃-m）］=5爐+3%,

3（"一加2）二42,2

所以不妨設(shè)'）,所以加=-2,n=-k.

3（n-m）=k,33

所以取女=3,則相=1,〃=2.

若選二：滿足條件的正整數(shù)機(jī)，"，攵不存在.

理由如下：

假設(shè)存在機(jī)，〃，keN"，且相＜〃＜々，使得2(4〃+qJ=4，

13

則5〃?-1+5〃-1=5(5左-1),整理，得2m+2"k=g,(*)

顯然，左邊為整數(shù)，所以(*)式不成立.故滿足條件的正整數(shù)加，n,女不存在.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以數(shù)列為載體，要求考生掌握等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前九項(xiàng)和公式,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)

抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地運(yùn)用相應(yīng)的公式，建立方程組,運(yùn)用方程的

思想求解.

19.〔12分）如圖，四棱錐尸—A8CO中，底面ABC。是矩形，AB=2,A￡>=4,且側(cè)面248_1_底面

ABCD,側(cè)面尸人。底面點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在邊上移動(dòng)，且PA=2.

（1）證明：PA_L底面A3CO；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動(dòng)，使二面角E—A尸—8為60。時(shí)，求二面角尸-AE—P的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵.

4

【分析】

（1）由側(cè)面PAB±底面ABCD,得到ADJ.平面PA3,ADYAP,同理側(cè)面PAD1,底面ABCD,再

由AB_L4￡），得到ABJL平面PAD、A8_LA尸可得答案；

（2）由PAJ■底面ABC。，AD1側(cè)面PAB,8C_L側(cè)面PAB,分別以A￡>,AB,求出平面尸AE、

平面PAE的法向量由數(shù)量積公式可得答案.

【詳解】

（1）證明：??,側(cè)面PABJ_底面ABCZ）,且側(cè)面PABc底面ABCO=AB,

?.?AQJ_A3,.平面PA8,「.ADJ,AP,同理側(cè)面尸A。_L底面ABCD,

且側(cè)面PAOfl底面ABCD=AD,

vABA.AD,.?.鉆_1平面尸4。，，48_1.4。，

/.PA_L底面ABCD.

（2）?.?E4J_底面A3CO,點(diǎn)尸是PB的中點(diǎn)，且PA=A8,

AFLPB.?.?AOJJ則面PAB,RAD!IBC.

BCJ■側(cè)面PAB，BC1AF,

AF_L側(cè)面28。，/./BFE為二面角E—4尸-B所成的角，

當(dāng)N即汨=60°時(shí)，BE=6

vAD,AB,AP三線兩兩垂直，分別以AO,AB,AP為X、＞、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所

示，

4(0,0,0),P(0,0,2),產(chǎn)(0,1,1),網(wǎng)迷,2,0b

AP=(0,0,2),而=(0,1,1),XE=(76,2,0),

設(shè)平面FAE的法向量為根=（式［,乂，4）,

加?荏=0\f6x1+2y1=0

則〈一，得〈

m-AF=0y+Z]=0

令4=3,得玉=灰,凹=一3,則相=（而,一3,3卜

設(shè)平面PAE的法向量為〃=（工2，%，22），

n-AP=02Z2=0-

由，一，得鬲+2%”令*?得3Tz『0,

M?AE=0

〃二(",-3,01

設(shè)二面角F-AE-2為a,Mcosa=—^.+%=—.

2V6V154

【點(diǎn)睛】

本題考查了面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的證明，以及求二面角的余弦值，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是建立空間直角坐

標(biāo)系，利用數(shù)量積公式，考查了學(xué)生的空間想象力和計(jì)算能力.

20.112分）甲、乙、丙三人參加學(xué)校“元旦嘉年華”競答游戲，活動(dòng)的規(guī)則為：甲、乙、丙三人先分別坐

在圓桌的A，8，C三點(diǎn)，第一輪從甲升始通過擲骰子決定甲的競答對手，如果點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，則按逆時(shí)針

選擇乙，如果是偶數(shù)，則按順時(shí)針選丙，下一輪由上一輪擲骰子選中的對手繼續(xù)通過擲骰子決定竟答對手，

如果點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)按逆時(shí)針選對手，點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)按順時(shí)針選對手，已知每場競答甲對乙、甲對丙、乙對丙獲

勝的概率分別為?，!且甲、乙、丙之間競答互不影響，各輪游戲亦互不影響，比賽中某選手累計(jì)獲

勝場數(shù)達(dá)到2場，游戲結(jié)束，該選手為晉級選手.

（1）求比賽進(jìn)行了3場且甲晉級的概率；

（2）當(dāng)比賽進(jìn)行了3場后結(jié)束，記甲獲勝的場數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1））；（2）分布列見解析；期望為空.

6144

【分析】

（1）根據(jù)題意分別求出每一類情況的概率，再利用互斥事件概率加法公式即可求解；（2）由題意可知X的

所有可能取值為0,1，2,利用獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式求出對應(yīng)的概率即可求出分布列與數(shù)學(xué)期

望.

【詳解】

解：（1）甲贏兩場，分下面三種情況

口第一場甲勝，第二場無甲，第三場甲勝

概率為，

232232322318

」第一場甲輸，二三場均勝

111212111211121111

概率為：-x-x-x-x—X—+—X—+—X—X—X—X-X-----1-----X-I=-------

2323232323232323)18

第一場甲勝，第二場輸，第三場勝

1211c21nli12(1211)1

概率為:

2323(2322323(2323)18

由互斥事件的概率加法公式可知：比賽進(jìn)行了3場且甲晉級的概率為：[+1+1=

1818186

（2）依題意X的所有可能取值為0,1,2

由(1)知P(X=2)=L

6

當(dāng)比賽進(jìn)行了3場后結(jié)束,甲獲勝的場數(shù)為X=O時(shí),

分兩種情況:

11111121111

3場比賽中甲參加了1場,輸了，概率為:—X—X—X—X-----1-----X—X—X—X—=——

232222322216

3場比賽中甲參加了2場,都輸了，概率為:lxlxlxlxlx2lx^xixlxlxi±

232223+232223=36

3場比賽甲都參加且都輸?shù)羰遣豢赡艿模駝t兩場比賽打不到3場.

所以尸(X=0)=」+」13

1636144

131107

故p(X=1)=1_p(X=0)-P(X=2)=1---——

1446144

故X的分布列為

X012

13107

P

L441446

w八131107cl155

則E(X)=0x---F1x----F2x——---.

1441446144

【點(diǎn)睛】

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)

分析、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

22

21.（12分）已知橢圓C:[+4=l（a>b>0）的短軸長為2,離心率為二.

a~b2

（1）求橢圓。的方程；

（2）點(diǎn)P是橢圓。上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，過尸作直線與交y軸正半軸于4點(diǎn)，交x軸負(fù)半軸于8點(diǎn),

與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為￡且=點(diǎn)。是尸關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，直線”與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)

為尸.

（□）證明：直線AQ,4P的斜率之比為定值;

（L）求直線E/的斜率的最小值.

?2=1；（2）（□）證明見解析；（口）逅.

【答案】（1）y+y

2

【分析】

（1）根據(jù)條件解出。力的值，寫出橢圓方程;

（2）⑴設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為（與,%）,由點(diǎn)。是P（毛,%）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)可得0%,一%）,由尸4=4B可

得Ag3%），代入求斜率左必和斜率即,，計(jì)算比值；

（"）設(shè)直線PA的方程為丁="+小，與橢圓聯(lián)立求E點(diǎn)坐標(biāo)，由上一問所求斜率的比值可得直線。4的方

程是）=-3辰+加，與橢圓聯(lián)立求產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線E尸的斜率，不等式求最值.

【詳解】

28=2,

解：（1）由題意得|￡=",解得a=應(yīng),

a2b=i.

a2=b2+c2.

2

所以橢圓C的方程為］+y2=i.

（2）（/）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（工,％）,

因?yàn)辄c(diǎn)。是尸（%，為）關(guān)于1軸的對稱點(diǎn)，P4=AB，

所以2（%,一%），A（0,；為）?

所以直線。的斜率為*'_一為一5稀_-3%,PA的斜率為

8與2%

與2x0

%_

所以

所以直線AQ，AP的斜率之比為定值.

（//）設(shè)直線PA的方程為y=履+”.

y=kx+m,e、、

聯(lián)立方程組〈；八2八化簡得（1+2公）/+451r+為2—2=0.

f+2yz=2,

設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)是（X，y）,

所以玉不二翟所以X

2k(m2-\)

所以X+m.

(1+2公)/

所以E點(diǎn)的坐標(biāo)是（（，2：o'：*）；+M.

由（2）可知，直線QA的方程是y=-3"+加.

所以尸點(diǎn)的坐標(biāo)是（（；：屋/（普嬴；+'"）?

-hk(in2-1)2^(m2-1)

----------Fni------------------

(1+185)/(1+2公)/6A2+1

所以直線EF的斜率原「=

2m2-22m2-24k

(1+18/)/―(1+2%2)/

因?yàn)锳>0,所以2.="士=’(6%+1)21、2、熱?=亞.

即4k4&4Vz2

當(dāng)且僅當(dāng)62=1,即攵=邁時(shí)，原F有最小值邁?

k62

所以