第三章-平面力系

工程力學(xué)為了研究方便，我們將力系按其作用線的分布情況進行分類：平面力系：各力的作用線處在同一平面內(nèi)的一群力。空間力系：力系中各力的作用線不處在同一平面的一群力。平面匯交力系：各力作用線相交于一點的平面力系。平面平行力系：作用線相互平行的平面力系。平面任意力系：作用線即不平行又不相交于一點的平面力系。第一節(jié)平面匯交力系合成與平衡的解析法討論力系的合成和平衡條件的方法可分為：解析法：計算規(guī)范﹑程式化，適合于計算機編程。幾何法：直觀明了，物理意義明確。

一、幾何法設(shè)作用于剛體上的四個力F1、F2、F3、F4，構(gòu)成平面匯交力系，根據(jù)力的可傳性原理，首先將各力沿其作用線移到

O

點，再將各力依次合成，求出合力FR。

abcdeabcde用力多邊形法則求匯交力系合力的方法稱為匯交力系合成的幾何法。合成中需要注意以下兩點：合力的作用線必通過匯交點。改變力系合成的順序，只改變力多邊形的形狀，并不影響最后的結(jié)果。即不論如何合成，合力是唯一確定的。：平面匯交力系合成的結(jié)果是一個合力，其大小和方向由力多邊形的封閉邊代表，作用線通過力系中各力作用線的匯交點。合力的表達式為：結(jié)論平面匯交力系平衡的充分必要條件平面匯交力系平衡的充分必要條件是力系的合力等于零。也即各分力

﹑

﹑…﹑

所構(gòu)成的力多邊形自行封閉。因為力是矢量，其包括大小和方向二個元素。所以用封閉力多邊形可以求出二個未知元素，即可以有一個力大小和方向都未知，或者有二個力各有一個未知元素（大小或方向）。注意解（1）選比例尺。（2）將

、

、

首尾相接得到力多邊形abcd，其封閉邊矢量ad就是合力矢。

例2-1如圖所示，在圓環(huán)上作用有三個力，大小分別為：F1=300N，F(xiàn)2=600N，F(xiàn)3=1500N，其作用線相交于O點。試用幾何作圖法求力系的合力。量得：合力FR

=

1650N，與x

軸夾角

=16o21'。abcd二、解析法

對于平面匯交力系（），各力在平面直角坐標(biāo)系中，可寫成：平面匯交力系的合力等于各分力的矢量和：力在平面直角坐標(biāo)系中的解析式合力投影定理合力投影定理：平面匯交力系的合力在任一坐標(biāo)軸上的投影，等于各分力在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和。大小和方向平面匯交力系平衡的充要條件解析式平面匯交力系平衡的充分必要的解析條件是：力系中各力在x、y坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和都等于零。平面匯交力系的平衡方程

說明用解析法求解未知力時，約束力的指向要事先假定。在平衡方程中解出未知力若為正值，說明預(yù)先假定的指向是正確的；若為負(fù)值，說明實際指向與假定的方向相反。解（1）取左半拱AB（包括銷釘B）為研究對象。

例2-3如圖所示三鉸拱，不計拱重。已知結(jié)構(gòu)尺寸a和作用在D點的水平作用力F

=

141.4N，求支座A﹑C約束反力和。

AB只受到右半拱BC的作用力和鉸鏈支座A的約束反力，屬于二力構(gòu)件。（2）再取右半拱BC為研究對象。作用在BC上的三個力應(yīng)滿足三力平衡匯交定理。從而可確定作用線的方位。取坐標(biāo)系Bxy，列出平面匯交力系的平衡方程：法一取坐標(biāo)系Bx'y'，列出平面匯交力系的平衡方程法二：y'x'解得更簡便!“–”表示的指向與受力圖中假定的指向相反。解[例]已知P=2kN求SCD,RA

①研究AB桿②畫出受力圖③選坐標(biāo)系④列平衡方程由EB=BC=0.4m，⑤求解：靜力學(xué)1、一般地，對于只受三個力作用的物體，且角度特殊時用幾何法（解力三角形）比較簡便。2、一般對于受多個力作用的物體，且角度不特殊或特殊，都用解析法。3、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個方程中只有一個未知數(shù)。即力求每列一方程求得一未知數(shù)。

解題技巧及說明：靜力學(xué)4、對力的方向判定不準(zhǔn)的，一般用解析法。5、解析法解題時，力的方向可以任意設(shè)，如果求出負(fù)值,說明力方向與假設(shè)相反。對于二力構(gòu)件，一般先設(shè)為拉力，如果求出負(fù)值，說明物體受壓力。6、應(yīng)用時，幾何法與解析法聯(lián)合使用。解題技巧及說明：=已知：二.平面力偶系的合成和平衡條件==任選一段距離d===平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零.平面力偶系平衡的充要條件，有如下平衡方程思考：在剛體的A、B、C、D四點作用有四個大小相等的力，此四力沿四邊恰好組成封閉的力多邊形。此剛體是否平衡？若力和都改變方向，此剛體是否平衡？解得解：由力偶只能由力偶平衡的性質(zhì)，其受力圖為求：光滑螺柱

所受水平力.已知：解：取輪,由力偶只能由力偶平衡的性質(zhì),畫受力圖.解得已知求：平衡時的及鉸鏈

處的約束力.解得

取桿

，畫受力圖.思考：如圖所示兩種機構(gòu)處于平衡狀態(tài)，A，C處約束力和桿CD上作用的力偶是否相同？三.平面任意力系的簡化平面任意力系：各力的作用線在同一平面內(nèi)，既不匯交為一點又不相互平行的力系叫平面任意力系。[例]力系向一點簡化：把未知力系（平面任意力系）變成已知力系（平面匯交力系和平面力偶系）1.力的平移定理可以把作用在剛體上點A的力平行移到任一點B，但必須同時附加一個力偶。這個力偶的矩等于原來的力對新作用點B的矩。[證]力力系①力線平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力力+力偶②力平移的條件是附加一個力偶m，且m與d有關(guān)，m=F?d

③力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。說明：一個力向另一點平移，得到一個力(等于原力矢)和一個力偶(力偶矩等于原力對該點的矩)；反之，若某點有一個力和一力偶作用，則可按相反的程序，把它簡化至某一點(只有一點)，可得到一個力。2.平面任意力系的簡化一般力系（任意力系）向一點簡化匯交力系+力偶系

（未知力系）

（已知力系）

匯交力系力，

R‘(主矢)，(作用在簡化中心)力偶系力偶，MO(主矩)，(作用在該平面上)

主矢與簡化中心位置無關(guān)[因主矢等于各力的矢量和]大?。?作用點：方向：

大小：主矩MO

轉(zhuǎn)向：

作用點(矩心)：（轉(zhuǎn)動效應(yīng)）與簡化中心有關(guān)（因主矩等于各力對簡化中心取矩的代數(shù)和）方向規(guī)定

+-力系簡化的結(jié)論：平面任意力系向其作用面內(nèi)任一點簡化，一般可得到一力和一力偶；該力作用于簡化中心，其大小及方向等于平面力系的主矢，該力偶之矩等于平面力系對于簡化中心的主矩。固定端（插入端）約束在工程中常見的雨搭車刀固定端（插入端）約束說明①認(rèn)為Fi這群力在同一平面內(nèi);②將Fi向A點簡化得一力和一力偶;③RA方向不定可用正交分力YA,XA表示;④YA,XA,MA為固定端約束反力;⑤YA,XA限制物體平動,MA為限制轉(zhuǎn)動。3.平面任意力系簡化結(jié)果討論②=0,MO≠0，即簡化結(jié)果為一合力偶,MO=M。此時剛體等效于只有一個力偶的作用，因為力偶可以在剛體平面內(nèi)任意移動，故此時，主矩與簡化中心O無關(guān)。①

=0，M0=0，則力系平衡,下節(jié)專門討論。

簡化結(jié)果：主矢，主矩MO

，下面分別討論。③≠0,MO=0,即簡化為一個作用于簡化中心的合力。這時，簡化結(jié)果就是合力（這個力系的合力）,。（此時與簡化中心有關(guān)，換個簡化中心，主矩不為零） ④≠0,MO≠0,為最一般的情況。此種情況還可以繼續(xù)簡化為一個合力。合力的大小等于原力系的主矢合力的作用線位置四、平面任意力系的平衡方程及應(yīng)用所以平面任意力系平衡的充要條件為：力系的主矢和主矩MO都等于零，即：②二矩式條件：x軸不AB

連線③三矩式條件：A,B,C不在同一直線上上式有三個獨立方程，只能求出三個未知數(shù)。①一矩式（投影式基本式）

[例]已知：P,a,求：A、B兩點的支座反力？解：①選AB梁研究②畫受力圖（以后注明解除約束，可把支反力直接畫在整體結(jié)構(gòu)的原圖上）[例]已知：P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m

求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得： 設(shè)有F1,F2…Fn

各平行力系，向O點簡化得： 合力作用線的位置為： 平衡的充要條件為主矢=0

主矩MO

=0平面平行力系:各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行的力系叫～。平面平行力系的平衡方程實質(zhì)上是各力在x軸上的投影恒等于零，即 恒成立，所以只有兩個獨立方程，只能求解兩個獨立的未知數(shù)。二矩式條件：AB連線不能平行于力的作用線一矩式所以平面平行力系的平衡方程為：[例]已知：塔式起重機P=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如圖。求：①保證滿載和空載時不致翻倒，平衡塊Q=？②當(dāng)Q=180kN時，求滿載時軌道A、B給起重機輪子的反力？ 限制條件：解：本題屬翻倒問題②空載時，W=0限制條件：解得因此保證空、滿載均不倒Q應(yīng)滿足如下關(guān)系：解得①滿載時，1）臨界平衡狀態(tài)（限制條件）2）矩心的選擇⑴①滿載時，起重機向右翻倒；②空載時，起重機向左翻倒；⑵求當(dāng)Q=180kN，滿載W=200kN時，NA,NB為多少？由平面平行力系的平衡方程可得：解得：5、物體系統(tǒng)的平衡問題物體系：由幾個物體通過一定的約束方式聯(lián)系在一起的系統(tǒng)。CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG1.內(nèi)力和外力外力：系統(tǒng)以外的物體給所研究系統(tǒng)的力。內(nèi)力：因外力作用,在系統(tǒng)內(nèi)部，各個物體之間，或一個物體的這一部分與另一部分之間，相互作用的力。2kN/mEGFEyFExFG10kNFCyFCxFDFEyFExCECD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mGAB20kNFAxFAyFBCFCyFCx2.物體系平衡問題物系平衡的特點：①物系靜止②物系中每個單體也是平衡的。每個單體可列3個平衡方程，整個系統(tǒng)可列3n個方程（設(shè)物系中有n個物體）解物系問題的一般方法：由整體局部（常用），由局部整體（用較少）平衡的傳遞性：物系平衡，物系內(nèi)任一構(gòu)件（或若干構(gòu)件的組合）都平衡。反之未必成立。注意：(1)在總計獨立的平衡方程數(shù)時，應(yīng)分別考慮系統(tǒng)中每一個物體，而系統(tǒng)的整體則不應(yīng)再加考慮。因為系統(tǒng)中每一個物體既已處于平衡，整個系統(tǒng)當(dāng)然處于平衡，其平衡方程可由各個物體的平衡方程推出，因而就不獨立了。(2)在求解物體系的平衡問題時，不僅要研究整體，還要研究局部個體，才能使問題得到解決。應(yīng)該從未知量較少或未知量數(shù)等于獨立的平衡方程數(shù)的受力圖開始，逐步求解。例求圖示多跨靜定梁的支座約束力。梁重及摩擦均不計。CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG2kN/mEGFEyFExFG10kNFCyFCxFDFEyFExCE分析：未知量9個，5個支座約束力，C、E處鉸鏈反力各2個，共9個未知量。考慮3個梁的平衡，共有9個獨立的平衡方程。所以系統(tǒng)是靜定的。AB20kNFAxFAyFBCFCyFCxCD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mGxy由對稱關(guān)系得：2kN/mEGFEyFExFG(2)研究CE梁10kNFCyFCxFDFEyFExCE解：(1)研究EG梁10kNFCyFCxFDFEyFExCExy(3)研究AC梁AB20kNFAxFAyFBCFCyFCxxyAB20kNFAxFAyFBCFCyFCx六、平面簡單桁架的內(nèi)力計算由物系的多樣化，引出僅由桿件組成的系統(tǒng)——桁架桁架是有若干直桿在兩端按一定的方式連接所得的工程結(jié)構(gòu)。節(jié)點桿件1、各桿件為直桿，各桿軸線位于同一平面內(nèi)；2、桿件與桿件間均用光滑鉸鏈連接；3、載荷作用在節(jié)點上，且位于桁架幾何平面內(nèi)；4、各桿件自重不計或均分布在節(jié)點上在上述假設(shè)下，桁架中每根桿件均為二力桿關(guān)于平面桁架的幾點假設(shè)：桁架靜力分析的兩種方法1、節(jié)點法以節(jié)點為研究對象，逐個考察其受力與平衡，從而求得全部桿件的受力的方法。為平面匯交力系（兩個獨立的方程，可求解兩個未知數(shù)）2、截面法用假想截面將桁架截開，考察其中任一部分平衡，應(yīng)用平衡方程，可以求出被截桿件的內(nèi)力的方法?？煽闯善矫嫒我饬ο担ㄈ齻€獨立的方程，可求解三個未知數(shù)）已知:P=10kN,尺寸如圖；求:桁架各桿件受力.解:取整體，畫受力圖.取節(jié)點A，畫受力圖.解得(壓)解得(拉)取節(jié)點C,畫受力圖.解得(壓)解得(拉)取節(jié)點D,畫受力圖.解得(拉)已知:各桿長度均為1m;求:1,2,3桿受力.解:取整體,求支座約束力.解得解得用截面法,取桁架左邊部分.解得(壓)解得(拉)解得(拉)說明：節(jié)點法：用于設(shè)計，計算全部桿內(nèi)力截面法：用于校核，計算部分桿內(nèi)力先把桿都設(shè)為拉力,計算結(jié)果為負(fù)時,說明是壓力,與所設(shè)方向相反。前面我們把接觸表面都看成是絕對光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。平衡必計摩擦

[例]七、考慮摩擦?xí)r的平衡問題1）、定義：相接觸物體，產(chǎn)生相對滑動（趨勢）時，其接觸面產(chǎn)生阻止物體運動的力叫滑動摩擦力。（就是接觸面對物體作用的切向約束反力）

2、狀態(tài)：滑動摩擦1、靜滑動摩擦力所以增大摩擦力的途徑為：①加大正壓力N,②加大摩擦系數(shù)f

（f—靜滑動摩擦系數(shù)）（f'—動摩擦系數(shù)）②臨界：（將滑未滑）

③滑動：

①靜止：2、動滑動摩擦力：（與靜滑動摩擦力不同的是產(chǎn)生了滑動）2）特征： 大?。海ㄆ胶夥秶M足靜摩擦力特征方向：與物體相對滑動趨勢方向相反定律： （f只與材料和表面情況有關(guān)，與接觸面積大小無關(guān)。）

動摩擦力特征方向：與物體運動方向相反大小：