廣東省廣州市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考 數(shù)學(xué)試卷含答案

廣東省廣州市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．2．某學(xué)校高二某班向陽學(xué)習(xí)小組8位同學(xué)在一次考試中的物理成績?nèi)缦拢?5，45，62，78，53，83，74，88，則該小組本次考試物理成績的第60百分位數(shù)為（

）A．53 B．74 C．78 D．833．已知，則“”是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知命題，為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．已知平面向量滿足，且在上的投影向量為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．6．如圖，已知在平行六面體中，，且，則（

）A． B． C． D．7．已知為上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A．－4 B． C． D．8．已知向量，，是空間中的一個(gè)單位正交基底．規(guī)定向量積的行列式計(jì)算：，其中行列式計(jì)算表示為，若向量，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．的虛部為 B．C． D．為純虛數(shù)10．已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，取得最大值2，且與直線最近的一個(gè)零點(diǎn)為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最小正周期為B．的單調(diào)遞增區(qū)間為C．的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到D．若為奇函數(shù)，則11．如圖，已知正方體的棱長為，為正方形底面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．三棱錐的體積為定值B．存在點(diǎn)，使得C．若，則點(diǎn)在正方形底面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段D．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過作平面平面，則平面截正方體的截面周長為三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量滿足，，且，則．13．小耿與小吳參與某個(gè)答題游戲，此游戲共有5道題，小耿有3道題不會(huì)，小吳有1道題不會(huì)，小耿與小吳分別從這5道題中任意選取1道題進(jìn)行回答，且兩人選題和答題互不影響，則小耿與小吳恰有1人會(huì)答的概率為14．國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會(huì)的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場館?綠色場館．并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水?雨水過濾系統(tǒng)．若過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量），且前4小時(shí)消除了的污染物，則污染物消除至最初的還需要過濾小時(shí)．四、解答題（本大題共5小題）15．某校為促進(jìn)學(xué)生對地震知識(shí)及避震自救知識(shí)的學(xué)習(xí)，組織了《地震知識(shí)及避震自救知識(shí)》競賽活動(dòng)，對所有學(xué)生的競賽成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，制成如圖所示的頻率分布直方圖（各區(qū)間分別為．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)本次競賽的平均成績；（每組數(shù)據(jù)用所在區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)按人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從競賽成績在和內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績都在內(nèi)的概率．16．已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)若，，且，，求的值.17．已知的內(nèi)角的對邊分別為，向，(1)求；(2)若，求的面積的最大值18．如圖,四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,,,且,為的中點(diǎn)．(1)求證:⊥平面;(2)求與平面所成角的正弦值;(3)在線段上是否存在點(diǎn),使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由．19．利普希茲條件是數(shù)學(xué)中一個(gè)關(guān)于函數(shù)光滑性的重要概念，設(shè)定義在上的函數(shù)，若對于中任意兩點(diǎn)，都有，則稱是“-利普希茲條件函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)，在上是否為“1-利普希茲條件函數(shù)”；(2)若函數(shù)是“-利普希茲條件函數(shù)”，求的最小值；(3)設(shè)，若存在，使是“2024-利普希茲條件函數(shù)”，且關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等實(shí)根，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】C【詳解】由，解得，由，解得，則，對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于CD，，，，C錯(cuò)誤，D正確.故選：C2．【答案】C【分析】根據(jù)題意，將數(shù)據(jù)從小到大排列，結(jié)合百分位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.【詳解】將8位同學(xué)考試的物理成績從小到大排列：，由，所以數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為.故選C.3．【答案】A【分析】運(yùn)用充分，必要條件知識(shí)，結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性可解.【詳解】,則，且在單調(diào)遞增.故.反過來，如果，則,可以為負(fù)數(shù).推不出.故“”是的充分不必要條件.故選A．4．【答案】B【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為不等式在x∈1,+∞上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式在x∈1,+【詳解】由命題，為假命題，可得命題，為真命題，即不等式在x∈1,+∞即在x∈1,+∞令，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選B.5．【答案】B【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量公式求出，再由夾角公式求解.【詳解】因?yàn)椋谏系耐队跋蛄繛?，所以，所以，所以，由，可?故選B.6．【答案】A【詳解】由題意可知，因?yàn)?，所以，所以．故選：A．7．【答案】C【詳解】為奇函數(shù)，則，又因?yàn)?，所以，即，所以所以的周期?，，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.故選：C.8．【答案】C【詳解】解：由題意得：，故選：C．9．【答案】CD【分析】先將化簡成，再分別比對解出答案即可.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以的虛部為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，，故選項(xiàng)C正確；對于D，為純虛數(shù)，故選項(xiàng)D正確.故選CD.10．【答案】AC【分析】先化簡，當(dāng)時(shí)取得最大值2，求出.與直線最近的一個(gè)零點(diǎn)為，求出，繼而求出.則可求.然后算出最小正周期，單調(diào)增區(qū)間，對稱中心，結(jié)合圖象變換，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】根據(jù)題意，化簡，當(dāng)時(shí)取得最大值2，則.與直線最近的一個(gè)零點(diǎn)為，則，則，則.則.當(dāng)時(shí)取得最大值，則，，則，則，則的最小正周期為，A正確；令則則的單調(diào)遞增區(qū)間為故B錯(cuò)誤;的圖象向右平移個(gè)單位長度得到,故C正確；，由于為奇函數(shù)，則令，則.故D錯(cuò)誤.故選AC.11．【答案】ACD【詳解】對于A，為正方形底面內(nèi)一點(diǎn)時(shí)，由，三棱錐的高不變，底面積也不變，所以體積為定值，故A正確；對于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，若，則，所以即，此時(shí)點(diǎn)不在底面內(nèi)，與題意矛盾，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)椋?，，所以即，所以的軌跡就是線段，故C正確；對于D，因?yàn)?，，又平面，平面，，所以平面，因?yàn)槊嫫矫?，異面，平面，所以平面，以為參照線作出平面與正方體各個(gè)側(cè)面的交線，如圖所示，易知每個(gè)側(cè)面的交線均相等，長度為正方體的面對角線的一半，由于正方體的棱長為，故面對角線長為，所以截面周長為，故D正確．故選：ACD.12．【答案】.【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，列出方程求得，得到，結(jié)合向量模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由向量滿足，因?yàn)?，可得，解得，即，所?故答案為：.13．【答案】/0.56【分析】小耿與小吳恰有1人會(huì)答，包括兩種情況.運(yùn)用獨(dú)立事件概率乘法公式分別求出概率，再相加即可.【詳解】小耿與小吳恰有1人會(huì)答，包括兩種情況，小耿會(huì)小吳不會(huì)和小吳會(huì)小耿不會(huì).則小耿與小吳恰有1人會(huì)答的概率為.故答案為：.14．【答案】4【詳解】根據(jù)題意有，，可得，即設(shè)污染物消除至最初的還需要過濾x小時(shí)，則，即則，即，則，解之得故答案為：415．【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用頻率之和為1，求出m,再用平均值計(jì)算公式算出平均值即可；（2）先按照分層抽樣確定和內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，再結(jié)合列舉法，用古典概型求解概率即可.【詳解】（1）頻率之和為1,則，解得.則,則平均分成績?yōu)?（2）根據(jù)分層抽樣，知道和內(nèi)的學(xué)生比為.則抽取的5人中有2個(gè)來自層，設(shè)為．3個(gè)來自層，設(shè)為.再從這5人中隨機(jī)抽取2人,總共有10種可能，分別為:.這2人成績都在內(nèi)的有,共3種.故所求概率為.16．【答案】(1)5(2)【詳解】（1）由已知，即，因?yàn)?，即，解得；?）依題意，由，得，解得，，∴.∵，，∴，又，∴，∴，∴.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積公式，再用正弦定理邊角互化，最后用余弦定理計(jì)算即可；（2）用第一問的結(jié)論，結(jié)合基本不等式可解.【詳解】（1）即，由正弦定理角化邊得，即，則,由于,則.（2），，則，即，由不等式知道，（當(dāng)且僅當(dāng)取最值），即.由三角形面積公式知道，（當(dāng)且僅當(dāng)取最值）.故的面積的最大值為.18．【答案】(1)證明見解析(2);(3)存在,且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?則,,因?yàn)?,,且兩直線在平面內(nèi)，∴⊥平面,∵平面,∴,因?yàn)?,,且兩直線在平面內(nèi)∴⊥平面,∵平面,∴,∵,且兩直線在平面內(nèi)∴⊥平面.（2）因?yàn)椤推矫?,不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、,設(shè)平面的法向量為,則,,,由,取,可得,,所以,與平面所成角的正弦值為;（3）設(shè)點(diǎn),設(shè)平面的法向量為,,,由,取,則,所以,點(diǎn)到平面的距離為,∵,∴．因此,當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)到平面的距離為．19．【答案】(1)函數(shù)在上是，函數(shù)在上不是；(2)1；(3).【分析】（1）根據(jù)定義，令k=1，作差，與0比較大小即可；（2）根據(jù)定義，轉(zhuǎn)化為恒成立即可；（3）先求出的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍.【詳解】（1）由題知，函數(shù)，定義域?yàn)?，所以，所以函?shù)在上是“1-利普希茲條件函數(shù)”，函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)在上不是“1-利普希茲條件函數(shù)”.（2）若函數(shù)是“利普希茲條件