專項21-解一元二次方程-重難點題型

解一元二次方程-重難點題型【題型1用指定方法解一元二次方程】【例1】（新市區(qū)校級月考）用指定方法解方程：（1）（2x﹣3）2﹣121＝0．（直接開平方法）（2）x2﹣4x﹣7＝0．（配方法）（3）x2﹣5x+1＝0．（公式法）（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．（因式分解法）【變式1-1】（上栗縣校級月考）按指定的方法解下列方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0（配方法）（2）2x﹣6＝（x﹣3）2（因式分解法）（3）3x2﹣4x+1＝0（公式法）（4）5（x+1）2＝10（直接開平方法）【變式1-2】（盱眙縣校級月考）用指定方法解下列一元二次方程．（1）x2﹣36＝0（直接開平方法）（2）x2﹣4x＝2（配方法）（3）2x2﹣5x+1＝0（公式法）（4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0（因式分解法）【變式1-3】（諸城市期末）用指定的方法解下列方程（1）2x2+3x＝1（配方法）（2）2x2+5x﹣3＝0（公式法）（3）2y2﹣42y＝0（因式分解法）（4）x2﹣5x﹣14＝0（因式分解法）【題型2選擇適當(dāng)方法解一元二次方程】【例2】（宜興市月考）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋海?）2（2x+1）2﹣18＝0；（2）（x﹣5）＝（x﹣5）2；（3）x2﹣5x﹣24＝0；（4）（x+1）（x+8）＝﹣12．【變式2-1】（站前區(qū)校級期中）用適當(dāng)方法解方程：（1）（x﹣1）2＝9．（2）x2﹣4x﹣7＝0．（2）x2+4x﹣5＝0．（4）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．【變式2-2】（如東縣校級月考）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）2（x﹣1）2＝18；（2）x2﹣2x＝2x+1；（3）（3y﹣1）（y+1）＝4；（4）x（2x+3）＝2x+3．【變式2-3】（河?xùn)|區(qū)期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）25y2﹣16＝0；（2）y2+2y﹣99＝0；（3）3x2+2x﹣3＝0．（4）（2x+1）2＝3（2x+1）；【題型3用換元法解一元二次方程】【例3】（太原期末）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0時，我們將x2﹣1作為一個整體，設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程化為y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．當(dāng)y＝0時，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．當(dāng)y＝3時，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．所以，原方程的解為x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．【變式3-1】（蘭州期中）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0時，我們可以將x﹣1看成一個整體，設(shè)x﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y＝1時，即x﹣1＝1，解得x＝2；當(dāng)y＝4時，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解為x1＝2，x2＝5．請利用這種方法求下列方程：（1）（2x+5）2﹣（2x+5）﹣2＝0；（2）32x﹣4×3x+3＝0．【變式3-2】（香洲區(qū)校級月考）閱讀材料并回答下面的問題：為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將x2﹣1看成為一個整體，然后設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程化為y2﹣5y+4＝0①，解得：y1＝1，y2＝4．當(dāng)y＝1時，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x＝±2；當(dāng)y＝4時，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5；∴原方程的根為：x1=2，x2=?2，x3=5，x在由原方程得到方程①的解題過程中，利用換元法達到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，請利用以上方法解方程：①x4﹣x2﹣6＝0；②（x2+3）2﹣9（x2+3）+20＝0．【變式3-3】（渝中區(qū)校級三模）閱讀下列材料：已知實數(shù)m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值解：設(shè)2m2+n2＝t，則原方程變?yōu)椋╰+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9因為2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．（1）已知實數(shù)x，y滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．（2）若四個連續(xù)正整數(shù)的積為11880，求這四個連續(xù)正整數(shù)．【題型4含絕對值的一元二次方程的解法】【例4】（西城區(qū)校級期中）閱讀下面的例題：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．解：（1）當(dāng)x≥0時，原方程化為x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合題意，舍）．（2）當(dāng)x＜0時，原方程化為x2+x﹣2＝0，①解得：．②綜上，原方程的根是．③請參照例題解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，則此方程的根是．【變式4-1】（蚌埠月考）閱讀下面的例題：解方程m2﹣|m|﹣2＝0的過程如下：（1）當(dāng)m≥0時，原方程化為m2﹣m﹣2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1（舍去）．（2）當(dāng)m＜0時，原方程可化為m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1（舍去）．原方程的解：m1＝2，m2＝﹣2．請參照例題解方程：m2﹣|m﹣1|﹣1＝0．【變式4-2】（綦江區(qū)校級月考）閱讀理解下列材料，然后回答問題：解方程：x2﹣3|x|+2＝0．解：（1）當(dāng)x≥0時，原方程化為x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1；（2）當(dāng)x＜0時，原方程化為x2+3x+2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2；∴原方程的根是x1＝2，x2＝1，x3＝﹣1，x4＝﹣2．請觀察上述方程的求解過程，試解方程x2﹣2|x﹣1|﹣1＝0．【變式4-3】（富順縣校級期中）閱讀下面例題的解題過程，體會、理解其方法，并借鑒該例題的解法解方程．例：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0解：當(dāng)x≥0時，原方程化為x2﹣x﹣2＝0．解得：x1＝2，x2＝﹣1∵x≥0，故x＝﹣1舍去，∴x＝2是原方程的解；當(dāng)x＜0時，原方程化為x2+x﹣2＝0．解得：x1＝﹣2，x2＝1∵x＜0，故x＝1舍去，∴x＝﹣2是原方程的解；綜上所述，原方程的解為x1＝2，x1＝﹣2．解方程x2+2|x+2|﹣4＝0．

解一元二次方程-重難點題型【題型1用指定方法解一元二次方程】【例1】（新市區(qū)校級月考）用指定方法解方程：（1）（2x﹣3）2﹣121＝0．（直接開平方法）（2）x2﹣4x﹣7＝0．（配方法）（3）x2﹣5x+1＝0．（公式法）（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．（因式分解法）【分析】（1）利用直接開平方法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可；（3）利用公式法解方程即可；（4）利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）∵（2x﹣3）2﹣121＝0，∴（2x﹣3）2＝121，∴2x﹣3＝±11，∴2x﹣3＝11或2x﹣3＝﹣11，∴x1＝7，x2＝﹣4；（2）∵x2﹣4x﹣7＝0，∴x2﹣4x+4＝7+4，∴（x﹣2）2＝11，∴x﹣2＝±11，∴x﹣2=11或x﹣2=?∴x1=11+2，x2＝2（3）∵x2﹣5x+1＝0，∴a＝1，b＝﹣5，c＝1，∴△＝b2﹣4ac＝21，∴x=?b±∴x1=5+212，x（4）∵3（x﹣2）2＝x（x﹣2），∴3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0，∴x﹣2＝0或2x﹣6＝0，∴x1＝2，x2＝3．【點評】本題考查了解一元二次方程的方法，解決本題的關(guān)鍵是靈活運用解一元二次方程的方法．【變式1-1】（上栗縣校級月考）按指定的方法解下列方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0（配方法）（2）2x﹣6＝（x﹣3）2（因式分解法）（3）3x2﹣4x+1＝0（公式法）（4）5（x+1）2＝10（直接開平方法）【分析】（1）利用配方法解出方程；（2）利用因式分解法解出方程；（3）利用公式法解出方程；（4）利用直接開平方法解出方程．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0x2﹣6x+9＝7+9（x﹣3）2＝16x﹣3＝±4x1＝7，x2＝﹣1；（2）2x﹣6＝（x﹣3）2（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0x1＝3，x2＝5；（3）3x2﹣4x+1＝0x=x1＝1，x2=1（4）5（x+1）2＝10x+1＝±2x1=2?1，x2【點評】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握直接開平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（盱眙縣校級月考）用指定方法解下列一元二次方程．（1）x2﹣36＝0（直接開平方法）（2）x2﹣4x＝2（配方法）（3）2x2﹣5x+1＝0（公式法）（4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0（因式分解法）【分析】（1）直接開平方法求解；（2）配方法求解可得；（3）公式法求解即可；（4）因式分解法解之可得．【解答】解：（1）x2＝36，∴x＝±6，即x1＝﹣6，x2＝6；（2）x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6，∴x﹣2=±6∴x1＝2?6，x2＝2+（3）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，∴b2﹣4ac＝25﹣8＝17＞0，∴x=5±即x1=5?174，x（4）（x+1+4）2＝0，即（x+5）2＝0，∴x+5＝0，即x1＝x2＝﹣5．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，根據(jù)不同的方程選擇合適的方法是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（諸城市期末）用指定的方法解下列方程（1）2x2+3x＝1（配方法）（2）2x2+5x﹣3＝0（公式法）（3）2y2﹣42y＝0（因式分解法）（4）x2﹣5x﹣14＝0（因式分解法）【分析】（1）首先二次項系數(shù)化1，進而利用完全平方公式配方得出答案；（2）首先得出b2﹣4ac＝25﹣4×2×（﹣3）＝49＞0，再利用求根公式得出答案；（3）直接利用提取公因式法分解因式進而解方程即可；（4）直接利用十字相乘法分解因式，進而解方程即可．【解答】解：（1）2x2+3x＝1（配方法）x2+32x（x+34）2則：x+34=解得：x1=?3+174，x（2）2x2+5x﹣3＝0（公式法）∵b2﹣4ac＝25﹣4×2×（﹣3）＝49＞0，∴x=?5±解得：x1＝﹣3，x2=1（3）2y2﹣42y＝0（因式分解法）2y（y﹣22）＝0，解得：y1＝0，y2＝22；（4）x2﹣5x﹣14＝0（因式分解法）（x﹣7）（x+2）＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣2．【點評】此題主要考查了配方法以及公式法和因式分解法解方程，熟練應(yīng)用各種解方程方法是解題關(guān)鍵．【題型2選擇適當(dāng)方法解一元二次方程】【例2】（宜興市月考）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋海?）2（2x+1）2﹣18＝0；（2）（x﹣5）＝（x﹣5）2；（3）x2﹣5x﹣24＝0；（4）（x+1）（x+8）＝﹣12．【分析】（1）利用直接開方法解即可；（2）（3）（4）利用因式分解法解即可．【解答】解：（1）2（2x+1）2﹣18＝0，移項得：（2x+1）2＝9，∴2x+1＝±3，∴x1＝1，x2＝﹣2；（2）（x﹣5）＝（x﹣5）2，移項得：（x﹣5）﹣（x﹣5）2＝0，因式分解得：（x﹣5）[1﹣（x﹣5）]＝0，∴x﹣5＝0或1﹣x+5＝0，∴x1＝6，x2＝6；（3）x2﹣5x﹣24＝0，（x﹣8）（x+3）＝0，∴x﹣8＝0或x+3＝0，∴x1＝8，x2＝﹣3；（4）（x+1）（x+8）＝﹣12．整理得：x2+9x+20＝0，因式分解得：（x+4）（x+5）＝0，∴x+4＝0或x+5＝0，∴x1＝﹣4，x2＝﹣5．【點評】本題考查解一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解法，學(xué)會根據(jù)方程的特點采用適當(dāng)?shù)慕夥ǎ咀兪?-1】（站前區(qū)校級期中）用適當(dāng)方法解方程：（1）（x﹣1）2＝9．（2）x2﹣4x﹣7＝0．（2）x2+4x﹣5＝0．（4）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；（2）利用配方法求解即可；（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用因式分解法求解即可．【解答】（1）（x﹣1）2＝9．解：兩邊開方得：x﹣1＝±3，解得：x1＝4，x2＝﹣2．（2）x2﹣4x﹣7＝0．解：移項得：x2﹣4x＝7，配方得：x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，開方得：x﹣2＝±11，∴原方程的解是：x1＝2+11，x2＝2?（3）x2+4x﹣5＝0．解：因式分解得（x+5）（x﹣1）＝0，∴x+5＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣5，x2＝1；（4）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．解：3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（3x﹣2）＝0，∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0，∴x1＝2，x2=2【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（如東縣校級月考）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）2（x﹣1）2＝18；（2）x2﹣2x＝2x+1；（3）（3y﹣1）（y+1）＝4；（4）x（2x+3）＝2x+3．【分析】（1）根據(jù)直接開方法即可求出答案；（2）根據(jù)配方法即可求出答案；（3）根據(jù)因式分解法即可求出答案；（4）根據(jù)因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）方程兩邊除以2，得：（x﹣1）2＝9，則x﹣1＝3或﹣3，則x1＝4，x2＝﹣2；（2）原方程可整理為：x2﹣4x+4＝5，則（x﹣2）2＝5，則x﹣2=5或?解得：x1＝2+5，x2＝2?（3）整理，得：3y2+2y﹣5＝0，分解因式得：（y﹣1）（3y+5）＝0，則y﹣1＝0或3y+5＝0，解得：y1＝1，y2=?5（4）移項，得：x（2x+3）﹣（2x+3）＝0，分解因式得：（2x+3）（x﹣1）＝0，則2x+3＝0或x﹣1＝0，解得：x1=?32，x【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．【變式2-3】（河?xùn)|區(qū)期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）25y2﹣16＝0；（2）y2+2y﹣99＝0；（3）3x2+2x﹣3＝0．（4）（2x+1）2＝3（2x+1）；【分析】（1）用直接開平方法解方程；（2）用因式分解法解方程；（3）用公式法解方程；（2）用因式分解法解方程．【解答】解：（1）25y2﹣16＝0y2=y＝±4∴y1=45，y（2）y2+2y﹣99＝0（y+11）（y﹣9）＝0y1＝﹣11，y2＝9（3）3x2+2x﹣3＝0∵a＝3，b＝2，c＝﹣3∴△＝4+36＝40∴x=∴x1=?1+103，（4）（2x+1）2＝3（2x+1）；（2x+1）（2x+1﹣3）＝0x1=?12，x【點評】本題考查了一元二次的解法，根據(jù)不同的題目選擇恰當(dāng)?shù)囊辉畏匠痰慕夥ㄊ潜绢}的關(guān)鍵．【題型3用換元法解一元二次方程】【例3】（太原期末）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0時，我們將x2﹣1作為一個整體，設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程化為y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．當(dāng)y＝0時，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．當(dāng)y＝3時，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．所以，原方程的解為x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．【分析】設(shè)x2+2x＝m，用m代替方程中的x2+2x，然后解關(guān)于m的一元二次方程，然后再來求關(guān)于x的一元二次方程．【解答】解：設(shè)x2+2x＝m，則m2﹣2m﹣3＝0，∴（m﹣3）（m+1）＝0，∴m﹣3＝0或m+1＝0，解得m＝3或m＝﹣1，當(dāng)m＝3時，x2+2x＝3，即x2+2x﹣3＝0，∴（x+3）（x﹣1）＝0，則x+3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1；當(dāng)m＝﹣1時，x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，解得x3＝x4＝﹣1；綜上，原方程的解為x1＝﹣3，x2＝1，x3＝x4＝﹣1．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（蘭州期中）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0時，我們可以將x﹣1看成一個整體，設(shè)x﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y＝1時，即x﹣1＝1，解得x＝2；當(dāng)y＝4時，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解為x1＝2，x2＝5．請利用這種方法求下列方程：（1）（2x+5）2﹣（2x+5）﹣2＝0；（2）32x﹣4×3x+3＝0．【分析】根據(jù)題意給出的方法以及根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）設(shè)2x+5＝y(tǒng)，則原方程可化為y2﹣y﹣2＝0，∴（y﹣2）（y+1）＝0，解得y1＝2，y2＝﹣1．當(dāng)y＝2時，即2x+5＝2，解得x＝﹣1.5；當(dāng)y＝﹣1時，即2x+5＝﹣1，解得x＝﹣3，所以原方程的解為x1＝﹣1.5，x2＝﹣3；（2）原方程可變形為（3x）2﹣4×3x+3＝0，設(shè)3x＝t，則原方程可化為t2﹣4t+3＝0，解得t1＝1，t2＝3．當(dāng)t＝1時，即3x＝1，解得x＝0；當(dāng)t＝3時，即3x＝3，解得x＝1，所以原方程的解為x1＝0，x2＝1．【點評】本題考查解一元二次方程，換元法解方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式3-2】（香洲區(qū)校級月考）閱讀材料并回答下面的問題：為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將x2﹣1看成為一個整體，然后設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程化為y2﹣5y+4＝0①，解得：y1＝1，y2＝4．當(dāng)y＝1時，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x＝±2；當(dāng)y＝4時，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5；∴原方程的根為：x1=2，x2=?2，x3=5，x在由原方程得到方程①的解題過程中，利用換元法達到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，請利用以上方法解方程：①x4﹣x2﹣6＝0；②（x2+3）2﹣9（x2+3）+20＝0．【分析】根據(jù)題意給出的方法以及根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：①令t＝x2，∴t≥0，∴原方程化為：t2﹣t﹣6＝0，∴（t﹣3）（t+2）＝0，∴t＝3或t＝﹣2（舍去），∴x2＝3，∴原方程的根為x＝±3．（2）令t＝x2+3，∴t≥3，∴原方程化為：t2﹣9t+20＝0，∴（t﹣4）（t﹣5）＝0，∴t＝4或t＝5，當(dāng)t＝4時，∴x2+3＝4，∴x＝±1，當(dāng)t＝5時，∴x2+3＝5，∴x＝±2．綜上所述，原方程的根為x＝±1或x＝±2．【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式3-3】（渝中區(qū)校級三模）閱讀下列材料：已知實數(shù)m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值解：設(shè)2m2+n2＝t，則原方程變?yōu)椋╰+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9因為2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．（1）已知實數(shù)x，y滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．（2）若四個連續(xù)正整數(shù)的積為11880，求這四個連續(xù)正整數(shù)．【分析】（1）設(shè)2x2+2y2＝a，則原方程化為（a+3）（a﹣3）＝27，求出a，再求出x2+y2即可；（1）設(shè)最小的正整數(shù)為x，則另三個分別為x+1、x+2、x+3，列方程，并同理利用換元法解方程即可．【解答】解：（1）設(shè)2x2+2y2＝a，則原方程變?yōu)椋╝+3）（a﹣3）＝27，整理得a2﹣9＝27，a2＝36，∴a＝±6，因為2x2+2y2≥0，所以2x2+2y2＝6，x2+y2＝3，（2）設(shè)最小的正整數(shù)為x，則另三個分別為x+1、x+2、x+3，根據(jù)題意得：x（x+1）（x+2）（x+3）＝11880，[x（x+3）][（x+1）（x+2）]＝11880，（x2+3x）（x2+3x+2）＝11880，設(shè)x2+3x＝a，則原方程變?yōu)閍（a+2）＝11880，整理得a2+2a＝11880，a2+2a+1＝11881，（a+1）2＝11881，a+1＝±109，∴a＝108或﹣110，∵a是正整數(shù)，∴a＝108，∴x2+3x＝108，x＝9或﹣12（舍）答：這四個連續(xù)正整數(shù)分別是9，10，11，12．【點評】本題考查了解一元二次方程、解高次方程和分解因式等知識點，能正確進行換元是解此題的關(guān)鍵．【題型4含絕對值的一元二次方程的解法】【例4】（西城區(qū)校級期中）閱讀下面的例題：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．解：（1）當(dāng)x≥0時，原方程化為x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合題意，舍）．（2）當(dāng)x＜0時，原方程化為x2+x﹣2＝0，①解得：．②綜上，原方程的根是．③請參照例題解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，則此方程的根是．【分析】去掉絕對值，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：①當(dāng)x＜0時，原方程化為x2+x﹣2＝0，解這個方程，x1＝﹣2，x2＝1（不合題意，舍去）．故答案為：x1＝﹣2，x2＝1（不合題意，舍去）．②綜上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2；故答案為：x1＝2，x2＝﹣2；③當(dāng)x≥3時，原方程化為x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1（均不合題意，舍）．當(dāng)x＜3時，原方程化為x2+x﹣6＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3．∴原方程的根為x1＝2，x2＝﹣3．故答案為：x1＝2，x2＝﹣3．【點評】本題考查了因式分解法解一元二次方程，讀懂題目信息，理解分情況討論去掉絕對值號把方程整理成一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（蚌埠月考）閱讀下面的例題：解方程m2﹣|m|﹣2＝0的過程如下：（1）當(dāng)m≥0時，原方程化為m2﹣m﹣2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1（舍去）．（2）當(dāng)m＜0時，原方程可化為m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1（舍去）．原方程的解：m1＝2，m2＝﹣2．請參照例題解方程：m2﹣|m﹣1|﹣1＝0．【分析】分類討論：當(dāng)m≥1時，原方程化為m2﹣m＝0；當(dāng)m＜1時，原方程可化為m2+m﹣2＝0，然后利用因式分解法解兩個方程，再利用m的范圍確定滿足原方程的解．【解答】解：當(dāng)m≥1時，原方程化為m2﹣m＝0，解得