工程數(shù)學(xué) - 第七章 概 率 論

工程數(shù)學(xué)主

編

馬玉

高琰

盧靜概率論第七章目錄隨機事件01隨機事件的概率02條件概率和全概率公式03事件的獨立性與伯努利概型04CONTENTS行業(yè)PPT模板/hangye/隨機變量及分布函數(shù)05隨機變量的數(shù)字特征06MATLAB應(yīng)用07第一節(jié)隨機事件01一、隨機現(xiàn)象與隨機事件01

在一定條件下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象(必然現(xiàn)象).例如,在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,純水加熱到100℃時必然沸騰.在一定條件下,事先不能斷言出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.例如,一門炮向某一目標(biāo)射擊,每次彈著點的位置是隨機現(xiàn)象.在自然界、生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗中,人們觀察到的現(xiàn)象一般可分為確定性現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象兩大類.

隨機試驗的每一個可能發(fā)生的結(jié)果稱為隨機事件,簡稱事件,通常用大寫字母A、B、C表示.不能再分解的隨機事件稱為基本事件,例如,擲一枚骰子,“出現(xiàn)1點”“出現(xiàn)2點”各是一個隨機事件,由于它們不能再分解,所以它們都是基本事件;而“出現(xiàn)偶數(shù)點”“出現(xiàn)奇數(shù)點”各是一個隨機事件,由于它們還可以再分解,例如,“出現(xiàn)偶數(shù)點”可以分解為“出現(xiàn)4點”或“出現(xiàn)6點”,所以它們不是基本事件.

必然事件Ω:一次隨機試驗中,必然會發(fā)生的隨機事件.

不可能事件Φ:一次隨機試驗中,不可能會發(fā)生的隨機事件.

必然事件和不可能事件都屬于確定性現(xiàn)象,但為了方便研究問題,我們?nèi)匀话阉鼈儺?dāng)作隨機事件,是隨機事件的兩個特殊情形.01二、事件間的關(guān)系及運算(1)包含關(guān)系:如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則稱事件A包含于事件B或稱為事件B包含事件A,記作A?B或B?A.(2)相等關(guān)系:如果A?B,B?A同時成立,則稱事件A與事件B相等,記作A=B.(3)互不相容事件(互斥事件):若事件A與B不能同時發(fā)生,即AB=Φ,則稱事件A與B互不相容(或互斥),如圖7-1所示.事件間的運算主要有以下三種.(一)事件的和(并)由事件A與B至少有一個發(fā)生構(gòu)成的事件,稱為事件A與B的和(并),記作A+B或A∪B,如圖7-2陰影部分所示.對任意事件A,有A+A=A,A+Ω=Ω,A+Φ=A.01(二)事件的積(交)

由事件A與B同時發(fā)生構(gòu)成的事件,稱為事件A與B的積(交),記作AB或A∩B,如圖7-3陰影部分所示.對任意事件A,有A·A=A,A·Ω=A,A·Φ=Φ.(三)互逆事件(對立事件)

若事件A與B滿足A+B=Ω,AB=Φ,則稱事件A與B互逆(或?qū)α?,如圖7-4所示,事件A的逆事件記作A,即B=A.對任意事件A,有A+A=Ω,AA=Φ,A=A.第二節(jié)隨機事件的概率02一、概率的統(tǒng)計定義02二、古典概型02三、概率的加法公式02第三節(jié)條件概率和全概率公式03一、條件概率03二、乘法公式03將條件概率公式以另一種形式寫出,就是乘法公式的一般形式.乘法公式:P(AB)=P(A)P(BA),其中P(A)>0;或P(AB)=P(B)P(AB),其中P(B)>0.三、全概率公式03第四節(jié)事件的獨立性與

伯努利概型0404一、事件的獨立性二、伯努利概型04第五節(jié)隨機變量及分布函數(shù)05一、隨機變量的定義05二、隨機變量的分類05三、分布函數(shù)及其基本性質(zhì)05四、幾種常見的離散型隨機變量的分布05

(一)兩點分布(0-1分布)

若隨機變量X只取0,1兩個值,且

P(X=0)=q=1-p,P(X=1)=p,p+q=1則稱X服從兩點分布或0-1分布.

(二)二項分布

設(shè)隨機變量X的概率分布為

(三)泊松分布

設(shè)隨機變量X取值為0,1,2,…,其相應(yīng)的概率分布為五、幾種常見的連續(xù)型隨機變量的分布05

(一)均勻分布

如果隨機變量X的概率密度是則稱X服從[a,b]上的均勻分布,記作X~U(a,b).

(二)正態(tài)分布

若連續(xù)型隨機變量X概率密度函數(shù)為

其中,μ,σ為常數(shù),且σ>0,則稱隨機變量ξ服從參數(shù)為μ,σ的正態(tài)分布(或稱高斯分布),記作X~N(μ,σ2),正態(tài)分布的圖像如圖7-5所示.05

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f(x)具有概率密度的全部性質(zhì),而且借助微積分的知識容易得到如下性質(zhì):

綜合兩個參數(shù)的性質(zhì),結(jié)合圖7-6還可看出:參數(shù)μ只決定曲線的中心位置,而不影響曲線的形狀.參數(shù)σ決定曲線的形狀而不影響曲線的中心位置,它反映了分布所取數(shù)據(jù)的離散程度.簡單地說,σ小則“峰”高而陡峭,σ大則“峰”低而平緩.05(三)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第六節(jié)隨機變量的數(shù)字特征0606一、數(shù)學(xué)期望

(一)離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

定義7.6.1離散型隨機變量X的所有可能取值xk(k=1,2,…,n)與其相應(yīng)的概率Pk的乘積之和,稱為X的數(shù)學(xué)期望,簡稱期望或均值,記作E(X),即

(二)連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望(三)隨機變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)E(C)=C,C為常數(shù);(2)E(aX+b)=a·E(X)+b(a,b為常數(shù)).06二、方差06三、常用分布的期望與方差(一)兩點分布

若X的分布列是P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q,則E(X)=p,D(X)=p·