2025《金版教程•高考數(shù)學復習創(chuàng)新方案》第6節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

第六節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)課標解讀考向預測1.理解對數(shù)的概念和運算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).2.了解對數(shù)函數(shù)的概念，會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與其圖象上的特殊點.3.知道對數(shù)函數(shù)y＝logax與指數(shù)函數(shù)y＝ax互為反函數(shù)(a>0，且a≠1).對數(shù)函數(shù)中利用性質(zhì)比較對數(shù)值大小，求對數(shù)函數(shù)的定義域、值域、最值等是近幾年高考考查的熱點，題型多以選擇題、填空題為主，屬于中檔題．預計2025年高考可能會考查對數(shù)函數(shù)的圖象以及單調(diào)性等性質(zhì)，題型為選擇題或填空題，難度中檔；也可能會以對數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)為載體，結(jié)合新定義、初等數(shù)論等以創(chuàng)新型題目出現(xiàn)在第19題，難度較大.必備知識——強基礎1．對數(shù)的概念(1)定義：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)eq\x(\s\up1(01))x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝eq\x(\s\up1(02))logaN，其中a叫做對數(shù)的eq\x(\s\up1(03))底數(shù)，N叫做eq\x(\s\up1(04))真數(shù)．(2)常用對數(shù)和自然對數(shù)①常用對數(shù)：以eq\x(\s\up1(05))10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把log10N記為eq\x(\s\up1(06))lg__N．②自然對數(shù)：以eq\x(\s\up1(07))e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，并把logeN記為eq\x(\s\up1(08))ln__N．2．對數(shù)的性質(zhì)(1)eq\x(\s\up1(09))負數(shù)和0沒有對數(shù)；(2)loga1＝eq\x(\s\up1(10))0；(3)logaa＝eq\x(\s\up1(11))1；(4)對數(shù)恒等式：alogaN＝eq\x(\s\up1(12))N；logaab＝eq\x(\s\up1(13))b(a>0，且a≠1)．3．對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝eq\x(\s\up1(14))logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝eq\x(\s\up1(15))logaM－logaN；(3)logaMn＝eq\x(\s\up1(16))nlogaM(n∈R)．4．換底公式：logab＝eq\x(\s\up1(17))eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．5．對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)eq\x(\s\up1(18))y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是eq\x(\s\up1(19))(0，＋∞)．(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域eq\x(\s\up1(20))(0，＋∞)值域eq\x(\s\up1(21))R性質(zhì)當x＝1時，y＝0，即圖象過定點eq\x(\s\up1(22))(1，0)當x>1時，y>0；當0<x<1時，y<0當x>1時，y<0；當0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是eq\x(\s\up1(23))增函數(shù)在(0，＋∞)上是eq\x(\s\up1(24))減函數(shù)6.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)eq\x(\s\up1(25))y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線eq\x(\s\up1(26))y＝x對稱．它們的定義域和值域正好互換．1．對數(shù)運算的兩個重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0)．2．對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標為相應的底數(shù)．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大．3．對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函數(shù)圖象只在第一、四象限．4．對于函數(shù)f(x)＝|logax|(a>0，且a≠1)，若f(m)＝f(n)(m≠n)，則必有mn＝1.1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.()(2)logax·logay＝loga(x＋y)．()(3)log2x2＝2log2x.()(4)函數(shù)y＝log2x與y＝logeq\s\up-7(\f(1,2))eq\f(1,x)的圖象重合．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小題熱身(1)(人教A必修第一冊習題4.3T5改編)設lg2＝a，lg3＝b，則log1210＝()A.eq\f(1,2a＋b) B.eq\f(1,a＋2b)C．2a＋b D．2b＋a答案A解析log1210＝eq\f(1,lg12)＝eq\f(1,lg3＋2lg2)＝eq\f(1,2a＋b).(2)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lgx的定義域和值域相同的是()A．y＝x B．y＝lgxC．y＝2x D．y＝eq\f(1,\r(x))答案D(3)已知實數(shù)a＝log32，b＝log2π，c＝log2eq\r(10)，則()A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．c<a<b D．c<b<a答案A(4)(人教B必修第二冊4.2.3嘗試與發(fā)現(xiàn)(2)改編)已知函數(shù)y＝loga(x－3)－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點P，則點P的坐標是________．答案(4，－1)考點探究——提素養(yǎng)考點一對數(shù)的概念與運算例1(1)(多選)下列各式化簡運算結(jié)果為1的是()A．log53×log32×log25B．lgeq\r(2)＋eq\f(1,2)lg5C．logeq\r(a)a2(a>0，且a≠1)D．eln3－0.125eq\s\up7(-\f(1,3))答案AD解析對于A，原式＝eq\f(lg3,lg5)×eq\f(lg2,lg3)×eq\f(lg5,lg2)＝1；對于B，原式＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg(2×5)＝eq\f(1,2)；對于C，原式＝2logeq\r(a)a＝2×2＝4；對于D，原式＝3－8eq\s\up7(\f(1,3))＝3－2＝1.故選AD.(2)已知正實數(shù)x，y，z滿足3x＝4y＝(2eq\r(3))z，則()A.eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,z) B.eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)C.eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(2,z) D.eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)＝eq\f(2,y)答案C解析令3x＝4y＝(2eq\r(3))z＝a，則x＝log3a，y＝log4a，z＝log2eq\r(3)a，故eq\f(1,x)＝loga3，eq\f(1,y)＝loga4，eq\f(1,z)＝loga2eq\r(3)，故eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝loga12＝2logaeq\r(12)＝eq\f(2,z).故選C.【通性通法】對數(shù)運算的一般思路轉(zhuǎn)化利用ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)對題目條件進行轉(zhuǎn)化利用換底公式轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的對數(shù)運算恒等式注意loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N(a>0，且a≠1)的應用拆分將真數(shù)化為積、商或底數(shù)的指數(shù)冪形式，正用對數(shù)的運算法則化簡合并將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)形式，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算注意：利用常用對數(shù)中的lg2＋lg5＝1.【鞏固遷移】1．化簡(2log43＋log83)(log32＋log92)的值為()A．1 B．2C．4 D．6答案B解析原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,2)log23＋\f(1,3)log23))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(1,2)log32))＝eq\f(4,3)log23×eq\f(3,2)log32＝2.故選B.2．(多選)(2024·江蘇連云港灌南高級中學、灌云高級中學高三聯(lián)考)若10a＝4，10b＝25，則()A．a(chǎn)＋b＝2 B．b－a＝1C．a(chǎn)b>(lg2)2 D．b－a>lg6答案ACD解析由10a＝4，10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25，所以a＋b＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A正確；因為b－a＝lg25－lg4＝lgeq\f(25,4)<lg10＝1，故B錯誤；因為ab＝lg4·lg25>lg2·lg2＝(lg2)2，故C正確；因為b－a＝lg25－lg4＝lgeq\f(25,4)>lgeq\f(24,4)＝lg6，故D正確．故選ACD.3．(2024·江蘇南通高三教學質(zhì)量監(jiān)測)已知樹木樣本中碳-14含量與樹齡之間的函數(shù)關系式為k＝k0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(n,5730))，其中k0為樹木最初生長時的碳-14含量，n(單位：年)為樹齡，通過測定發(fā)現(xiàn)某古樹樣品中碳-14含量為0.6k0，則該古樹的樹齡約為________萬年．(精確到0.01，lg3≈0.48，lg5≈0.70)答案0.42解析由題意，得0.6k0＝k0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(n,5730))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(n,5730))＝eq\f(3,5)，兩邊取對數(shù)，得eq\f(n,5730)lgeq\f(1,2)＝lgeq\f(3,5)，變形，得n＝eq\f(lg5－lg3,lg2)×5730＝eq\f(lg5－lg3,1－lg5)×5730，因為lg3≈0.48，lg5≈0.70，所以n≈eq\f(0.70－0.48,1－0.70)×5730＝4202，故該古樹的樹齡約為0.42萬年．考點二對數(shù)函數(shù)的圖象及其應用例2(1)已知函數(shù)f(x)＝ax＋b的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝loga(|x|＋b)的圖象可以是()答案D解析由函數(shù)f(x)＝ax＋b的圖象，可知0<a<1，－1<b<0，函數(shù)y＝g(x)＝loga(|x|＋b)的定義域為(－∞，b)∪(－b，＋∞)，且g(－x)＝loga(|－x|＋b)＝loga(|x|＋b)＝g(x)，即函數(shù)y＝loga(|x|＋b)為偶函數(shù)．又函數(shù)y＝loga(|x|＋b)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga(x＋b)，x>－b,loga(－x＋b)，x<b,))所以y＝loga(|x|＋b)在(－b，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－∞，b)上單調(diào)遞增．故選D.(2)設x1，x2，x3均為實數(shù)，且e－x1＝lnx1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lgx3，則()A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3答案D解析畫出函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq\s\up12(x)，y＝lnx，y＝ln(x＋1)，y＝lgx的圖象，如圖所示，數(shù)形結(jié)合，知x2<x1<x3.【通性通法】(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項．對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結(jié)合思想．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．【鞏固遷移】4．若函數(shù)f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則g(x)＝loga|x＋k|的大致圖象是()答案B解析因為函數(shù)f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上是奇函數(shù)，所以f(0)＝0，所以k＝2，經(jīng)檢驗，k＝2滿足題意．又因為f(x)為減函數(shù)，所以0<a<1，則g(x)＝loga|x＋2|(0<a<1)，由g(－4－x)＝loga|－4－x＋2|＝loga|x＋2|＝g(x)，可知g(x)的圖象關于直線x＝－2對稱，排除C，D；又g(0)＝loga|0＋2|＝loga2<0，可知A錯誤．故選B.5．已知函數(shù)f(x)＝|log2x|，實數(shù)a，b滿足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值為2，則eq\f(1,a)＋b＝________．答案4解析∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的圖象如圖所示，又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，∴a2＜a，當a2≤x≤b時，由圖可知，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，∴a＝eq\f(1,2)，∴b＝2，∴eq\f(1,a)＋b＝4.考點三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用(多考向探究)考向1比較大小問題例3(1)若a＝0.50.3，b＝log0.53，c＝log0.30.2，則()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>a>c D．c>a>b答案D解析因為0<a＝0.50.3<0.50＝1，b＝log0.53<0，c＝log0.30.2>log0.30.3＝1，所以c>a>b.故選D.(2)若a＝log23＋log32，b＝2，c＝eq\f(1,logπ2)＋log3π，則()A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．c>b>a D．b>c>a答案B解析因為a＝log23＋log32>2eq\r(log23·log32)＝2，所以a>b.因為f(x)＝log2x，g(x)＝log3x單調(diào)遞增，所以c＝log2π＋log3π>log23＋log32，所以c>a.綜上，c＞a＞b.故選B.【通性通法】對數(shù)值比較大小的四種常見類型(1)底數(shù)為同一常數(shù)，可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷．(2)底數(shù)為同一字母，需對底數(shù)進行分類討論．(3)底數(shù)不同，真數(shù)相同，可以先用換底公式化為同底后，再進行比較．(4)底數(shù)與真數(shù)都不同，常借助1，0等中間量進行比較．【鞏固遷移】6．(多選)(2024·河北尚義高三聯(lián)考)已知a＝log827，b＝log916，c＝log48，則()A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)>cC．b<c D．b<a答案BCD解析因為a＝log827＝log2333＝log23，b＝log916＝log34，c＝log48＝eq\f(3,2)，所以eq\f(a,b)＝eq\f(log23,log34)＝eq\f(ln3,ln2)·eq\f(ln3,ln4)＝eq\f(6ln3·ln3,6ln2·ln4)＝eq\f(2ln3,3ln2)·eq\f(3ln3,2ln4)＝eq\f(ln9,ln8)·eq\f(ln27,ln16)>1，又a，b均大于0，所以a>b，故A錯誤，D正確；因為a＝log23>log22eq\r(2)＝eq\f(3,2)＝c，所以a>c，故B正確；因為16<33，即4<3eq\s\up7(\f(3,2))，所以b＝log916＝log34<log33eq\s\up7(\f(3,2))＝eq\f(3,2)＝c，即b<c，故C正確．故選BCD.考向2解簡單的對數(shù)不等式例4(1)已知函數(shù)f(x)＝log2x－x＋1，則不等式f(x)<0的解集是()A．(1，2)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(0，2)D．(0，1)∪(2，＋∞)答案D解析依題意，f(x)<0等價于log2x<x－1，在同一坐標系中作出y＝log2x，y＝x－1的圖象，如圖所示，可得log2x<x－1的解集為(0，1)∪(2，＋∞)．故選D.(2)不等式logeq\s\up-7(\f(1,2))(eq\r(x)＋1)－logeq\s\up-7(\f(1,2))(eq\r(x)－1)<－eq\f(1,2)的解集是________．答案(1，17＋12eq\r(2))解析因為logeq\s\up-7(\f(1,2))(eq\r(x)＋1)－logeq\s\up-7(\f(1,2))(eq\r(x)－1)<－eq\f(1,2)可化為logeq\s\up-7(\f(1,2))eq\f(\r(x)＋1,\r(x)－1)<－eq\f(1,2)?eq\f(\r(x)＋1,\r(x)－1)>eq\r(2)?1<eq\r(x)<3＋2eq\r(2)，所以x∈(1，17＋12eq\r(2))，即原不等式的解集為(1，17＋12eq\r(2))．【通性通法】與對數(shù)函數(shù)有關的不等式的求解策略【鞏固遷移】7．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x≤0時，f(x)單調(diào)遞減，則不等式f(logeq\s\up0(\f(1,3))(2x－5))＞f(log38)的解集為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(41,16)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)，＋∞))解析因為函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以可將f(logeq\s\up-7(\f(1,3))(2x－5))＞f(log38)化為|logeq\s\up-7(\f(1,3))(2x－5)|＞|log38|，即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3eq\f(1,8)，即2x－5＞8或0＜2x－5＜eq\f(1,8)，解得x＞eq\f(13,2)或eq\f(5,2)＜x＜eq\f(41,16).考向3與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題例5(多選)(2024·廣東部分地市高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(x2＋x＋m)(m∈R)，則()A．當m>eq\f(1,4)時，f(x)的定義域為RB．f(x)一定存在最小值C．f(x)的圖象關于直線x＝－eq\f(1,2)對稱D．當m≥1時，f(x)的值域為R答案AC解析對于A，若m>eq\f(1,4)，則Δ＝1－4m<0，則二次函數(shù)y＝x2＋x＋m的圖象恒在x軸的上方，即x2＋x＋m>0恒成立，所以f(x)的定義域為R，故A正確；對于B，若m＝0，則f(x)＝ln(x2＋x)的定義域為(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域為R，沒有最小值，故B錯誤；對于C，由于函數(shù)y＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋m－\f(1,4)))為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，將該函數(shù)的圖象向左平移eq\f(1,2)個單位長度即可得到函數(shù)f(x)＝lneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋m－\f(1,4)))＝ln(x2＋x＋m)的圖象，所以f(x)圖象的對稱軸為直線x＝－eq\f(1,2)，故C正確；對于D，若m≥1，則y＝x2＋x＋m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋m－eq\f(1,4)≥eq\f(3,4)，故f(x)的值域不是R，故D錯誤．故選AC.【通性通法】解決對數(shù)函數(shù)綜合問題的策略(1)始終牢記“對數(shù)的真數(shù)大于0”這一基本要求，這是解決對數(shù)問題的出發(fā)點．(2)善于運用對數(shù)的運算性質(zhì)將對數(shù)式進行合理地化簡與變形，這是研究性質(zhì)的重要途徑．(3)注意等價轉(zhuǎn)化思想方法的合理運用，這是解決對數(shù)綜合問題的關鍵．【鞏固遷移】8．已知函數(shù)f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)答案D解析由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函數(shù)y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a≥5.故選D.9．已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，設函數(shù)g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，則g(x)max－g(x)min＝________．答案5解析由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，,))∴1≤x≤3，∴g(x)的定義域為[1，3]，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2＝(log3x)2＋4log3x＋2，設t＝log3x，則0≤t≤1，則y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上單調(diào)遞增，∴當t＝0，即x＝1時，g(x)min＝2，當t＝1，即x＝3時，g(x)max＝7，∴g(x)max－g(x)min＝5.課時作業(yè)一、單項選擇題1．lg4＋2lg5＋log28＋8eq\s\up7(\f(2,3))＝()A．8 B．9C．10 D．1答案B解析因為lg4＋2lg5＝lg4＋lg52＝lg4＋lg25＝lg100＝2，log28＝log223＝3，8eq\s\up7(\f(2,3))＝(23)eq\s\up7(\f(2,3))＝22＝4，所以lg4＋2lg5＋log28＋8eq\s\up7(\f(2,3))＝2＋3＋4＝9.故選B.2．函數(shù)f(x)＝eq\f(xlog2|x|,2x＋2－x)的部分圖象大致是()答案A解析易知f(x)＝eq\f(xlog2|x|,2x＋2－x)的定義域為{x|x≠0}，因為f(－x)＝eq\f(－xlog2|－x|,2－x＋2x)＝－eq\f(xlog2|x|,2x＋2－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，排除B，D；又f(2)＝eq\f(2,22＋2－2)>0，排除C.故選A.3．(2023·廣東三校高三聯(lián)考(二))若函數(shù)f(x)＝x3ln(eq\r(x2＋2a)－x)為偶函數(shù)，則a＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．2答案B解析易得，函數(shù)f(x)的定義域為R，因為函數(shù)f(x)＝x3ln(eq\r(x2＋2a)－x)為偶函數(shù)，且y＝x3為奇函數(shù)，故g(x)＝ln(eq\r(x2＋2a)－x)為奇函數(shù)，故g(－x)＋g(x)＝0，即ln[eq\r((－x)2＋2a)＋x]＋ln(eq\r(x2＋2a)－x)＝0，即ln(x2＋2a－x2)＝0，即2a＝1，解得a＝eq\f(1,2).故選B.4．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為()A．[1，2) B．[1，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)答案A解析令函數(shù)g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，圖象的對稱軸為直線x＝a，要使函數(shù)f(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g(1)>0，,a≥1，,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a≥1，,))解得1≤a<2，所以a的取值范圍為[1，2)．故選A.5．(2024·湖南名校高三模擬)已知a＝log32，b＝log53，c＝log85，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a答案A解析因為log32＝log3eq\r(3,8)<log3eq\r(3,9)＝log33eq\s\up7(\f(2,3))＝eq\f(2,3)＝log55eq\s\up7(\f(2,3))＝log5eq\r(3,25)<log5eq\r(3,27)＝log53，所以a<b；因為ln3·ln8<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln3＋ln8,2)))eq\s\up12(2)＝(lneq\r(24))2<(ln5)2，所以eq\f(ln3,ln5)<eq\f(ln5,ln8)，所以log53<log85，所以b<c，所以a<b<c.故選A.6．若函數(shù)f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3,2)x))(a＞0，且a≠1)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))內(nèi)恒有f(x)＞0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案A解析令M＝x2＋eq\f(3,2)x，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))時，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)＞0，所以a＞1，所以函數(shù)y＝logaM為增函數(shù)，又M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(9,16)，所以M的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，＋∞)).又x2＋eq\f(3,2)x>0，所以x＞0或x＜－eq\f(3,2)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．故選A.7．函數(shù)f(x)的定義域為D，若滿足如下兩個條件：①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))?D，使得f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))上的值域為[m，n]，那么就稱函數(shù)f(x)為“希望函數(shù)”．若函數(shù)f(x)＝loga(ax＋t)(a>0，且a≠1)是“希望函數(shù)”，則t的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))答案A解析∵函數(shù)f(x)＝loga(ax＋t)(a>0，且a≠1)是“希望函數(shù)”，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))上的值域為[m，n]．易知函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga(aeq\s\up7(\f(m,2))＋t)＝m，,loga(aeq\s\up7(\f(n,2))＋t)＝n，,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(aeq\s\up7(\f(m,2))＋t＝am，,aeq\s\up7(\f(n,2))＋t＝an，,))∴m，n為方程ax－aeq\s\up7(\f(x,2))－t＝0的兩個不相等的實數(shù)根，令p＝aeq\s\up7(\f(x,2))，則p2－p－t＝0，∴Δ＝1＋4t>0，－t>0，得－eq\f(1,4)<t<0.故選A.8．當x∈(1，2)時，不等式(x－1)2＜logax恒成立，則a的取值范圍是()A．(0，1) B．(1，2)C．(1，2] D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案C解析設f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使當x∈(1，2)時，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需在區(qū)間(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的圖象在f2(x)＝logax的圖象的下方即可．當0＜a＜1時，顯然不成立．當a＞1時，如圖所示，要使在區(qū)間(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的圖象在f2(x)＝logax的圖象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，所以loga2≥1，解得1＜a≤2.二、多項選擇題9．在同一直角坐標系中，函數(shù)y＝ax與y＝loga(x－2)的圖象可能是()答案BD解析當a>1時，y＝ax在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增且其圖象恒過點(0，1)，y＝loga(x－2)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增且其圖象恒過點(3，0)，則B符合要求；當0<a<1時，y＝ax在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減且其圖象恒過點(0，1)，y＝loga(x－2)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減且其圖象恒過點(3，0)，則D符合要求．故選BD.10．已知函數(shù)f(x)＝ln(e2x＋1)－x，則()A．f(ln2)＝lneq\f(5,2)B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增D．f(x)的最小值為ln2答案ACD解析f(ln2)＝ln(e2ln2＋1)－ln2＝lneq\f(5,2)，故A正確；f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(e2x＋1)－lnex＝lneq\f(e2x＋1,ex)＝ln(ex＋e－x)，所以f(－x)＝ln(ex＋e－x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故B錯誤；y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因此f(x)＝ln(ex＋e－x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故C正確；由于f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以f(x)的最小值為f(0)＝ln2，故D正確．故選ACD.三、填空題11．(2024·江蘇名校高三聯(lián)考)寫出一個同時滿足下列性質(zhì)①②的函數(shù)為f(x)＝________．①f(xy)＝f(x)＋f(y)；②f(x)在定義域上單調(diào)遞增．答案log2x(滿足logax(a>1)均可)解析loga(MN)＝logaM＋logaN，且f(x)＝logax(a>1)單調(diào)遞增．故答案為log2x(滿足logax(a>1)均可)．12．若函數(shù)y＝f(x)與y＝5x互為反函數(shù)，則y＝f(x2－2x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．答案(－∞，0)解析因為y＝f(x)與y＝5x互為反函數(shù)，所以y＝f(x)＝log5x在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)，由x2－2x>0，得x>2或x<0，又y＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以y＝f(x2－2x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)．13．已知f(x)＝ln(x2＋2x＋m)．若f(x)的值域為R，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案(－∞，1]解析因為f(x)的值域為R，所以x2＋2x＋m≤0有解，則4－4m≥0，解得m≤1，所以實數(shù)m的取值范圍是(－∞，1]．14．(2024·湖北黃岡中學高三模擬)設x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，3a＋b＝18，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值為________．答案3解析因為ax＝by＝3，所以x＝loga3，y＝logb3.又loga3·log3a＝eq\f(lg3,lga)·eq\f(lga,lg3)＝1，logb3·log3b＝eq\f(lg3,lgb)·eq\f(lgb,lg3)＝1，所以eq\f(1,x)＝log3a，eq\f(1,y)＝log3b.因為a>1，b>1，根據(jù)基本不等式，有3ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝81，當且僅當3a＝b，即a＝3，b＝9時，等號成立，所以ab≤27，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤log327＝3.所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值為3.四、解答題15．(2024·山東濰坊高三模擬)定義在(－1，1)上的函數(shù)f(x)和g(x)，滿足f(x)＋g(－x)＝0，且g(x)＝logaeq\f(1＋x,2)，其中a>1.(1)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2，求f(x)的解析式；(2)若不等式f(x)>1的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，m))，求m－a的值．解(1)由題意知，f(x)＝－g(－x)＝logaeq\f(2,1－x)，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2，所以loga4＝2，即a＝2.所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝log2eq\f(2,1－x)(－1<x<1)．(2)由f(x)>1，得eq\f(2,1－x)>a，由題意知1－x>0，所以1－eq\f(2,a)<x<1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,a)＝－\f(1,3)，,m＝1，,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,m＝1，,))所以m－a＝－eq\f(1,2).16．(2024·山東聊城高三期中)已知函數(shù)f(x)＝loga(2－ax)．(1)當x∈[0，1]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．解(1)因為a>0且a≠1，設t(x)＝2－ax，則t(x)＝2－ax為減函數(shù)，當x∈[0，1]時，t(x)的最小值為2－a，當x∈[0，1]時，f(x)恒有意義，即當x∈[0，1]時，2－ax>0恒成立，所以2－a>0，所以a<2.又a>0且a≠1，所以實數(shù)a的取值范圍為(0，1)∪(1，2)．(2)t(x)＝2－ax，因為a>0，所以函數(shù)t(x)為減函數(shù)．因為f(x)在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，所以y＝logat為減函數(shù)，所以0<a<1.當x∈[1，2]時，f(x)的最大值為f(2)＝loga(2－2a)＝1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,loga(2－2a)＝1，,))即a＝eq\f(2,3).故存在a＝eq\f(2,3)，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，并且最大值為1.17．(多選)已知正實數(shù)x，y滿足log2x＋logeq\f(1,2)y<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\