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黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名:___________班級(jí):___________考號(hào):___________一、單選題1.已知集合,,則(
)A. B.C. D.2.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿足,則的共軛復(fù)數(shù)(
)A. B. C. D.3.平行四邊形中,為的中點(diǎn),點(diǎn)滿足,若,則的值是()A.4 B.2 C. D.4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,,,則數(shù)列的公比為A.3 B. C.2 D.5.已知,,則(
)A. B. C. D.6.設(shè)函數(shù)定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù),為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(
)A. B.為奇函數(shù)C.在上是減函數(shù) D.方程僅有個(gè)實(shí)數(shù)解7.在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,則面積的最大值為(
)A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù),下列判斷正確的是(
)A.函數(shù)的一個(gè)周期為;B.函數(shù)的值域是;C.函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),使得其到點(diǎn)的距離為;D.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).二、多選題9.下列說法正確的是(
)A.若,則B.若,則C.若,則D.函數(shù)的最小值為10.下列命題正確的有(
)A.若等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為,則,,也成等差數(shù)列B.若為等比數(shù)列,且,則C.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,且,,則可知數(shù)列前項(xiàng)的和最大D.若,則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為404011.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則下列說法中正確的是(
)A.的表達(dá)式可以寫成B.的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的新函數(shù)是奇函數(shù)C.的對(duì)稱中心D.若方程在0,m上有且只有6個(gè)根,則三、填空題12.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿足,則.13.已知邊長(zhǎng)為2的菱形中,,點(diǎn)為線段(含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)滿足,則的取值范圍為.14.若,則的最小值為.四、解答題15.已知向量.(1)求向量與的夾角的大??;(2)若向量,求實(shí)數(shù)的值;(3)若向量滿足,求的值.16.已知向量,,函數(shù),相鄰對(duì)稱軸之間的距離為.(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的,再向左平移個(gè)單位得的圖象,若關(guān)于x的方程在上只有一個(gè)解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.17.已知函數(shù).(1)求的極值;(2)若對(duì)于任意不同的,,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.在中,內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,,且.(1)若,,求邊上的角平分線長(zhǎng);(2)若為銳角三角形,點(diǎn)為的垂心,,求的取值范圍.19.一般地,元有序?qū)崝?shù)組稱為維向量(如用一個(gè)實(shí)數(shù)可表示一維向量,用二元有序?qū)崝?shù)對(duì)可表示二維向量,).類似我們熟悉的二維向量和三維向量,對(duì)于維向量,也可以定義兩個(gè)向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、兩個(gè)向量的數(shù)量積、向量的長(zhǎng)度(模)等,如,則.若存在不全為零的個(gè)實(shí)數(shù),,,,使得,則稱向量組,,,是線性相關(guān)的,否則,稱向量組,,,是線性無關(guān)的.(1)判斷向量組,,是否線性相關(guān).(2)已知函數(shù),,且恒成立.①求的值;②設(shè),其中,若,,數(shù)列的前項(xiàng)和為;證明:當(dāng)時(shí),.參考答案:題號(hào)12345678910答案BBDAACCDBCBCD題號(hào)11答案ABC1.B【分析】解一元二次不等式可得,再由交集、并集運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】解不等式可得;又可知,可知A錯(cuò)誤,B正確;,即可得C錯(cuò)誤,D錯(cuò)誤.故選:B2.B【解析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù),由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則可得,,利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得,=,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的定義;屬于基礎(chǔ)題.3.D【分析】利用M為CD的中點(diǎn),點(diǎn)N滿足,得到,再將等式轉(zhuǎn)化成的關(guān)系,從而得到,的方程,求解即可.【詳解】解:根據(jù)題意可得,,因?yàn)椋?,所以,由平面向量基本定理可得,解得,所以故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,涉及了平面向量的數(shù)乘和線性運(yùn)算,用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決.4.A【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),求得,進(jìn)而得出公比的方程,即可求解.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為,由,可得,因?yàn)?,所以,又因?yàn)椋?,即,解得或,又由,可得,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì),以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,著重考查推理與計(jì)算能力.5.A【分析】以為整體,利用誘導(dǎo)公式結(jié)合倍角公式求,結(jié)合兩角和差公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?,則,且,可得,則,,所以,故選:A.6.C【分析】根據(jù)fx?1與的奇偶性可判斷函數(shù)的對(duì)稱性與周期性,從而作出函數(shù)圖像,數(shù)形結(jié)合判斷各選項(xiàng).【詳解】為奇函數(shù),即,關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,又為偶函數(shù),即,關(guān)于直線對(duì)稱,所以,即,所以,即函數(shù)的最小正周期為,A選項(xiàng):,A選項(xiàng)正確;B選項(xiàng):,所以為奇函數(shù),B選項(xiàng)正確;C選項(xiàng):由當(dāng)時(shí),,所以,所以在上單調(diào)遞增,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;D選項(xiàng):由,得作出函數(shù)及圖像如圖所示,
由已知函數(shù)的值域?yàn)椋?,?dāng)時(shí),,函數(shù)與無公共點(diǎn),當(dāng)時(shí),由圖像可知函數(shù)與函數(shù)有個(gè)公共點(diǎn),即有個(gè)解,D選項(xiàng)正確;故選:C.7.C【分析】根據(jù)給定條件,利用正弦定理角化邊,再利用余弦定理及三角形面積公式求解即得.【詳解】在中,由及正弦定理得,即,由余弦定理得,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),因此,的面積,所以當(dāng)時(shí),的面積取得最大值.故選:C8.D【分析】利用函數(shù)的周期性定義結(jié)合余弦函數(shù)的周期性可判斷A;采用三角代換,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)值域,判斷B;利用,結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可判斷C;結(jié)合解,根據(jù)解的情況判斷D,即得答案.【詳解】對(duì)于A,,,故不是函數(shù)的一個(gè)周期,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,,需滿足,即,令,,則即為,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,則;當(dāng)時(shí),,(,故)此時(shí)在上單調(diào)遞減,則,綜上,的值域是,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由B知,,當(dāng)時(shí),,滿足此條件下的圖象上的點(diǎn)到的距離;當(dāng)時(shí),,滿足此條件下的圖象上的點(diǎn)到的距離,當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立,而時(shí),或,滿足此條件的x與矛盾,即等號(hào)取不到,故函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)Px,y,使得其到點(diǎn)1,0的距離為,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由B的分析可知,則,即,又,故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),D正確.故選:D【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛:本題綜合考查了函數(shù)的知識(shí)的應(yīng)用問題,涉及余弦函數(shù)的周期,值域以及最值和函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,綜合性強(qiáng),難度較大,解答時(shí)要結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性,綜合求解.9.BC【分析】對(duì)A舉反例即可;對(duì)B根據(jù)不等式性質(zhì)即可判斷;對(duì)C,利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷;對(duì)D舉反例即可.【詳解】對(duì)A,當(dāng)時(shí),,故A錯(cuò)誤;對(duì)B,當(dāng),則,則,故B正確;對(duì)C,根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,則,故C正確;對(duì)D,當(dāng)時(shí),,故D錯(cuò)誤.故選:BC.10.BCD【分析】A.利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷;B.利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷;C.根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式判斷;D.利用數(shù)列并項(xiàng)求和判斷.【詳解】A.等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為,則,,也成等差數(shù)列,故錯(cuò)誤;B.為等比數(shù)列,且,則,所以,故正確;C.因?yàn)?,則,,則,所以,,所以數(shù)列前項(xiàng)的和最大,故正確;D.因?yàn)?,所以?shù)列的前2020項(xiàng)和為:,,故正確.故選:BCD11.ABC【分析】利用特殊點(diǎn)求得函數(shù)的解析式即可判斷A,根據(jù)相位變換求得新函數(shù)解析式即可判斷奇偶性,即可判斷B,先求出的解析式,然后代入正弦函數(shù)對(duì)稱中心結(jié)論求解判斷C,把問題轉(zhuǎn)化為根的問題,找到第7個(gè)根,即可求解范圍判斷D.【詳解】由,得,即,又,所以,又的圖象過點(diǎn),則,即,所以,即得,又,所以,所以,故A正確;向右平移個(gè)單位后得,為奇函數(shù),故B正確;對(duì)于C,,令得,所以對(duì)稱中心,故C正確;對(duì)于D,由,得,解得或,方程即,因?yàn)?,所以,又?,m上有6個(gè)根,則根從小到大為,而第7個(gè)根為,所以,故D錯(cuò)誤.故選:ABC.12.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算的除法法則和模的計(jì)算公式,即可化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】因?yàn)?,所?故答案為:.13.【分析】利用基底,結(jié)合向量的線性運(yùn)算表示,即可根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解.【詳解】設(shè),其中,已知邊長(zhǎng)為2的菱形中,,則為等邊三角形,又,則又,故故.故答案為:
14.【分析】令,則,可得,求導(dǎo)求得最小值即可.【詳解】令,則,所以,所以,令,則,所以在上為增函數(shù),即在上為增函數(shù),又,當(dāng)時(shí),,在上為減函數(shù),當(dāng)時(shí),,在上為增函數(shù),所以函數(shù).故答案為:.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用換元法,通過二次求導(dǎo),求函數(shù)的最小值是一種常用方法,在平時(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)多體會(huì).15.(1);(2);(3).【分析】(1)利用向量的夾角公式計(jì)算即得.(2)利用平面向量共線的坐標(biāo)表示,共線向量的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即得.(3)利用向量相等構(gòu)造方程求得,再利用坐標(biāo)求模即得結(jié)果.【詳解】(1)由向量,得,于是,而,所以.(2)由向量,得,,由,得,解得,所以實(shí)數(shù)的值是.(3)依題意,即,于是,解得,所以.16.(1)(2)【分析】(1)首先利用數(shù)量積公式和三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù),再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解;(2)首先利用三角函數(shù)的圖象變換求函數(shù)的解析式,再通過換元后,結(jié)合的圖象,即可求解.【詳解】(1),,,因?yàn)橄噜彽膶?duì)稱軸之間的距離為,所以的最小正周期為,所以,得,所以,令,則,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)由(1)知,將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的,得到函數(shù),再向左平移個(gè)單位得,令,則,所以,因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)解,
由的圖象可得,?3≤m<3或所以的取值范圍是17.(1)極小值為,無極大值;(2).【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),結(jié)合函數(shù)極值的定義進(jìn)行求解即可;(2)對(duì)已知不等式進(jìn)行變形,構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分類討論求解即可.【詳解】(1))因?yàn)?,所以令,解得或(舍去?當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如表所示.20單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此,當(dāng)時(shí),有極小值,且極小值為,無極大值(2)不妨令,則等價(jià)于,即令函數(shù),可知在上單調(diào)遞減,若,即,則在上恒成立,故在上恒成立,則在上單調(diào)遞減,符合題意若,即,則在上不恒成立,故在上不恒成立,則在上不可能單調(diào)遞減,不符合題意.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:由已知不等式構(gòu)造函數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.18.(1)(2)【分析】(1)先根據(jù)平方關(guān)系及正弦定理化角為邊,再利用余弦定理求出;利用余弦定理求出,再由等面積法計(jì)算可得答案;(2)延長(zhǎng)交于,延長(zhǎng)交于,設(shè),分別求出、,再根據(jù)三角恒等變換化,結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】(1)因?yàn)?,,所以,由正弦定理得,即,由余弦定理得,因?yàn)?,所以;又因?yàn)?,,所以,即,解得,設(shè)邊上的角平分線長(zhǎng)為,則,即,即,解得,即邊上的角平分線長(zhǎng)為;(2)延長(zhǎng)交于,延長(zhǎng)交于,設(shè),所以,在中,在中,,,所以,在中,同理可得在中,所以,因?yàn)椋?,所以,所以,即的取值范圍?2,1.19.(1),,是線性無關(guān)的(2)①;②證明見詳解【分析】(1)假設(shè),,線性相關(guān),根據(jù)題意列方程解得,即可得出矛盾;(2)①令,分析可知原題意等價(jià)于對(duì)任意恒成立,結(jié)合定點(diǎn)法求得;②利用放縮法結(jié)合裂項(xiàng)相消法可得,
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