24.4 相似三角形判定（第5課時）同步練習(xí)

24.4相似三角形判定（第5課時）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·上海寶山·二模）如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點D在邊AC上（不與點A、C重合），DE與AB相交于點F，那么與△BFD相似的三角形是（）A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．2．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，點、分別在的邊、上，且與不平行．下列條件中，能判定與相似的是（）A． B． C． D．3．（2018·上海市西南模范中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，過點B的直線與對角線AC、邊AD分別交于點E和F，過點E作EG∥BC，交AB于G，則圖中相似三角形有（

）A．7對 B．6對 C．5對 D．4對4．（2021·上海市民辦上寶中學(xué)九年級期中）如圖，分別以下列選項作為一個已知條件，其中不一定能得到△AOB與△COD相似的是（）A．∠BAC＝∠BDC B．∠ABD＝∠ACD C． D．5．（2022·上海閔行·九年級期末）如圖，已知在中，點在邊上，那么下列條件中不能判定的是（

）A． B．C． D．6．（2019·上海市民辦嘉一聯(lián)合中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知是三角形中的邊上的一點，，的平分線交邊于，交于，那么下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．三角形相似于三角形 B．三角形相似于三角形C．三角形相似于三角形 D．三角形相似于三角形二、填空題7．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級期中）如圖，AB、CD相交于點O，添加一個條件___，可以使△AOD與△BOC相似．8．（2018·上?！ぞ拍昙夒A段練習(xí)）如圖，為平行四邊形的對角線上一點，的延長線交邊于點．在不添加輔助線的情況下，請寫出圖中一對相似三角形:________________．9．（2021·上海市新涇中學(xué)九年級期中）如圖，∠DAB=∠CAE，請補(bǔ)充一個條件：________________，使△ABC∽△ADE．10．（2021·上海·九年級期末）如圖，點D在的邊上，當(dāng)______時，與相似．三、解答題11．（2021·上海市新涇中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，點D、E分別在線段AB、AC上，BD＝2，CE＝5，求證：△AED∽△ABC．12．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）如圖，D為△ABC內(nèi)一點，E為△ABC外一點，且滿足，求證：△ABD∽△ACE．13．（2021·上海市南匯第一中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于點G．（1）求證：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求證：DE=CE．【能力提升】一、單選題1．（2017·上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)九年級期中）如圖，在四邊形中，如果，那么下列條件中不能判定和相似的是（

）A． B．是的平分線C． D．2．（2021·上?！ぞ拍昙壠谥校┤鐖D，在正方形ABCD中，點E為AD邊上的一個動點（與點A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交對角線AC于點F，BM交對角線AC于點G，交CD于點M，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFGC．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG3．（2021·上海市市西初級中學(xué)九年級期中）將兩個完全相同的等腰直角三角形△ABC與△AFG擺成如圖的樣子，兩個三角形的重疊部分為△ADE，那么圖中一定相似的三角形是（

）A．△ABC與△ADE B．△ABD與△AECC．△ABE與△ACD D．△AEC與△ADC4．（2021·上海寶山·九年級期中）如圖，中，．將沿圖示中的虛線剪開．剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B．C． D．5．（2021·上海閔行·九年級期中）如圖，已知每個小正方形的邊長均為1，與的頂點都在小正方形的頂點上，那么與相似的是（

）A． B．C． D．二、填空題6．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）如圖，E是□ABCD的邊BA延長線上的一點，CE交AD于點F，圖中______對相似三角形．7．（2022·上海浦東新·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點P為射線BC上的一個動點，過點P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點Q，當(dāng)BP＝5時，CQ＝_____．8．（2021·上海·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和_____的比例中項．9．（2021·上海市文來中學(xué)九年級期中）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似但不全等，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線，在四邊形ABCD中，對角線BD是它的相似對角線，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度三、解答題10．（2021··九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E是CD上的一點，F(xiàn)是BC的延長線上的一點，且CE=CF，BE的延長線交DF于點G，求證：△BGF∽△DCF．11．（2020·上海市徐匯中學(xué)九年級期中）如圖：四邊形ABCD對角線AC與BD相交于點O，OD=2OA，OC=2OB．（1）求證：△AOB∽△DOC；（2）點E在線段OC上，若AB∥DE，求證：OD2=OE?OC．12．（2018·上海·九年級階段練習(xí)）如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC、AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點F．（1）試說明△ABD≌△BCE；（2）△EAF與△EBA相似嗎？說說你的理由．13．（2021·上海市金山初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，點O是AC邊上一點，連接BO交AD于點F，OE⊥OB交BC邊于點E．求證：△ABF∽△COE．14．（2017·上海市玉華中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點D、E、F.（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)EF，求證：.

15．（2017·上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，D和E分別是BC和AB上的點，BE=EC，聯(lián)結(jié)DE，EC交AD于點F，且．（1）求證：△FCD∽△ABC；（2）若AF=FD，求證：DE⊥BC．16．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知：如圖，平行四邊形的對角線相交于點，點在邊的延長線上，且，連接．（1）求證：；（2）如果，求證：．17．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角頂點放在點P處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點E、F，連接EF(如圖1).(1)當(dāng)點E與點B重合時，點F恰好與點C重合(如圖2).①求證：△APB∽△DCP；②求PC、BC的長.(2)探究：將直角尺從圖2中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E和點A重合時停止.在這個過程中(圖1是該過程的某個時刻)，觀察、猜想并解答：①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由.②設(shè)AE=x，當(dāng)△PBF是等腰三角形時，請直接寫出x的值.

24.4相似三角形判定（第5課時）（解析版）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·上海寶山·二模）如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點D在邊AC上（不與點A、C重合），DE與AB相交于點F，那么與△BFD相似的三角形是（）A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．【答案】C【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)可得再利用公共角可得答案．【詳解】解：△ABC與△BDE都是等邊三角形，故選C．【點睛】本題考查的是三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定方法是解題的關(guān)鍵．2．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，點、分別在的邊、上，且與不平行．下列條件中，能判定與相似的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可求解．【詳解】解:在與中，∵，且，∴．故選:A．【點睛】此題考查了相似三角形的判定:（1）平行線法:平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法:三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法:兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角相等的兩個三角形相似；（4）兩角法:有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．3．（2018·上海市西南模范中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，過點B的直線與對角線AC、邊AD分別交于點E和F，過點E作EG∥BC，交AB于G，則圖中相似三角形有（

）A．7對 B．6對 C．5對 D．4對【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，推出△ABC≌△CDA，即可推出△ABC∽△CDA，根據(jù)相似三角形的判定定理：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或其它兩邊的延長線，所截的三角形與原三角形相似即可推出其它各對三角形相似．【詳解】圖中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5對，理由是：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，∴△ABC≌△CDA，∴△ABC∽△CDA，∵GE∥BC，∴△AGE∽△ABC∞△CDA，∵GE∥BC，AD∥BC，∴GE∥AD，∴△BGE∽△BAF，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE.故選：C.【點睛】本題考查相似三角形的判定，平行四邊形的性質(zhì).4．（2021·上海市民辦上寶中學(xué)九年級期中）如圖，分別以下列選項作為一個已知條件，其中不一定能得到△AOB與△COD相似的是（）A．∠BAC＝∠BDC B．∠ABD＝∠ACD C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定條件進(jìn)行逐項分析即可．【詳解】解：由題意得：∠AOB=∠COD，A、∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△DOC，故此選項不符合題意；B、∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB=∠COD，∴△BOA∽△COD，故此選項不符合題意；C、，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△COB，并不能證明△AOB與△COD相似，故此選項符合題意；D、，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△DOC，故此選項不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．5．（2022·上海閔行·九年級期末）如圖，已知在中，點在邊上，那么下列條件中不能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似可判斷A，B，由兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可判斷C，D，從而可得答案.【詳解】解：而不一定相等，不能判斷，故A符合題意；，而故B不符合題意；，故C不符合題意；，故D不符合題意；故選A【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，掌握“兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似”是解本題的關(guān)鍵.6．（2019·上海市民辦嘉一聯(lián)合中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知是三角形中的邊上的一點，，的平分線交邊于，交于，那么下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．三角形相似于三角形 B．三角形相似于三角形C．三角形相似于三角形 D．三角形相似于三角形【答案】C【分析】如果兩個三角形的兩個角分別對應(yīng)相等，則這兩個三角形相似，據(jù)此逐項分析即可解題．【詳解】解：A.又平分故A不符合題意；B.平分又故B不符合題意；C.三角形與三角形，僅有一個公共角，不能證明相似，故C錯誤，符合題意；D.故D不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查相似三角形的判定，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．二、填空題7．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級期中）如圖，AB、CD相交于點O，添加一個條件___，可以使△AOD與△BOC相似．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可得出答案．【詳解】添加一個條件：，，，．【點睛】本題考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．（2018·上?！ぞ拍昙夒A段練習(xí)）如圖，為平行四邊形的對角線上一點，的延長線交邊于點．在不添加輔助線的情況下，請寫出圖中一對相似三角形:________________．【答案】△ABE∽△FDE【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，從而可推出∠ABD=∠CDB，已知對頂角相等，根據(jù)有兩組角相等的兩個三角形相似，從而得到△ABE∽△FDE．【詳解】解：∵ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD．∴∠ABD=∠CDB．∵∠AEB=∠FED，∴△ABE∽△FDE．故答案為：△ABE∽△FDE.【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定方法的綜合運用．9．（2021·上海市新涇中學(xué)九年級期中）如圖，∠DAB=∠CAE，請補(bǔ)充一個條件：________________，使△ABC∽△ADE．【答案】解：∠D=∠B或∠AED=∠C．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理再補(bǔ)充一個相等的角即可．【詳解】解：∵∠DAB=∠CAE∴∠DAE=∠BAC∴當(dāng)∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD?AC=AB?AE時兩三角形相似．故答案為∠D=∠B（答案不唯一）．10．（2021·上?！ぞ拍昙壠谀┤鐖D，點D在的邊上，當(dāng)______時，與相似．【答案】【分析】要使∽，由∠BAC=∠CAD共用，只要滿足即可．【詳解】由∠BAC=∠CAD共用，當(dāng)時，∽．故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形判定問題，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理．三、解答題11．（2021·上海市新涇中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，點D、E分別在線段AB、AC上，BD＝2，CE＝5，求證：△AED∽△ABC．【分析】首先計算和，得到，結(jié)合∠A為公共角，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵AB＝6，AC＝8，BD＝2，CE＝5，∴，，∵，，∴，又∵∠DAE=∠CAB，∴△AED∽△ABC．【點睛】本題考查相似三角形的判定，理解并熟練運用相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．12．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）如圖，D為△ABC內(nèi)一點，E為△ABC外一點，且滿足，求證：△ABD∽△ACE．【分析】根據(jù)已知條件證明△ADE∽△ABC，得到∠DAB=∠EAC，即可得到結(jié)果；【詳解】∵，∴△ADE∽△ABC，∴∠DAE=∠BAC，∴∠DAB=∠EAC，∵，∴△ABD∽△ACE．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．13．（2021·上海市南匯第一中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于點G．（1）求證：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求證：DE=CE．試題分析：（1）先證△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求證；（2）在BC上截取BF=BD，連接EF，先證△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再證EF=EC即可.解：（1）∵∠ABE=∠ACD，且∠A是公共角，∴△ABE∽△ACD．∴，即，又∵∠A是公共角，∴△AED∽△ABC．（2）在BC上截取BF=BD，連接EF，在△BDE與△BFE中，BD=BF，∠DBE=∠FBE，BE=BE，∴△BDE≌△BFE，∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，∴∠EFC=∠ACB，∴EF=EC，∴DE=CE．【能力提升】一、單選題1．（2017·上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)九年級期中）如圖，在四邊形中，如果，那么下列條件中不能判定和相似的是（

）A． B．是的平分線C． D．【答案】D【分析】已知∠ADC＝∠BAC，則A、B選項可根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來判定；C選項可以根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似來判定；D選項雖然也是對應(yīng)邊成比例但無法得到其夾角相等，所以不能推出兩三角形相似.【詳解】在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需滿足的條件有：①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分線；②；故選：D．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定方法；熟記三角形相似的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．2．（2021·上?！ぞ拍昙壠谥校┤鐖D，在正方形ABCD中，點E為AD邊上的一個動點（與點A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交對角線AC于點F，BM交對角線AC于點G，交CD于點M，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFGC．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG【答案】C【分析】由正方形的性質(zhì)可得AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，可以證明△AEF∽△CBF，△CMG∽△BFG，△BDE∽△BCG，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，∴△AEF∽△CBF，故選項A不合題意；∵∠EBM=∠DCA，∠MGC=∠BGF，∴△CMG∽△BFG，故選項B不合題意；∵∠CAB=∠ACB=∠FBG=45°，∴∠ABF+∠CBG=45°，∴∠ABF與∠CBG不一定相等，∴△ABF與△CBG不一定相似，故選項C符合題意；△BDE∽△BCG，故D不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)，熟練運用相似三角形的判定方法是本題的關(guān)鍵．3．（2021·上海市市西初級中學(xué)九年級期中）將兩個完全相同的等腰直角三角形△ABC與△AFG擺成如圖的樣子，兩個三角形的重疊部分為△ADE，那么圖中一定相似的三角形是（

）A．△ABC與△ADE B．△ABD與△AEC C．△ABE與△ACD D．△AEC與△ADC【答案】C【分析】根據(jù)是直角三角形，而不是直角三角形，即可判斷A選項，只有，不能判斷B選項中兩三角形相似，根據(jù)題意可得，進(jìn)而證明，即可判斷，即可判斷C選項，D選項中只有一個公共角，根據(jù)已知條件找不到另外一對角相等，故不能判斷D選項中兩三角形相似．【詳解】A.是直角三角形，不是直角三角形，故不能判斷△ABC與△ADE相似；B.只有，不能判斷B選項中△ABD與△AEC相似；D.只有，不能判斷D選項中△AEC與△ADC相似；C.是等腰直角三角形，則設(shè)，則，，，，故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．（2021·上海寶山·九年級期中）如圖，中，．將沿圖示中的虛線剪開．剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進(jìn)行一一判定即可．【詳解】解：A、如圖標(biāo)字母M，N，∵∠MNB=∠A=76°，∠MBN=∠CBA，陰影△BMN與原△BCA有兩個角相等，∴△BMN∽△BCA，故本選項不符合題意；B、如圖標(biāo)字母D、E，∵∠EDB=76°=∠A，∠DBE=∠ABC，陰影三角形與原三角形有兩個角相等，∴△DEB∽△ABC，故本選項不符合題意；C、如圖標(biāo)字母G、K，∵∠C為公共角，CG=3，AC=6，，CK=4，，但不知道鄰邊BC的長，因此無法判定陰影三角形與原三角形相似．故本選項符合題意．D、如圖標(biāo)字母H、F，∵FC=2，HB=5，AB=8，AC=6，∴AF=AC-FC=6-2=4，AH=AB-HB=8-5=3，，∴，，∴，∠HAF=∠CAB，陰影三角形與原三角形有對應(yīng)邊成比例且夾角相等，∴△HAF∽△CAB，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．5．（2021·上海閔行·九年級期中）如圖，已知每個小正方形的邊長均為1，與的頂點都在小正方形的頂點上，那么與相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先由勾股定理求得各三角形的三邊長，然后根據(jù)三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．【詳解】解：，A、∵，∴，∴△DEF與△ABC相似；B、∵，∴，∴△DEF與△ABC不相似；C、∵，∴，∴△DEF與△ABC不相似；D、∵，∴，∴△DEF與△ABC不相似．故選：A．【點睛】此題考查了相似三角形的判定與勾股定理．此題難度適中，注意掌握三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似定理的應(yīng)用．二、填空題6．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）如圖，E是□ABCD的邊BA延長線上的一點，CE交AD于點F，圖中______對相似三角形．【答案】3【分析】由□ABCD可得，，再由平行線性質(zhì)推導(dǎo)而證明△AFE∽△CFD∽△BCE，從而完成求解．【詳解】∵□ABCD∴，∴，∵∴∵，∴△CFD∽△BCE∴△AFE∽△CFD∽△BCE故答案為：3．【點睛】本題考查了平行四邊形和相似三角形的知識；求解的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形和相似三角形的性質(zhì)，從而得到答案．7．（2022·上海浦東新·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點P為射線BC上的一個動點，過點P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點Q，當(dāng)BP＝5時，CQ＝_____．【答案】【分析】通過證明△ABP∽△PCQ，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴∴CQ＝，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形、矩形的性質(zhì)．根據(jù)題意找相似的條件是關(guān)鍵．利用相似比計算線段的長度是常用的方法．8．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和_____的比例中項．【答案】AB．【分析】利用相似三角形的判定得出△ABC∽△ACD，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵∠C＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC，又∠A=∠A∴△ABC∽△ACD，∴，即AC2＝AD?AB，∴AC是AD和AB的比例中項，故答案為：AB．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用相似三角形的判定得出△ABC∽△ACD．9．（2021·上海市文來中學(xué)九年級期中）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似但不全等，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線，在四邊形ABCD中，對角線BD是它的相似對角線，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度【答案】145【分析】先畫出示意圖，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一組對應(yīng)角相等，若∠A=∠C，則△ABD與△DBC全等不符合題意，所以必定有∠A=∠BDC，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°列式求解.【詳解】解：根據(jù)題意畫出示意圖，已知∠ABD=∠CBD，△ABD與△DBC相似，但不全等，∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，∴∠ADB+∠BDC=145°，即∠ADC=145°.【點睛】對于新定義問題，讀懂題意是關(guān)鍵.三、解答題10．（2021··九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E是CD上的一點，F(xiàn)是BC的延長線上的一點，且CE=CF，BE的延長線交DF于點G，求證：△BGF∽△DCF．【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出DC=BC，∠DCB=∠DCF=90°，由CE=CF可得出△DCF≌△ECB，故∠CDF=∠CBE，再根據(jù)∠F為公共角即可得出結(jié)論．【詳解】∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90，DC=BC∵CE=CF∴△DCF≌△ECB∴∠CDF=∠CBE∵∠CDF＋∠F=90∴∠CBE＋∠F=90∴∠BGF=90=∠DCF∴△BGF∽△DCF【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似是解答此題的關(guān)鍵．11．（2020·上海市徐匯中學(xué)九年級期中）如圖：四邊形ABCD對角線AC與BD相交于點O，OD=2OA，OC=2OB．（1）求證：△AOB∽△DOC；（2）點E在線段OC上，若AB∥DE，求證：OD2=OE?OC．【分析】（1）根據(jù)對應(yīng)邊成比例，夾角相等，可證△AOB∽△DOC；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得△DOC∽△EOD，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求解．【詳解】證明：（1）∵OD=2OA，OC=2OB，，又∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．（2）由（1）得：△AOB∽△DOC．∴∠ABO=∠DCO．∵AB∥DE，∴∠ABO=∠EDO．∴∠DCO=∠EDO．∵∠DOC=∠EOD，∴△DOC∽△EOD，∴，【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時要注意找準(zhǔn)對應(yīng)角和對應(yīng)邊．12．（2018·上?！ぞ拍昙夒A段練習(xí)）如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC、AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點F．（1）試說明△ABD≌△BCE；（2）△EAF與△EBA相似嗎？說說你的理由．【答案】（1）證明見解析；（2）相似；理由見解析.【詳解】（1）根據(jù)等邊三角形各邊長相等和各內(nèi)角為60°的性質(zhì)可以求證△ABD≌△BCE；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等性質(zhì)可得∠BAD=∠CBE，進(jìn)而可以求得∠EAF=∠EBA，即可求證△EAF∽△EBA，即可解題．（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE；（2）答：相似；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BAC﹣∠BAD=∠CBA﹣∠CBE，∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA．點睛：本題考查相似三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì).熟練應(yīng)用三角形全等及相似的判定方法是解題的關(guān)鍵.13．（2021·上海市金山初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，點O是AC邊上一點，連接BO交AD于點F，OE⊥OB交BC邊于點E．求證：△ABF∽△COE．【分析】由∠BAD+∠ABC=90°，∠C+∠ABC=90°得∠BAF=∠C；由∠ABO+∠AOB=90°，∠AOB+∠COE=90°得∠ABF=∠COE．由兩對角對應(yīng)相等判定三角形相似．【詳解】證明：∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°．∵∠BAC=90°，∴∠BAF=∠C．∵OE⊥OB，∴∠BOA+∠COE=90°．∵∠BOA+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠COE．∴△ABF∽△COE．【點睛】此題考查了相似三角形的判定方法：有兩角對應(yīng)相等的三角形相似．關(guān)鍵在充分利用圖中的垂直條件尋求角之間的關(guān)系．14．（2017·上海市玉華中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點D、E、F.（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)EF，求證：.

試題分析：（1）證明△AED∽△ADB即可得出結(jié)論；（2）通過證明△EAF∽△CAB即可．試題解析：證明：（1）∵DE⊥AB，AD⊥BC．∴.又∵.∴.∴∴.（2）同（1）可得：.∴.∴，.∴.∴∴.15．（2017·上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，D和E分別是BC和AB上的點，BE=EC，聯(lián)結(jié)DE，EC交AD于點F，且．（1）求證：△FCD∽△ABC；（2）若AF=FD，求證：DE⊥BC．試題分析:(1)根據(jù)等邊對等角可以知∠ABD=∠ADB，∠EBC=∠ECB，從而證明△FDB∽△ABC，(2)由AF=DF可得DF=然后利用相似三角形的性質(zhì)可知BD:BC=1:2，從而可以知道BD=DC，最后利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到DE⊥BC.（1）證明：∵BE=EC，∴∠ECB=∠B，∵，∴，∴△FCD∽△ABC，（2）證明：∵△FCD∽△ABC，∴，∠ADC=∠ACB，∴AD=AC，∵AF=FD，∴，∴，∴，∵BE=EC，（此條件不寫，下列不得分）∴DE⊥BC.16．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知：如圖，平行四邊形的對角線相交于點，點在邊的延長線上，且，連接．（1）求證：；（2）如果，求證：．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到BO=BD，由等量代換推出OE=BD，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到結(jié)論.【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=OD，∵OE=OB，∴OE=OD，∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，∵