高二導(dǎo)數(shù)章節(jié)綜合檢測(cè)

高二導(dǎo)數(shù)章節(jié)綜合檢測(cè)第I卷（選擇題）選擇題（本大題8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，定理內(nèi)容如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”．根據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】求導(dǎo)，設(shè)為“拉格朗日中值點(diǎn)”，由題意得到，構(gòu)造，研究其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到答案.【詳解】，令為函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在性定理可得：存在唯一的，使得.故選：B2．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，若在處有極值，則的值為（

）A．3 B．3 C．0 D．4【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，即可判斷出答案.【詳解】由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，故為函數(shù)的極大值點(diǎn)，即，故選：C3．已知在處取得極小值，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)，然后通過(guò)求出的值，再代入原導(dǎo)函數(shù)驗(yàn)證在處取得極小值即可.【詳解】由已知，，，得，此時(shí)，，令，得或，令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，符合題意.則的值為.故選：B.4．設(shè)函數(shù)，在上的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則當(dāng)時(shí)（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對(duì)于AB，利用特殊函數(shù)法，舉反例即可排除；對(duì)于CD，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證得在上單調(diào)遞減，從而得以判斷.【詳解】對(duì)于AB，不妨設(shè)，，則，，滿足題意，若，則，故A錯(cuò)誤，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，因?yàn)?，在上的?dǎo)函數(shù)存在，且，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，即，所以，由得，則，故C正確；由得，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.5．已知，，，且，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將轉(zhuǎn)化為單調(diào)遞減，然后導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立即可.【詳解】解：由題意知

，，且，恒有則在上單調(diào)遞減設(shè)則恒成立，則令，則，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故所以．故選：D6．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于，故考慮構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知條件證明其單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)樗?，故故在R上單調(diào)遞減，又因?yàn)樗?，，所以不等式可化為，所以，所以的解集為故選：B.7．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行函數(shù)值的大小比較.【詳解】方法一：比較的大小時(shí)，（法一）設(shè)函數(shù)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，因?yàn)?，所以，?（法二）因?yàn)?，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象知，所以；比較的大小時(shí)，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，又，所以，即，綜上可得，，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.方法二（估值法）：因?yàn)?.43.所以，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.8．已知函數(shù)，關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，再根據(jù)與圖象之間的關(guān)系，即可繪制函數(shù)的圖象.令，結(jié)合圖象，根據(jù)題意若要滿足有四個(gè)根，只需方程的兩根與滿足：其中一個(gè)根，另一個(gè)根或．再結(jié)合二次函數(shù)圖象可建立不等式即可求解.【詳解】令，則，令，解得，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且在處，取得最小值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋瑒t的圖像是將的圖象在軸下方的部分關(guān)于軸向上翻折，保留軸上方的部分得到的，故的圖象如圖所示，令，結(jié)合圖象，根據(jù)題意若要滿足有四個(gè)根，則需方程有兩個(gè)實(shí)根與，且滿足其中一個(gè)根，另一個(gè)根或，由，得或，當(dāng)方程的一個(gè)根，另一個(gè)根時(shí)，將代入，可得，故化為，解得或，不符合題意；當(dāng)方程的一個(gè)根，另一個(gè)根時(shí)，所以解得．綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍為．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確畫(huà)出函數(shù)的圖象，可通過(guò)對(duì)求導(dǎo)得到單調(diào)性，再結(jié)合與圖象之間的關(guān)系，即可繪制函數(shù)的圖象，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的兩根與滿足：其中一個(gè)根，另一個(gè)根或．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，滿足，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，則（

）A． B．C．在處取得極小值 D．無(wú)極大值【答案】BCD【分析】設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)可得，因此設(shè)，根據(jù)題意可得的解析式，對(duì)A：利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性分析判斷，對(duì)B、C、D：利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性分析判斷.【詳解】設(shè)，則，可設(shè)，則，解得，故，即，令，則，故在上單調(diào)遞增，∴，即，則，A錯(cuò)誤；∵，令，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，在處取得極小值，無(wú)極大值，B、C、D均正確故選：BCD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）形式，聯(lián)想到；（2）形式，聯(lián)想到.10．函數(shù)，以下說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)有零點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【分析】利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理求解即可.【詳解】，定義域，所以，令解得，令解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則的圖象如圖所示：故A錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，所以從圖像可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，B正確；恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC11．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心．若函數(shù)，則（

）A．一定有兩個(gè)極值點(diǎn)B．函數(shù)在R上單調(diào)遞增C．過(guò)點(diǎn)可以作曲線的2條切線D．當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【分析】對(duì)求導(dǎo)，得出，沒(méi)有極值點(diǎn)，可判斷A，B；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求過(guò)點(diǎn)的切線方程條數(shù)可判斷C；求出三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，由于函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，可得，由倒序相加法求出所給的式子的值，可判斷D.【詳解】由題意知，，恒成立，所以在R上單調(diào)遞增，沒(méi)有極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤，B正確；設(shè)切點(diǎn)為，則，切線方程為，代入點(diǎn)得，即，解得或，所以切線方程為或，C正確；易知，令，則．當(dāng)時(shí)，，，所以點(diǎn)是的對(duì)稱(chēng)中心，所以有，即．令，又，所以，所以，D正確．故選：BCD.12．函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．函數(shù)的極大值為1B．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為C．當(dāng)時(shí)，方程恰有2個(gè)不等實(shí)根D．當(dāng)時(shí)，方程恰有3個(gè)不等實(shí)根【答案】BD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討極大值判斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程判斷B；分析函數(shù)性質(zhì)并結(jié)合函數(shù)圖象判斷CD作答.【詳解】對(duì)于A：，在區(qū)間，上，，單調(diào)遞增，在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，，則函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即，B正確；對(duì)于C、D：因?yàn)樵谏线f增，在上遞減，，，在上遞增，且在上的取值集合為，在上的取值集合為，因此函數(shù)在上的取值集合為，的極大值為，的極小值為，作出函數(shù)的部分圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)或時(shí)有2個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)根，C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：研究方程根的情況，可以通過(guò)轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，借助數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題，使問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13．已知函數(shù)與函數(shù)存在一條過(guò)原點(diǎn)的公共切線，則__________.【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別表示公切線方程，再由公切線過(guò)過(guò)原點(diǎn)得出.【詳解】設(shè)該公切線過(guò)函數(shù)、函數(shù)的切點(diǎn)分別為，.因?yàn)?，所以該公切線的方程為同理可得，該公切線的方程也可以表示為因?yàn)樵摴芯€過(guò)原點(diǎn)，所以，解得.故答案為：14．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和在上有2個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，從而求出的范圍即可．【詳解】，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則和在上有2個(gè)交點(diǎn)，，時(shí)，即，遞增，時(shí)，，遞減，故（1），而時(shí)，恒成立，時(shí)，恒成立，所以，故答案為：．15．已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可得出，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值可得解.【詳解】函數(shù)的定義城為，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，同時(shí)注意到，所以若存在，，使得成立，則且，所以，所以，所以構(gòu)造函數(shù)，而，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)得，再構(gòu)造函數(shù)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力..16．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是______．【答案】【分析】作出的函數(shù)圖象，得出，，將化簡(jiǎn)為，構(gòu)造函數(shù)，，由得出單調(diào)遞增，求出的最大值，即可求得答案．【詳解】解：作出的函數(shù)圖象如圖所示：∵存在實(shí)數(shù)，滿足，，，由圖可知，，，設(shè)，其中，，顯然在單調(diào)遞增，，，，在單調(diào)遞增，在的最大值為，的最大值為，故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，17題共10分，其余各題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線；(2)討論的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)詳解【分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式即可求解；（2）求出導(dǎo)數(shù)，令，所以，，對(duì)分類(lèi)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可求解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以切點(diǎn)為，，，所以切線方程為．（2）由，令，所以，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立，所以在定義域上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)和時(shí)，恒成立，所以是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)和時(shí)，恒成立，所以是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以是減函數(shù)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在定義域上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．18．已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求在上的最值；(2)若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最小值為，最大值為.(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)直接求解函數(shù)最值即可；（2）由題知方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，研究其值域得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解即可得答案.【詳解】（1）解：，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)?，，，，所以，函?shù)在上的最小值為，最大值為.（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)沒(méi)有零點(diǎn)，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在處取得最大值因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)的值域?yàn)?，所以，?dāng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，，即，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．已知函數(shù)．(1)若，求曲線的斜率等于3的切線方程；(2)若在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令求得切點(diǎn)坐標(biāo)后可得切線方程；（2）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極值點(diǎn)，依題意結(jié)合零點(diǎn)存在定理，列出不等式求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得或（舍），∴，故切點(diǎn)為，∴所求切線方程為，即．（2），令，得，①當(dāng)，即時(shí)，在上，∴在上單調(diào)遞減，此時(shí)在上不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)，即時(shí)，在上，遞減；在上，遞增，則在時(shí)取得極小值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，要使在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則，得．∴綜上的取值范圍是．20．已知，.(1)若是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍(2)若不等式對(duì)任意成立，求的最大整數(shù)解【答案】(1)(2)9【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得是單調(diào)函數(shù)，只需或恒成立即可；（2）利用分離參數(shù)法，將不等式變形，令新函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出最值，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋x域?yàn)?，所以，令，由?dǎo)數(shù)的幾何意義可得要使在是單調(diào)函數(shù)，只需在內(nèi)滿足或恒成立，即或即可，顯然在上單調(diào)遞增，且，沒(méi)有最大值，所以，解得.（2）當(dāng)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為，令，則，記，當(dāng)時(shí)，，所以為上的增函數(shù)，且，，所以存在使得，即，所以在上遞減，在上遞增，且，因?yàn)椋?，所以，，所以的最大整?shù)解為9【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題，注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題處理.21．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得答案；（2）將所要證明的不等式變形為，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求得其最小值，即可證明原不等式.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）證明：要證，即證，即證，即證．令，則．由，可得，（舍去）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．所以，所以，結(jié)論得證．另解：證明：因?yàn)?，所以要證，即證，即證．設(shè)，則．令，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，故存在唯一的，使得，即，即，等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，即．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．所以，即，所以在上單