第32講線面角的幾何求法

第32講線面角的幾何求法【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：線與面的夾角①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．②范圍：=3\*GB3③求法：過平面外一點(diǎn)做平面，交平面于點(diǎn);連接，則即為直線與平面的夾角．接下來在中解三角形．即（其中即點(diǎn)到面的距離，可以采用等體積法求，斜線長即為線段的長度）；【典型例題】題型一：線面角【例1】在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝，CC1＝，則直線AC1與平面ABCD所成角的大小為（）A．45° B．30° C．60° D．90°【答案】B【分析】由于平面ABCD，所以為直線與平面ABCD所成的角，然后在中求解．【詳解】連接AC，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝，CC1＝因?yàn)槠矫鍭BCD，所以為直線與平面ABCD所成的角，在中，，因?yàn)闉殇J角，所以故選：B.【例2】已知三棱錐，設(shè)點(diǎn)是在底面上的投影，若與底面所成角相等，則點(diǎn)是的________心.【答案】外【分析】根據(jù)，，與底面所成角相等得到點(diǎn)在底面的投影到三角形三個頂點(diǎn)，，的距離相等，即可得到點(diǎn)在平面上的投影是的外心.【詳解】因?yàn)椋?，與底面所成角相等，所以頂點(diǎn)在底面的投影到三角形三個頂點(diǎn)，，的距離相等，所以點(diǎn)在平面上的投影是的外心.故答案為：外.【例3】如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面BCD，，，，，直線AC與底面BCD所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】根據(jù)題意，取的中點(diǎn)，則平面，即就是直線AC與底面BCD所成的角，解三角形即可求得角的大小.【詳解】取的中點(diǎn)，則因?yàn)閭?cè)面底面BCD，側(cè)面底面，側(cè)面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以就是直線AC與底面BCD所成的角，因?yàn)?，，，所以，在直角中，，在直角中，，即，所以直線AC與底面BCD所成角的大小為，故選：.【例4】已知正三棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)正三棱錐底面邊長為，則側(cè)棱長為，作圖確定側(cè)棱與底面所成角，解直角三角形即可得答案.【詳解】由題意知正三棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的2倍，如圖，設(shè)正三棱錐底面邊長為，則側(cè)棱長為∶，設(shè)頂點(diǎn)A在底面的射影為O點(diǎn)，連接并延長交于E，則E為的中點(diǎn)，則為側(cè)棱與底面所成角，由于為正三角形，則O為其中心，，，在中，，即側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于，故選：A.【例5】如圖，已知所有棱長均相等的直三棱柱，，分別為和的中點(diǎn)，則下列陳述不正確的是（

）A．平面 B．C．與所成角的正切值為 D．與平面所成角的正切值為2【答案】B【分析】對于A：結(jié)合已知條件，構(gòu)造平行四邊形，然后利用線面平行判定定理即可判斷；對于B：結(jié)合空間幾何關(guān)系即可判斷；對于CD：通過直線的平行關(guān)系，利用異面直線夾角的求法和線面夾角的定義即可判斷.【詳解】分別取，的中點(diǎn)為，，連接，，，，如下圖所示：對于A：由題意可知，，且，所以四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故A正確；對于B：因?yàn)橹比庵睦忾L均相等，所以，即為等腰三角形，從而與不垂直，因?yàn)?，，所以與不垂直，故B錯誤；對于C：因?yàn)樗耘c所成角為與所成角，從而，故C正確；對于D：與平面所成角為與平面所成角，由直三棱柱的性質(zhì)可知，所求角為，故，故D正確.故選：B.【例6】（多選題）在正方體中，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動，則下列說法正確的是（）A．直線平面B．直線與平面所成角的正弦值的最大值為C．異面直線AM與所成角的取值范圍是D．三棱錐的體積為定值【答案】ABD【分析】根據(jù)空間點(diǎn)線面之間的關(guān)系，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】對A選項(xiàng)，在正方體中，如圖，又平面，所以，所以平面，所以，同理，所以直線平面，故A正確；對選項(xiàng)B，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，根據(jù)對稱性，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)時，直線與平面所成角最大為，設(shè)正方體的邊長為2，則，此時，故B正確；對C，由，異面直線AM與所成角為直線AM與所成角，故當(dāng)在點(diǎn)處時所成角最大，此時，所成角為，當(dāng)在點(diǎn)或處時，所成角最小為，故C錯誤；對D，因?yàn)?，平面，所以平面，又直線，所以動點(diǎn)到平面的距離恒定，故三棱錐的體積為定值，D正確，故選：ABD【例7】在正四棱柱中，已知，，E為棱的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）要證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明面；（2）首先證明平面平面，說明為所求角，再根據(jù)余弦定理求解.【詳解】（1）連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)．在正四棱柱中，面ABCD，又∵ABCD，∴∵四邊形ABCD為正方形，∴又∵，，面，∴面，又∵面∴（2）由（1）知：面，又平面，∴平面平面，又面面，∴為直線與平面所成的平面角，∵正四棱柱中，，，分別在，，中，解得，，所以，故與平面所成角的余弦值為．【例8】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面PCD，，CD＝2，AD＝3，棱PC的中點(diǎn)為N，連接DN．(1)求證：平面PCD；(2)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取棱PC的中點(diǎn)N，連接DN，可得DN⊥PC，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得DN⊥平面PAC，從而得到DN⊥PA，利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）連接AN，由線面角的定義可得，∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角，在三角形中，利用邊角關(guān)系求解即可．【詳解】（1）證明：取棱PC的中點(diǎn)N，連接DN，由題意可知，DN⊥PC，又因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA?平面PAC，故DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN＝D，CD，DN?平面PCD，則PA⊥平面PCD；（2）連接AN，由（1）可知，DN⊥平面PAC，則∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切危珻D＝2且N為PC的中點(diǎn)，所以DN＝，又DN⊥AN，在中，sin∠DAN＝，故直線AD與平面PAC所成角的正弦值為．【例9】如圖，已知平面，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面，得到平面，即可得到平面平面，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得到平面；（2）根據(jù)，點(diǎn)為中點(diǎn)得到，即可將直線與平面所成角轉(zhuǎn)化為直線與平面所成角，由（1）的結(jié)論可得為直線與平面所成角，然后利用勾股定理得到，的長度，即可求直線與平面所成角的正切值.【詳解】（1）∵平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，∵，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∵平面平面，平面，∴平面.（2）取中點(diǎn)，連接，，∵，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴四邊為平行四邊形，，∴直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，∵平面，∴為直線與平面所成角，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，，∴，，，∴，所以直線與平面所成角的正切值為.【例10】如圖，在三棱錐中，平面，平面平面，，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過作于點(diǎn)，通過證明出，，可得平面；（2）過作于點(diǎn)，證明平面可得與平面所成角為，在三角形中求出表示出，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】（1）∵平面，∴且過作于點(diǎn)，∵平面平面，平面平面,平面，，∴平面，又平面PBC∴∵，∴平面.（2）過作于點(diǎn)，∵平面，平面∴平面平面，又平面平面，平面∴平面，∴與平面所成角即為又，設(shè)，∴，，，∴,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”.直線與平面所成角的正弦值的最大值為.【題型專練】1．在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，是直角三角形，，在中解出即可得到體積.【詳解】由已知，是直角三角形，且即為與平面所成的角，即，，則，則.長方體的體積.故選：C.2．（多選題）長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則下列說法不正確的是（

）A．B．與平面所成的角為C．D．與平面所成的角為【答案】ABC【分析】令，根據(jù)線面角定義可知，由此可求得的長，即可得到AC錯誤；作，可證得平面，同時平面，根據(jù)線面角定義，結(jié)合長度可得BD正誤.【詳解】連接，不妨令，在長方體中，面，面，和分別為與平面和平面所成的角，即，在中，，，，在中，，，，，，，，，AC錯誤；作，垂足為，平面，平面，，又，平面，平面，為與平面所成的角，在中，，B錯誤；連接，平面，為與平面所成的角，在中，，，D正確.故選：ABC.3．（多選題）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，則下列命題正確的是（

）A．B．三棱錐的體積為定值C．異面直線AP與所成的角可以為D．設(shè)直線與平面所成的角為，則的最小值為【答案】ACD【分析】對于A：只需證平面即可；對于B：體積轉(zhuǎn)化法；對于C：因?yàn)?，所以∠APC（或補(bǔ)角）為異面直線AP與所成的角，觀察∠APC的變化范圍；對于D：求出到平面的距離為定值，則，只需考察變化時對的影響.【詳解】如圖所示對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，平面，平面所以平面，又平面，所以，同理可證：，又，平面，平面所以平面，又AP在平面內(nèi)，，所以A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，又平面，平面，所以平面，所以，所以B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以∠APC（或補(bǔ)角）為異面直線AP與所成的角，因?yàn)闉檎切?，所以?dāng)點(diǎn)P與線段B1C的端點(diǎn)重合時，異面直線AP與所成的角取得最小值60°，當(dāng)點(diǎn)P與線段的中點(diǎn)重合時，異面直線AP與所成的角取得最大值90°，因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P從線段的端點(diǎn)運(yùn)動到線段的中點(diǎn)過程中，異面直線AP與所成的角的大小變化是連續(xù)的，所以異面直線AP與所成的角可以為75°，所以C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為，由B知，得，要使最小，則最大，又，當(dāng)最小時，最大，當(dāng)點(diǎn)P在線段的中點(diǎn)時，最小為，所以的最大值為，所以的最小值為，所以D選項(xiàng)正確．故選：ACD．4.已知正方體，則與平面所成角的正切值為______【答案】【分析】利用平面，可得為直線與平面所成角，利用正切函數(shù)可得結(jié)論.【詳解】解：如圖，連接在正方體中，平面，平面，則所以直線與平面所成角為角，設(shè)正方體的棱長為，所以，則所以與平面所成角的正切值為.故答案為：.5．如圖，在三棱錐中，平面ABC，D是PB上一點(diǎn)，且平面PBC.(1)求證：；(2)若，M是PC的中點(diǎn)，求直線BM與平面ABC所成角的大小.【答案】(1)證明詳見解析(2)【分析】（1）通過證明平面來證得.（2）作出直線與平面所成角，并求得角的大小.【詳解】（1）由于平面ABC，平面，所以.由于平面PBC，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以.（2）設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于是的中點(diǎn)，所以，所以平面，所以是直線與平面所成角，由于，直角三角形中，，所以，所以.6．如圖1，在平面四邊形ABCD中，已知ABDC，，，E是AB的中點(diǎn)．將△BCE沿CE翻折至△PCE，使得，如圖2所示．(1)證明：；(2)求直線DE與平面PAD所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取CE的中點(diǎn)F，連接PF，DF，通過證明線面垂直繼而證明線線垂直；（2）找到垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，找打直線DE的方向向量與平面PAD的法向量，根據(jù)向量公式即可求出正弦值.【詳解】（1）如圖取CE的中點(diǎn)F，連接PF，DF，由題易知△PCE，△DCE都是等邊三角形，?DF⊥CE，PF⊥CE，?，平面DPF，平面DPF?CE⊥平面DPF．?平面DPF?DP⊥CE．（2）由題易知四邊形AECD是平行四邊形，所以AD∥CE，又平面PAD，所以平面PAD，所以點(diǎn)E與點(diǎn)F到平面PAD的距離相等．由（1）知CE⊥平面DPF，所以AD⊥平面DPF．又平面PAD，所以平面PAD⊥平面DPF．過F作FH⊥PD交PD于H，則FH⊥平面PAD．，，故點(diǎn)F到平面PAD的距離．設(shè)直線DE與平面PAD所成的角為，則，所以直線DE與平面PAD所成角的正弦值為．7．如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中，平面平面.(1)證明：；(2)若，且與平面所成角的正弦值為，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）在梯形中結(jié)合余弦定理證明，再利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)推理作答.（2）取BD中點(diǎn)O，利用線面角求出四棱錐的高PO，再計(jì)算體積作答.【詳解】（1）因，則為等邊三角形，即，又，有，在中，，于是得，即，而平面平面ABCD，平面平面，平面，因此平面，又平面，所以.（2）取BD中點(diǎn)O，連PO，如圖，，則，平面平面ABCD，平面平面，平面，則平面，連接AO，則AO為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，即PAO為PA與平面ABCD所成角，有，則，而，于是得，梯形的面積為，所以四棱錐的體積.8．在三棱錐中，平面，，，F(xiàn)為棱P