期中滿分沖刺02之選擇壓軸題（九上蘇科17大類型70題）-2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊考點(diǎn)解惑題型過關(guān)專練（蘇科版）

第第頁期中考前易丟分之選擇壓軸題（九上蘇科，17大類型70題）考點(diǎn)一、一元二次方程的解1．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知一元二次方程的一個(gè)根是，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，然后利用整體代入求值即可，解題的關(guān)鍵是熟記把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．【詳解】解：將代入原方程得：，∴，則，故選：．2．（23-24九年級上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）關(guān)于x的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），則方程的解是（

）A．或 B．或1 C．1或3 D．或【答案】D【分析】本題考查方程的解．把方程中的看成整體，根據(jù)關(guān)于x的方程的解可得或，求解即可．【詳解】∵關(guān)于x的方程的解是，，∴方程變形為，此方程的中或，解得，，∴方程的解為：，．故選：D3．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期中）若關(guān)于x的一元二次方程的解是，，則關(guān)于y的方程的解為（

）A．－2 B．2 C．或2 D．以上都不對【答案】C【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程，一元二次方程的解，令，則，得出，即可解答．【詳解】解：令，則方程可改寫為：，∵一元二次方程的解是，，∴，∴或，解得：或，故選：C．考點(diǎn)二、關(guān)于一元二次方程的代數(shù)式求值4．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）若是方程的一個(gè)根，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，把代入方程得到，再把代入代數(shù)式即可求解，掌握一元二次方程解的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是方程的一個(gè)根，∴，∴，∴，故選：．5．（2023·浙江·模擬預(yù)測）若a，b滿足，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將方程

的兩邊都除以得，進(jìn)而得出a，為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，最后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．【詳解】由題意可知，將方程的兩邊都除以得，∵，，∴，為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，將方程變形，進(jìn)而得出a，為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．6．（21-22九年級上·江蘇蘇州·期中）若關(guān)于x的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用因式分解法求出方程的兩個(gè)根，再根據(jù)有一根小于1，一根大于1建立不等式，解不等式即可得．【詳解】解：，，解得，，這個(gè)方程有一根小于1，一根大于1，，解得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握利用因式分解法解一元二次方程是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)三、一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系7．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)k的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，再結(jié)合為整數(shù)即可找出最大的值．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，，解得：且，為整數(shù)，的最大值為4，故選：A．8．（23-24八年級下·浙江·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程，有下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，方程不可能有兩個(gè)異號的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根不可能都小于1．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題主要考查了根的判別式，先根據(jù)方程，求出根的判別式，①根據(jù)a的范圍，判斷根的判別式的大小，從而進(jìn)行解答；②先根據(jù)已知條件，判斷方程根的情況，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之積，進(jìn)行判斷；③利用一元二次方程的求根公式，求出兩根，再根據(jù)a的范圍進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴①當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故①正確，②當(dāng)時(shí)，兩根之積，方程的兩根異號，故②錯(cuò)誤，③∵，∴方程的根為，∴，，∴方程的兩個(gè)實(shí)根不可能都小于1，故③正確．故選：C．9．（2024·湖北·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和，且，m的值為（

）A．或1 B．或0 C． D．1【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系和跟的判別式，先根據(jù)根的情況得出判別式為非負(fù)數(shù)，求出m的范圍，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和，根據(jù)，得出或，然后代入求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，∵一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和，∴，∵，∴或，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)，即時(shí)，，解得，綜上，，故選：D．10．（2024·江蘇無錫·一模）設(shè)是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則m的值為（）A．1 B． C．3或 D．1或【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系：．先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，再得出，得出關(guān)于m的一元二次方程，求解，再根據(jù)判別式檢驗(yàn)即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∵，∴，整理得：，，解得：或，當(dāng)時(shí)，原方程為，，則原方程有實(shí)數(shù)根，符合題意；當(dāng)時(shí)，原方程為，，則原方程無實(shí)數(shù)根，不符合題意；綜上：．故選：A．考點(diǎn)四、一元二次方程的結(jié)論判斷問題11．（24-25九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若c是方程的一個(gè)根，則一定有成立；③若是一元二次方程的根，則．其中正確的是（

）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【答案】C【分析】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根的判別式，等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的根的含義可判斷②③，一元二次方程的根的判別式可判斷①，從而可得答案．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，那么一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)成立，①正確．②若c是方程的一個(gè)根，則．當(dāng)，則；當(dāng)，則不一定等于0，②不一定正確．③由是一元二次方程的根，得，∴，即，∴，則③正確．故選：C．12．（2024·江蘇宿遷·三模）關(guān)于x的一元二次方程有以下命題：①若，則

②若方程的兩根為和，則③若上述方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則必有實(shí)數(shù)根；④若是該方程的一個(gè)根，則一定是的一個(gè)根．其中真命題的個(gè)數(shù)（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的知識，掌握一元二次方程解的概念和計(jì)算方法，根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的解，把代入可判定命題①②；根據(jù)根的判別式可判定命題③；根據(jù)方程的根進(jìn)行驗(yàn)證即可判斷命題④；由此即可求解．【詳解】解：命題①，當(dāng)x=-1時(shí)，一元二次方程為，∴x=-1是方程的解，即方程有實(shí)數(shù)解，∴，原命題為真命題；命題②，當(dāng)時(shí)，一元二次方程為，當(dāng)x=1時(shí)，一元二次方程為，∴聯(lián)立方程組得，∴解得，，∴，原命題為真命題；命題③，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，∴，∵，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)根，∴原命題是假命題；命題④，一元二次方程的一個(gè)根式，∴，∴，則，∵，∴，若是根，則，∴，∴原命題為真命題；綜上所述，是真命題的有①②④，共3個(gè)，故選：B．13．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）對于代數(shù)式（，a，b，c為常數(shù)），下列說法正確的是（

）①若，則有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；②存在三個(gè)實(shí)數(shù)，使得；③若與方程的解相同，則．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】本題考查的知識點(diǎn)是一元二次方程，根據(jù)根的判別式判斷①；根據(jù)一元二次方程(為常數(shù))最多有兩個(gè)解判斷②；將方程的解代入即可判斷③．【詳解】解：①，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．①正確；②一元二次方程（為常數(shù)）最多有兩個(gè)解，②錯(cuò)誤；③方程的解為，將代入得，即：，將代入得，即：，∴，則，即：③正確．故選：B．14．（23-24九年級上·江蘇宿遷·期中）對于一元二次方程，有下列說法：①若，則方程必有一個(gè)根為1；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若c是方程的一個(gè)根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則．其中正確的是（）A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)，根據(jù)一元二次方程的根的含義、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)、一元二次方程的求根公式，對各選項(xiàng)分別討論，即可得出答案．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，∴方程必有一個(gè)根為，故①錯(cuò)誤，不符合題意；②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則，那么，故方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故②正確，符合題意；③由c是方程的一個(gè)根，得．當(dāng)，則；當(dāng)，則不一定等于0，故③不一定正確，不符合題意；④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正確，符合題意．正確的結(jié)論為②④，故選：B．15．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若是方程的一個(gè)根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則，其中正確的（

）A．只有①② B．只有①②④C．①②③④ D．只有①②③【答案】B【分析】本題考查根的判別式，一元二次方程的解．利用根的判別式，方程的解使方程成立，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：若，則方程有一個(gè)根為，則；故①正確；若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則：，則：的判別式為，∴方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；故②正確；若是方程的一個(gè)根，則，當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤；若是一元二次方程的根，則：，∴，∴；故④正確；故選B．考點(diǎn)五、一元二次方程的實(shí)際問題16．（22-23九年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽（公元世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程（正根）的幾何解法，以方程即為例說明，記載的方法是：構(gòu)造如圖，大正方形的面積是．同時(shí)它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，因此．則在下面四個(gè)構(gòu)圖中，能正確說明方程解法的構(gòu)圖是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用、完全平方公式的幾何背景等知識點(diǎn)，通過圖形直觀得到面積之間的關(guān)系并用代數(shù)式表示出來是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，畫出方程，即的拼圖過程，由面積之間的關(guān)系即可解答．【詳解】解：方程，即的拼圖如圖所示：中間小正方形的邊長，其面積為25，大正方形的面積：，其邊長為7，因此，D選項(xiàng)所表示的圖形符合題意．故選：D．17．（2024·安徽馬鞍山·三模）俗語有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼看．”其意思是知識和技藝在學(xué)習(xí)后，如果不及時(shí)復(fù)習(xí)，那么學(xué)習(xí)過的東西就會被遺忘．假設(shè)每天“遺忘”的百分比是一樣的，根據(jù)“兩天不練丟一半”，則每天“遺忘”的百分比約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】該題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確列出方程．設(shè)每天遺忘的百分比為，根據(jù)“兩天不練丟一半”列出方程解答即可．【詳解】解：設(shè)每天遺忘的百分比為，則，解得：．故選：C．18．（2024·黑龍江佳木斯·三模）直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)每件小商品售價(jià)每降低1元，日銷售量增加2件．若日利潤保持不變．商家想盡快銷售完該款商品．每件售價(jià)應(yīng)定為多少元（

）A．45 B．50 C．55 D．60【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為x元，依據(jù)按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低1元，日銷售量增加2件列出等式解答即可．【詳解】解：設(shè)設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為x元，根據(jù)題意，得解得：，，∵商家想盡快銷售完該款商品，∴，∴商家想盡快銷售完該款商品，每件售價(jià)應(yīng)定為50元．故選：B．19．（23-24九年級上·山東德州·期中）如圖，在中，，，，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以的速度移動，若P、Q兩點(diǎn)分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在運(yùn)動過程中，的最大面積是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)后經(jīng)過，的面積為，則，，，進(jìn)而得到S的表達(dá)式；由于S的表達(dá)式為二次函數(shù)的形式，將其化為頂點(diǎn)式，再結(jié)合t的取值范圍就能得出面積的最大值．【詳解】解：設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)后經(jīng)過，的面積為Scm2．則，，，則．∵，，點(diǎn)P的運(yùn)動速度為，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為，∴，∴，∴時(shí)，S有最大值，最大值為9，即的最大面積為故選：C．20．（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）圖1是我國古代傳說中的洛書，圖2是洛書的數(shù)字表示．相傳，大禹時(shí)，洛陽西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛書”，獻(xiàn)給大禹．大禹依此治水成功，遂劃天下為九州．又依此定九章大法，治理社會，流傳下來收入《尚書》中，名《洪范》．《易?系辭上》說：“河出圖，洛出書，圣人則之”．洛書是一個(gè)三階幻方，就是將已知的9個(gè)數(shù)填入3×3的方格中，使每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的數(shù)字之和都相等．圖3是一個(gè)不完整的幻方，根據(jù)幻方的規(guī)則，由已知數(shù)求出x的值應(yīng)為（）A．或 B．1或 C．或4 D．1或4【答案】A【分析】本題考查幻方，解一元二次方程．根據(jù)幻方的規(guī)則得出方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)幻方的規(guī)則，得出方程，再求解方程即可．【詳解】解∶設(shè)幻方所填數(shù)如圖所示，∴，，由①得，由②由得：，解得：，，故選：A．考點(diǎn)六、求圓中的最值問題21．（2024·山東日照·二模）直線與x，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，P是以為圓心，1為半徑的圓上一點(diǎn)，連接，則面積的最大值為（）A．27 B．10 C．23 D．32【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，三角形的面積，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，解此題的關(guān)鍵是求出圓上的點(diǎn)到直線的最大距離．求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出，求出點(diǎn)C到的距離，即可求出圓C上點(diǎn)到的最大距離，根據(jù)面積公式求出即可．【詳解】解：∵直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵點(diǎn)P是以為圓心，1為半徑的圓上一點(diǎn)，過C作于M，連接，∴，∴，當(dāng)P，C，M在一條直線時(shí)，最大，即的面積最大，即，∴面積的最大值，故選：D．22．（23-24九年級上·浙江寧波·階段練習(xí)）一塊含角的直角三角板和一塊量角器如圖擺放（三角板頂點(diǎn)A與量角器0刻度處重合），量角器與三角板交于點(diǎn)D，經(jīng)測量知，點(diǎn)E為中點(diǎn)，點(diǎn)F為弧上一動點(diǎn)，則的最小值為（）A．9 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查點(diǎn)到圓上的最值問題，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及垂徑定理，設(shè)量角器刻度處為點(diǎn)G，為半圓的直徑，設(shè)的中點(diǎn)為O，則點(diǎn)O為圓心，連接，證明為等腰直角三角形，由當(dāng)點(diǎn)O，E，F(xiàn)在一條直線上時(shí)，取得最小值，即可解答．【詳解】解：設(shè)量角器刻度處為點(diǎn)G，如圖，則為半圓的直徑，設(shè)的中點(diǎn)為O，則點(diǎn)O為圓心，連接，∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，∴，，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵點(diǎn)F為弧上一動點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)O，E，F(xiàn)在一條直線上時(shí)，取得最小值．∴的最小值為．故選：C．23．（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以C-2,0為圓心，1為半徑的上運(yùn)動，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，則長的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題,三角形中位線定理,圓的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．連結(jié)，根據(jù)反比例函數(shù)的中心對稱性可得，即得是的中位線，所以，當(dāng)經(jīng)過圓心C時(shí)，取得最大值，最大值為，求出，的值，即得答案．【詳解】連結(jié)，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，，點(diǎn)Q是AP的中點(diǎn)，是的中位線，，當(dāng)經(jīng)過圓心C時(shí)，取得最大值，最大值為，聯(lián)立，解得或，，，，點(diǎn)P在1為半徑的上運(yùn)動，，，長的最大值為．故選A．24．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，矩形中，，，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿，向終點(diǎn)B，D運(yùn)動，過點(diǎn)E，F(xiàn)作直線l，過點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為G，則的最大值為（

）

A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、動點(diǎn)軌跡、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)確定G的軌跡是本題解題的關(guān)鍵．連接，交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，可以得出的軌跡，從而求出的最大值．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖所示：

∵四邊形是矩形，∴，，，∴在中，，∴，∵，，在與中，，，，，共線，，是中點(diǎn)，∴在中，，的軌跡為以為圓心，為半徑即為直徑的圓?。嗟淖畲笾禐榈拈L，即．故選：D．25．（23-24九年級上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，半徑為5，P為上任意一點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，正確尋找點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題．如圖，連接，取的中點(diǎn)H，連接，利用三角形的中位線定理可得，推出點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是以H為圓心半徑為2.5的圓，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，取的中點(diǎn)H，連接，．∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，，點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是以H為圓心半徑為2.5的圓，，，，，的最小值．故選B．考點(diǎn)七、垂徑定理求線段的長26．（24-25九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知為的直徑，C為上一點(diǎn)，將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到，交于E點(diǎn)，若點(diǎn)D在上．若半徑是5，，則弦的長度為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，線段垂直平分線的判定定理，三角形相似的判定及性質(zhì)，勾股定理等；連接、，，連接交于，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，與是等圓，由三角形相似判定方法得，由三角形相似的性質(zhì)得求出，由勾股定理求出，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖，連接、，，連接交于，半徑是5，，，，，由旋轉(zhuǎn)得：，，與是等圓，，，，，，，，，，是直徑，，，，，，，，，；故選：C．27．（21-22九年級上·江蘇常州·期中）如圖，已知直線交于兩點(diǎn)，是的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且平分，過作，垂足為，且，的直徑為20，則的長等于（）A．8 B．12 C．16 D．18【答案】B【分析】根據(jù)題意連接，過作，利用角平分線定義得，繼而得到，再得到四邊形為矩形，再設(shè)，則，利用勾股定理即可得到本題答案．【詳解】解：連接，過作，垂足為，，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴．∵，設(shè)，則，∵的直徑為20，∴，∴，在中，由勾股定理得．即，解得．∵，故舍去，∴，∴，∵，由垂徑定理知，F(xiàn)為的中點(diǎn)，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線定義，平行線判定及性質(zhì)，矩形判定及性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理等．28．（23-24九年級上·江蘇南通·期末）如圖，在中，半徑，弦，是弦上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)，），若線段長為正整數(shù)，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】A【分析】此題考查了垂徑定理、勾股定理、垂線段最短，熟練掌握垂徑定理和勾股定理，求出是解題的關(guān)鍵．當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)最短，則，由勾股定理求出的長；當(dāng)P與A或B重合時(shí)，最長，得出的范圍，再由為整數(shù)，得到所有可能的長即可．【詳解】解：連接，當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)，則，由垂徑定理得：，此時(shí)最短，在中，，，由勾股定理得：，即的最小值為3，當(dāng)P與A或B重合時(shí)，最長，此時(shí)，∵是弦上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)，）∴，若線段的長度為正整數(shù)，∴或．根據(jù)對稱性可知，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選：A．29．（2024九年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，已知的半徑為10，的一條弦，若內(nèi)的一點(diǎn)P恰好在上，則線段的長度為整數(shù)的值有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)勾股定理求出，求出的范圍，計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)，則，由勾股定理得：，則，∴線段的長度為整數(shù)的值有6、7、8、9共4個(gè)，故選：C．30．（2024·江蘇宿遷·二模）七巧板被西方人稱為“東方魔術(shù)”，如圖，小米同學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識設(shè)計(jì)徽標(biāo)，將邊長為的正方形分割成的七巧板拼成了一個(gè)軸對稱圖形，取名為“火箭”，過該圖形的，，三個(gè)頂點(diǎn)作圓，則該圓的半徑長上（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了七巧板，正方形的性質(zhì)，確定圓的條件以及三角形的外接圓與外心，先求得，，利用垂徑定理求得的長，在中，由勾股定理求解即可，解題的關(guān)鍵是作出適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形．【詳解】解：∵將邊長為的正方形分割成的七巧板拼成了一個(gè)軸對稱圖形，如圖，連接，∴，，∴，設(shè)該圓的半徑長是，則，，在中，由勾股定理得，解得，∴該圓的半徑長是，故選：．考點(diǎn)八、圓的有關(guān)性質(zhì)及計(jì)算31．（24-25九年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，交的延長線于點(diǎn)，若平分，，，則的長為（

）．A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得到，根據(jù)得到結(jié)合角平分線得到，即可得到：，從而得到，結(jié)合勾股定理即可得到答案；【詳解】解：連接，∵四邊形內(nèi)接于，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，，，∴∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，同弧所對的圓周角相等，等角對等邊等知識，掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．32．（23-24九年級上·江蘇無錫·期中）如圖，是的內(nèi)接三角形，，D是邊上一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)E．若，則的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的外接圓和外心，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接，，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，即的半徑為，故選：A．33．（2024九年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，，為的切線，為切點(diǎn)，，則和的面積之比為（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理和全等三角形的判定與性質(zhì)．連接，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，再證明得到，然后利用得到．【詳解】解：連接，如圖，為的切線，為切點(diǎn)，，，為直徑，，，，，，，，在和中，，，，，，．故選：B34．（23-24九年級下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是以為直徑的半圓上一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），且，若，整數(shù)m的值為（）A．7 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7【答案】C【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角、勾股定理，先把邊長設(shè)出來，根據(jù)直徑所對的角為直角，以及勾股定理可得到結(jié)果，注意設(shè)出來的邊長為整數(shù)．【詳解】設(shè)，則，∵點(diǎn)C是以為直徑的半圓上一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)C是以為直徑的半圓上一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），∴，∴，∴，又∵m為整數(shù)，∴當(dāng)或時(shí)，m為整數(shù)6或7，故選：C．35．（24-25九年級上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①；②若點(diǎn)G為的中點(diǎn)，則；③連接，若，則；④．其中一定正確的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題考查三角形的內(nèi)心和外接圓的有關(guān)知識、垂徑定理的推論、圓周角定理、等腰三角形的判定、三角形的內(nèi)角和和外角性質(zhì)等知識，根據(jù)相關(guān)知識逐個(gè)判斷即可．利用內(nèi)心定義可判斷①；根據(jù)垂徑定理的推論可判斷②；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和內(nèi)心定義可判斷③；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、圓周角定理和等腰三角形的判定可判斷④．【詳解】解：∵點(diǎn)E是的內(nèi)心，∴平分，∴，故①正確；設(shè)外接圓圓心為O，連接，則垂直平分，∵點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)G為與的交點(diǎn)，即，故②正確；∵，∴，∵點(diǎn)E是的內(nèi)心，∴，，∴，故③錯(cuò)誤；∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故④正確，綜上，正確的有3個(gè)，故選：B．考點(diǎn)九、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系36．（2024·湖南衡陽·一模）如圖，在中，，是邊上的高，，若圓C是以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓，那么下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)D在圓C上，點(diǎn)A，B均在圓C外 B．點(diǎn)D在圓C內(nèi)，點(diǎn)A，B均在圓C外C．點(diǎn)A，B，D均在圓C外 D．點(diǎn)A在圓C外，點(diǎn)D在圓C內(nèi)，點(diǎn)B在圓C上【答案】D【分析】本題考查了含有角的直角三角形，勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．由題干條件得出兩個(gè)直角三角形中含角所對的直角邊等于斜邊的一半，即與，利用勾股定理即可求解出，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷即可【詳解】在中，，則，∵，∴．∴．圓C是以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓，，點(diǎn)A在圓C外，點(diǎn)D在圓C內(nèi)，點(diǎn)B在圓C上故選：D．37．（2024·河北保定·二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，存在三個(gè)定點(diǎn)分別為，，，順次連接，現(xiàn)添加一點(diǎn)，使得，那么的長不可能為（

）A．4 B．7 C．11 D．15【答案】A【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識，確定點(diǎn)所處的位置是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，確定，由題意可知點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以5為半徑的圓上，然后確定的取值范圍，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，∵，，，∴，，，∴，由題意可知，，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以5為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取最小值，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，取最大值，此時(shí)，∴的取值范圍為，∴的長不可能是4，選項(xiàng)A符合題意，選項(xiàng)B、C、D不符合題意．故選：A．考點(diǎn)十、利用直線與圓的位置關(guān)系求半徑的范圍38．（23-24九年級下·河南周口·開學(xué)考試）如圖，為等邊三角形的高，點(diǎn)O在的延長線上，且，的半徑為1，若將繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，與等邊三角形的邊只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況一共出現(xiàn)（）A．3次 B．4次 C．5次 D．6次【答案】C【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系．延長交于點(diǎn)，根據(jù)線段的和差關(guān)系求出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到，再根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)，，；；是等邊三角形，為等邊三角形的高，，又∵的半徑為1，∴在旋轉(zhuǎn)過程中，與邊只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況有2次，與邊有2次，與邊有1次，即交點(diǎn)為點(diǎn)，共5次．如圖：故選C．39．（2024·河南許昌·二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)，點(diǎn)D是上的一動點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)D到弦的距離最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，延長交于點(diǎn)D，此時(shí)點(diǎn)D到弦的距離最大，利用垂徑定理，勾股定理計(jì)算即可．本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點(diǎn),∴,過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，延長交于點(diǎn)D，此時(shí)點(diǎn)D到弦的距離最大，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴點(diǎn)D到弦的距離最大為，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，故選A．．40．（2024·山東菏澤·一模）在直角三角形中，，，，以點(diǎn)C為圓心作，半徑為，已知直線和有交點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、勾股定理，作于D，由勾股定理求出，由三角形的面積求出，可得以C為圓心，為半徑所作的圓與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，即可得直線和有交點(diǎn)，的取值范圍．【詳解】解：作于D，如圖所示：∵，∴，∵的面積，∴，即圓心C到的距離，∴以C為圓心的⊙C與直線有交點(diǎn)，則的取值范圍是：．故選：D．考點(diǎn)十一、切線的性質(zhì)與判定41．（23-24九年級上·江蘇常州·期中）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D．過點(diǎn)C作，在上取一點(diǎn)E，使，連接．對于下列結(jié)論：①；②；③為的切線；④，其中一定正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，圓的切線的判定，圓的性質(zhì)，熟練掌握圓的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，以為直徑的交于點(diǎn)D．∴，，∴，故①正確；∵，∴，∵，∴，∴，故②正確；∵，，∴，∴是三角形的中線，∴，∵，∴，∴為的切線，故③正確；無法判斷，故④錯(cuò)誤，故選B．42．（2022·河北石家莊·一模）如圖1和圖2，已知點(diǎn)P是上一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)P作一條直線，使它與相切于點(diǎn)P．以下是甲、乙兩人的作法：甲：如圖1，連接，以點(diǎn)P為圓心，長為半徑畫弧交于點(diǎn)A，連接并延長，再在上截取，直線即為所求；乙：如圖2，作直徑，在上取一點(diǎn)B（異于點(diǎn)P，A），連接和，過點(diǎn)P作，則直線即為所求．對于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（）

A．甲、乙兩人的作法都正確 B．甲、乙兩人的作法都錯(cuò)誤C．甲的作法正確，乙的作法錯(cuò)誤 D．甲的作法錯(cuò)誤，乙的作法正確【答案】A【分析】對于甲先證明是等邊三角形，得到，再由，得到，即可利用三角形外角的性質(zhì)得到，則，即可證明是的切線；對于乙由直徑所對的圓周角是直角得到，則，進(jìn)而得到，則，即可證明是的切線．【詳解】解：甲正確．理由：如圖1中，連接．∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線，乙正確．理由：∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．43．（2019·江蘇常州·二模）如圖，⊙O的內(nèi)接△ABC的外角∠ACE的平分線交⊙O于點(diǎn)D．DF⊥AC，垂足為F，DE⊥BC，垂足為E．給出下列4個(gè)結(jié)論：①CE＝CF；②∠ACB＝∠EDF；③DE是⊙O的切線；④．其中一定成立的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】①易證△CDE≌△CDF，得CE＝CF；②∠ACB+∠ACE＝180°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得∠ACE+∠EDF＝180°，所以∠ACB＝∠EDF；③無法證明DE是切線；④根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角得∠DCE＝∠DAB，所以∠DAB＝∠DCA，根據(jù)圓周角定理判斷．【詳解】解：①∵∠DCE＝∠DCF，∠DEC＝∠DFC，DC＝DC，∴△CDE≌△CDF，得CE＝CF．故成立；②∵∠ACB+∠ACE＝180°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得∠ACE+∠EDF＝180°，∴∠ACB＝∠EDF，故成立；③連接OD、OC．則∠ODC＝∠OCD．假如DE是切線，則OD⊥DE，∵BE⊥DE，∴OD∥BE，∠DCE＝∠ODC＝∠OCD，而∠DCE＝∠DCA，∠OCD≠∠DCA，故DE不是切線；④連接AD,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角得∠DCE＝∠DAB，∴∠DAB＝∠DCA，根據(jù)圓周角定理判斷弧AD＝弧BD．故成立．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定,圓周角定理,切線的判定,圓的內(nèi)接四邊形,考查知識點(diǎn)較多,綜合性強(qiáng),熟悉圓的有關(guān)性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵.考點(diǎn)十二、切線長定理的綜合44．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在中，，為中線，若，，設(shè)與的內(nèi)切圓半徑分別為，，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的內(nèi)切圓和面積，設(shè)的內(nèi)切圓為，與分別相切于點(diǎn)，由，，得，，連接，由可得，即得，同理得，進(jìn)而即可求解，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓為，與分別相切于點(diǎn)，∵，，，∴，，∵為斜邊上的中線，∴，∴，連接，則，∵，且，，，∴，解得，同理可得，，解得，∴，故選：．45．（23-24九年級上·云南玉溪·期末）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)，，，且，，，則陰影部分（即四邊形）的面積為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，根據(jù)切線的性質(zhì)，判斷出四邊形為正方形，利用直角三角形的內(nèi)切圓的半徑的計(jì)算公式，求出的長，進(jìn)一步求出陰影部分的面積即可，掌握直角三角形的內(nèi)切圓的半徑的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，，∵與，，分別相切于點(diǎn)，，，∴，，，，，∴，，∴四邊形是正方形，，∴，∴，故選：．46．（2023·浙江杭州·二模）如圖，點(diǎn)為的內(nèi)心，，，點(diǎn)，分別為，上的點(diǎn)，且．甲、乙兩人有如下判斷：甲：：乙：當(dāng)時(shí)，的周長有最小值．則下列說法正確的的是（）A．只有甲正確 B．只有乙正確C．甲、乙都正確 D．甲、乙都錯(cuò)誤【答案】A【分析】此題主要考查了三角形的內(nèi)心，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形，難點(diǎn)是在解答的周長最小時(shí)，將三角形的各邊都用表示，并根據(jù)垂線段最短來判斷．連接，過點(diǎn)作于，于，依據(jù)“”判定和全等，從而得出，然后再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于即可對甲的說法進(jìn)行判斷；過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，根據(jù)得，進(jìn)而得，據(jù)此得的周長為，只有當(dāng)最小時(shí)，的周長為最小，然后根據(jù)“垂線段最短”可對乙的說法進(jìn)行判斷．【詳解】解：連接，過點(diǎn)作于，于，點(diǎn)為的內(nèi)心，是的平分線，又，，，在和中，，，，在四邊形中，，，又，，即：，，即：，故甲的說法正確；過點(diǎn)作于點(diǎn)，，是的平分線，，，又甲的說法正確；，，在中，，，，的周長為：，當(dāng)最小時(shí)，的周長為最小，根據(jù)“垂線段最短”可知：當(dāng)時(shí)，的周長為最小，，與一定不垂直，不是最小，的周長不是最小，故乙的說法不正確．故選：A．47．（2023·山東濟(jì)南·三模）如圖，已知中，，，內(nèi)切圓半徑為，則圖中陰影部分面積和是()A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，扇形面積的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得圖中陰影部分面積和是的面積與扇形的面積的差，進(jìn)而即可求解【詳解】解：是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為，，，圖中陰影部分面積和是的面積扇形的面積，、分別是、的角平分線，，，，，，，，故選：A．考點(diǎn)十三、三角形的內(nèi)心與內(nèi)切圓48．（24-25九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，過的內(nèi)心作于點(diǎn)．若，，則的長為（

）

A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)心，切線長定理．過點(diǎn)I作，，垂足分別為G，F(xiàn)，可得，，，設(shè)，，，再由，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)I作，，垂足分別為G，F(xiàn)，

∵點(diǎn)I為的內(nèi)心，∴以為半徑的圓I是的內(nèi)切圓，∴，，，設(shè)，，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴．故選：C．49．（2024·四川南充·三模）如圖，過外一點(diǎn)作的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，為的直徑．若，，則的長為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理、切線長定理、等腰三角形的“三線合一”、直徑所對的圓周角是直角、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．連接，由切線長定理得，，則，，由為的直徑，得，，則，，再證明是等邊三角形，得，求得，則，可證明是等邊三角形，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接，，分別與相切于點(diǎn)，，，，，，為的直徑，，，，，，，是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，故選：B．50．（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）我們知道：過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長相等．【問題解決】如圖，現(xiàn)有一塊邊長為的正方形空地，在邊取一點(diǎn)，以長為直徑，在這個(gè)正方形的空地內(nèi)建一個(gè)半圓形兒童游樂場，過點(diǎn)劃出一條與這個(gè)半圓相切的分割線，正方形位于分割線右下方的部分作為娛樂區(qū)，娛樂區(qū)的最大面積等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是掌握切線長定理．當(dāng)半圓面積最大，即M與A重合時(shí)，娛樂區(qū)的面積最大，由切線長定理得到，，由勾股定理列出關(guān)于的方程，求出的長即可解決問題．【詳解】解：當(dāng)半圓面積最大，即M與A重合時(shí)，娛樂區(qū)的面積最大，與半圓相切于H，交于P，∵四邊形是正方形，∴，∴分別是半圓的切線，∴，設(shè)，則，，，在中，，∴，∴，∴，∴娛樂區(qū)的最大面積梯形的面積．故選：C．51．（22-23九年級上·山東聊城·期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，半徑為4的圓與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，直線與切于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A．，) B．(，) C．(，) D．，)【答案】C【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，作軸于E，軸于H，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)即得出．根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出，由切線長定理可知．即易證，得出，．設(shè)，則．在中，利用勾股定理可求出x的值，即得出、的長，再根據(jù)等積法可求出的長，再次利用勾股定理可求出的長，即得出C點(diǎn)坐標(biāo)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作軸于E，軸于H，連接，∵，，∴，，軸，∴AB為的切線，∵直線與切于點(diǎn)C，∴，，在和中，∴，∴，，設(shè)，則，，在中，，即，解得，∴，，∵∴，∴=，在中，，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(，)．故選：C．考點(diǎn)十四、三角形的外接圓及外心52．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，A、O在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，每個(gè)小方格的邊長為1，在此網(wǎng)格中找兩個(gè)格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）B、C，使O為的外心，則的長度是（

）

A． B． C．4 D．【答案】A【分析】本題考查外心的定義：外心是三角形外接圓的圓心，外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，也考查了勾股定理．根據(jù)題意作出圖形，得到點(diǎn)B和點(diǎn)C的位置，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，

∵點(diǎn)O為的外心，∴，點(diǎn)B和點(diǎn)C的位置如圖所示，∴，故選：A．53．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）小穎同學(xué)在手工制作中，把一個(gè)邊長為6cm的等邊三角形紙片貼到一個(gè)圓形的紙片上，若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)恰好都在這個(gè)圓上，則圓的半徑為（

）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】A【分析】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理解三角形的應(yīng)用．依題意畫出圖形，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用等邊三角形的性質(zhì)和垂徑定理得到，，在中，利用勾股定理即可求得的長．【詳解】解：由題意畫圖如下，則為等邊三角形，且內(nèi)接于，

，．過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，連接，，則，，．，，∴，在中，，，∴，．故選：A．54．（23-24九年級上·廣西柳州·階段練習(xí)）在中，，，，，點(diǎn)P在射線上上運(yùn)動，連接，交的外接圓于點(diǎn)D，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了三角形的外接圓、勾股定理等，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．連接，得出是等腰直角三角形，求出，連接交劣弧于點(diǎn)，此時(shí)的長即為長的最小值．中，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，連接，，，，，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長為半徑的劣弧上運(yùn)動，，劣弧所對的圓周角為，是等腰直角三角形，，，連接交劣弧于點(diǎn)，此時(shí)的長即為長的最小值．，，，，長的最小值為2．故選：A．55．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在中，I為內(nèi)心，P為的外接圓上一點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．設(shè)，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查三角形的內(nèi)心，圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)內(nèi)心為三角形的三條角平分線的交點(diǎn)，求出的度數(shù)，圓內(nèi)接四邊形結(jié)合四邊形的內(nèi)角和為360度，推出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵在中，I為內(nèi)心，，∴平分，平分，，∴，∴，∴，∵P為的外接圓上一點(diǎn)，∴，∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，∴，∴，∴，∴，∴；故選B．56．（23-24九年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在中，且，點(diǎn)P為的內(nèi)心，點(diǎn)O為邊中點(diǎn)，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在的下方作等腰，使得．連接，過點(diǎn)K作交的延長線于點(diǎn)T．判斷出點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：在的下方作等腰，使得．連接，過點(diǎn)K作交的延長線于點(diǎn)T．∵點(diǎn)P是的內(nèi)心，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)P在以K為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)心，勾股定理，旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．考點(diǎn)十五、正多邊形與圓57．（22-23九年級上·江蘇常州·期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為，小正方形的面積為，則大正方形的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)直角三角形的三邊分別為，較長的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，由切線長定理可得，直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于，即，根據(jù)小正方的面積為49，可得，進(jìn)而計(jì)算即即可求解．【詳解】解：設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的三邊分別為，較長的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，，①，②，，③，，解得或（舍去），大正方形的面積為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程組，掌握直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于是解題的關(guān)鍵．58．（2024九年級下·江蘇常州·專題練習(xí)）如圖，已知邊長為2的正頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，的中點(diǎn)D在y軸上，且在點(diǎn)A下方，點(diǎn)E是邊長為2、中心在原點(diǎn)的正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，把這個(gè)正六邊形繞中心旋轉(zhuǎn)一周，在此過程中的最小值為（）A．3 B． C．4 D．【答案】B【分析】分析：首先得到當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至y軸上時(shí)最小，然后分別求得、的長，最后求得的長即可．【詳解】解：如圖，連接，根據(jù)，當(dāng)D，E，O三點(diǎn)共線時(shí)，最??；∵邊長為2的是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，的中點(diǎn)D在y軸上，∴，，∴，∵正六邊形的邊長為2，∴，∴是等邊三角形，∴∴故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握性質(zhì)和應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．59．（2024九年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，是正六邊形的外接圓，若的半徑為6，則四邊形的周長是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正多邊形和圓，矩形，掌握正六邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出，即可．【詳解】解：如圖，連接，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

點(diǎn)是正六邊形的中心，，，是正三角形，，在中，，，，，四邊形的周長是，故選：C60．（2024·江蘇蘇州·二模）圓周率是指圓的周長與圓的直徑的比值，我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之用“割圓術(shù)”將圓周率算到了小數(shù)后面第七位，成為當(dāng)時(shí)世界上最先進(jìn)的成就，“割圓術(shù)”是指用圓的內(nèi)接正多邊形的周長來近似替代圓的周長，如圖所示，從正六邊形起算，并依次倍增，使誤差逐漸減?。?dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)為360時(shí)，由“割圓術(shù)”可得圓周率的近似值可用代數(shù)式表示為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，先根據(jù)題意得出頂角，再由等腰三角形性質(zhì)可知，表示出，通過周長近似即可求解．【詳解】解：如圖：圓內(nèi)接正360邊形被半徑分成360個(gè)全等的等腰三角形，其頂角，過點(diǎn)O作，垂足為C，

設(shè)，，，在中，，，∴由“割圓術(shù)”可得圓周率的近似值，故選：D．61．（2024·江蘇常州·二模）正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，在如圖所示的正五角星中，以、、、、為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，其余各點(diǎn)都是對角線的交點(diǎn)，下列個(gè)結(jié)論①，②，③，④其中成立的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】A【分析】如圖，連接AB、、CD、DE、，令正五邊形的外接圓為，由五邊形是正五邊形及弦弧的關(guān)系，得，從而得，，，故①正確，同理可得：，，根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)得，即，從而，故②正確，同理可得，進(jìn)而得，于是，故③正確，由，得，故④錯(cuò)誤．【詳解】解：如圖，連接AB、、CD、DE、，令正五邊形的外接圓為，∵五邊形是正五邊形，∴，∴，∴，即∴，，故①正確，同理可得：，，∴，∴，，，，∴，，∵，，∴，∴，即，∴（負(fù)值舍去），故②正確，同理可得，∴，∴，∴∴，故③正確，∵，∴∴，故④錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，正多邊形的性質(zhì)，圓弧弦之間的關(guān)系，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握正多邊形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．62．（2024·江蘇揚(yáng)州·二模）我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算.如圖，利用內(nèi)接正十二邊形的面積作近似估計(jì)，可得的估計(jì)值為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算．過作于，求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式得到，于是得到正十二邊形的面積為，根據(jù)圓的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，是正十二邊形的一條邊，點(diǎn)是正十二邊形的中心，不妨設(shè)圓的半徑為，過作于，在正十二邊形中，，，，正十二邊形的面積為，，，的近似值為3，故選：C．考點(diǎn)十六、扇形的有關(guān)計(jì)算63．（2024九年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，半徑，將圓沿折疊，點(diǎn)與圓心重合，圖中陰影部分面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，，，，與交于，由折疊的性質(zhì)可證，是等邊三角形，由扇形面積公式可計(jì)算出扇形的面積，再求出的面積，由可求出陰影面積．本題考查了扇形面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，含