微積分 第3版 課件 9第三節(jié) 常系數(shù)線性微分方程

如果

與

是方程(1)的兩個線性無關(guān)的特解,其中p,q為常數(shù),稱為二階常系數(shù)齊次線性方程.9.3二階常系數(shù)線性微分方程1.定義方程

則

就是方程(1)的通解.由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論:

稱為方程(9-6)對應(yīng)的二階常系數(shù)齊次線性方程，9.3二階常系數(shù)線性微分方程

二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為其中不恒為零.而方程其中p,q為常數(shù).一般地,我們稱

稱為特征方程,稱的根為特征根.為方程(9-6)和(9-7)的特征多項式,

容易驗證以下結(jié)論：齊次線下微分方程解的疊加原理,即如果y1(x),y2(x)是二階齊次線性方程(9-7)的兩個解,則y=y1(x)+y2(x)也是方程(9-7)的解.特別的,如果不恒等于常數(shù)(此時稱y1(x)與

y2(x)線性無關(guān)),則y=y1(x)+y2(x)是方程(9-7)的通解,其中C1和C2是任意常數(shù).(2)如果是二階非齊次線性方程(9-6)的一個特解,Y是對應(yīng)的齊次方程(9-7)的通解,則是二階非齊次線性方程(9-6)的通解.是方程的解,和方程

則的解.(3)如果

故有9.3.1二階常系數(shù)齊次線性方程解法做變量代換，代入方程（9-7）,得解得特征根為可得兩個線性無關(guān)的特解故齊次方程的通解為(1)若特征方程有兩個不相等的實根特征根為(2)若特征方程有兩個相等的實根得一特解故齊次方程的通解為特征根為設(shè)另一特解為于是(3)若特征方程有一對共軛復(fù)根故齊次方程的通解為特征根為用歐拉(Euler)公式:為了得到實數(shù)形式的解,得兩個線性無關(guān)的特解及齊次方程解的疊加原理得特征方程常系數(shù)齊次線性方程通解的表達(dá)式特征根的情況實根復(fù)根實根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法,稱為特征方程法.解特征方程為特征根為例1求方程的通解.故所求通解為解特征方程為特征根為故所求通解為例2求方程的通解.解特征方程為特征根為故所求通解為例3求方程的通解.解特征方程為特征根為所以方程的通解為練習(xí)

求解初值問題故所求特解為1.多項式這類二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

其中

是m次多項式.因多項式的導(dǎo)數(shù)仍是多項式,我們猜測這類方程

的特解也是多項式.9.3.2二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

例4求下列方程的一個特解:解(1)做兩次積分取積分常數(shù)為零,得特解為設(shè)代入方程整理得

比較系數(shù)得即

比較方程兩邊次數(shù),

應(yīng)為2次多項式.則積分并取積分常數(shù)為零,得特解設(shè),則代入方程得

整理得

比較系數(shù)得解得

特解為

應(yīng)為2次多項式.為此只需要做變量代換

其中z是未知函數(shù).

2.多項式與指數(shù)函數(shù)的乘積這類二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為其中是x的m次多項式,

是常數(shù).注意到只要能消去指數(shù)ex即可歸結(jié)為上一種情形.解令代入方程,整理得設(shè)則比較系數(shù),得例5求方程的一個特解.

則解得原方程的一個特解為解(一)求對應(yīng)齊次微分方程通解特征方程為特征根為對應(yīng)的齊次方程通解例6求方程的通解,并求滿足條件的特解.

(二)求非齊次微分方程通解特征多項式為

令原方程通解為因此,原方程的一個特解為得特解則原方程化為

其中即有解得所以,原方程滿足初始條件的特解為(三)確定非齊次微分方程滿足初始條件的特解求導(dǎo)得解特征方程為則例7求方程的通解.

特征根為對應(yīng)的齊次方程通解令則代入方程,整理得設(shè)該方程特解為解得原方程的一個特解為原方程通解為令則或3.正弦和余弦這種類型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

其中是x的m次實系數(shù)多項式,

p,q,是實常數(shù).的解.的特解求法與前面的討論完全相同,和由線性微分方程解的結(jié)