微積分 第3版 課件 6.1 定積分的概念與性質(zhì)

6.1

定積分的概念與性質(zhì)

同導(dǎo)數(shù)一樣，我們?nèi)匀粡膸缀魏臀锢韮蓚€(gè)方面介紹定積分的背景問題，從中引出定積分的概念，然后介紹定積分的性質(zhì)。第六章定積分及其應(yīng)用所圍成的平面圖形.引例一求曲邊梯形的面積曲邊梯形是指由連續(xù)曲線x軸與兩條直線一、定積分的背景和定義6.1.1定積分的概念用矩形面積之和近似取代曲邊梯形面積思想:以直代曲應(yīng)用極限的思想,分四步求面積A.(1)

劃分(2)

近似長(zhǎng)度為為高的小矩形,面積近似代替任意用分點(diǎn)(3)

求和這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積A的近似值:(4)

取極限為了得到A的精確值,分割無限加細(xì),趨近于零時(shí),取極限,極限值就是曲邊梯形面積即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度(庫(kù)存量的瞬時(shí)變化率),

求該倉(cāng)庫(kù)在

時(shí)

引例二庫(kù)存量問題設(shè)某倉(cāng)庫(kù)在時(shí)刻的邊際庫(kù)存量為

段上庫(kù)存的變化總量.(3)求和(4)取極限庫(kù)存量的精確值(2)近似(1)

劃分任取

表示在時(shí)間

內(nèi)的庫(kù)存量變化設(shè)函數(shù)

f(x)在[a,b]上有界,定義6.1

把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間,各小區(qū)間長(zhǎng)度依次為一點(diǎn)作乘積如果不論對(duì)[a,b](1)在[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)(2)在各小區(qū)間上任取(3)并作和(4)記被積函數(shù)被積表達(dá)式記為積分和怎樣的分法,怎樣的取法,只要當(dāng)和S總趨于確定的極限I,稱這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.積分下限積分上限積分變量[a,b]稱為積分區(qū)間也不論在小區(qū)間上點(diǎn)關(guān)于定積分概念的兩條說明：

而與積分變量的字母無關(guān).2.定積分是數(shù)值,僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),1.如果

f(x)在[a,b]上的定積分存在,則稱

f(x)在[a,b]上可積,否則,稱

f(x)在[a,b]上不可積.連續(xù)函數(shù)一定可積.定積分的存在定理取

.解例6.1用定義計(jì)算.顯然，在

[0,1]上連續(xù),

在

[0,1]上可積.因而把區(qū)間[0,1]等分,則第

i個(gè)分點(diǎn)為,于是二、定積分的幾何意義曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值幾何意義取負(fù)號(hào).它是介于x軸、函數(shù)

f(x)的圖形及兩條直線

x=a,x=b之間的各部分面積的代數(shù)和.在

x軸上方的面積取正號(hào);在

x軸下方的面積例6.2

計(jì)算解例6.3

求解oxyP1363(2)利用定積分的幾何意義求：解oxy

設(shè)f(x)連續(xù)，由定積分的幾何意義得到下面的結(jié)論：(2)如果

f(x)是

[-a,a]上的奇函數(shù)，則；(3)如果

f(x)是

[-a,a]上的偶函數(shù)，則；(1)；4.如果f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù),則例6.4

計(jì)算解區(qū)間

[-1,1]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)

是連續(xù)的奇函數(shù)，所以(2)6.1.2定積分的性質(zhì)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間

上可積，規(guī)定:性質(zhì)6.1

線性性質(zhì)性質(zhì)

6.2

區(qū)間可加性無論

a,b,c

的相對(duì)位置如何,上式總成立.設(shè)

則無論

a,b,c

的相對(duì)位置如何,上式總成立.例

若則性質(zhì)6.3

保號(hào)性則有如果在區(qū)間[a,b]上證因即得令又因推論6.1

保序性

如果在區(qū)間[a,b]上則

推論6.2證即解因于是例

比較積分值

和

的大小.性質(zhì)

6.4

定積分的估值定理證

因設(shè)

M及m分別是函數(shù)

在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值,則

即由推論6.1(保序性)解

設(shè)例6.6

估計(jì)定積分

的值的范圍.故因性質(zhì)6.5

定積分中值定理則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),積分中值公式

使得

證使得由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,上至少存在一個(gè)點(diǎn)在區(qū)間[a,b]所以在區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)使得以區(qū)間[a,b]為底邊,以曲