微積分 第3版 課件 9第二節(jié) 一階微分方程_第1頁
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文檔簡介

的微分方程,稱為可分離變量的微分方程.2.解法1.定義分離變量9.2.1可分離變量的微分方程9.2一階微分方程或可化為形如求得積分后,即得原微分方程的通解兩端積分注意:如果

則常函數(shù)也是方程的一個(gè)解.

這樣的解并沒有包含在通解之中,稱之為奇解.

解分離變量得兩端積分得從而故原方程的通解為

而也是方程的一個(gè)解.

例1求微分方程的通解.例2求微分方程的通解.解分離變量兩端積分原方程的通解為

整理得從而化簡得解先求其通解,

分離變量,得兩端積分,得例3

求解定解問題:整理得

原方程的通解為注意:得特解得特解得于是所求定解問題的特解為的一階微分方程,稱為齊次方程.1.定義9.2.2齊次方程例如,方程可化成是齊次方程.可化為形如分離變量,得兩端積分2.解法作變量代換代入原方程,得求得積分后再將代入,即得原方程的通解.化為可分離變量的方程.則例4解方程解將方程改寫成令于是上述方程化為即分離變量,得積分得原方程的通解為

則有解原方程可化為是齊次方程.代入原方程得兩端積分,得例5

求微分方程的通解.得原方程的通解為即將代入,稱為一階線性非齊次微分方程.稱為一階線性齊次微分方程.9.2.3一階線性微分方程1.定義未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次的微分方程通常稱方程(9-4)是方程(9-3)所對應(yīng)的齊次方程．

齊次方程的通解為(1)先解線性齊次方程使用分離變量法2.解法積分,得(2)再解線性非齊次方程設(shè)非齊次方程通解形式為

把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的待定函數(shù)方法,稱為常數(shù)變易法.積分得一階線性非齊次微分方程的通解為對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程的特解或解此方程為一階線性方程(1)先求對應(yīng)的齊次方程變形方程為

積分,得對應(yīng)的齊次方程通解為例6求微分方程

的通解.設(shè)原非齊次方程通解為代入原方程,得積分,得故,

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