《1. 橢圓的參數(shù)方程》學習任務(wù)單

《1.橢圓的參數(shù)方程》學習任務(wù)單班級：＿_____姓名：＿_____組號：＿_____【學習內(nèi)容】高中人教A版選修44第二講參數(shù)方程，二圓錐曲線的參數(shù)方程中的橢圓的參數(shù)方程部分【我的目標】1、能夠理解橢圓參數(shù)方程的概念，就像理解一個新游戲的規(guī)則一樣清楚。比如，看到橢圓的普通方程，就能快速說出它的參數(shù)方程，準確率要達到80%以上哦。2、可以熟練運用橢圓的參數(shù)方程來解決一些簡單的幾何問題，像計算橢圓上某點的坐標、兩點間的距離等，做10道這樣的練習題，至少要做對7道。3、能把橢圓的參數(shù)方程和實際生活中的橢圓形狀的物體聯(lián)系起來，比如能說出橢圓的操場跑道怎么用參數(shù)方程表示，至少能說出一個合理的思路?！局仉y點】重點：掌握橢圓參數(shù)方程的形式和推導過程，就像記住自己最喜歡的歌曲的歌詞一樣熟練。難點：靈活運用橢圓參數(shù)方程解決綜合性的幾何問題，這就像解開一個有很多小機關(guān)的謎題一樣。【我的研究】一、橢圓參數(shù)方程的初步認識1、我們先來看一個橢圓的普通方程（x^2／a^2)＋（y^2／b^2)＝1（a＞b＞0），想象這個橢圓就像一個壓扁了的圓形。那這個橢圓的參數(shù)方程是什么樣的呢？我們可以設(shè)x＝acosθ，y＝bsinθ（θ為參數(shù)），這就是橢圓的參數(shù)方程啦。那大家想想，為什么可以這樣設(shè)呢？這就像給橢圓找到了一種新的身份標識。我們來舉個真實的例子吧。比如說，學校的操場是橢圓形的，我們要給操場畫一些等距的標記點。如果我們用橢圓的參數(shù)方程來確定這些點的位置，就會很方便。假如操場的長半軸a＝100米，短半軸b＝50米，那對于橢圓上的一個點，它的橫坐標x就可以用x＝100cosθ來表示，縱坐標y就可以用y＝50sinθ來表示。那我們怎么確定θ的值來找到我們想要的標記點呢？這就需要我們進一步了解θ的意義啦。2、那這個θ到底是什么呢？θ就像是一個控制橢圓上點位置的小旋鈕。我們可以把它想象成一個角度，當θ從0慢慢變化到2π的時候，橢圓上的點就會像小螞蟻沿著橢圓的邊緣爬一圈一樣，依次被確定出來。我們來做個小互動吧。同桌之間互相說說，當θ＝0時，橢圓上的點的坐標是多少呢？當θ＝π/2時呢？看看你們能不能很快說出來。二、橢圓參數(shù)方程的推導1、我們現(xiàn)在要像探險家發(fā)現(xiàn)寶藏的路線一樣，去推導橢圓的參數(shù)方程。我們從橢圓的定義出發(fā)，橢圓是平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的動點軌跡。那我們怎么從這個定義得到參數(shù)方程呢？我們可以利用三角函數(shù)的關(guān)系。我們先建立一個直角坐標系，以橢圓的中心為原點，長軸所在直線為x軸。設(shè)橢圓上一點P(x,y)，連接OP，設(shè)∠xOP＝θ。根據(jù)三角函數(shù)的定義，我們知道在單位圓中，對于圓上一點M(cosθ,sinθ)。那對于橢圓呢，我們可以通過一些幾何關(guān)系和比例關(guān)系得到x＝acosθ，y＝bsinθ。大家跟著老師的思路，一步一步在紙上推導一下，看看能不能推出來。如果推導過程中有問題，就和小組同學討論一下，就像大家一起商量怎么搭積木一樣。2、小組討論時間每個小組討論一下橢圓參數(shù)方程推導過程中的關(guān)鍵步驟，然后派一個代表來說說你們小組的想法。比如說，你們小組在推導過程中遇到了什么困難，是怎么解決的呢？或者你們有沒有發(fā)現(xiàn)一些新的理解角度呢？三、用橢圓參數(shù)方程解決簡單幾何問題1、求橢圓上點的坐標已知橢圓（x^2／9)＋（y^2／4)＝1，當θ＝π/3時，求橢圓上點的坐標。首先，我們根據(jù)橢圓的參數(shù)方程x＝3cosθ，y＝2sinθ。當θ＝π/3時，我們把θ的值代入?yún)?shù)方程中。計算x＝3cos(π/3)＝3(1/2)＝1.5，y＝2sin(π/3)＝2(√3/2)＝√3。所以這個點的坐標就是(1.5,√3)。大家按照這個方法做一道類似的題目吧。已知橢圓（x^2／16)＋（y^2／9)＝1，當θ＝π/4時，求橢圓上點的坐標。2、計算橢圓上兩點間的距離設(shè)橢圓（x^2／25)＋（y^2／16)＝1上有兩點A、B，對應(yīng)的參數(shù)分別為θ1＝0和θ2＝π/2。求|AB|。首先我們求出A、B兩點的坐標。當θ1＝0時，A點坐標為(5,0)；當θ2＝π/2時，B點坐標為(0,4)。根據(jù)兩點間距離公式d＝√（（x2x1)＾2+（y2y1)＾2)，可得|AB|＝√（（05)＾2+（40)＾2)＝√（25＋16)＝√41?，F(xiàn)在大家自己出一道類似的題目，然后和同桌交換做一下，做完后互相檢查，看看有沒有錯誤。四、橢圓參數(shù)方程與實際生活的聯(lián)系1、橢圓操場跑道我們再回到學校的橢圓操場跑道。如果我們要在跑道上規(guī)劃一些起跑線或者一些特殊的標記，就可以用橢圓的參數(shù)方程。假設(shè)跑道的橢圓方程是（x^2／10000)＋（y^2／6400)＝1（單位是厘米，這里為了計算方便）。我們要在跑道上每隔10米設(shè)置一個標記點。那我們怎么用參數(shù)方程來確定這些點的位置呢？首先我們把橢圓的參數(shù)方程寫出來x＝100cosθ，y＝80sinθ。因為10米＝1000厘米，我們要根據(jù)這個距離來確定θ的間隔。我們可以通過計算弧長公式（這個公式有點復(fù)雜，我們可以簡單了解一下），然后確定θ的取值，這樣就能找到每個標記點的位置啦。大家分組討論一下，除了操場跑道，還有哪些生活中的橢圓形狀的東西可以用參數(shù)方程來描述呢？比如一些橢圓形狀的花壇之類的?！窘M內(nèi)過關(guān)】（課內(nèi)完成）1、已知橢圓（x^2／4)＋（y^2／3)＝1，求當θ＝π/6時橢圓上點的坐標。2、設(shè)橢圓（x^2／36)＋（y^2／25)＝1上有兩點C、D，對應(yīng)的參數(shù)分別為θ1＝π/3和θ2＝5π/6，求|CD|。3、對于橢圓（x^2／16)＋（y^2／9)＝1，如果一個點在橢圓上運動，當它的橫坐標為2時，求此時的參數(shù)θ的值（提示：先根據(jù)橢圓的參數(shù)方程求出縱坐標，然后再求θ）?！井斕脵z測】（課內(nèi)完成）1、已知橢圓（x^2／25)＋（y^2／16)＝1，當θ＝3π/4時，求橢圓上點的坐標。2、設(shè)橢圓（x^2／49)＋（y^2／36)＝1上有兩點E、F，對應(yīng)的參數(shù)分別為θ1＝0和θ2＝π，求|EF|。3、一個橢圓的方程為（x^2／64)＋（y^2／49)＝1，在這個橢圓上有一個點P，它的縱坐標為7/2，求這個點對應(yīng)的參數(shù)θ的值（有兩個答案哦，要仔細思考）?！咀晕以u估方法及標準】1、自我評估方法對于目標1，自己隨機出5個橢圓的普通方程，然后看能不能快速寫出參數(shù)方程，計算正確的個數(shù)除以5，得到的比例就是準確率。對于目標2，把組內(nèi)過關(guān)和當堂檢測的題目加起來，計算做對的題目數(shù)量除以總題目數(shù)量，看是否達到70%。對于目標3，自己回顧在討論橢圓參數(shù)方程與實際生活聯(lián)系時自己的表現(xiàn)，是否能積極參與討論并說出合理的思路，如果能說出至少一個合理思路就算合格。2、評估標準目標1準確率達到80%及以上為優(yōu)秀，60%79%為良好，低于60%為需要加強。目標2做對題目比例達到70%及以上為優(yōu)秀，50%69%為良好，低于50%為需要加強。目標3能積極參與討論并說出合理思路為合格，否則為需要改進。【答案】【組內(nèi)過關(guān)答案】1、對于橢圓（x^2／4)＋（y^2／3)＝1，參數(shù)方程為x＝2cosθ，y＝√3sinθ。當θ＝π/6時，x＝2cos(π/6)＝2(√3/2)＝√3，y＝√3sin(π/6)＝√3(1/2)＝√3/2，所以點的坐標為(√3,√3/2)。2、橢圓（x^2／36)＋（y^2／25)＝1的參數(shù)方程為x＝6cosθ，y＝5sinθ。當θ1＝π/3時，C點坐標為(6cos(π/3)，5sin(π/3)）＝（3,5√3/2)；當θ2＝5π/6時，D點坐標為(6cos(5π/6)，5sin(5π/6)）＝（3√3,5/2)。根據(jù)兩點間距離公式d＝√（（x2x1)＾2+（y2y1)＾2)，可得|CD|＝√（（3√33)＾2+（5/25√3/2)＾2)，計算可得|CD|＝√（27＋18√3＋9+（25/425√3/2＋75/4)）＝√（417√3)。3、橢圓（x^2／16)＋（y^2／9)＝1的參數(shù)方程為x＝4cosθ，y＝3sinθ。當x＝2時，即2＝4cosθ，解得cosθ＝1/2，所以θ＝±π/3?！井斕脵z測答案】1、橢圓（x^2／25)＋（y^2／16)＝1的參數(shù)方程為x＝5cosθ，y＝4sinθ。當θ＝3π/4時，x＝5cos(3π/4)＝5√2/2，y＝4sin(3π/4)＝2√2，所以點的坐標為(5√2/2,2√2)。2、橢圓（x^2／49)＋（y^2／36)＝1的參數(shù)方程為x＝7cosθ，y＝6sinθ。當θ1