《二項式定理的推導》學歷案

《二項式定理的推導》學歷案2023學年下高中數(shù)學（北師大版2019選擇性必修第一冊）學歷案班級：[具體班級]姓名：[姓名]學號：[學號]【學習主題】4.1二項式定理的推導【課時】1課時【課標要求】理解二項式定理，能用計數(shù)原理證明二項式定理?！緦W習目標】1、能夠說出二項式定理的內(nèi)容，就像能清楚說出自己最喜歡的歌的歌詞一樣準確。2、理解二項式定理推導過程中所用到的計數(shù)原理，就像理解游戲規(guī)則一樣透徹。3、會用二項式定理解決一些簡單的計算問題，就像會用鑰匙開鎖一樣熟練?！驹u價任務】(1)完成任務1中的問題1-3指向檢測目標1；(2)完成任務2中的問題1-2指向檢測目標2；(3)完成任務3中的問題1-3指向檢測目標3?！緦W習過程】一、趣味導入：猜數(shù)字游戲同學們，咱們來玩?zhèn)€猜數(shù)字游戲。我心里想了一個數(shù)，這個數(shù)可以寫成兩個數(shù)相加的形式，比如說(a+b)，然后這個數(shù)的平方展開后會有好幾項呢。你們猜猜展開后會是什么樣的？這就和我們今天要學的二項式定理有點關(guān)系哦。就像探索一個神秘的寶藏，這個游戲是我們尋找寶藏的第一步。二、復習回顧1、咱們先來復習一下組合數(shù)的概念。組合數(shù)就是從n個不同元素中取出m個元素的組合的個數(shù)，用C(n,m)表示。比如說，從5個不同的球里選2個球的組合數(shù)，就是計算有多少種不同的選法。2、再回憶一下乘法原理和加法原理。乘法原理就像是我們搭配衣服，上衣有3件，褲子有4條，那么搭配的總方法數(shù)就是3乘以4。加法原理呢，就像是我們從家到學校有兩條路可以走，這兩條路的走法是相互獨立的，那么總的走法就是這兩條路走法的和?！救蝿找弧慷検蕉ɡ淼膬?nèi)容指向檢測目標11、咱們從一個簡單的例子開始探索。比如說(a+b)^2，我們可以根據(jù)乘法分配律把它展開：-(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a^2+2ab+b^2。-那這里的系數(shù)2是怎么來的呢？我們可以這樣想，在展開式中a^2是由兩個a相乘得到的，也就是從兩個(a+b)中都選a，這只有1種選法；而ab是從一個(a+b)中選a，從另一個中選b，根據(jù)乘法原理，選法有2種；同理，b^2是從兩個(a+b)中都選b，也只有1種選法。這就和組合數(shù)有點聯(lián)系了哦。2、再來看(a+b)^3的展開：-(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)。-展開后是a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。這里的系數(shù)3呢？對于a^2b，我們是從3個(a+b)中選2個a和1個b，根據(jù)組合數(shù)的定義，選法有C(3,2)=3種；同理，對于ab^2，是從3個(a+b)中選1個a和2個b，選法有C(3,1)=3種。3、現(xiàn)在咱們來猜一猜(a+b)^n展開式的樣子。根據(jù)前面的例子，我們可以推測出展開式應該是這樣的形式：-(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n)b^n。這就是二項式定理的內(nèi)容啦?！救蝿斩慷検蕉ɡ淼耐茖г碇赶驒z測目標21、咱們來深入理解一下這個定理的推導原理。還是以(a+b)^n為例。-當我們把(a+b)^n=(a+b)(a+b)...(a+b)(n個(a+b))展開時，每一項都是從這n個因式中選a或者b相乘得到的。-比如說，對于項a^(n-k)b^k，我們是從n個因式中選k個b，剩下的(n-k)個選a。根據(jù)組合數(shù)的定義，這樣的選法有C(n,k)種，所以這一項的系數(shù)就是C(n,k)。這就像我們在分糖果，n顆糖果里選k顆某種口味的糖果，有多種不同的選法一樣。2、再舉個生活中的例子。假設我們有n個不同顏色的球，要把它們分成兩組，一組有k個球，另一組有(n-k)個球。那么分法的數(shù)量就和二項式展開式中的系數(shù)計算是類似的原理。這就幫助我們更好地理解為什么二項式定理的系數(shù)是由組合數(shù)來確定的?！救蝿杖慷検蕉ɡ淼暮唵螒弥赶驒z測目標31、計算(2+x)^5。-根據(jù)二項式定理，我們有：-(2+x)^5=C(5,0)2^5+C(5,1)2^4x+C(5,2)2^3x^2+C(5,3)2^2x^3+C(5,4)2x^4+C(5,5)x^5-計算各項系數(shù)：-C(5,0)=1，C(5,1)=5，C(5,2)=\frac{5!}{2!(5-2)!}=10，C(5,3)=10，C(5,4)=5，C(5,5)=1。-所以展開式為：-(2+x)^5=32+80x+80x^2+40x^3+10x^4+x^5。2、求(1-3x)^4展開式中x^2的系數(shù)。-首先根據(jù)二項式定理展開：-(1-3x)^4=C(4,0)1^4+C(4,1)1^3(-3x)+C(4,2)1^2(-3x)^2+C(4,3)1(-3x)^3+C(4,4)(-3x)^4。-對于x^2項，是在C(4,2)1^2(-3x)^2這一項中。-計算C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=6。-所以x^2的系數(shù)為C(4,2)(-3)^2=6\times9=54。3、咱們再來看一個實際問題。假設有一個投資項目，初始投資為a元，每年的收益率為b（這里b是一個百分數(shù)，要寫成小數(shù)形式哦），投資n年后的總金額可以用二項式定理來近似計算。-根據(jù)二項式定理，總金額近似為：-(a+ab)^n=a^n(1+b)^n=a^n(C(n,0)+C(n,1)b+C(n,2)b^2+...+C(n,n)b^n)。這就可以幫助我們估算投資的收益情況啦?！緳z測與作業(yè)】指向檢測目標2、31、寫出(3+x)^4的展開式。2、求(2-x)^6展開式中x^3的系數(shù)。3、在一個化學反應中，某種物質(zhì)的初始量為100克，每次反應會有20%的轉(zhuǎn)化量，經(jīng)過3次反應后，剩余量可以用二項式定理來計算。請計算剩余量（精確到0.1克）。4、探索性作業(yè)：自己找一個可以用二項式定理解決的實際問題，比如商品的折扣計算等，然后寫出計算過程?！緦W后反思】同學們，今天我們學習了二項式定理的推導。在這個過程中，我們從簡單的例子開始，逐步深入理解了定理的內(nèi)容、推導原理