2022版高考數(shù)學一輪復習-第7章-立體幾何-第3節(jié)-空間中的平行關系學案新人教B版

2022版高考數(shù)學一輪復習第7章立體幾何第3節(jié)空間中的平行關系學案新人教B版2022版高考數(shù)學一輪復習第7章立體幾何第3節(jié)空間中的平行關系學案新人教B版2022版高考數(shù)學一輪復習第7章立體幾何第3節(jié)空間中的平行關系學案新人教B版2022版高考數(shù)學一輪復習第7章立體幾何第3節(jié)空間中的平行關系學案新人教B版年級：姓名：第3節(jié)空間中的平行關系一、教材概念·結論·性質重現(xiàn)1．直線與平面平行的判定與性質判定性質定義定理圖形條件a∩α＝?a?α，b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β，α∩β＝b結論a∥αb∥αa∩α＝?a∥b(1)證明線面平行常用的方法是證明這條線與平面內的某條直線平行．但一定要說明一條直線在平面外，一條直線在平面內．(2)輔助線(面)是解(證)線面平行的關鍵．為了能利用線面平行的判定定理及性質定理，往往需要作輔助線(面)．2．兩個平面平行的判定與性質判定性質定義定理圖形條件α∩β＝?a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a?β結論α∥βα∥βa∥ba∥α判定定理的推論：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線分別對應平行，那么這兩個平面平行．3．常用結論(1)兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面．(2)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．(3)經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．(5)同一條直線與兩個平行平面所成角相等．(6)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．二、基本技能·思想·活動體驗1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)若直線a與平面α內無數(shù)條直線平行，則a∥α.(×)(2)如果一個平面內的兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(√)(3)若一條直線平行于一個平面內的一條直線，則這條直線平行于這個平面．(×)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面．(√)2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βD．若m⊥α，n⊥α，則m∥nD解析：選項A中，兩直線可能平行，相交或異面，故選項A錯誤．選項B中，兩平面可能平行或相交，故選項B錯誤．選項C中，兩平面可能平行或相交，故選項C錯誤．選項D中，由線面垂直的性質定理可知命題正確．故選D.3．平面α∥平面β的一個充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD解析：若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B；若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C.故選D.4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，CD，B1CA．AE與CG是異面直線B．四邊形AEC1FC．AE∥平面BC1D．以上都不對C解析：由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四點共面，故A項錯誤；在四邊形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF與AE不垂直，故B項錯誤；由于AE∥C1F，由線面平行的判定定理，可得AE∥5．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面AEC平行解析：連接BD，設BD∩AC＝O，連接EO(圖略)．在△BDD1中，O為BD的中點，E為DD1的中點，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.考點1直線、平面平行的基本問題——基礎性1．過三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1AA．4條 B．6條C．8條 D．12條B解析：作出如圖的圖形，E，F(xiàn)，G，H是相應棱的中點，故符合條件的直線只能出現(xiàn)在平面EFGH中．由此四點可以組成的直線有EF，GH，F(xiàn)G，EH，GE，HF，共有6條．2．(多選題)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ平行的是()ABCDBCD解析：A項，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB.因為QD∩平面MNQ＝Q，所以QD與平面MNQ相交，所以直線AB與平面MNQ相交．B項，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.C項，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.D項，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ.又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.故選BCD.3．(多選題)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，點P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1，則下列說法正確的是()A．MN∥平面APCB．C1Q∥平面APCC．A，P，M三點共線D．平面MNQ∥平面APCBC解析：如圖，對于A，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN.易得AM，CN交于點P，即MN?平面APC，所以A選項錯誤．對于B，由A知M，N在平面APC內，由題易知AN∥QC1，且AN?平面APC，QC1?平面APC.所以B選項正確．對于C，由A知，A，P，M三點共線，所以C選項正確．對于D，由A知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以D選項錯誤．直線、平面平行的判定方法(1)關注是否符合判定定理與性質定理，并注意定理中易忽視的條件．(2)結合題意構造圖形，結合圖形做出判斷．(3)利用實物進行空間想象，比較判斷．(4)熟記一些常見結論，如垂直于同一條直線的兩個平面平行等．考點2直線、平面平行的判定與性質——綜合性如圖，在幾何體E-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點．求證：GF∥平面ADE.證明：(方法一：線線平行，則線面平行)如圖，取AE的中點H，連接HG，HD.因為G是BE的中點，所以GH∥AB，且GH＝eq\f(1,2)AB.又F是CD的中點，所以DF＝eq\f(1,2)CD.由四邊形ABCD是矩形得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GF∥DH.又DH?平面ADE，GF?平面ADE，所以GF∥平面ADE.(方法二：面面平行，則線面平行)如圖，取AB的中點M，連接MG，MF.因為G是BE的中點，所以GM∥AE.又AE?平面ADE，GM?平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點得MF∥AD.又AD?平面ADE，MF?平面ADE.所以MF∥平面ADE.又因為GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因為GF?平面GMF，所以GF∥平面ADE.解決線面平行問題的關鍵點(1)利用判定定理判定直線與平面平行，關鍵是找出平面內與已知直線平行的直線．可先直觀判斷平面內是否已有，若沒有，則需作出該直線，常考慮作三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線．(2)線面平行的性質定理是空間圖形中產生線線平行的主要途徑，常用于作截面．1．(多選題)(2020·濟寧期末)已知m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列說法正確的是()A．若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥nB．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥βC．若m∥n，n?α，α∥β，m?β，則m∥βD．若m∥n，n⊥α，α⊥β，則m∥βBC解析：若m∥α，n∥β且α∥β，則可能m∥n，m，n異面，或m，n相交，A錯誤；若m∥n，m⊥α，則n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正確；若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，又α∥β，m?β，故m∥β，C正確；若m∥n，n⊥α，則m⊥α，又α⊥β，則m∥β或m?β，D錯誤．故選BC.2．一個長方體被一個平面所截得的幾何體如圖所示，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．平行四邊形解析：因為平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．3．如圖，已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是PA，BD上的點，且PE∶EA＝BF∶FD.求證：EF∥平面PBC.證明：(方法一)連接AF，并延長交BC于點G，連接PG.因為BC∥AD，所以eq\f(FG,FA)＝eq\f(FB,FD).又因為eq\f(PE,EA)＝eq\f(BF,FD)，所以eq\f(PE,EA)＝eq\f(GF,FA)，所以EF∥PG.又因為PG?平面PBC，EF?平面PBC，所以EF∥平面PBC.(方法二)過點F作FM∥AD，交AB于點M，連接EM.因為FM∥AD，AD∥BC，所以FM∥BC.又因為FM?平面PBC，BC?平面PBC，所以FM∥平面PBC.由FM∥AD得eq\f(BM,MA)＝eq\f(BF,FD).又因為eq\f(PE,EA)＝eq\f(BF,FD)，所以eq\f(PE,EA)＝eq\f(BM,MA)，所以EM∥PB.因為PB?平面PBC，EM?平面PBC，所以EM∥平面PBC.因為EM∩FM＝M，EM，F(xiàn)M?平面EFM，所以平面EFM∥平面PBC，因為EF?平面EFM，所以EF∥平面PBC.考點3面面平行的判定與性質及平行的綜合問題——應用性考向1面面平行的判定與性質如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明：(1)因為G，H分別是A1B1，A1C1的中點，所以GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1.又因為B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點共面．(2)因為E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，所以EF∥BC.因為EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1∥AB且A1B1＝AB，所以A1G∥BE且A1G＝BE，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB.又因為A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因為A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.1．在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點”，求證：平面A1BD1∥平面AC1證明：如圖，連接A1C，與AC1交于點M.因為四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點，連接MD.因為D為BC的中點，所以A1B∥DM.因為A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.由三棱柱的性質知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1.又DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.2．在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變?yōu)椤包cD，D1分別是AC，A1C1上的點，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f(AD,DC)的值．解：連接A1B，交AB1于點O，連接OD1.因為平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，則eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)＝1.同理AD1∥DC1.又AD∥D1C1，所以四邊形ADC1D1是平行四邊形，所以AD＝D1C1.又AC＝A1C1，所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.判定面面平行的方法(1)利用定義，即兩個平面沒有公共點(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一條直線兩平面平行．(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行．考向2平行關系的綜合問題如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點．在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE解：在棱C1D1上存在一點F，使B1F∥平面A1BE.證明如下：如圖所示，分別取C1D1和CD的中點F，G，連接B1F，EG，BG，CD1，F(xiàn)G.因為A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以D1C∥A1B.又E，G分別為D1D，CD的中點，所以EG∥D1C，從而EG∥A1B.這說明A1，B，G，E四點共面．所以BG?平面A1BE.因為四邊形C1CDD1與B1BCC1皆為正方形，F(xiàn)，G分別為C1D1和CD的中點，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，所以四邊形B1BGF是平行四邊形，所以B1F∥BG，而B1F?平面A1BE，BG?平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.解決面面平行問題的關鍵點(1)在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”．(2)解答探索性問題的基本策略是先假設，再嚴格證明，先猜想再證明是學習和研究的重要思想方法．1．設α，β，γ為三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③C解析：由面面平行的性質定理可知，①正確；當n∥β，m?γ時，n和m在同一平面內，且沒有公共點，所以平行，③正確．2．在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是______________．平面ABC，平面ABD解析：如圖，連接AM并延長交CD于點E，連接BN并延長交CD于點F.由重心的性質可知，E，F(xiàn)重合為一點且該點為CD的中點E.由eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,NB)＝eq\f(1,2)，得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC，且MN∥平面ABD.3．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，SC求證：(1)直線EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.證明：(1)如圖，連接SB，因為E，G分別是BC，SC的中點，所以EG∥SB.又因為SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，所以直線EG∥平面BDD1B1.(2)如圖，連接SD，因為F，G分別是CD，SC的中點，所以FG∥SD.又因為SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3.證明：平面ABF∥平面DCE.[四字程序]讀想算思平面ABF∥平面DCE，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3面面平行的證明方法；線∥面?面∥面，線∥線?面∥面構造平行關系證明平行的有關定理：1．面面平行的判定定理；2．面面平行判定定理的推論思路參考：應用面面平行的判定定理證明．證明：因為DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因為AF?平面DCE，DE?平面DCE，所以AF∥平面DCE.因為四邊形ABCD是正方形，所以AB∥CD.因為AB?平面DCE，所以AB∥平面DCE.因為AB∩AF＝A，AB?平面ABF，AF?平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.思路參考：利用兩個平面內的兩條相交直線分別平行證明．證明：因為DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因為四邊形ABCD為正方形，所以AB∥CD.又AF∩AB＝A，AF，AB?平面ABF，DE∩CD＝D，DE，DC?平面DCE，所以平面ABF∥平面DCE.思路參考：利用垂直于同一條直線的兩個平面平行證明．證明：因為DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AD，在正方形ABCD中，AD⊥CD，又DE∩CD＝D，所以AD⊥平面DCE.同理AD⊥平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.1