2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第7章-立體幾何-第3節(jié)-空間中的平行關(guān)系學(xué)案新人教B版

2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第3節(jié)空間中的平行關(guān)系學(xué)案新人教B版2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第3節(jié)空間中的平行關(guān)系學(xué)案新人教B版2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第3節(jié)空間中的平行關(guān)系學(xué)案新人教B版2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第3節(jié)空間中的平行關(guān)系學(xué)案新人教B版年級(jí)：姓名：第3節(jié)空間中的平行關(guān)系一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a∩α＝?a?α，b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β，α∩β＝b結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?a∥b(1)證明線面平行常用的方法是證明這條線與平面內(nèi)的某條直線平行．但一定要說明一條直線在平面外，一條直線在平面內(nèi)．(2)輔助線(面)是解(證)線面平行的關(guān)鍵．為了能利用線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，往往需要作輔助線(面)．2．兩個(gè)平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件α∩β＝?a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α判定定理的推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行．3．常用結(jié)論(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面．(2)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等．(3)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．(5)同一條直線與兩個(gè)平行平面所成角相等．(6)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行．二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(×)(2)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(√)(3)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面．(×)(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(√)2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βD．若m⊥α，n⊥α，則m∥nD解析：選項(xiàng)A中，兩直線可能平行，相交或異面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．選項(xiàng)B中，兩平面可能平行或相交，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．選項(xiàng)C中，兩平面可能平行或相交，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．選項(xiàng)D中，由線面垂直的性質(zhì)定理可知命題正確．故選D.3．平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD解析：若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B；若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C.故選D.4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，CD，B1CA．AE與CG是異面直線B．四邊形AEC1FC．AE∥平面BC1D．以上都不對(duì)C解析：由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四點(diǎn)共面，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；在四邊形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF與AE不垂直，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；由于AE∥C1F，由線面平行的判定定理，可得AE∥5．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC平行解析：連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO(圖略)．在△BDD1中，O為BD的中點(diǎn)，E為DD1的中點(diǎn)，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.考點(diǎn)1直線、平面平行的基本問題——基礎(chǔ)性1．過三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1AA．4條 B．6條C．8條 D．12條B解析：作出如圖的圖形，E，F(xiàn)，G，H是相應(yīng)棱的中點(diǎn)，故符合條件的直線只能出現(xiàn)在平面EFGH中．由此四點(diǎn)可以組成的直線有EF，GH，F(xiàn)G，EH，GE，HF，共有6條．2．(多選題)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ平行的是()ABCDBCD解析：A項(xiàng)，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QD∥AB.因?yàn)镼D∩平面MNQ＝Q，所以QD與平面MNQ相交，所以直線AB與平面MNQ相交．B項(xiàng)，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.C項(xiàng)，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.D項(xiàng)，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ.又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.故選BCD.3．(多選題)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1，則下列說法正確的是()A．MN∥平面APCB．C1Q∥平面APCC．A，P，M三點(diǎn)共線D．平面MNQ∥平面APCBC解析：如圖，對(duì)于A，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN.易得AM，CN交于點(diǎn)P，即MN?平面APC，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于B，由A知M，N在平面APC內(nèi)，由題易知AN∥QC1，且AN?平面APC，QC1?平面APC.所以B選項(xiàng)正確．對(duì)于C，由A知，A，P，M三點(diǎn)共線，所以C選項(xiàng)正確．對(duì)于D，由A知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．直線、平面平行的判定方法(1)關(guān)注是否符合判定定理與性質(zhì)定理，并注意定理中易忽視的條件．(2)結(jié)合題意構(gòu)造圖形，結(jié)合圖形做出判斷．(3)利用實(shí)物進(jìn)行空間想象，比較判斷．(4)熟記一些常見結(jié)論，如垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行等．考點(diǎn)2直線、平面平行的判定與性質(zhì)——綜合性如圖，在幾何體E-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn)．求證：GF∥平面ADE.證明：(方法一：線線平行，則線面平行)如圖，取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD.因?yàn)镚是BE的中點(diǎn)，所以GH∥AB，且GH＝eq\f(1,2)AB.又F是CD的中點(diǎn)，所以DF＝eq\f(1,2)CD.由四邊形ABCD是矩形得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GF∥DH.又DH?平面ADE，GF?平面ADE，所以GF∥平面ADE.(方法二：面面平行，則線面平行)如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接MG，MF.因?yàn)镚是BE的中點(diǎn)，所以GM∥AE.又AE?平面ADE，GM?平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)得MF∥AD.又AD?平面ADE，MF?平面ADE.所以MF∥平面ADE.又因?yàn)镚M∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因?yàn)镚F?平面GMF，所以GF∥平面ADE.解決線面平行問題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)利用判定定理判定直線與平面平行，關(guān)鍵是找出平面內(nèi)與已知直線平行的直線．可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，?？紤]作三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過已知直線作一平面找其交線．(2)線面平行的性質(zhì)定理是空間圖形中產(chǎn)生線線平行的主要途徑，常用于作截面．1．(多選題)(2020·濟(jì)寧期末)已知m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個(gè)不重合的平面，則下列說法正確的是()A．若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥nB．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥βC．若m∥n，n?α，α∥β，m?β，則m∥βD．若m∥n，n⊥α，α⊥β，則m∥βBC解析：若m∥α，n∥β且α∥β，則可能m∥n，m，n異面，或m，n相交，A錯(cuò)誤；若m∥n，m⊥α，則n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正確；若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，又α∥β，m?β，故m∥β，C正確；若m∥n，n⊥α，則m⊥α，又α⊥β，則m∥β或m?β，D錯(cuò)誤．故選BC.2．一個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面所截得的幾何體如圖所示，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．平行四邊形解析：因?yàn)槠矫鍭BFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．3．如圖，已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是PA，BD上的點(diǎn)，且PE∶EA＝BF∶FD.求證：EF∥平面PBC.證明：(方法一)連接AF，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接PG.因?yàn)锽C∥AD，所以eq\f(FG,FA)＝eq\f(FB,FD).又因?yàn)閑q\f(PE,EA)＝eq\f(BF,FD)，所以eq\f(PE,EA)＝eq\f(GF,FA)，所以EF∥PG.又因?yàn)镻G?平面PBC，EF?平面PBC，所以EF∥平面PBC.(方法二)過點(diǎn)F作FM∥AD，交AB于點(diǎn)M，連接EM.因?yàn)镕M∥AD，AD∥BC，所以FM∥BC.又因?yàn)镕M?平面PBC，BC?平面PBC，所以FM∥平面PBC.由FM∥AD得eq\f(BM,MA)＝eq\f(BF,FD).又因?yàn)閑q\f(PE,EA)＝eq\f(BF,FD)，所以eq\f(PE,EA)＝eq\f(BM,MA)，所以EM∥PB.因?yàn)镻B?平面PBC，EM?平面PBC，所以EM∥平面PBC.因?yàn)镋M∩FM＝M，EM，F(xiàn)M?平面EFM，所以平面EFM∥平面PBC，因?yàn)镋F?平面EFM，所以EF∥平面PBC.考點(diǎn)3面面平行的判定與性質(zhì)及平行的綜合問題——應(yīng)用性考向1面面平行的判定與性質(zhì)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明：(1)因?yàn)镚，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1.又因?yàn)锽1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC.因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1∥AB且A1B1＝AB，所以A1G∥BE且A1G＝BE，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB.又因?yàn)锳1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因?yàn)锳1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.1．在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)”，求證：平面A1BD1∥平面AC1證明：如圖，連接A1C，與AC1交于點(diǎn)M.因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點(diǎn)，連接MD.因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以A1B∥DM.因?yàn)锳1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1.又DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.2．在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)D，D1分別是AC，A1C1上的點(diǎn)，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f(AD,DC)的值．解：連接A1B，交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.因?yàn)槠矫鍮C1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，則eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)＝1.同理AD1∥DC1.又AD∥D1C1，所以四邊形ADC1D1是平行四邊形，所以AD＝D1C1.又AC＝A1C1，所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.判定面面平行的方法(1)利用定義，即兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一條直線兩平面平行．(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行．考向2平行關(guān)系的綜合問題如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE解：在棱C1D1上存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE.證明如下：如圖所示，分別取C1D1和CD的中點(diǎn)F，G，連接B1F，EG，BG，CD1，F(xiàn)G.因?yàn)锳1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以D1C∥A1B.又E，G分別為D1D，CD的中點(diǎn)，所以EG∥D1C，從而EG∥A1B.這說明A1，B，G，E四點(diǎn)共面．所以BG?平面A1BE.因?yàn)樗倪呅蜟1CDD1與B1BCC1皆為正方形，F(xiàn)，G分別為C1D1和CD的中點(diǎn)，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，所以四邊形B1BGF是平行四邊形，所以B1F∥BG，而B1F?平面A1BE，BG?平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.解決面面平行問題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”．(2)解答探索性問題的基本策略是先假設(shè)，再嚴(yán)格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要思想方法．1．設(shè)α，β，γ為三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③C解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以平行，③正確．2．在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是______________．平面ABC，平面ABD解析：如圖，連接AM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E，連接BN并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F.由重心的性質(zhì)可知，E，F(xiàn)重合為一點(diǎn)且該點(diǎn)為CD的中點(diǎn)E.由eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,NB)＝eq\f(1,2)，得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC，且MN∥平面ABD.3．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，SC求證：(1)直線EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.證明：(1)如圖，連接SB，因?yàn)镋，G分別是BC，SC的中點(diǎn)，所以EG∥SB.又因?yàn)镾B?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，所以直線EG∥平面BDD1B1.(2)如圖，連接SD，因?yàn)镕，G分別是CD，SC的中點(diǎn)，所以FG∥SD.又因?yàn)镾D?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3.證明：平面ABF∥平面DCE.[四字程序]讀想算思平面ABF∥平面DCE，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3面面平行的證明方法；線∥面?面∥面，線∥線?面∥面構(gòu)造平行關(guān)系證明平行的有關(guān)定理：1．面面平行的判定定理；2．面面平行判定定理的推論思路參考：應(yīng)用面面平行的判定定理證明．證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因?yàn)锳F?平面DCE，DE?平面DCE，所以AF∥平面DCE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB∥CD.因?yàn)锳B?平面DCE，所以AB∥平面DCE.因?yàn)锳B∩AF＝A，AB?平面ABF，AF?平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.思路參考：利用兩個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行證明．證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AB∥CD.又AF∩AB＝A，AF，AB?平面ABF，DE∩CD＝D，DE，DC?平面DCE，所以平面ABF∥平面DCE.思路參考：利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行證明．證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，所以DE⊥AD，在正方形ABCD中，AD⊥CD，又DE∩CD＝D，所以AD⊥平面DCE.同理AD⊥平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.1