2024-2025學(xué)年湖南省長沙市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年湖南省長沙市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測試卷一?單選題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，每個小題只有一個正確答案）1.命題“對，都有”的否定為（）A對，都有 B.對，都有C.，使得 D.，使得2.已知，，則（）A. B. C. D.3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（）A. B. C. D.4.若函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則（）A.函數(shù)奇函數(shù)B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)是奇函數(shù)D.函數(shù)是奇函數(shù)5.正四棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的倍，則的取值范圍是（）A. B. C. D.6.已知為圓上的動點，且動點滿足：，記點的軌跡為，則（）A.為一條直線 B.為橢圓C.為與圓O相交的圓 D.為與圓O相切的圓7.集合，集合，從A，B中各任意取一個數(shù)相加為，則直線與直線平行的概率為（）A. B. C. D.8.已知，動圓經(jīng)過原點，且圓心在直線上．當(dāng)直線的斜率取最大值時，（）A. B. C. D.二，多選題（本題共3個小題，每小題6分，共18分，每小題有多項符合題目要求，全部選對得6分．選錯得0分，部分選對得部分分）9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.方程與方程可表示同一直線C.經(jīng)過點，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為D.過兩點的直線都可用方程表示10.已知函數(shù)下列命題正確的是（）A.的值域為B.若，則為奇函數(shù)C.若只有一個零點，則的取值范圍為D.若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為11.如圖，正方體的棱長為1，E為棱的中點，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動點，則（）A.三棱錐的體積為定值 B.直線平面C.當(dāng)時， D.直線與平面所成角的正弦值為三?填空題（本題共3個小題，每題5分，共15分）12.函數(shù)定義域為______.13.已知梯形ABCD中，，，，，點在線段上，則的最小值為______.14.已知點，，，直線將分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是______.四?解答題（本題共5個小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟.）15.在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點的坐標(biāo)為.（1）求直線的方程；（2）求直線的方程及點的坐標(biāo).16.在三角形中，內(nèi)角所對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，三角形的面積為，求三角形的周長.17.在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手（1到5號）登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中選3名歌手．（1）求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；（2）表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求“”的事件概率．18.如圖，已知圓，動點，過點P引圓的兩條切線，切點分別為．（1）求證：直線過定點；（2）若兩條切線與軸分別交于兩點，求面積的最小值．19.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點.若直線以為方向向量且經(jīng)過點，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程表示為.（1）已知直線標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；（2）已知平面的點法式方程可表示為，平面外一點，求點到平面的距離；（3）（i）若集合，記集合中所有點構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積：（ii）若集合.記集合中所有點構(gòu)成的幾何體為，求幾何體相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的大小2024-2025學(xué)年湖南省長沙市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測試卷一?單選題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，每個小題只有一個正確答案）1.命題“對，都有”的否定為（）A.對，都有 B.對，都有C.，使得 D.，使得【正確答案】C【分析】利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，再直接寫出否定即可.【詳解】命題“對，都有”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以所求否定是：，使得.故選：C.2.已知，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式平方關(guān)系計算得到答案；【詳解】由誘導(dǎo)公式得，又由，可得．故選：A.3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】，根據(jù)模長公式得到，兩邊平方得到答案.【詳解】，則，即，故.故選：C4.若函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則（）A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)是奇函數(shù)D.函數(shù)是奇函數(shù)【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，A選項，，所以是偶函數(shù)，A選項錯誤.B選項，，所以函數(shù)是偶函數(shù)，B選項錯誤.C選項，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，C選項正確.D選項，，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，D選項錯誤.故選：C5.正四棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的倍，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意設(shè)出底面邊長，列出關(guān)于的不等式求解即可.【詳解】設(shè)正四棱錐的底面邊長為，正四棱錐的高為，側(cè)棱長度為，則，解得，所以的取值范圍是.故選：D.6.已知為圓上的動點，且動點滿足：，記點的軌跡為，則（）A.為一條直線 B.為橢圓C.為與圓O相交的圓 D.為與圓O相切的圓【正確答案】D【分析】設(shè)點坐標(biāo)為，設(shè)Px0,y0，由，可得，代入圓方程，可得到點的軌跡的方程，即可判斷軌跡是圓，圓為與圓O相切.【詳解】設(shè)點坐標(biāo)為，設(shè)Px0,y0，由，可得則，所以，即，把代入圓，則點的軌跡的方程為：，即是圓心為，半徑為1的圓，則，由于兩圓的圓心距和兩圓的半徑和相等，因此兩圓外切，即為與圓O相切的圓.故選：D.7.集合，集合，從A，B中各任意取一個數(shù)相加為，則直線與直線平行的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】首先根據(jù)直線平行，求的值，再利用古典概型概率公式，即可求解.【詳解】從A，B中各任意取一個數(shù)相加，有種情況，當(dāng)直線，則，則，當(dāng)時，從中取一個數(shù)相加為的有，2種情況，當(dāng)時，從中取一個數(shù)相加為的有，2種情況，所以滿足條件的有4種情況，所以滿足條件的概率.故選：B8.已知，動圓經(jīng)過原點，且圓心在直線上．當(dāng)直線的斜率取最大值時，（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】運用兩點間斜率公式，結(jié)合基本不等式可解.【詳解】由題意可得，，直線的斜率為．因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，即當(dāng)直線的斜率取最大值時，，所以，故．故選：B．二，多選題（本題共3個小題，每小題6分，共18分，每小題有多項符合題目要求，全部選對得6分．選錯得0分，部分選對得部分分）9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.方程與方程可表示同一直線C.經(jīng)過點，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為D.過兩點的直線都可用方程表示【正確答案】AD【分析】對于A：先求斜率，進而可得傾斜角；對于B，注意區(qū)分方程與方程的不同之處，對于C：設(shè)直線l：，進而可得截距，根據(jù)題意進行求解即可，對于D：根據(jù)兩點式方程的變形進行判斷即可.【詳解】對于選項A：直線的斜率，傾斜角為，故A正確；對于B，表示過點斜率為k的直線，但不含點，而表示過點斜率為k的直線，且含點，故B錯誤；對于C：經(jīng)過點，斜率存在，設(shè)直線為，若在，軸上截距互為相反數(shù)，則，解得或，所以直線方程為或，故C錯誤；對于D，方程為直線兩點式方程的變形，可以表示經(jīng)過任意兩點Px1,y1、故選：AD.10.已知函數(shù)下列命題正確的是（）A.的值域為B.若，則為奇函數(shù)C.若只有一個零點，則的取值范圍為D.若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為【正確答案】BCD【分析】結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性，依次判斷即可.【詳解】當(dāng)時，時，，時，，所以的值域不為R，A錯誤.若時，圖象如圖，由圖可知為奇函數(shù)，B正確.當(dāng)時，時，，時，，有兩個零點，當(dāng)時，時，，只有一個零點，當(dāng)時，時，，時，，時，，只有一個零點，所以，若只有一個零點，則的取值范圍為，C正確.若在R上單調(diào)遞減，則時，在上單調(diào)遞減，則有，即的取值范圍為，D正確.故選：BCD11.如圖，正方體的棱長為1，E為棱的中點，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動點，則（）A.三棱錐的體積為定值 B.直線平面C.當(dāng)時， D.直線與平面所成角的正弦值為【正確答案】AD【分析】對于A，將三棱錐轉(zhuǎn)換成后易得其體積為定值；對于B，建系后，證明與平面的法向量不垂直即可排除B項；對于C，設(shè)出，利用證得，再計算，結(jié)果不為0，排除C項；對于D，利用空間向量的夾角公式計算即得.【詳解】對于A，如圖1，因,故A正確；對于B，如圖2建立空間直角坐標(biāo)系，則,于是，，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，由知與不垂直，故直線與平面不平行，即B錯誤；對于C，由上圖建系，則,,因P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）動點,不妨設(shè)，則，，由題意，，即，于是，此時，故與不垂直，即C錯誤；對于D，由圖知平面的法向量可取為，因，設(shè)直線與平面所成角為，則，故D正確.故選：AD.三?填空題（本題共3個小題，每題5分，共15分）12.函數(shù)的定義域為______.【正確答案】【分析】求使式子有意義的實數(shù)的集合即可.【詳解】要使函數(shù)解析式有意義，則有，即，解得，故函數(shù)的定義域為.故答案為.13.已知梯形ABCD中，，，，，點在線段上，則的最小值為______.【正確答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，先求直線方程，設(shè)點后利用坐標(biāo)運算可得.【詳解】如圖，由題意以，為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)構(gòu)成的一次函數(shù)為，代入，，得，得，即，因點P在線段BC上，可設(shè)，其中，則，，，因，故當(dāng)時取最小值為.故14.已知點，，，直線將分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是______.【正確答案】【分析】先求得直線（）與x軸的交點為，由可得點M在射線OA上.求出直線和BC的交點N的坐標(biāo)，①若點M和點A重合，求得；②若點M在點O和點A之間，求得；③若點M在點A的左側(cè)，求得.再把以上得到的三個b的范圍取并集，可得結(jié)果.【詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為，由于直線與x軸的交點為，由直線將分割為面積相等的兩部分，可得，故，故點M在射線OA上，設(shè)直線和BC的交點為N，則由可得點N的坐標(biāo)為，①若點M和點A重合，如圖：則點N為線段BC的中點，故，把A、N兩點的坐標(biāo)代入直線，求得.②若點M在點O和點A之間，如圖：此時，點N在點B和點C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即，即，可得，求得，故有.③若點M在點A的左側(cè)，則，由點M的橫坐標(biāo)，求得.設(shè)直線和AC的交點為P，則由求得點P的坐標(biāo)為，此時，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即，即，化簡可得，由于此時，所以，兩邊開方可得，所以，故有.綜上可得b的取值范圍應(yīng)是.故答案為.關(guān)鍵點點睛：根據(jù)直線與三角形的交點位置分類討論，利用三角形的面積求得等式，根據(jù)不等式性質(zhì)求解即可，要注意討論的完整性.四?解答題（本題共5個小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟.）15.在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點的坐標(biāo)為.（1）求直線的方程；（2）求直線的方程及點的坐標(biāo).【正確答案】（1）（2）直線的方程為：，【分析】（1）根據(jù)垂直的位置關(guān)系，算出直線的斜率為，利用直線方程的點斜式列式，化簡整理即可得到直線的方程；（2）由邊的高所在直線方程和，解出，從而得出直線的方程．由直線、關(guān)于直線對稱，算出方程，最后將方程與方程聯(lián)解，即可得出點的坐標(biāo)．【小問1詳解】由于所在直線的方程為，故的斜率為，與互相垂直，直線的斜率為，結(jié)合，可得的點斜式方程：，化簡整理，得，即為所求的直線方程．【小問2詳解】由和聯(lián)解，得由此可得直線方程為：，即，，關(guān)于角平分線軸對稱，直線的方程為：，直線方程為，將、方程聯(lián)解，得，，因此，可得點的坐標(biāo)為．16.在三角形中，內(nèi)角所對邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若，三角形的面積為，求三角形的周長.【正確答案】（1）（2）【分析】(1)由正弦定理進行邊角互化可得，結(jié)合兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出，即可求出.(2)由三角形的面積公式可得，結(jié)合及余弦定理即可求出，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】由正弦定理得，所以所以，整理得，因為，所以，因此，所以，所以.【小問2詳解】由面積為，得，解得，又,則，.由余弦定理得，解得，，所以的周長為.17.在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手（1到5號）登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中選3名歌手．（1）求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手概率；（2）表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求“”的事件概率．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)古典概型分別求出甲、乙選中號歌手的概率；利用求得結(jié)果；（2）根據(jù)，分別求解出兩人選擇號歌手和三人選擇號歌手的概率，加和得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)表示事件“觀眾甲選中號歌手”，表示事件“觀眾乙選中號歌手”則，事件與相互獨立，與相互獨立則表示事件“甲選中號歌手，且乙沒選中號歌手”即觀眾甲選中號歌手且觀眾乙未選中號歌手的概率是（2）設(shè)表示事件“觀眾丙選中號歌手”，則依題意，，，相互獨立，，，相互獨立，且，，，彼此互斥故“”的事件的概率為本題考查獨立事件概率的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用古典概型分別求解出符合題意情況的概率，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，已知圓，動點，過點P引圓的兩條切線，切點分別為．（1）求證：直線過定點；（2）若兩條切線與軸分別交于兩點，求的面積的最小值．【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）先求出A，B在以PC為直徑的圓上，再求出以PC為直徑的圓M的方程，最后由兩個圓求出公共弦即可；（2）先考慮一條切線斜率不存在的情況，求出面積，再考慮斜率都存在的情況下求出面積，最后得到面積的最小值即可.【小問1詳解】由題知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑，因為是圓的兩條切線，所以，，所以A，B在以PC為直徑的圓上，又因為，且PC的中點為，所以以PC為直徑的圓M的方程為，化簡可得，所以AB為圓C與圓M的公共弦，所以直線AB的方程為，令，解得，所以直線過定點；【小問2詳解】當(dāng)PA，PB有一條斜率不存在，即時，不妨設(shè)PA斜率不存在，則直線PA的方程為，此時，，設(shè)直線PB的方程為，由圓心到PB的距離，解得，所以直線PB的方程為，所以，此時，；同理斜率不存在時；當(dāng)PA，PB斜率均存在，即時，設(shè)過點的切線方程為，即，因為PA，PB與圓C相切，所以圓心C到直線的距離，即，，設(shè)PA，PB的斜率分別為，，則，，又點在直線上，點在直線上，，，所以而，所以．又因為且，所以當(dāng)時，，此時．綜上，面積的最小值為．關(guān)鍵點睛：本題的解題關(guān)鍵在于將面積問題轉(zhuǎn)化為最小的問題，進而轉(zhuǎn)化為斜率的問題，進而應(yīng)用韋達定理解決.19.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點.若直線以為方向向量且經(jīng)過點，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程表示為.（1）已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；（2）已知平面