專題10立體幾何平行歸類（原卷版）

專題10立體幾何平行歸類目錄TOC\o"11"\h\u【題型一】線線平行：中位線法 2【題型二】線線平行：平行四邊形法 3【題型三】“等分線法”證明線面平行 4【題型四】平行四邊形法證線面平行 5【題型五】無(wú)交線證明平行 6【題型六】存在型：線面平行 7【題型七】存在型：面面平行 7【題型八】翻折中的平行 8【題型九】平行應(yīng)用：異面直線所成的角 9培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練 10培優(yōu)第二階——能力提升練 11培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 12結(jié)束 13綜述：一、平行關(guān)系的判定及性質(zhì)定理：(1)線∥面的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)∵l∥a，a?α，l?α∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行．(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b∴l(xiāng)∥b(2)面∥面的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α∴α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，則它們的交線平行(簡(jiǎn)記為“面面平行?線線平行”)∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b∴a∥b注意：面面平行性質(zhì)公理：兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意直線與另一個(gè)平面平行，(簡(jiǎn)記為“面面平行?線面平行”)二、平行構(gòu)造的常用方法： ①三角形中位線法； ②平行四邊形線法； ③比例線段法.注意：平行構(gòu)造主要用于：①異面直線求夾角； ②平行關(guān)系的判定.三、異面直線平行線法求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．【題型一】線線平行：中位線法【典例分析】如圖，空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、CD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且，求證：直線EH與直線FG平行．【變式訓(xùn)練】1.如圖1所示，在梯形中，，，分別為，的中點(diǎn)，將平面沿翻折起來(lái)，使到達(dá)的位置（如圖2），，分別為，的中點(diǎn)，求證:四邊形為平行四邊形.圖1

圖22.如圖，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，D、E分別是△PAB和△PBC的重心．求證：DE//AC，.【題型二】線線平行：平行四邊形法【典例分析】如圖，在正方體中，，分別是棱和的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）求證：．【變式訓(xùn)練】1.如圖，面ABEF⊥面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，，，G、H分別是FA、FD的中點(diǎn)．（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；（2）C、D、E、F四點(diǎn)是否共面？為什么？2.在如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，求證：(1)；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.【題型三】“等分線法”證明線面平行【典例分析】如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面(2)過(guò)三點(diǎn)的一個(gè)平面，截三棱柱得到一個(gè)截面，畫出截面圖，說(shuō)明理由并求截面面積．【變式訓(xùn)練】如圖，四棱臺(tái)的上底面和下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，側(cè)棱上的一點(diǎn)E滿足．(1)證明：平面；(2)若，且在平面ABCD的正投影落在線段CD上，求四棱臺(tái)的體積．【題型四】平行四邊形法證線面平行【典例分析】如圖所示，三棱柱，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱底面，點(diǎn)分別是棱上的點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，．(1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，平面?(2)若平面，求與所成的角的余弦值．【變式訓(xùn)練】1.如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中點(diǎn)．(1)求證：BC∥AD；(2)求證：CE∥平面PAB．2.如圖，分別是圓臺(tái)上、下底的圓心，為圓O的直徑，以O(shè)B為直徑在底面內(nèi)作圓E，C為圓O的直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，連接BC交圓E于點(diǎn)為圓臺(tái)的母線，．(1)證明：//平面；(2)若，求C到平面的距離．【題型五】無(wú)交線證明平行【典例分析】如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，是的中點(diǎn)，四邊形為正方形．設(shè)平面平面，證明：；【變式訓(xùn)練】1.如圖，在三棱錐中，是正三角形，平面分別為，上的點(diǎn)，且．已知．(1)設(shè)平面平面，證明：平面；(2)求五面體的體積．2.如圖，四棱錐中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為，且平面.(1)若平面與平面的交線為，求證：平面；(2)求證：.【題型六】存在型：線面平行【典例分析】如圖，在四棱錐中，平面底面，底面為平行四邊形，.(1)求證：；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式訓(xùn)練】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)F．(1)求證：平面；(2)求證：F為的中點(diǎn)；(3)在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【題型七】存在型：面面平行【典例分析】如圖，四棱錐中，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面.(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】在長(zhǎng)方體中，，P為的中點(diǎn)．已知過(guò)點(diǎn)的平面與平面平行，平面與直線分別相交于點(diǎn)M，N，請(qǐng)確定點(diǎn)M，N的位置；【題型八】翻折中的平行【典例分析】如圖甲，在四邊形中，，．現(xiàn)將沿折起得圖乙，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)在圖乙中，過(guò)直線作一平面，與平面平行，且分別交、于點(diǎn)、，注明、的位置，并證明．【變式訓(xùn)練】如圖（1），點(diǎn)E是直角梯形ABCD底邊CD上的一點(diǎn)，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，將沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，連接CD和BD，如圖（2）．(1)求證：平面平面BCD；(2)在線段BD上確定一點(diǎn)F，使得平面ADE.【題型九】平行應(yīng)用：異面直線所成的角【典例分析】如圖，在正方體中，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求直線與所成角的余弦值；【變式訓(xùn)練】已知三棱錐中，△ABC，△ACD都是等邊三角形，，E，F(xiàn)分別為棱AB，棱BD的中點(diǎn)，G是△BCE的重心．(1)求異面直線CE與BD所成角的余弦值；(2)求證：FG平面ADC．分階培優(yōu)分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面MNQ∥平面PAD；(2)求證：BC∥l．2．如圖，在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．(1)求證：面；(2)求證：為的中點(diǎn)．3．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點(diǎn)．(1)求證：QN∥平面PAD；(2)記平面CMN與底面ABCD的交線為l，試判斷直線l與平面PBD的位置關(guān)系，并證明．培優(yōu)第二階——能力提升練1．如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，平面，，，G在上，且．(1)求證：平面；(2)若與所成的角為，求多面體的體積．2．（1）如圖，在三棱柱中，是的中點(diǎn)．求證：平面；（2）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．求證：平面．3．如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別是棱，AC的中點(diǎn)．(1)判斷多面體是否為棱柱并說(shuō)明理由；(2)求多面體的體積；(3)求證：平面平面AB1D．培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．如圖所求，四棱錐，底面為平行四邊形