2025版高中數學一輪復習課時作業(yè)梯級練二十八平面向量的基本定理及坐標表示課時作業(yè)理含解析新人教A版

PAGE課時作業(yè)梯級練二十八平面對量的基本定理及坐標表示一、選擇題(每小題5分，共35分)1．如圖，設O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點，給出下列向量組：①與；②與；③與；④與．其中可作為該平面內其他向量的基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④【解析】選B.①中，不共線；③中，不共線．②④中的兩向量共線，因為平面內兩個不共線的非零向量構成一組基底，所以選B.2.在?ABCD中,=(2,8),=(-3,4),對角線AC與BD相交于點M,則= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因為在?ABCD中,有=+,=QUOTE,所以=QUOTE(+)=QUOTE(-1,12)=QUOTE.3．已知直角坐標系中點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，向量＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－3))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－4))，則點C的坐標為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(11，8)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－11，－6))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，0))【解析】選C.因為向量＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－3))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－4))，所以＝＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－11，－7))，又Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，所以＝＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－11，－6))，所以點C的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－11，－6)).4．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－3))，若a－2b＋3c＝0，則c＝()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(8,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))【解析】選D.因為a－2b＋3c＝0，所以c＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2b)).因為a－2b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8，－6))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(13，4)).所以c＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2b))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).5．已知向量a＝(3，4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，則tanα＝()A．eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C．eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)【解析】選A.由a∥b可得到4sinα－3cosα＝0?tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4).6.若α,β是一組基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),則稱(x,y)為向量γ在基底α,β下的坐標.現已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐標為(-2,2),則a在另一組基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐標為 ()A.(2,0) B.(0,-2)C.(-2,0) D.(0,2)【解析】選D.因為a在基底p,q下的坐標為(-2,2),所以a=-2p+2q=(2,4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),則QUOTE解得QUOTE7．如圖Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC平分線交△ABC的外接圓于點D，設＝a，＝b，則向量＝()A.a＋b B．eq\f(1,2)a＋bC．a＋eq\f(1,2)b D．a＋eq\f(2,3)b【解析】選C.連接BD，DC，設圓的半徑為r，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，所以∠BAC＝eq\f(π,3)，∠ACB＝eq\f(π,6)，∠BAC平分線交△ABC的外接圓于點D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq\f(π,6)，依據圓的性質BD＝CD＝AB，又因為在Rt△ABC中，AB＝eq\f(1,2)AC＝r＝OD，所以四邊形ABDO為菱形，＝AB→＋＝a＋eq\f(1,2)b.二、填空題(每小題5分，共10分)8．若向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，1))與b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，n))共線且方向相同，則n＝________．【解析】因為向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，1))與b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，n))共線，所以n2＝4；由兩者方向相同可得n＝2.答案：29.已知平面直角坐標系內的兩個向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面內的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ為實數),則m的取值范圍是.

【解析】因為平面內的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ為實數),所以a,b肯定不共線,所以3m-2-2m≠0,解得m≠2,所以m的取值范圍是(-∞,2)∪(2,+∞).答案:(-∞,2)∪(2,+∞)1．在△ABC中，G為重心，記＝a，＝b，則＝()A．eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bB．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC．eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)bD．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b【解析】選A.因為G為△ABC的重心，所以＝eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，所以＝＋＝－b＋eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b.2.(5分)在Rt△ABC中,∠A=90°,點D是邊BC上的動點,且||=3,||=4,=λ+μ(λ>0,μ>0),則當λμ取得最大值時,||的值為 ()A.QUOTE B.3 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為=λ+μ,而D,B,C三點共線,所以λ+μ=1,所以λμ≤QUOTE=QUOTE,當且僅當λ=μ=QUOTE時取等號,此時=QUOTE+QUOTE,所以D是線段BC的中點,所以||=QUOTE||=QUOTE.故選C.3.(5分)(2024·樂山模擬)如圖,原點O是△ABC內一點,頂點A在x軸上,∠AOB=150°,∠BOC=90°,||=2,||=1,||=3,若=λ+μ,則QUOTE= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題可得A(2,0),BQUOTE,CQUOTE.因為=λ+μ,所以由向量相等的坐標表示可得QUOTE解得QUOTE所以QUOTE=QUOTE.4．已知點O為坐標原點，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2．(1)求點M在其次或第三象限的充要條件．(2)求證：當t1＝1時，不論t2為何實數，A，B，M三點共線．【解析】(1)＝t1＋t2＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2).點M在其次或第三象限?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t2＜0，,2t1＋4t2≠0，))解得t2＜0且t1＋2t2≠0.故所求的充要條件為t2＜0且t1＋2t2≠0.(2)當t1＝1時，由(1)知＝(4t2，4t2＋2).因為＝－＝(4，4)，＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，所以A，B，M三點共線.5．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2).(1)若a∥b，求eq\f(sinθ·cosθ,1＋3cos2θ)的值；(2)若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))，0＜θ＜π，求θ的值．【解析】(1)因為a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，當cosθ＝0時，sinθ＝0，與sin2θ＋cos2θ＝1沖突，所以cosθ≠0，故tanθ＝eq\f(1,4)，所以eq\f(sinθ·cosθ,1＋3cos2θ)＝eq\f(sinθ·cosθ,sin2θ＋4cos2θ)＝eq\f(tanθ,tan2θ＋4)＝eq\f(4,65).(2)由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，即1－4sinθcosθ＋4sin2θ＝5，從而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即s