2023年中考數(shù)學(xué)真題解析8壓軸題2(含答案)

溫馨雜草屋

(2023年1月最最細(xì))2023全國(guó)中考真題解析120考點(diǎn)匯編眾

壓軸題2

41.(2023黑龍江大慶，28,8分)二次函數(shù)：y=ax2-bx+b(a>0,b>o)圖象頂點(diǎn)的縱坐

b

標(biāo)不大于-

(1)求該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；

(2)假設(shè)該二次函數(shù)圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，求線段AB長(zhǎng)度的最小

值.考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)。

分析：(1)先求出y=ax2-bx+b(a>0,b>0)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，依據(jù)題意得出梟3,

即可得出該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；

(2)設(shè)/(X),0),B(x2，0)(Xj<x2),則\、x2是方程ax?-bx+b=O的兩根，由求根

公式得出X]、X2,依據(jù)4B=|X2?X]|求出線段A8長(zhǎng)度的最小值.

4ab-d2

解答：解：(1)由于y=ax2-bx+b(a>0,b>0)圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4a

4ab-ft2bb

則4aW-9得無(wú)脛3,

???該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是不小于3：

(2)設(shè)力(xr0),B(x2，0)(Xj<x2)

則方程ax?-bx+b=0的兩根，

b-|b2-4abb+jb2-4ab

得X尸—F-----，X2=-F---------，

從而AB=lx2-xtl=.4ab

a

rbF

(_)2-4--

Vaa

第頁(yè)

溫馨雜草屋

b

由（1）知會(huì)6?

bb

由于當(dāng)56時(shí)，隨著K的增大，J（￡-2”-4也隨著增大，

所以%時(shí)，線段AB長(zhǎng)度的最小值為2，3

點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合性的題目，考察了拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題以及二次函數(shù)的性質(zhì)，

是中考?jí)狠S題，難度較大.

42.（2023?郴州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0,1）和（1,0）,

P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），坐標(biāo)為（m,1-m）（m為常數(shù)）.

（1）求經(jīng)過(guò)O、P、B三點(diǎn)的拋物線的解析式：

（2）當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上移動(dòng)時(shí)，過(guò)（）、P、B三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸是否會(huì)隨著P的移動(dòng)

而轉(zhuǎn)變；

11

（3）當(dāng)P移動(dòng)到點(diǎn)（7，刃時(shí)，請(qǐng)你在過(guò)0、P、B三點(diǎn)的拋物線上至少找出兩點(diǎn)，使

每個(gè)點(diǎn)都能與P、B兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，并求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo).

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

分析：（1）設(shè)出拋物線的解析式，依據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，B點(diǎn)，P點(diǎn)可列出方程求出a,b

的值確定解析式；

（2）求出拋物線的對(duì)稱軸，可知是個(gè)定值，故不變；

第頁(yè)

溫馨雜草屋

(3)可作出對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為K,過(guò)K點(diǎn)作PB的垂直平分線，交拋物線于兩點(diǎn)，這

兩點(diǎn)就符合要求.

解答：解(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

由于拋物線過(guò)原點(diǎn)O(0,0).所以c=0.

aXl2+dXl=0

axm2+bxm=l-m

所以y=-奇2+正x；

1i

(2j由(1)可知拋物線的對(duì)稱軸是x=--~~丁1、-至

所以它不會(huì)隨P的移動(dòng)而轉(zhuǎn)變；

(3)點(diǎn)O(0,0)可滿足.

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于K,過(guò)K作PB的垂直平分線交拋物線于Q1,Q2兩點(diǎn)，則

oQ|PB,z\Q2PB是等腰三角

形.由于P點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,2).

所以Q&的解析式是：產(chǎn)x-；,拋物線的解析式為：y=-2X2+2X.

、弓+1,VST1-v5、片+1

所以直線和拋物線的交點(diǎn)Qi，Q2兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(―5—,—4—),(—4—,--4").

第頁(yè)

溫馨雜草:屋

點(diǎn)評(píng)：此題考察二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，其中考察了通過(guò)坐標(biāo)來(lái)確定二次函數(shù)式，求拋物線的對(duì)

稱軸，以及依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出坐標(biāo).

43.（2023湘西州）如圖,拋物線y=-x2-2x+3與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)

C.

（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）求直線AC的解析式.

（3）設(shè)點(diǎn)M是其次象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，且SAMAB=6,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

（4）假設(shè)點(diǎn)P在線段BA上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從A運(yùn)動(dòng)（不與B,A重合），同時(shí),

點(diǎn)Q在射線AC上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從A向C運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，懇求

出^APQ的面積S與I的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)I為何值時(shí)，△APQ的面積最大，最大面

積是多少？

第頁(yè)

溫馨雜草屋

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

專題：綜合題。

W：(1)令y=()求得拋物線與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令x=0求得圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

(2)利用的兩點(diǎn)的坐標(biāo)依據(jù)待定系數(shù)法求得?次函數(shù)的解析式即可.

(3)設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,-X2-2X+3),然后表示出其面積

5C~x2-2x+3?X4=6,解得即可.

(4)證明△BNPs/XBEO,由令y=0求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用線段比求出NP,BE的長(zhǎng).求出

S與t的函數(shù)關(guān)系式后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值.

解容(1)令-x?-2x+3=0,(x+3)(x-I)=0?X|=-3,x2=l,

A(-3,0)B.(1,0),C(0,3)；

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

由題意，得"3k+h=0解之得依一+3；

(3)設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-x2-2x+3),

AB=4,由于M在其次象限，所以-X2-2X+3>0,

所以;2

6-X-2x+3?X4=6,

解之，得X]=0,x2=-2,

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,(不合題意)

當(dāng)x=-2時(shí)，y=3.所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,3)；

(4)由題意，得AB=4,PB=4-t,

VAO=3,CO=3,

???△ABC是等腰直角三角形，AQ=2t,

第頁(yè)

溫馨雜草:屋

所以Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為‘2t

s=jXV2tX—￥儼+2V2t11<t<4)

?S=欄e-41+4-4)--(t-2)+2V2,

2

???當(dāng)t=2時(shí)，△APQ最大，最大面積是2&.

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的到大學(xué)問(wèn)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面

積求法.在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要留意分析題意分狀況爭(zhēng)論結(jié)果.

44（2023西寧）在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在其次象限，斜靠

在兩坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C為（-1,0）.如F圖，B點(diǎn)在拋物線尸我以?2圖象上，過(guò)點(diǎn)B作

BD_Lx軸，垂足為D,且B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-3.

(1)求證：△BDCgACOA；

（2）求BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式;

（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使^ACP是以AC為直角邊的直角三角形？假設(shè)存在,

求出全部點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第頁(yè)

溫馨雜草屋一

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

W：(1)首先依據(jù)題意推出NBCD=NOAC,然后BC=AC,依據(jù)全等三角形的判定定理

“AAS淀理，即可判定^BDC^ACOA；

(2)首先(1)所得的結(jié)論，即可推出OC=BD=1,即可得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，設(shè)出直線的函數(shù)

關(guān)系式，把B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出k、b,即可推出結(jié)論；

(3)首先依據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式，求出拋物線的對(duì)稱軸，然后分狀況進(jìn)展分析①以AC為直

角邊，A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，依據(jù)題意推出Pi點(diǎn)為BC與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)，依據(jù)直線BC

的解析式和拋物線的解析式，即可推出P1點(diǎn)的坐標(biāo)，②以AC為直角邊，C點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，

做AP2±BC,設(shè)與拋物線的對(duì)稱軸交于P2點(diǎn)，確定點(diǎn)與的位置，由OA=CD,即可推出A

點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)AP2〃BC,即可推出直線AP2的的解析式，結(jié)合拋物線對(duì)稱軸的解析式，

即可推出P2的坐標(biāo).

解答：解(1)證明：VACB1BC,BD1CD,

AZBCD=ZACO=90°,ZACO+ZOAC=90°,

AZBCD=ZOAC,

:△ABC為等腰直角三角形，

/.BC=AC,

???在△BDC和^COA中

(ABDC=ACOA=9Q0

乙BCD=Z.OAC

BC=AC

/.△BDC^ACOA(AAS),

(2)VABDC^ACOA,

r.BD=CO,

?.?C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,oi,

/.BD=OC=1,

AB點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,

IB點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3,

第頁(yè)

溫馨雜草屋

???B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,11,

設(shè)BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,

-k+b=0

-3k+h=l

k=T

???解方程組得，；

「?直線BC所在直線的解析式為：y二-；x-

(3)存在，

;拋物線的解析式為：y=1x2+^x-2.

1.1

??y=5x2+5x-2

11,17

=2(x+2)2-百，

.??二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=?；，

①假設(shè)以AC為直角邊，C點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，做CP|_LAC,

VBC±AC,

??.P1點(diǎn)為直線BC與對(duì)稱軸直線x=-；的交點(diǎn)，

??,直線BC所在直線的解析式為：y=?方?),

11

X

2一2

1

2

第頁(yè)

溫馨雜草屋--------------------------

1

=2

???解得，=1

3

???Pi點(diǎn)的坐標(biāo)為(-J,-J)；

②假設(shè)以AC為直角邊，A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，對(duì)稱釉上有一點(diǎn)P2，使AP^LAC,

???過(guò)點(diǎn)A作AP2〃BC,交對(duì)稱軸直線x=-；于點(diǎn)P2，

VC)B=3,OC=1,

???0A=CD=2,

，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),

直線AP-,的解析式為y=-￡+2,

1+2

2X

1

-

2

1

=-2

得

*解?9

=4

19

?62點(diǎn)的坐標(biāo)為(-去一卬，

1119

，P點(diǎn)的坐標(biāo)為Pi?卬、P2(?9?4)?

第頁(yè)

溫馨雜草屋

點(diǎn)評(píng)：此題主要考察全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，依據(jù)解析式

求點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵在于(I)推出NBCD=NOAC,(2)依據(jù)(1)的結(jié)論，推出B點(diǎn)的坐標(biāo)

13)留意分狀況爭(zhēng)論，①假設(shè)以AC為直角邊，C點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，推出P1點(diǎn)為直線BC

與對(duì)稱軸直線x=-；的交點(diǎn)，②假設(shè)以AC為直角邊，A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，由A點(diǎn)的坐標(biāo)，求出

直線AP2的解析式.

45.(2023青海)一元二次方程x2-4x+3=O的兩根是m.n且mVn.如圖，假設(shè)拋物線y=

-x?+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m,0)、B(O?n).

(1)求拋物線的解析式.

(2)假設(shè)(1)中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.依據(jù)圖象答復(fù)，當(dāng)x取何值時(shí)，拋物

線的圖象在直線BC的上方？

(3)點(diǎn)P在線段OC上，作PEJ_x軸與拋物線交與點(diǎn)E,假設(shè)直線BC將4CPE的面積分

成相等的兩局部，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；解一元二次方程?因式分解法；待定系數(shù)法求

一次函數(shù)解析式；拋物線與x軸的交點(diǎn)；三角形的面積。

專題：計(jì)算題。

分并(1)求出方程的解，得到B、A的坐標(biāo)，代入拋物線得到方程組，求出方程組的解即

可；

(2)求出C的坐標(biāo)，依據(jù)B、C的坐標(biāo)求出即可：

(3)設(shè)直線BC交PE于F,P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0),則E點(diǎn)坐標(biāo)為(a,-a2-2a+3),依據(jù)三

角形的面積求出F的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b,把B、C的坐標(biāo)代入求出直線

第頁(yè)

溫馨雜草屋

BC,把F的坐標(biāo)代入求出即可.

解答：解⑴???x2?4x+3=0的兩個(gè)根為X[=l,X2=3,

?1A點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3),

又???拋物線y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)、B(0,3)兩點(diǎn),

.-l+b+c=0^^b=-2

=3U=3

???拋物線的解析式為y=-x2-2x+3,

答：拋物線的解析式是y=-x2-2x+3.

(2)解：作直線BC,

由(I)得，y=-x2-2x+3,

???拋物線y=-x2-2x+3與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,令-x2-2x+3=0,

解得：Xj=l,x2=-3,

???C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,0i,

由圖可知：當(dāng)-3<xV0時(shí)，拋物線的圖象在直線BC的上方，

答：當(dāng)-3VxV()時(shí)，拋物線的圖象在直線BC的上方.

(3)解：設(shè)直線BC交PE于F,P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0),則E點(diǎn)坐標(biāo)為(a,-a2-2a+3),

??,直線BC將4CPE的面積分成相等的兩局部，

???F是線段PE的中點(diǎn)，

?。2-2a+3

即F點(diǎn)的坐標(biāo)是(a,5),

丁直線BC過(guò)點(diǎn)B[S3)和C(-3.0).

3=b

設(shè)直線的解析式是代入得:

BCy=kx+b,0=-3A+b'

k=1

b=3

第頁(yè)

溫馨雜草屋

，直線BC的解析式為y=工+3,

???點(diǎn)F在直線BC上,

???點(diǎn)F的坐標(biāo)滿足直線BC的解析式,

?Q2-2a+3

即=a+3

解得a|=-1,a2=-3（此時(shí)P點(diǎn)與點(diǎn)C重合，舍去）,

，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（7,0）,

點(diǎn)評(píng)：此題主要考察對(duì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)，解一

元二次方程，解二元一次方程組，三角形的面積等學(xué)問(wèn)點(diǎn)的理解和把握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)展

計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.

46.12023?湖南張家界，25,12）如圖，拋物線y=ax?+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4,0）、B（-2,2）,

連接OB、AB,

（1）求該拋物線的解析式.

（2）求證：△OAB是等腰直角三角形.

（3）將△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)135。，得到△6VB。寫(xiě)出AB，的中點(diǎn)P的坐標(biāo),

試推斷點(diǎn)P是否在此拋物線上.

（4）在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M,使得四邊形ABOM成直角梯形，假設(shè)存在，懇求

出點(diǎn)M坐標(biāo)及該直角梯形的面積，假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第頁(yè)

溫馨雜草屋

分析：(1)將A(-4,0\B(-2,2)代入拋物線解析式尸ax2+bx,列方程組求a、b的

值即可；

(2)依據(jù)所求拋物線解析式求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，推斷三角形的外形；

(3)依據(jù)△OAB的外形，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角，畫(huà)出圖形，可求A<B，的坐標(biāo)，依據(jù)中點(diǎn)坐

標(biāo)公式求P的坐標(biāo)，代入拋物線解析式進(jìn)展推斷；

(4)存在.過(guò)點(diǎn)0,作0M〃AB交拋物線于點(diǎn)M,依據(jù)△0AB為等腰直角三角形，可求

直線OM的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，可求M點(diǎn)坐標(biāo)，同理，過(guò)點(diǎn)A,作AM//OB

交拋物線于點(diǎn)聯(lián)立方程組可求的坐標(biāo)，由圖形的特別性可知，兩種狀況L梯形面

積相等，依據(jù)梯形面積公式求解.

解答：解(1)由A(-4,0)、B(-2,2)在拋物線y=ax2+bx圖象上，

〔2=?(-2)2+-(-2)

解之得：a=-Lh=-2

2

1

，該函數(shù)解析式為：y=--x2-2x.(4^>)

2

(2)過(guò)點(diǎn)B作BC垂直于X軸，垂足是點(diǎn)C.(6分)

*.*y=y=~--V2-2x=-1]x+2)2+2,

22

???線段CO、CA、CB的長(zhǎng)度均為2,

「?△ABC和^OBC為全等的等腰直角三角形，

第頁(yè)

溫馨雜草屋

.\AB=OB

且NABO=ZABC+ZOBC=9()°

???△OAB是等腰直角三角形(8分)

(3)如圖，將△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)135。，得到△OA，B，

其中點(diǎn)正好落在y軸上且BW/7x軸.

又???OB，和AB，的長(zhǎng)度為2JI,

AB，中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(、位-2金)，明顯不滿足拋物線方程，

???點(diǎn)P不在此拋物線上(10分)

易求出直線OM的解析式為：y=x

y=x

聯(lián)立拋物線解析式得：〈1

^=--x2-2x

解之得點(diǎn)M(-6,-6),

明顯，點(diǎn)M(-6,-6)關(guān)于對(duì)稱軸x=-2的對(duì)稱點(diǎn)M1(2,-6)也滿足要求,

故滿足條件的點(diǎn)M共有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為(-6,-6)和(2,-6)

十3=—x4x2+—x4x6=16(12分)

ABOMMBOMOM22

(注：此題方法較多，只要合理均可給分)

第頁(yè)

溫馨雜草屋一

點(diǎn)評(píng)：此題考察了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是依據(jù)題意求拋物線解析式，依據(jù)解析式確定圖

形的特別性.

47.(2023株洲,24,)孔明是一個(gè)寵愛(ài)探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起爭(zhēng)論某條拋物線

y=ax2(a<0)的性質(zhì)時(shí)，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)0,兩

直角邊與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：

(1)假設(shè)測(cè)得OA=OB/(如圖1),求a的值：

(2)對(duì)同一條拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時(shí)，過(guò)B作BFlx軸

于點(diǎn)F,測(cè)得OF=1,寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)-4；

(3)對(duì)該拋物線，孔明將二角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)驚異地覺(jué)察，交點(diǎn)A、R的連線段

總經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)，試說(shuō)明理由并求出該點(diǎn)的坐標(biāo).

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

專題：代數(shù)幾何綜合題；壓釉題。

分析：(1)先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線y=ax2(a<0)得a的值；

(2)過(guò)點(diǎn)A作AE±x軸于點(diǎn)E,可證△AEO-AOFB,得出AE=2OE,可得方程點(diǎn)A的

橫坐標(biāo).

2

(3)設(shè)A1-m,-l^](m>0),B(n,-1^2)(n>0),易知△AEOS^OFB,依據(jù)

22

第頁(yè)

溫馨雜草屋

相像三角形的性質(zhì)可知交點(diǎn)A、B的連線段總經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)(0,-2).

解答：解(I)設(shè)線段AB與y軸的交點(diǎn)為C,由拋物線的對(duì)稱性可得C為AB中點(diǎn),

VOA=OB=2-JT,ZAOB=90°,/.AC=OC=BC=2,AB(2,-2)(2分)

將B(2,-2)代入拋物線y=ax2(a<0)得,a=._0分)

(2)解法一：過(guò)點(diǎn)A作AEJ_x軸于點(diǎn)E,

I

???點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,??.B[1,-彳)，(4分)

1

ABF=-.又???/AOB=90°,易知/AOE=NOBF,

又NAEO=N()FB=9()。，AAEO^AOFB,

AUnp1

=2.AAE=2OE15分)

"OEBF1

2

1

__>2)貝

設(shè)點(diǎn)A(-m,(m>0),"OE=m,AE=-m2,

22

1

A_r7?2=2m,??.m=4,即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4.(6分)

2

解法二：過(guò)點(diǎn)A作AE_Lx軸于點(diǎn)E,

1

???點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,，B(1,(4分)

OF1

AtanZOBF="=1=2，

BFJ_

2

VZAOB=90°,易知NAOE=NOBF,

AE

：.--=tanZAOE=tanZOBF=2,AAE=2OE(5分)

OE

1

設(shè)點(diǎn)A(-m,錯(cuò)誤！未找到引用源。)(m>0),則OE=m,AE=亍叱，

m=2m

2

???m=4,即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4.(6分)

第頁(yè)

溫馨雜草屋

1

解法三：過(guò)點(diǎn)A作AEJ_x軸于點(diǎn)E,???點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,AB（1,-,），（4分）

15

設(shè)A（-m,錯(cuò)誤！未找到引用源。）則0B2=：+（,）2=不，

115

OA2=m2+—m4,AB2=（l+m）2+（-,+錯(cuò)誤！未找到引用源。）2=—,

VZAOB=90°/.AB2=OA2+OB2,/.（l+m）2+（-未找到引用源。）2=（l+m）2+（-_+錯(cuò)

22

誤！未找到引用源。凡

解得：m=4,即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4.（6分）

（3）解法一：設(shè)A（-m.錯(cuò)誤！未找到引用源。）B（n,錯(cuò)誤！未找到引用源。）

(n>0),

I1

I-mk+b=一一n?2

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b,則｛2,(7分)

\nk+b=-1m

I2

(1)xn+(2)xm得,

(m+n)b=-5(m2n+mn2)

1

b=--mn,(8分)

?AEOE.0.5m?_m

又易知△AEO^AOFB，??=f?____________mn=4(9分)

~0F~BFn0.5〃2

-*=-2.1

??*b=B=--x4=-2.

由此可知不管k為何值，直線AB恒過(guò)點(diǎn)（0,-2）（10分）

（說(shuō)明：寫(xiě)出定點(diǎn)C的坐蘇就給2分）

1212

解法二：設(shè)A（?m,）（m>0）,B（n,一二門(mén)）2。）,

SAoc+S^BOU

直線AB與y軸的交點(diǎn)為C,依據(jù)S.AOB=SWBFE-AAOE

第頁(yè)

溫馨雜草屋

可得

112111

22-?m?-.-n*-n2=-

2*<|n+|m?(m+n)22rn222

OC?m+^OC?n

1

化簡(jiǎn)，得OC=‘mn.(8分)

.AE—OE0.5m?—m,,、

又易知△AEOs/\OFB,:?郁一群,，一^-----:5，Amn=4(9分)

???002為固定值.故直線AB恒過(guò)其與y軸的交點(diǎn)C[0,-2）（10分）

說(shuō)明：mn的值也可以通過(guò)以下方法求得.

24224

由前可知，。/=m4-im,OB=n+-n

44

AB2=(m+n)2+C--m2+-n2?2,

22

由OA2+OB2=AB2,得

(m2+-m4?+(n2+-n4>=

44

,211.2

6n+n?x+(z--nr7+-TT2)

72

化簡(jiǎn)，得mn=4.

本答案僅供參考，假設(shè)有其他解法，請(qǐng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分.

第頁(yè)

溫馨雜草屋

點(diǎn)評(píng)：此題著重考察了拋物線的對(duì)稱性和相像三角形的判定和性質(zhì)，第（3）問(wèn)求出nm=4

是解題的關(guān)鍵，綜合性較喉，有肯定的難度.

48.12023湖南湘潭市，26,10分）,AB是。。的直徑，AB=8,點(diǎn)C在。O的半徑

OA上運(yùn)動(dòng)，PC1AB,垂足為C,PC=5,PT為。O的切線，切點(diǎn)為T(mén).

（1）如圖（1），當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，求PT的長(zhǎng)；

（2）如圖（2）,當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，連接PO、BT,求證：PO〃BT；

理.專題：計(jì)算題.

分析：（1）連接OT,依據(jù)題意，由勾股定理可得出PT的長(zhǎng)；

（2）連接OT,則OP平分劣弧AT,則NAOP=NB,從而證出結(jié)論；

（3）設(shè)PC交。0于點(diǎn)D,延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)E,由相交線定理，可得出CD的長(zhǎng)，再由切

割線定理川.得出y與x之間的關(guān)系式，進(jìn)而求得y的最小值.

第頁(yè)

溫馨雜草屋

解答：解：(1)連接0T

VPC=5,0T=4,

???由勾股定理得，PT/PG-CT2=3；

(2)證明：連接OT,???PT,PC為。0的切線，

???OP平分劣弧AT,

/.ZPOA=ZPOT,

VZAOT=2ZB,

.\ZAOP=ZB,

???PO〃BT：

(3)設(shè)PC交。O于點(diǎn)D,延長(zhǎng)線交。O于點(diǎn)E,

由相交線定埋，得CD2=AC?BC,

VAC=x,BC=8-x>

/.CD=Jx(8-x),

???由切割線定理，得PT2=PD?PE,

VPT2=y,PC-5,

Ay=[5-Jx(8-x)][5+Vx(8-x)],

.*.y=25-x(8-x)=x2-8x+25,

100-64

???y最小F—=%

點(diǎn)評(píng)：此題是一?道綜合題，考察了切線的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值以及勾股定理的內(nèi)容，是中

考?jí)狠S題，難度較大.

第頁(yè)

溫馨雜草屋

49.(2023湖南益陽(yáng),21,12分)如圖是小紅設(shè)計(jì)的鉆石形商標(biāo)，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三

角形，四邊形ACDE是等腰梯形，AC//ED,N￡4C=60。，AE=\.

(1)證明：△ABE絲ACBD；

(2)圖中存在多對(duì)相像三角形，請(qǐng)你找出一對(duì)進(jìn)展證明，并求出其相像比(不添加關(guān)心線，

不找全等的相像三角形)；

(3)小紅覺(jué)察AM=MN=NC,請(qǐng)證明此結(jié)論：

(4)求線段BD的長(zhǎng).

考點(diǎn)：相像三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾

股定理；等腰梯形的性質(zhì).

專題：證明題.

分析：(1)由A是等力三角形，^AB=BC,ZBAC=ZBCA=60°t由四邊形ACDE是等

腰梯形，得力E=CD,N4CO=/G4E=60。，利用“SAS”判定△

(2)存在.可利用AB//CD或AE//BC得出相像三角形；

ANAB11

(3)由(2)的結(jié)論得"—二一一二2,即CN=_4C,同理，得4M=-/C,可證/M=MN=NC；

CNCD33

(4)作。"_L。。交的延長(zhǎng)線于凡在RsCD”中，由NC￡>"=30。，CD=AE=\,可求

CF,DF,在RtZiBDF中，由勾股定理求

BD.解格(1)證明：是等邊三角形，

：.AB=BC,NBAC=NBCA=60°.(1分)

丁四邊形ACDE是等腰梯形，ZE/1C=6O°,

第頁(yè)

溫馨雜草屋

：,AE=CD,ZACD=ZCAE=60°,

:.ZBAC+ZCAE=120°=ZBCA+ZACDt

即/A4E=NBCD（2分）

在△/BE和△BCD中，A3=BC,ZBAE=ZBCD,AE=CD,

???△/BEg/XCBD（3分）

（2）存在.答案不唯一.如4

/BNs^CDN.證明：'：ZBAN=60°=ZDCN,

ZANB=ZDNC,

???△ANBs/\CND.（5分）

AB2

其相像比為：:行=7=2：（6分）

ANAB

⑶由⑵得示=方=2，

11

ACN=-/1N=-/1C,（8分）

1

同理AAI=-AC,

???41仁MN=NC（9分）

(4)作DFLBC交8c的延長(zhǎng)線于產(chǎn),

VZBCD=120°,

AZDCF=60°.（1O分）

在RtACDF中，JZCDF=30°,

第頁(yè)

溫馨雜草屋

I1

：.CF=-CD=

22

：.DF=（II分）

在Rt△皿?亍十

/N乙

：.BD=^BFi+DFz=J（-）2+（-^-）2=-7?.（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考察了相像三角形.全等三角形的判定與性質(zhì)，特別三角形，等腰梯形的性質(zhì),

勾股定理的運(yùn)用.關(guān)健是依據(jù)等邊三角形，等腰梯形的特別性質(zhì)得出平行線，構(gòu)造直角三角形,

利用勾股定理解題.

50.（2023吉林長(zhǎng)春，26,10分）如圖，NC=9O。，點(diǎn)48在NC的兩邊上，CA=30,CB=20,

連接AB.點(diǎn)P從點(diǎn)B動(dòng)身，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停頓.當(dāng)

點(diǎn)、P與B.C兩點(diǎn)不重合時(shí)，作PD工BC交AB于。，作OfJL/C于E,F為射線CB上

一點(diǎn)，且NCE尸=N4BC.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒）.

（1）用含有x的代數(shù)式表示CE的長(zhǎng).

（2）求點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)x的值.

（3）當(dāng)點(diǎn)F在線段CB上時(shí)，設(shè)四邊形DECP與四邊形DEFB重疊局部圖形的面積為y

（平方單位）.求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（4）當(dāng)x為某個(gè)值時(shí)，沿PD將以D.E.F.B為頂點(diǎn)的四邊形剪開(kāi)，得到兩個(gè)圖形，用

這兩個(gè)圖形拼成不重疊且無(wú)縫隙的圖形恰好是三角形.請(qǐng)直接寫(xiě)出全部符合上述條件的x

值.

第頁(yè)

考點(diǎn)：相像三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì).

姍：(1)首先證明△ABCsADBPs^FEC,即可得出比例式進(jìn)而得出表示CE的長(zhǎng)；

(2)依據(jù)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，F(xiàn)C=BC,即可得出答案：

DO

⑶首先證明R必DOERRSCEF,得出=,即可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

CE

DECF

(4)依據(jù)三角形邊長(zhǎng)相等得出答案.

解答：解(1)VPD1BC,DELAC,且NC=90。，

???四邊形DECP為矩形,

：.DE=PC,DP=EC,

又,：/CEF:/ABC,

：.AARCsADRPsAFEC,

?FC—DP—AC

\*CA=30,CB=20,BP=4x,

FCDP_30

，'~EC~lx~20,

.??尸C=9x,DP=EC=6x.

(2)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)8重合時(shí)，F(xiàn)C=BC,

：.FC;BC,

A9x=20,

20

解得：x=--,

y

第頁(yè)

溫馨雜草屋

2020

(3)當(dāng)仆<x<.時(shí)，

1jy

矩形DECP中DP//EC,

:.NDOE二/FEC,

DOEsRtxCEF,

DOCE

?_

??9

DEC%

DO6x

?_

**20-4x9x'

2

ADO=-(20-4x),

1121

AS=-DO-DE=-x-(20-4x)(20-4x)=-(20?4K)2；

o

20405

⑷F朽萬(wàn)一，產(chǎn)廠

A

E

點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了相像三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和矩形的性質(zhì)與判定，依據(jù)題

意得出△ABCsMBPsAFEC以及RSDOE^RtLCEF是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

51.（2023?江西，25,10）某課題學(xué)習(xí)小組在一次活動(dòng)中對(duì)三角形的內(nèi)接正方形的有關(guān)問(wèn)題

進(jìn)展了探討：

定義：假設(shè)一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)三角形的邊上，那么我們就把這個(gè)正方形叫做三角

形的內(nèi)接正方形.

結(jié)論：在探討過(guò)程中，有三位同學(xué)得出如下結(jié)果：

甲同學(xué)：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在_____.個(gè)、_______個(gè)、_____?個(gè)大小

不同的內(nèi)接正方形.

乙同學(xué)：在直角三角膨中，兩個(gè)頂點(diǎn)都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大.

第頁(yè)

溫馨雜草屋

丙同學(xué)：在不等邊銳角三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較

小.任務(wù)：（1）填充甲同學(xué)結(jié)論中的數(shù)據(jù)：

（2）乙同學(xué)的結(jié)果正確嗎？假設(shè)不正確，請(qǐng)舉出一個(gè)反例并通過(guò)計(jì)算賜予說(shuō)明，假設(shè)正確,

請(qǐng)給出證明；

（3）請(qǐng)你結(jié)合（2）的判定，推想丙同學(xué)的結(jié)論是否正確，并證明.

考點(diǎn)：相像三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。

分析：（1）分別畫(huà)一下即可得出答案；

（2）先推斷，再舉一個(gè)例子；例如：在RQABC中，ZB=90°,AB=BC=1,則AC=應(yīng).

（3）先推斷，再舉一個(gè)例子：設(shè)^ABC的三條邊分別為a,b,c,不妨設(shè)a>b>c,三條

邊上的對(duì)應(yīng)高分別為％,hb，%,內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)分別為xb，xc.

解答:解（1）1,2,3.（3分）

（2）乙同學(xué)的結(jié)果不正確.14分）

例如：在RSABC中，ZB=90°,AB=BC=1,則AC=￡.

如圖①，四邊形DEFB是只有一個(gè)頂點(diǎn)在斜邊上的內(nèi)接正方形.

設(shè)它的邊長(zhǎng)為a,則依題意可得：￡=匕￡,???QJ,

1I2

如圖②，四邊形DEFH兩個(gè)頂點(diǎn)都在斜邊上的內(nèi)接正方形.

Cb

設(shè)它的邊長(zhǎng)為b,則依題意可得：牛=上一，???8=交?

V2y/23

2

Aa>b.（7分）

（3）丙同學(xué)的結(jié)論正確.

設(shè)△4BC的三條邊分別為不妨設(shè)a>b>c，三條邊上的對(duì)應(yīng)高分別為人,h,h,內(nèi)接正

abc

方形的邊長(zhǎng)分別為X,X,X.

abc

第頁(yè)

溫馨雜草屋

依題意可得：立.=2二，，???x..同理X=」也-.

°ba+hb+ha+hb+ha+hb+h.

0bQbab

ab/

2Sz.瓦瓦）

一（布）（人0產(chǎn)廠—"

=2S；，?U-a）G-2S'

（a+h）（b+h）〔abj

1F八

又「b2Q,h<b,,（匕一Q）1-<0,

0Iab.I）

X<X，即X2<X2?

???在不等邊銳角三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較?。?0

點(diǎn)評(píng)：此題是一道難度較大的題H,考察了相像三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，舉出

例子是解此題的關(guān)鍵.

52.（2023年江西省，25,10分）某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：

設(shè)NBAC=。（0。＜。＜90。）小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在兩射線

上.活動(dòng)一：

如圖甲所示，從點(diǎn)A1開(kāi)頭，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點(diǎn)處相互垂直，AA2為

第1根小棒.

數(shù)學(xué)思考：

（I）小棒能無(wú)限擺下去叫？答：能［填”能”或”不能”）

第頁(yè)

溫馨雜草屋

(2)設(shè)AA=AA=AA=1.

11223

①0=22.5度；

②假設(shè)記小棒分,/21[的長(zhǎng)度為(n為正整數(shù)，如A[A寧A//a?，…)，求出此時(shí)a?，

a?的值，并直接寫(xiě)出an(用含n的式子表

示).活動(dòng)二：

如圖乙所示，從點(diǎn)A?開(kāi)頭，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中A42為第1根小棒，且

AA=AA.

121

數(shù)學(xué)思考：

(3)假設(shè)已經(jīng)向右擺放了3根小棒，則％=20,2。=3。,3O=401用含0的式子表示)；

(4)假設(shè)只能擺放4根小棒，求。的范圍.

圖甲

考點(diǎn)：相像三角形的判定與性質(zhì)；一元一次不等式組的應(yīng)用；平行線的判定與性質(zhì)；勾股定

理；等腰直角三角形.

專題；規(guī)律型.

分析：(1)此題需先依據(jù)條件NBAC=0(00<G<90°)小棒兩端分別落在兩射線上，從而

推斷出能連續(xù)擺下去.

(2)此題需先依據(jù)條件AA『A|A/A.,A-1,A,A±A得出A.,A.<和AA?的值，推斷出

A1A,〃A°A八AA//AA,即可求出NA=NAA°A產(chǎn)NAA，A/N