2023年中考數(shù)學真題解析8壓軸題2(含答案)

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(2023年1月最最細)2023全國中考真題解析120考點匯編眾

壓軸題2

41.(2023黑龍江大慶，28,8分)二次函數(shù)：y=ax2-bx+b(a>0,b>o)圖象頂點的縱坐

b

標不大于-

(1)求該二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標的取值范圍；

(2)假設該二次函數(shù)圖象與x軸交于A,B兩點，求線段AB長度的最小

值.考點：拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質。

分析：(1)先求出y=ax2-bx+b(a>0,b>0)的頂點的縱坐標，依據(jù)題意得出梟3,

即可得出該二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標的取值范圍；

(2)設/(X),0),B(x2，0)(Xj<x2),則\、x2是方程ax?-bx+b=O的兩根，由求根

公式得出X]、X2,依據(jù)4B=|X2?X]|求出線段A8長度的最小值.

4ab-d2

解答：解：(1)由于y=ax2-bx+b(a>0,b>0)圖象的頂點的縱坐標為4a

4ab-ft2bb

則4aW-9得無脛3,

???該二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標的取值范圍是不小于3：

(2)設力(xr0),B(x2，0)(Xj<x2)

則方程ax?-bx+b=0的兩根，

b-|b2-4abb+jb2-4ab

得X尸—F-----，X2=-F---------，

從而AB=lx2-xtl=.4ab

a

rbF

(_)2-4--

Vaa

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b

由（1）知會6?

bb

由于當56時，隨著K的增大，J（￡-2”-4也隨著增大，

所以%時，線段AB長度的最小值為2，3

點評：此題是一道綜合性的題目，考察了拋物線與x軸的交點問題以及二次函數(shù)的性質，

是中考壓軸題，難度較大.

42.（2023?郴州）如圖，在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別是（0,1）和（1,0）,

P是線段AB上的一動點（不與A、B重合），坐標為（m,1-m）（m為常數(shù)）.

（1）求經(jīng)過O、P、B三點的拋物線的解析式：

（2）當P點在線段AB上移動時，過（）、P、B三點的拋物線的對稱軸是否會隨著P的移動

而轉變；

11

（3）當P移動到點（7，刃時，請你在過0、P、B三點的拋物線上至少找出兩點，使

每個點都能與P、B兩點構成等腰三角形，并求出這兩點的坐標.

考點：二次函數(shù)綜合題。

分析：（1）設出拋物線的解析式，依據(jù)拋物線經(jīng)過原點，B點，P點可列出方程求出a,b

的值確定解析式；

（2）求出拋物線的對稱軸，可知是個定值，故不變；

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(3)可作出對稱軸與x軸的交點為K,過K點作PB的垂直平分線，交拋物線于兩點，這

兩點就符合要求.

解答：解(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

由于拋物線過原點O(0,0).所以c=0.

aXl2+dXl=0

axm2+bxm=l-m

所以y=-奇2+正x；

1i

(2j由(1)可知拋物線的對稱軸是x=--~~丁1、-至

所以它不會隨P的移動而轉變；

(3)點O(0,0)可滿足.

設拋物線的對稱軸與x軸交于K,過K作PB的垂直平分線交拋物線于Q1,Q2兩點，則

oQ|PB,z\Q2PB是等腰三角

形.由于P點的坐標是(2,2).

所以Q&的解析式是：產(chǎn)x-；,拋物線的解析式為：y=-2X2+2X.

、弓+1,VST1-v5、片+1

所以直線和拋物線的交點Qi，Q2兩點的坐標是(―5—,—4—),(—4—,--4").

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點評：此題考察二次函數(shù)的綜合運用，其中考察了通過坐標來確定二次函數(shù)式，求拋物線的對

稱軸，以及依據(jù)等腰三角形的性質求出坐標.

43.（2023湘西州）如圖,拋物線y=-x2-2x+3與x軸相交于點A和點B,與y軸交于點

C.

（1）求點A、點B和點C的坐標.

（2）求直線AC的解析式.

（3）設點M是其次象限內拋物線上的一點，且SAMAB=6,求點M的坐標.

（4）假設點P在線段BA上以每秒1個單位長度的速度從A運動（不與B,A重合），同時,

點Q在射線AC上以每秒2個單位長度的速度從A向C運動.設運動的時間為t秒，懇求

出^APQ的面積S與I的函數(shù)關系式，并求出當I為何值時，△APQ的面積最大，最大面

積是多少？

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考點：二次函數(shù)綜合題。

專題：綜合題。

W：(1)令y=()求得拋物線與橫軸的交點坐標，令x=0求得圖象與y軸的交點坐標即可.

(2)利用的兩點的坐標依據(jù)待定系數(shù)法求得?次函數(shù)的解析式即可.

(3)設出點M的坐標為(x,-X2-2X+3),然后表示出其面積

5C~x2-2x+3?X4=6,解得即可.

(4)證明△BNPs/XBEO,由令y=0求出點E的坐標，利用線段比求出NP,BE的長.求出

S與t的函數(shù)關系式后利用二次函數(shù)的性質求出S的最大值.

解容(1)令-x?-2x+3=0,(x+3)(x-I)=0?X|=-3,x2=l,

A(-3,0)B.(1,0),C(0,3)；

(2)設直線AC的解析式為y=kx+b,

由題意，得"3k+h=0解之得依一+3；

(3)設M點的坐標為(x,-x2-2x+3),

AB=4,由于M在其次象限，所以-X2-2X+3>0,

所以;2

6-X-2x+3?X4=6,

解之，得X]=0,x2=-2,

當x=0時，y=3,(不合題意)

當x=-2時，y=3.所以M點的坐標為(-2,3)；

(4)由題意，得AB=4,PB=4-t,

VAO=3,CO=3,

???△ABC是等腰直角三角形，AQ=2t,

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所以Q點的縱坐標為‘2t

s=jXV2tX—￥儼+2V2t11<t<4)

?S=欄e-41+4-4)--(t-2)+2V2,

2

???當t=2時，△APQ最大，最大面積是2&.

點評：此題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的到大學問點有拋物線的頂點公式和三角形的面

積求法.在求有關動點問題時要留意分析題意分狀況爭論結果.

44（2023西寧）在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在其次象限，斜靠

在兩坐標軸上，點C為（-1,0）.如F圖，B點在拋物線尸我以?2圖象上，過點B作

BD_Lx軸，垂足為D,且B點橫坐標為-3.

(1)求證：△BDCgACOA；

（2）求BC所在直線的函數(shù)關系式;

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P,使^ACP是以AC為直角邊的直角三角形？假設存在,

求出全部點P的坐標；假設不存在，請說明理由.

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考點：二次函數(shù)綜合題。

W：(1)首先依據(jù)題意推出NBCD=NOAC,然后BC=AC,依據(jù)全等三角形的判定定理

“AAS淀理，即可判定^BDC^ACOA；

(2)首先(1)所得的結論，即可推出OC=BD=1,即可得B點的縱坐標，設出直線的函數(shù)

關系式，把B,C兩點的坐標代入，求出k、b,即可推出結論；

(3)首先依據(jù)二次函數(shù)表達式，求出拋物線的對稱軸，然后分狀況進展分析①以AC為直

角邊，A點為直角頂點，依據(jù)題意推出Pi點為BC與拋物線的對稱軸的交點，依據(jù)直線BC

的解析式和拋物線的解析式，即可推出P1點的坐標，②以AC為直角邊，C點為直角頂點，

做AP2±BC,設與拋物線的對稱軸交于P2點，確定點與的位置，由OA=CD,即可推出A

點的坐標，依據(jù)AP2〃BC,即可推出直線AP2的的解析式，結合拋物線對稱軸的解析式，

即可推出P2的坐標.

解答：解(1)證明：VACB1BC,BD1CD,

AZBCD=ZACO=90°,ZACO+ZOAC=90°,

AZBCD=ZOAC,

:△ABC為等腰直角三角形，

/.BC=AC,

???在△BDC和^COA中

(ABDC=ACOA=9Q0

乙BCD=Z.OAC

BC=AC

/.△BDC^ACOA(AAS),

(2)VABDC^ACOA,

r.BD=CO,

?.?C點的坐標為(-1,oi,

/.BD=OC=1,

AB點的縱坐標為1,

IB點的橫坐標為-3,

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???B點的坐標為(-3,11,

設BC所在直線的函數(shù)關系式為y=kx+b,

-k+b=0

-3k+h=l

k=T

???解方程組得，；

「?直線BC所在直線的解析式為：y二-；x-

(3)存在，

;拋物線的解析式為：y=1x2+^x-2.

1.1

??y=5x2+5x-2

11,17

=2(x+2)2-百，

.??二次函數(shù)的對稱軸為x=?；，

①假設以AC為直角邊，C點為直角頂點，做CP|_LAC,

VBC±AC,

??.P1點為直線BC與對稱軸直線x=-；的交點，

??,直線BC所在直線的解析式為：y=?方?),

11

X

2一2

1

2

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1

=2

???解得，=1

3

???Pi點的坐標為(-J,-J)；

②假設以AC為直角邊，A點為直角頂點，對稱釉上有一點P2，使AP^LAC,

???過點A作AP2〃BC,交對稱軸直線x=-；于點P2，

VC)B=3,OC=1,

???0A=CD=2,

，A點的坐標為(0,2),

直線AP-,的解析式為y=-￡+2,

1+2

2X

1

-

2

1

=-2

得

*解?9

=4

19

?62點的坐標為(-去一卬，

1119

，P點的坐標為Pi?卬、P2(?9?4)?

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點評：此題主要考察全等三角形的判定與性質，待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，依據(jù)解析式

求點的坐標，關鍵在于(I)推出NBCD=NOAC,(2)依據(jù)(1)的結論，推出B點的坐標

13)留意分狀況爭論，①假設以AC為直角邊，C點為直角頂點，推出P1點為直線BC

與對稱軸直線x=-；的交點，②假設以AC為直角邊，A點為直角頂點，由A點的坐標，求出

直線AP2的解析式.

45.(2023青海)一元二次方程x2-4x+3=O的兩根是m.n且mVn.如圖，假設拋物線y=

-x?+bx+c的圖象經(jīng)過點A(m,0)、B(O?n).

(1)求拋物線的解析式.

(2)假設(1)中的拋物線與x軸的另一個交點為C.依據(jù)圖象答復，當x取何值時，拋物

線的圖象在直線BC的上方？

(3)點P在線段OC上，作PEJ_x軸與拋物線交與點E,假設直線BC將4CPE的面積分

成相等的兩局部，求點P的坐標.

考點：二次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；解一元二次方程?因式分解法；待定系數(shù)法求

一次函數(shù)解析式；拋物線與x軸的交點；三角形的面積。

專題：計算題。

分并(1)求出方程的解，得到B、A的坐標，代入拋物線得到方程組，求出方程組的解即

可；

(2)求出C的坐標，依據(jù)B、C的坐標求出即可：

(3)設直線BC交PE于F,P點坐標為(a,0),則E點坐標為(a,-a2-2a+3),依據(jù)三

角形的面積求出F的坐標，設直線BC的解析式是y=kx+b,把B、C的坐標代入求出直線

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BC,把F的坐標代入求出即可.

解答：解⑴???x2?4x+3=0的兩個根為X[=l,X2=3,

?1A點的坐標為(1,0),B點的坐標為(0,3),

又???拋物線y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(1,0)、B(0,3)兩點,

.-l+b+c=0^^b=-2

=3U=3

???拋物線的解析式為y=-x2-2x+3,

答：拋物線的解析式是y=-x2-2x+3.

(2)解：作直線BC,

由(I)得，y=-x2-2x+3,

???拋物線y=-x2-2x+3與x軸的另一個交點為C,令-x2-2x+3=0,

解得：Xj=l,x2=-3,

???C點的坐標為(-3,0i,

由圖可知：當-3<xV0時，拋物線的圖象在直線BC的上方，

答：當-3VxV()時，拋物線的圖象在直線BC的上方.

(3)解：設直線BC交PE于F,P點坐標為(a,0),則E點坐標為(a,-a2-2a+3),

??,直線BC將4CPE的面積分成相等的兩局部，

???F是線段PE的中點，

?。2-2a+3

即F點的坐標是(a,5),

丁直線BC過點B[S3)和C(-3.0).

3=b

設直線的解析式是代入得:

BCy=kx+b,0=-3A+b'

k=1

b=3

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，直線BC的解析式為y=工+3,

???點F在直線BC上,

???點F的坐標滿足直線BC的解析式,

?Q2-2a+3

即=a+3

解得a|=-1,a2=-3（此時P點與點C重合，舍去）,

，P點的坐標是（7,0）,

點評：此題主要考察對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與X軸的交點，解一

元二次方程，解二元一次方程組，三角形的面積等學問點的理解和把握，綜合運用這些性質進展

計算是解此題的關鍵.

46.12023?湖南張家界，25,12）如圖，拋物線y=ax?+bx經(jīng)過點A（-4,0）、B（-2,2）,

連接OB、AB,

（1）求該拋物線的解析式.

（2）求證：△OAB是等腰直角三角形.

（3）將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉135。，得到△6VB。寫出AB，的中點P的坐標,

試推斷點P是否在此拋物線上.

（4）在拋物線上是否存在這樣的點M,使得四邊形ABOM成直角梯形，假設存在，懇求

出點M坐標及該直角梯形的面積，假設不存在，請說明理由.

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分析：(1)將A(-4,0\B(-2,2)代入拋物線解析式尸ax2+bx,列方程組求a、b的

值即可；

(2)依據(jù)所求拋物線解析式求拋物線的頂點坐標，推斷三角形的外形；

(3)依據(jù)△OAB的外形，旋轉方向，旋轉角，畫出圖形，可求A<B，的坐標，依據(jù)中點坐

標公式求P的坐標，代入拋物線解析式進展推斷；

(4)存在.過點0,作0M〃AB交拋物線于點M,依據(jù)△0AB為等腰直角三角形，可求

直線OM的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，可求M點坐標，同理，過點A,作AM//OB

交拋物線于點聯(lián)立方程組可求的坐標，由圖形的特別性可知，兩種狀況L梯形面

積相等，依據(jù)梯形面積公式求解.

解答：解(1)由A(-4,0)、B(-2,2)在拋物線y=ax2+bx圖象上，

〔2=?(-2)2+-(-2)

解之得：a=-Lh=-2

2

1

，該函數(shù)解析式為：y=--x2-2x.(4^>)

2

(2)過點B作BC垂直于X軸，垂足是點C.(6分)

*.*y=y=~--V2-2x=-1]x+2)2+2,

22

???線段CO、CA、CB的長度均為2,

「?△ABC和^OBC為全等的等腰直角三角形，

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.\AB=OB

且NABO=ZABC+ZOBC=9()°

???△OAB是等腰直角三角形(8分)

(3)如圖，將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉135。，得到△OA，B，

其中點正好落在y軸上且BW/7x軸.

又???OB，和AB，的長度為2JI,

AB，中點P的坐標為(、位-2金)，明顯不滿足拋物線方程，

???點P不在此拋物線上(10分)

易求出直線OM的解析式為：y=x

y=x

聯(lián)立拋物線解析式得：〈1

^=--x2-2x

解之得點M(-6,-6),

明顯，點M(-6,-6)關于對稱軸x=-2的對稱點M1(2,-6)也滿足要求,

故滿足條件的點M共有兩個，坐標分別為(-6,-6)和(2,-6)

十3=—x4x2+—x4x6=16(12分)

ABOMMBOMOM22

(注：此題方法較多，只要合理均可給分)

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點評：此題考察了二次函數(shù)的綜合運用.關鍵是依據(jù)題意求拋物線解析式，依據(jù)解析式確定圖

形的特別性.

47.(2023株洲,24,)孔明是一個寵愛探究鉆研的同學，他在和同學們一起爭論某條拋物線

y=ax2(a<0)的性質時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點0,兩

直角邊與該拋物線交于A、B兩點，請解答以下問題：

(1)假設測得OA=OB/(如圖1),求a的值：

(2)對同一條拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉到如圖2所示位置時，過B作BFlx軸

于點F,測得OF=1,寫出此時點B的坐標，并求點A的橫坐標-4；

(3)對該拋物線，孔明將二角板繞點O旋轉任意角度時驚異地覺察，交點A、R的連線段

總經(jīng)過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標.

考點：二次函數(shù)綜合題。

專題：代數(shù)幾何綜合題；壓釉題。

分析：(1)先求出B點坐標，代入拋物線y=ax2(a<0)得a的值；

(2)過點A作AE±x軸于點E,可證△AEO-AOFB,得出AE=2OE,可得方程點A的

橫坐標.

2

(3)設A1-m,-l^](m>0),B(n,-1^2)(n>0),易知△AEOS^OFB,依據(jù)

22

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相像三角形的性質可知交點A、B的連線段總經(jīng)過一個固定的點(0,-2).

解答：解(I)設線段AB與y軸的交點為C,由拋物線的對稱性可得C為AB中點,

VOA=OB=2-JT,ZAOB=90°,/.AC=OC=BC=2,AB(2,-2)(2分)

將B(2,-2)代入拋物線y=ax2(a<0)得,a=._0分)

(2)解法一：過點A作AEJ_x軸于點E,

I

???點B的橫坐標為1,??.B[1,-彳)，(4分)

1

ABF=-.又???/AOB=90°,易知/AOE=NOBF,

又NAEO=N()FB=9()。，AAEO^AOFB,

AUnp1

=2.AAE=2OE15分)

"OEBF1

2

1

__>2)貝

設點A(-m,(m>0),"OE=m,AE=-m2,

22

1

A_r7?2=2m,??.m=4,即點A的橫坐標為-4.(6分)

2

解法二：過點A作AE_Lx軸于點E,

1

???點B的橫坐標為1,，B(1,(4分)

OF1

AtanZOBF="=1=2，

BFJ_

2

VZAOB=90°,易知NAOE=NOBF,

AE

：.--=tanZAOE=tanZOBF=2,AAE=2OE(5分)

OE

1

設點A(-m,錯誤！未找到引用源。)(m>0),則OE=m,AE=亍叱，

m=2m

2

???m=4,即點A的橫坐標為-4.(6分)

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1

解法三：過點A作AEJ_x軸于點E,???點B的橫坐標為1,AB（1,-,），（4分）

15

設A（-m,錯誤！未找到引用源。）則0B2=：+（,）2=不，

115

OA2=m2+—m4,AB2=（l+m）2+（-,+錯誤！未找到引用源。）2=—,

VZAOB=90°/.AB2=OA2+OB2,/.（l+m）2+（-未找到引用源。）2=（l+m）2+（-_+錯

22

誤！未找到引用源。凡

解得：m=4,即點A的橫坐標為-4.（6分）

（3）解法一：設A（-m.錯誤！未找到引用源。）B（n,錯誤！未找到引用源。）

(n>0),

I1

I-mk+b=一一n?2

設直線AB的解析式為：y=kx+b,則｛2,(7分)

\nk+b=-1m

I2

(1)xn+(2)xm得,

(m+n)b=-5(m2n+mn2)

1

b=--mn,(8分)

?AEOE.0.5m?_m

又易知△AEO^AOFB，??=f?____________mn=4(9分)

~0F~BFn0.5〃2

-*=-2.1

??*b=B=--x4=-2.

由此可知不管k為何值，直線AB恒過點（0,-2）（10分）

（說明：寫出定點C的坐蘇就給2分）

1212

解法二：設A（?m,）（m>0）,B（n,一二門）2。）,

SAoc+S^BOU

直線AB與y軸的交點為C,依據(jù)S.AOB=SWBFE-AAOE

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可得

112111

22-?m?-.-n*-n2=-

2*<|n+|m?(m+n)22rn222

OC?m+^OC?n

1

化簡，得OC=‘mn.(8分)

.AE—OE0.5m?—m,,、

又易知△AEOs/\OFB,:?郁一群,，一^-----:5，Amn=4(9分)

???002為固定值.故直線AB恒過其與y軸的交點C[0,-2）（10分）

說明：mn的值也可以通過以下方法求得.

24224

由前可知，。/=m4-im,OB=n+-n

44

AB2=(m+n)2+C--m2+-n2?2,

22

由OA2+OB2=AB2,得

(m2+-m4?+(n2+-n4>=

44

,211.2

6n+n?x+(z--nr7+-TT2)

72

化簡，得mn=4.

本答案僅供參考，假設有其他解法，請參照本評分標準評分.

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點評：此題著重考察了拋物線的對稱性和相像三角形的判定和性質，第（3）問求出nm=4

是解題的關鍵，綜合性較喉，有肯定的難度.

48.12023湖南湘潭市，26,10分）,AB是。。的直徑，AB=8,點C在。O的半徑

OA上運動，PC1AB,垂足為C,PC=5,PT為。O的切線，切點為T.

（1）如圖（1），當C點運動到O點時，求PT的長；

（2）如圖（2）,當C點運動到A點時，連接PO、BT,求證：PO〃BT；

理.專題：計算題.

分析：（1）連接OT,依據(jù)題意，由勾股定理可得出PT的長；

（2）連接OT,則OP平分劣弧AT,則NAOP=NB,從而證出結論；

（3）設PC交。0于點D,延長線交。。于點E,由相交線定理，可得出CD的長，再由切

割線定理川.得出y與x之間的關系式，進而求得y的最小值.

第頁

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解答：解：(1)連接0T

VPC=5,0T=4,

???由勾股定理得，PT/PG-CT2=3；

(2)證明：連接OT,???PT,PC為。0的切線，

???OP平分劣弧AT,

/.ZPOA=ZPOT,

VZAOT=2ZB,

.\ZAOP=ZB,

???PO〃BT：

(3)設PC交。O于點D,延長線交。O于點E,

由相交線定埋，得CD2=AC?BC,

VAC=x,BC=8-x>

/.CD=Jx(8-x),

???由切割線定理，得PT2=PD?PE,

VPT2=y,PC-5,

Ay=[5-Jx(8-x)][5+Vx(8-x)],

.*.y=25-x(8-x)=x2-8x+25,

100-64

???y最小F—=%

點評：此題是一?道綜合題，考察了切線的性質、二次函數(shù)的最值以及勾股定理的內容，是中

考壓軸題，難度較大.

第頁

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49.(2023湖南益陽,21,12分)如圖是小紅設計的鉆石形商標，△ABC是邊長為2的等邊三

角形，四邊形ACDE是等腰梯形，AC//ED,N￡4C=60。，AE=\.

(1)證明：△ABE絲ACBD；

(2)圖中存在多對相像三角形，請你找出一對進展證明，并求出其相像比(不添加關心線，

不找全等的相像三角形)；

(3)小紅覺察AM=MN=NC,請證明此結論：

(4)求線段BD的長.

考點：相像三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾

股定理；等腰梯形的性質.

專題：證明題.

分析：(1)由A是等力三角形，^AB=BC,ZBAC=ZBCA=60°t由四邊形ACDE是等

腰梯形，得力E=CD,N4CO=/G4E=60。，利用“SAS”判定△

(2)存在.可利用AB//CD或AE//BC得出相像三角形；

ANAB11

(3)由(2)的結論得"—二一一二2,即CN=_4C,同理，得4M=-/C,可證/M=MN=NC；

CNCD33

(4)作。"_L。。交的延長線于凡在RsCD”中，由NC￡>"=30。，CD=AE=\,可求

CF,DF,在RtZiBDF中，由勾股定理求

BD.解格(1)證明：是等邊三角形，

：.AB=BC,NBAC=NBCA=60°.(1分)

丁四邊形ACDE是等腰梯形，ZE/1C=6O°,

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：,AE=CD,ZACD=ZCAE=60°,

:.ZBAC+ZCAE=120°=ZBCA+ZACDt

即/A4E=NBCD（2分）

在△/BE和△BCD中，A3=BC,ZBAE=ZBCD,AE=CD,

???△/BEg/XCBD（3分）

（2）存在.答案不唯一.如4

/BNs^CDN.證明：'：ZBAN=60°=ZDCN,

ZANB=ZDNC,

???△ANBs/\CND.（5分）

AB2

其相像比為：:行=7=2：（6分）

ANAB

⑶由⑵得示=方=2，

11

ACN=-/1N=-/1C,（8分）

1

同理AAI=-AC,

???41仁MN=NC（9分）

(4)作DFLBC交8c的延長線于產(chǎn),

VZBCD=120°,

AZDCF=60°.（1O分）

在RtACDF中，JZCDF=30°,

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I1

：.CF=-CD=

22

：.DF=（II分）

在Rt△皿?亍十

/N乙

：.BD=^BFi+DFz=J（-）2+（-^-）2=-7?.（12分）

點評：此題考察了相像三角形.全等三角形的判定與性質，特別三角形，等腰梯形的性質,

勾股定理的運用.關健是依據(jù)等邊三角形，等腰梯形的特別性質得出平行線，構造直角三角形,

利用勾股定理解題.

50.（2023吉林長春，26,10分）如圖，NC=9O。，點48在NC的兩邊上，CA=30,CB=20,

連接AB.點P從點B動身，以每秒4個單位長度的速度沿BC方向運動，到點C停頓.當

點、P與B.C兩點不重合時，作PD工BC交AB于。，作OfJL/C于E,F為射線CB上

一點，且NCE尸=N4BC.設點P的運動時間為x（秒）.

（1）用含有x的代數(shù)式表示CE的長.

（2）求點F與點B重合時x的值.

（3）當點F在線段CB上時，設四邊形DECP與四邊形DEFB重疊局部圖形的面積為y

（平方單位）.求y與x之間的函數(shù)關系式.

（4）當x為某個值時，沿PD將以D.E.F.B為頂點的四邊形剪開，得到兩個圖形，用

這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形.請直接寫出全部符合上述條件的x

值.

第頁

考點：相像三角形的判定與性質；勾股定理；矩形的判定與性質.

姍：(1)首先證明△ABCsADBPs^FEC,即可得出比例式進而得出表示CE的長；

(2)依據(jù)當點F與點B重合時，F(xiàn)C=BC,即可得出答案：

DO

⑶首先證明R必DOERRSCEF,得出=,即可得出y與x之間的函數(shù)關系式;

CE

DECF

(4)依據(jù)三角形邊長相等得出答案.

解答：解(1)VPD1BC,DELAC,且NC=90。，

???四邊形DECP為矩形,

：.DE=PC,DP=EC,

又,：/CEF:/ABC,

：.AARCsADRPsAFEC,

?FC—DP—AC

\*CA=30,CB=20,BP=4x,

FCDP_30

，'~EC~lx~20,

.??尸C=9x,DP=EC=6x.

(2)當點F與點8重合時，F(xiàn)C=BC,

：.FC;BC,

A9x=20,

20

解得：x=--,

y

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2020

(3)當仆<x<.時，

1jy

矩形DECP中DP//EC,

:.NDOE二/FEC,

DOEsRtxCEF,

DOCE

?_

??9

DEC%

DO6x

?_

**20-4x9x'

2

ADO=-(20-4x),

1121

AS=-DO-DE=-x-(20-4x)(20-4x)=-(20?4K)2；

o

20405

⑷F朽萬一，產(chǎn)廠

A

E

點評：此題主要考察了相像三角形的判定與性質以及勾股定理和矩形的性質與判定，依據(jù)題

意得出△ABCsMBPsAFEC以及RSDOE^RtLCEF是解決問題的關鍵.

51.（2023?江西，25,10）某課題學習小組在一次活動中對三角形的內接正方形的有關問題

進展了探討：

定義：假設一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上，那么我們就把這個正方形叫做三角

形的內接正方形.

結論：在探討過程中，有三位同學得出如下結果：

甲同學：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在_____.個、_______個、_____?個大小

不同的內接正方形.

乙同學：在直角三角膨中，兩個頂點都在斜邊上的內接正方形的面積較大.

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丙同學：在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內接正方形的面積反而較

小.任務：（1）填充甲同學結論中的數(shù)據(jù)：

（2）乙同學的結果正確嗎？假設不正確，請舉出一個反例并通過計算賜予說明，假設正確,

請給出證明；

（3）請你結合（2）的判定，推想丙同學的結論是否正確，并證明.

考點：相像三角形的判定與性質；正方形的性質。

分析：（1）分別畫一下即可得出答案；

（2）先推斷，再舉一個例子；例如：在RQABC中，ZB=90°,AB=BC=1,則AC=應.

（3）先推斷，再舉一個例子：設^ABC的三條邊分別為a,b,c,不妨設a>b>c,三條

邊上的對應高分別為％,hb，%,內接正方形的邊長分別為xb，xc.

解答:解（1）1,2,3.（3分）

（2）乙同學的結果不正確.14分）

例如：在RSABC中，ZB=90°,AB=BC=1,則AC=￡.

如圖①，四邊形DEFB是只有一個頂點在斜邊上的內接正方形.

設它的邊長為a,則依題意可得：￡=匕￡,???QJ,

1I2

如圖②，四邊形DEFH兩個頂點都在斜邊上的內接正方形.

Cb

設它的邊長為b,則依題意可得：牛=上一，???8=交?

V2y/23

2

Aa>b.（7分）

（3）丙同學的結論正確.

設△4BC的三條邊分別為不妨設a>b>c，三條邊上的對應高分別為人,h,h,內接正

abc

方形的邊長分別為X,X,X.

abc

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依題意可得：立.=2二，，???x..同理X=」也-.

°ba+hb+ha+hb+ha+hb+h.

0bQbab

ab/

2Sz.瓦瓦）

一（布）（人0產(chǎn)廠—"

=2S；，?U-a）G-2S'

（a+h）（b+h）〔abj

1F八

又「b2Q,h<b,,（匕一Q）1-<0,

0Iab.I）

X<X，即X2<X2?

???在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內接正方形的面積反而較?。?0

點評：此題是一道難度較大的題H,考察了相像三角形的判定和性質以及正方形的性質，舉出

例子是解此題的關鍵.

52.（2023年江西省，25,10分）某數(shù)學興趣小組開展了一次活動，過程如下：

設NBAC=。（0。＜。＜90。）小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在兩射線

上.活動一：

如圖甲所示，從點A1開頭，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處相互垂直，AA2為

第1根小棒.

數(shù)學思考：

（I）小棒能無限擺下去叫？答：能［填”能”或”不能”）

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(2)設AA=AA=AA=1.

11223

①0=22.5度；

②假設記小棒分,/21[的長度為(n為正整數(shù)，如A[A寧A//a?，…)，求出此時a?，

a?的值，并直接寫出an(用含n的式子表

示).活動二：

如圖乙所示，從點A?開頭，用等長的小棒依次向右擺放，其中A42為第1根小棒，且

AA=AA.

121

數(shù)學思考：

(3)假設已經(jīng)向右擺放了3根小棒，則％=20,2。=3。,3O=401用含0的式子表示)；

(4)假設只能擺放4根小棒，求。的范圍.

圖甲

考點：相像三角形的判定與性質；一元一次不等式組的應用；平行線的判定與性質；勾股定

理；等腰直角三角形.

專題；規(guī)律型.

分析：(1)此題需先依據(jù)條件NBAC=0(00<G<90°)小棒兩端分別落在兩射線上，從而

推斷出能連續(xù)擺下去.

(2)此題需先依據(jù)條件AA『A|A/A.,A-1,A,A±A得出A.,A.<和AA?的值，推斷出

A1A,〃A°A八AA//AA,即可求出NA=NAA°A產(chǎn)NAA，A/N