2023年中考九年級數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專題訓(xùn)練-銳角三角函數(shù)

2023年中考九年級數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專題訓(xùn)練一銳角三角函數(shù)

一、綜合題

1.如圖，以AB為直徑作半圓0,點(diǎn)C是半圓上一點(diǎn)，NABC的平分線交。O于E,D為BE延長

線上一點(diǎn)，且NDAE=NFAE.

（1）求證：AD為。O切線：

（2）若sinNBAC=|,求tanNAFO的值.

?

2.如圖，一個正方體木箱沿斜面下滑，正方體木箱的邊長BE為2m,斜面AB的坡角為NBAC,

H.tanZBAC=*.

（1）當(dāng)木箱滑到如圖所示的位置時，AB=3m,求此時點(diǎn)B離開地面AC的距離；

（2）當(dāng)點(diǎn)E離開地面AC的距離是3.1m時，求AB的長.

3.如圖，在△ABC中，ZA=30°,ZC=90°,AB=12,四邊形EFPQ是矩形，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,

點(diǎn)Q、E、F分別在BC、AB、AC±（點(diǎn)E與點(diǎn)A、點(diǎn)B均不重合）.

（1）當(dāng)AE=8時，求EF的長；

（2）設(shè)AE=x,矩形EFPQ的面積為y.

①求y與x的函數(shù)大系式；

②當(dāng)x為何值時，y有最大值，最大值是多少？

(3)當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時，將矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線CB勻速向右運(yùn)動

(當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時停止運(yùn)動)，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S,求

S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍.

4.如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓0與邊AC,BC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E,點(diǎn)D,且D是

旌的中點(diǎn).

(1)若/A=80。，求NDBE的度數(shù).

(2)求證：AB=AC.

(3)若。O的半徑為5cm,BC=12cm,求線段BE的長.

5.如圖，拋物線y=-x?+bx+c過點(diǎn)B(3,0),C(0,3),D為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)如果點(diǎn)C關(guān)于拋物線y=?x?+bx+c對稱軸的對稱點(diǎn)為E點(diǎn)，連接BC,BE,求tan/CBE的

值；

(3)點(diǎn)M是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，且△DAM和△BCE相似，求點(diǎn)M坐標(biāo).

6.如圖，已知tan/EOF=2,點(diǎn)C在射線OF上，OC=12.點(diǎn)M是NEOF內(nèi)一點(diǎn)，MC_LOF于點(diǎn)

C,MC=4.在射線CF上取一點(diǎn)A,連結(jié)AM井延長交射線OE于點(diǎn)B,作BD_LOF于點(diǎn)D.

(I)當(dāng)AC的長度為多少時，^AMC和ABOD相似；

(2)當(dāng)點(diǎn)M恰好是線段AB中點(diǎn)時，試判斷4AOB的形狀，并說明理由；

(3)連結(jié)BC.當(dāng)SAAMC=S&BOC時，求AC的長.

7.如圖1,在△AB。"ZACB=90°,AC=BC,ZEAC=90°,點(diǎn)M為射線AE上任意一點(diǎn)(不與A

重合)，連接CM,將線段CM繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段CN,直線NB分別交直線

CM,射線AE于點(diǎn)ED.

(1)直接寫出NNDE的度數(shù)；

(2)如圖2、圖3,當(dāng)/EAC為銳角或鈍角時，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化?如果

不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請說明理由；

(3)如圖4,若NEAC=15。，ZACM=60°,直線CM與AB交于G,BD二鷺Z,其他條件不

變，求線段AM的長.

(1)【基礎(chǔ)鞏固】

如圖1,在△ABC中，D,E,F分別為AB,AC,BC上的點(diǎn)，DE〃BC,BF=CF,AF交DE于點(diǎn)

G,求證：DG=EG.

(2)【嘗試應(yīng)用】

如圖2,在(I)的條件下，連結(jié)CD,CG.若CGJ_DE,CD=6,AE=3,求蓋的值.

(3)【拓展提高】

如圖3,在。ABCD中，ZADC=45°,AC與BD交于點(diǎn)O,E為AO上一點(diǎn)，EG〃BD交AD于點(diǎn)

G,EF_LEG交BC于點(diǎn)F.若NEGF=4()。，F(xiàn)G平分NEFC,FG=1(),求BF的長.

9.在銳角△ABC中，AB=4,BC=5,ZACB=45°,將△ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)成如圖②，連接AD、CE,若4ABD的面積為4,求△CBE的面積;

(3)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上一動點(diǎn),在△ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過

程中，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P',連接MF,如圖③，直接寫出線段MP長度的最大值和最小值.

10.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,點(diǎn)E,F分別從點(diǎn)B,D同時出發(fā)沿AB延長線和射

線DA以相同的速度運(yùn)動，連結(jié)EF,交射線DB于點(diǎn)G連結(jié)CG.

(I)當(dāng)BE=2時，求BD,EG的長.

(2)當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時，記NDCG為Nl,NAFE為N2,那么學(xué)會的值是否會變化？

tanz^Z

若不變，求出該比值；若變化，請說明理由.

(3)在整個運(yùn)動過程中，當(dāng)4DCG為等腰三角形時，求BE長.

1L我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形

(1)已知：如圖1,四邊形A8CQ是“等對角四邊形”，ZA/ZC,ZA=75°,ZD=85°,則NC

(2)已知：在“等對角四邊形”ABC。中，Z￡)AB=60°,ZAfiC=90°,AB=4,AD=3.求對角線

AC的長.

(3)已知：如圖2,在平面直角坐標(biāo)系M))，中，四邊形4BCO是“等對角四邊形”，其中4(-

2,0)、C(2,0)、8(?I,?國)，點(diǎn)。在)，軸上，拋物線)，="2+云+c(aVO)過點(diǎn)4、D,且

當(dāng)?2<x<2時，函數(shù)取最大值為3,求二次項(xiàng)系數(shù)a的值.

12.如圖，已知BC為。。的直徑，點(diǎn)D為盛1的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG〃CE,交BC的延長線于點(diǎn)

(2)若EF=3,CF=5,tanZGDB=2,求AC的長.

13.已知：如圖，AB為。O的直徑，C是BA延長線上一點(diǎn)，CP切。。于P,弦PD_LAB于E,過

點(diǎn)R作RQICP于Q,交⑷。干H,

(2)如圖2,G是圓上一點(diǎn)，ZGAB=30°,連接AG交PD于F,連接BF,若tan/BFE=3

V3,求NC的度數(shù)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，PD=66，連接QC交BC于點(diǎn)M,求QM的長.

14.定義：一邊上的中線與另一邊的夾角為30。的三角形稱作美妙三角形。如圖1,△ABC中，AD

為中線，若NDAO30。，則△ABC為美妙三角形。

(I)下列三角形中，不是美妙三角形的是()

(2)如圖2,銳角AARC是美妙二角形,AD為中線./DAC=3O°.RE為高°求證：AD=RE：

(3)如圖3,在(2)的條件下，設(shè)AD與BE相交于點(diǎn)N,作△ADC的外接圓。O,BA剛好是

◎O的切線，求△ABN與△ABC的面積之比。

15.如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)C和點(diǎn)A重合），連接

PB,過點(diǎn)P作PF±PB交射線DA于點(diǎn)F,連接BF.已知AD=3w，CD=3,設(shè)CP的長為x,

（1）線段PB的最小值,當(dāng)x=l時，乙FBP=；

（2）如圖，當(dāng)動點(diǎn)P運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時，AP與BF的交點(diǎn)為G,FP的中點(diǎn)為H,求

線段GH的長度；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動的過程中，

①試探究乙FBP是否會發(fā)生變化？若不改變，請求出4FBP大?。蝗舾淖?，請說明理由；

②當(dāng)%為何值時，AAFP是等腰三角形？

16.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)，作直線AD,過點(diǎn)B作

（1）當(dāng)點(diǎn)D在如圖1的位置時，請直接寫出線段EA、EB、EC之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在如圖2的位置時，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請完成證明，若不成立，請

寫出你的結(jié)論并說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)E是線段AD中點(diǎn)時，請直接寫出tanNADC的值.

答案解析部分

1.【答案】（1）證明：:BE平分NABC,

AZ1=Z2,

VZ1=Z3,Z3=Z4,

AZ4=Z2,

VAB為直徑，

AZAEB=90°,

VZ2+ZBAE=90°

AZ4+ZBAE=90°,即NBAD=90。，

AAD±AB,

???AD為OO切線;

（2）解：:AB為直徑，

AZACB=90°,

在RSABC中,VsinZBAC==|

???設(shè)BC=3k,AC=4k,則AB=5k.

^AE=CE，

AOE±AC,

AOE/7BC,AG=CG=2k,

???0G=1BC=1k,

.\EG=OE-OG=k,

VEG/7CB,

???△EFG^ABFC,

.EG_EG_k_1

^CF~BC~3k~3'

??.FG=|CG=1k,

在RsOGF中，lan/GFO=第=1=3,

即tanZAFO=3.

2.【答案】(1)解：過點(diǎn)B作BD1AC交AC于點(diǎn)D.

???BD1ACALBDA=90°

3BO3

...tan/ZMC=-

3

AB=3mBD=AB-sinz.BAD=3xq=1.8m

J

答：點(diǎn)B離開地面的距離為1.8m.

(2)解：過E作EFlAC交AC、AB于點(diǎn)F、G.

???乙EFA=LEBG=90°,4/GF=乙EGB,???乙GAF=乙GEB,

3

--

43-

X-

EB=2,1?.BG=BE-tanZ-GEB=241.5.AEG=25

vEF-3.1,:.FG-EF-EG=0.6.

FG0.6

???AG=--------.—=-fT-zr=1,AB=1+1.5=2.5m

sinzBXC0.6

答：AB的長為2.5m.

3.【答案】⑴解:在RSABC中,VAB=12,ZA=30°,

ABC=|AB=6,AC=RBC=6?,

???四邊形EFPQ是矩形，

???EF〃BC,

,EF_AE

??比一而'

?EF_8

?方_豆，

AEF=4

(2)解：@VAB=12,AE=X，點(diǎn)E與點(diǎn)A、點(diǎn)B均不重合，

A0<x<12,

?.?四邊形CDEF是矩形，

???EF〃BC,ZCFE=90°,

AZAFE=90°,

在RSAFE中，ZA=30°,

???EF=1x,

AF=cos30°*AE=叵x,

2

在RSACB中，AB=12,

/.cos30°=第,

AAC=12x2^=6V3,

AFC=AC-AF=6遍-空x,

AS=FC*EF=ix(6代?烏x)=-烏x2+3V3x(0<x<12)；

224

@S=烏x(12?x)=?嚀(x-6)2+9V3,

當(dāng)x=6時，S有最大值為9V3

(3)解：①當(dāng)gtV3時，如圖1中，重疊部分是五邊形MFPQN,

圖1

亨(_亭2

S=S矩彬EFPQ-SAEMN=9百2=t+9V3.

②當(dāng)3生6時,重疊部分是△PBN,

圖2

S=4(6-t)2,

2

-^t2+9V3(0<t<3)

綜上所述，S=]2

竽(-6)2(3VY6)

4.【答案】(I)解：連接OD,交BE于點(diǎn)H,連接ED,

???D是座的中點(diǎn)，

：.ETE=ETB,0D±BE,BH=EH

：?DE=DB,乙DEB="BE

*：AB為直徑，則/AEB=90°

：.LBEC=90°

:?乙CBE+乙BCE=90°,乙BED+MED=90°

:?乙CBE+MED=90°

：.LC=LCED

：.DC=DE

：.DC=DB

,：0A=OB

，0D是hABC的中位線，

：.0D//AC

:,乙DOB=Z.CAB,Z-ODB=LC

VZCAB=80°,則/DOB=80°

ODB=乙OBD=1(180°-80°)=50°

又NOBE=90°-80°=10°,

則/DBE=乙OBD-cOBE=50°-10°=40°

(2)證明；山(1)得OD是i^ABC的中位線,

：.OD=^AC=^AB

：.AB=AC

(3)解.：連接AC,

\'AB=AC

“ABC為等腰三角形

*：AB是。。的直徑，

：.LADB=90°,BPAD1BC

?：BC=12cm

?'-CD=BD=^BC=6cm

又力C=2OD=10cm

由勾股定理得，AD=y/AC2-CD2=V102-62=8cm

??binC=次=的=耳

4

?'?sinz.ODB=sinz.C=F

o

?BH_4

9,BD=5

424

：-BH=1BD

?'?BE=2BH=-ycm.

5.【答案】(1)解：???拋物線y=-x2+bx+c過點(diǎn)B(3,0),C(0,3),

—9+3b+c=0,解得

c=3

???拋物線解析式為y=-x2+2x+3,

*.*y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1.4)

(2)解：拋物線的對稱軸為直線x=l,

???點(diǎn)C與E點(diǎn)為拋物線上的對稱點(diǎn)，

AE(2,3),

???△OBC為等腰直角三角形，

AZOCB=45°,BC=V2OB=3V2，

/.ZECB=45°,

???ACHE為等腰直角三角形，

ACH=EH=qCE=yf2，

ABH=BC-CH=2企,

在RsBEH中，tanZEBH=第=系二：

即tan/CBE的值為i；

(3)解：直線x=-1交x軸于F,如圖2,

當(dāng)y=0時，?x2+2x+3=0,解得xi=-l,X2=3,貝ijA(-1,0)

VA(-1,0),D(1,4),

AAF=2,DF=4,

/.tanZADF=需=/，

[fntanZCBE=i,

AZCBE=ZADF,

AD=V22+42=2V5,BE=J(3-2)2+32=V10,BC=3V2,

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時，設(shè)M(l,m),

當(dāng)器=給時，△DAM^ABCE,

即播嚼，解得m=；，

此時M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,?)；

當(dāng)器二器時，△DAM-ABEC,

即f=筮,解得m"2，

此忖M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-2)：

當(dāng)點(diǎn)M在D點(diǎn)上方時.則/ADM與/CRF互補(bǔ)，則八DAM和ARCE不相似.

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,\),(1,-2)

6.【答案】(I)解：VZMCA=ZBDO=RlZ,，△AMC和4BOD中，C與D是對應(yīng)點(diǎn)，.*.△AMC

和△BOD相似時分兩種情況：

①當(dāng)△AMC^ABOD時，驍=需=tanZEOF=2,

VMC=4,???華=2,解得AC=8；

②當(dāng)△AMC^AOBD時，寮=器=tanZEOF=2,

VMC=4,Z.A=2,解得AC=2.故當(dāng)AC的長度為2或8時，△AMC和△BOD相似

(2)解：4ABO為直角三角形.理由如下：VMC/7BD,；.△AMC^AABD,???噤=粵=

L5DAD

喋，ZAMC=ZABD,<M為AB中點(diǎn)，；.C為AD中點(diǎn)，BD=2MC=8.VtanZEOF=2,

AU

，0D=4,CD=OC-OD=8,

AAC=CD=8.

AC=BD=8

在AAMC與^BOD中，44cM=乙BDO=90

CM=DO=4

.*.△AMC^ABOD(SAS),

AZCAM=ZDBO,

???ZABO=ZABD+ZDBO=ZAMC+ZCAM=90°,

/.△ABO為直角三角形

設(shè)OD二a,則BD=2a.VSAAMC=SABOC.',SAAMC=

ACMC=2AC,SABOC=iOCBD=12a,

A2AC=12a,

/.AC=6a.

,?△AMC^AABD,

?WCAC4ba

=NHn

-BDAD'2a—6a+12-a

解得ai=3,az=-i(舍去),

/.AC=6x3=18.

7.【答案】(I)解：ZB=90°,ZMCN=90°,

ZACM=ZBCN,

AC=BC

在小MAC和^NBC中,/.ACM=乙BCN

MC=NC

△MAC^ANBC,

ZNBC=ZMAC=90°,

XZACB=90°,ZEAC=90°,

ZNDE=90°

(2)解：不變,

AC=BC

在AMAC和4NBC中,/.ACM=乙BCN

MC=NC

△MAC空△NBC,

ZN=ZAMC,

又NMFD=NNFC,

ZMDF=ZFCN=90°,即NNDE=90。；

(3)解：如圖4,作GK_LBC于K,

ZEAC=15°,ZBAD=30°.

ZACM=60°,

ZGCB=30°,

ZAGC=ZABC+ZGCB=75°,

ZAMG=75°,AM=AG,

△MAC四△NBC,ZMAC=ZNBC,

ZBDA=ZBCA=90°,

BD=區(qū)+笈,AB=V6+V2

2

AC=BC=V3+1,

設(shè)BK=a,則GK=a,CK=V3a,

a+x/3a=V3+1，

a=i,KB=KG=1,BG=企,

AG=V6,AM=V6.

8.【答案】(1)證明：???DE〃BC,

?.△ADG^AABF,△AEG^AACF.

,DG_AGEG_AG

??喬一而'CF~AF

.DG_EG

**BF=CF

VBF=CF,

ADG=EG.

(2)解：由⑴得DG=EG,

VCG1DE,

ACE=CD=6.

VAE=3,

AAC=AE+CE=9.

VDE/7BC,

/.△ADE^AABC.

.DE_AE_1

9，BC~AC~3

(3)解：如圖，延長GE交AB于點(diǎn)M,連結(jié)FM,作MN_LBC,垂足為N.

在口ABCD中，

BO=DO,ZABC=ZADC=45°.

???EG〃BD,

，由(1)得ME二GE,

VEF±EG,

/.FM=FG=10,

AZEFM=ZEFG.

VZEGF=40°,

AZEFG=50°.

???FG平分NEFC,

.,.ZEFG=ZCFG=50°,

???ZBFM=180°-ZEFM-ZEFG-ZCFG=30°.

，在RtZiFMN中，MN=FMsin300=5,FN=FMcos30°=5V3,

VZMBN=45°,MN_LBN,

ABN=MN=5,

ABF=BN+FN=5+5百.

9.【答案】(1)90

(2)解：VAABC^ADBE,JBA=BD,BC=BE,ZABC=ZDBE,?蜜=

第.VZABD=ZCBE,/.△ABD^ACBE,=(煞)2=卷.VSAABD=4,ASACBE=

BE、&CBEBC25

25

~4

(3)解：???M是AB的中點(diǎn)，???BM=3AB=2.如圖③，過點(diǎn)B作BF_LAC,F為垂足.

??,AABC為銳角三角形，???點(diǎn)F在線段AC上.在RtZiBCF中，BF=BCxsin45°=,以B為圓

心，BF為半徑畫圓交AB于G,BP有最小值BG,.tMP的最小值為MG=BG-BM二型-2,以

B為圓心，BC為半徑畫圓交AB的延長線于H,BP有最大值BH.此時MP的最大值為

BM+BH=2+5=7,二線段MP的最大值為7,最小值為挈-2.

10.【答案】(1)解：過點(diǎn)F作FN〃AB交BD于點(diǎn)N,如圖1,

.*.△EBG^AFNG,△DNF^ADBA

,DF_NF

9，DA~BA'

?.?矩形ABCD中，AB=8,BC=6.

AZBAD=90°,AD=BC=6

??BD=AB2+AD2=10,萼=竽

.DF_3

,,柿=4，

VBE=2,DF=BE

/.AE=AB+BE=8+2=10,AF=AD-DF=6-2=4

，EF=y/AE2+AF2=V102+42=2>/29

,?△EBG^AFNG

,EG^_BE__DF__3

??而=而=橋=4'

AEG=QEF=§2^2

（2）解：黑會的值不變.

tanzz

過點(diǎn)G作GP_LAD于點(diǎn)D,GQ_LCD與點(diǎn)Q,如圖2,

，四邊形PDQG是矩形

，PG=DQ,DP=QG

設(shè)DF=BE=a,則AF=6-a,AE=a+8

VGP/7AE

:PGF^AAEF

由⑴得EG=|EF,即修

.PF_PG_FG_4-

??標(biāo)=荏=而=7

APF=iAF=g(6-a),PG=gAE=￡(a+8)

ACQ=CD-DQ=CD-PG=8-1(a+8)=竽一，

QG=DP=DF+PF=a+1(6-a)=+,

4

-

pG7

24+3a_38+Q__--3+8)=8+Q

pp4

/.tanZ1=-

24—4a46—a7(6-a)~6—a

?taMl_3為定值.

**tanZ.2~4

（3）解：①若DG=DC=8,如圖3,過點(diǎn)G作GM〃AD交AB于點(diǎn)M

-團(tuán)、——

..BG-BD-DG-2,-BM=—GM=—BG=-1

ABM=1BA=|,GM=|DA=|

設(shè)BE=x,則AE=8+x,EM=BE+BM=x+|

VGM/7AF

.EM_EG_3

^EA=EF=7

.?.￡1=3

3+x7

解得:x=等

②若CG=CD=8,如圖4,

過點(diǎn)G作GMJ_AE于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CN_LBD于點(diǎn)N

VDN=1DC=.

???DG=2DN=等

ABG=DG-BD=宅一10二寺

設(shè)BE=DF=x,則AF=DF-AD=x-6

VGM/7AF

,GM_EG_3

''~AF~~EF~1

T7??BG_5

又,前=3

ABG=|GM=AF=5(x-6)

?4?6)=全

解得：x=集

③若CG=DG,設(shè)EF與BC交于點(diǎn)R

ABG=DG=CG

???△BGR^ADGF(AAS)

，BR=DF=BE,不成立

ACG不能與DG相等

綜上所述，當(dāng)BE=當(dāng)或時，4DCG為等腰三角形

1L【答案】(1)115°

(2)解：①如圖1,NB=ND=90。時，延長AD,BC交于點(diǎn)E,

圖1

VZDAB=60°,

/.ZE=30°,

又?.?AB=4,AD=3

ABE=4V3，AE=8,DE=5,

-rr-DE5_10/3

??CE-o-o-Q,

cos30cos303

.,.BC=BE-CE=4V3-12^=出,

.'AC=y/AB2+BC2=卜+(竽；=2^9,

②如圖，NA=NC=60。時，過D分別作DE_LAB于E,DF_LBC于點(diǎn)F,

VZDAB=ZBCD=60°,

又??'AB=4,AD=3,

A.4F=|，DE=BF=摯，

??BE=OF=1，

,on05V

rc行Sy[3

??CF=DF-tan30=x-5-=?

LOO

/.BC=CF+BF=孥+華=摯,

623

?■-4C=J42+(挈尸=等,

綜合以上可得AC的長為空或翠.

(3)解：VA(-2,0)、C(2,0)、B(-1,-遮),

AAB=2,BC=2V3,AC=4,

AAB2+BC2=AC2,

AZABC=90°,

VAD-CD,AB#BC,

/.ZBAD^ZBCD,

丁四邊形ABCD是“等對角四邊形''

AZADC=ZABC=90°,

AD(0,2)

???拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(-2,())>D(0,2),

.[4a-2b+c=0

,,Ic=2'

解得:c=2,b=2a+l,

，拋物線的解析式為y=ax?+(2a+1)x+2,

若x=2時，函數(shù)y=ax?+(2a+l)x+2取得最大值為3,

4a+4a+2+2—3,

???a=-i，

此對拋物線的對稱軸為x=3,

***a=-i滿足題意,

O

若二次函數(shù)y=ax?+(2a+l)x+2在頂點(diǎn)取得最大值3,則有:

9

8a-(2a+l)z,,

4a-了

解得:a=■1+*或a=-1?亨

當(dāng)@=-1+字時,對稱軸在直線x=2的右側(cè)，不合題意，舍去,

??口=一1一三

綜合以上可得a=?彳或7-f-

12.【答案】(1)證明：如圖，連接OD,BE,

???點(diǎn)D為此的中點(diǎn),

=m

A0D1CE,NCBD=NEBD,

?.?OB=OD,

AZODB=ZCBD,

AZODB=ZEBD,

.\OD//BE,

???BC為。O的直徑，

AZCEB=90°,

ACE±BE,

VAD//CE,OD±CE,

AAD1OD,

TOD是。O的半徑，

???AD是。O的切線；

(2)解：VDG//CE,

AZBFE=ZGDB,ZA=ZECB,

VtanZGDB=2,

/.tanZBFE=2,

在R〔ABEF中，EF=3,【an/BFE=器

hr

ABE=6,

VEF=3,CF=5,

ACE=EF+CF=8,

^C=y/CE2+BE2=10，

AOD=OC=5,

在Rt/iBCE中，sinZECB=^=A=

sinA=sinZECB=^,

在Rt/kAOD中，sinA=^=lOD=5,

UA3

AOA=^,

???AC=OA-OC得.

13.【答案】（1）證明：如下圖1,連接OP,PB,TCP切。O于P,

???OP_LCP于點(diǎn)P,

又???BQ_LCP于點(diǎn)Q

.?.0P/7BQ,

AZOPB=ZQBP,

VOP=OB,

AZOPB=ZOBP,

AZQBP=ZOBP,

又?.?PE_LAB于點(diǎn)E9

??,PQ=PE；

(2)解：如下圖2,連接OP,TCP切。0于P,

Q

R

R12

C.LOPC=乙OPQ=90°

.?.乙C+4cop=90°

VPD1AB

:?乙PEO=乙AEF=乙BEF=90°

:?乙EPO+乙COP='90。

???"=4EPO

在R【AFEA+,ZGAB=30°

設(shè)EF=x,則AE=EF+tan300=y/3x

在RlAFEB中,lanNBFE=3百

?'?BE=EF-tanZ-BFE=3A/3X

，.48=4E+8E=4岳

A.40=P0=2信

：-E0=AO-AE=>fix

???在Rt/PEO中，sin^EPO=^=1

：.LC=乙EPO=30°

(3)解：如下圖3,連接BG,過點(diǎn)O作OK工HB于K,又BQ_LCP,

期3

:,乙OPQ=3=乙OKQ=90°,

???四邊形POKQ為矩形，

AQK=PO,OK//CQ,

：.LC=Z.K0B=30°,

V9O中PD_LAB于E,PD=6V3，AB為。O的直徑，

APE=1PD=3V3,

根據(jù)(2)得乙EPO-30",在RldEPO中，cukEPO=需，

???P。=PE+cos乙EPO=375+cos300=6,

AOB=QK=PO=6,

ASRtAKOB中，stn乙KOB=端，

:?KB=OB?sin300=6x1=3，

AQB-9,

在AABG中，AB為0O的直徑,

：.LAGB=90°,

,:LBAG=30°,

ABG=6,zABG=60°,

過點(diǎn)G作GN_LQB交QB的延長線于點(diǎn)N,則/N=90。，ZGBN=1800-ZCBQ-ZABG=60°,

ABN=BQcosZGBQ=3,GN=BQsinZGBQ=38，

AQN=QB+BN=12,

???在RtAQGN中，QG=Ji22+(3V3)2=3V19，

VZABG=ZCBQ=60°,

ABM是^BQG的角平分線，

AQM：GM=QB：GB=9：6,

???QM='3內(nèi)=空?

XKJKJ

14.【答案】(1)C

(2)解：過點(diǎn)D作DF_LAC于點(diǎn)F,

.\ZAFD