2024-2025學(xué)年江西省南昌市江西師大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江西省南昌市江西師大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線3x?(a?2)y?2=0與直線x+ay+8=0互相垂直，則a=(

)A.1 B.?3 C.?1或3 D.?3或12.已知橢圓C：x2m+y2=1，則“m=2”是“橢圓A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.如圖，空間四邊形OABC中，OA=a,OB=b,OC點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則MN=(

)A.12a?23b+124.點(diǎn)F1，F(xiàn)2為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使得∠F1PFA.x225+y29=1 B.5.若2x?1=(x?2)2+yA.1 B.2 C.3 D.46.若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足(x?2)2+yA.2x+y≤4+5 B.(x?2)y≤12 C.7.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E：x24?y212=1的左、右焦點(diǎn)，M是E的左支上一點(diǎn)，過(guò)F2A.4 B.2 C.3 D.18.從橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一點(diǎn)P(x0,y0)向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB稱(chēng)作點(diǎn)P關(guān)于橢圓C的極線，其方程為x0xa2+y0yb2=1.現(xiàn)有如圖所示的兩個(gè)橢圓C1，C2A.12 B.13 C.15二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.關(guān)于曲線E：mx2+nyA.若曲線E表示兩條直線，則m=0，n>0或n=0，m>0

B.若曲線E表示圓，則m=n>0

C.若曲線E表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m>n>0

D.若曲線E表示雙曲線，則mn<010.已知圓O：x2+y2A.圓O與直線mx+y?m?1=0必有兩個(gè)交點(diǎn)

B.圓O上存在4個(gè)點(diǎn)到直線l：x?y+2=0的距離都等于1

C.若圓O與圓x2+y2?6x?8y+m=0恰有三條公切線，則m=16

D.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在直線x+y?4=0上，過(guò)點(diǎn)P向圓O11.如圖，曲線C是一條“雙紐線”，其C上的點(diǎn)滿(mǎn)足：到點(diǎn)F1(?2,0)與到點(diǎn)F2(2,0)的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是A.點(diǎn)D(22,0)在曲線C上

B.點(diǎn)M(x,1)(x>0)在C上，則|MF1|=22

C.點(diǎn)Q在橢圓x26+y22=1上，若F1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2?y23=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在13.已知A、B為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的左右頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB的斜率分別為k114.如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P在正方形四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知圓O：x2+y2=4．

(1)若線段AB端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,2)，端點(diǎn)A在圓O上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)D的軌跡方程；

(2)若EF，GH為圓O：x2+y216.(本小題15分)

在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PC⊥PD，二面角A?CD?P為直二面角．

(1)求證：PB⊥PD；

(2)當(dāng)PC=PD時(shí)，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．17.(本小題15分)

給定橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O，半徑是a2+b2的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為3．

(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；

18.(本小題17分)

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O：x2+y2=1，直線l：y=x+m(0≤m<1)，如圖，直線l與圓O相交于A(A在x軸的上方)，B兩點(diǎn)，圓O與x軸交于M，N兩點(diǎn)(M在N的左側(cè))，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面(平面AMN)與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面(平面BMN)互相垂直，再以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后原y軸負(fù)半軸，原x軸正半軸，原y軸正半軸所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

(1)若m=0．

(ⅰ)求三棱錐A?BMN的體積；

(ⅱ)求二面角A?BN?M的余弦值．

(2)是否存在m，使得AB折疊后的長(zhǎng)度與折疊前的長(zhǎng)度之比為3019.(本小題17分)

“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如圖)：

步驟1：設(shè)圓心是E，在圓內(nèi)異于圓心處取一定點(diǎn)，記為F；

步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過(guò)點(diǎn)F(即折疊后圖中的點(diǎn)A與點(diǎn)F重合)；

步驟3：把紙片展開(kāi)，并留下一道折痕，記折痕與AE的交點(diǎn)為P；

步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來(lái)越多的折痕．

現(xiàn)取半徑為4的圓形紙片，設(shè)點(diǎn)F到圓心E的距離為23，按上述方法折紙.以線段EF的中點(diǎn)為原點(diǎn)，線段EF所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．

(1)求C的方程；

(2)設(shè)軌跡C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為軌跡C上異于A，B，的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PB交直線x=4于點(diǎn)T，連結(jié)AT交軌跡C于點(diǎn)Q.直線AP、AQ的斜率分別為kAP、kAQ．

(ⅰ)求證：kAP?kAQ為定值；

參考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.A

6.D

7.B

8.D

9.ABD

10.ACD

11.ACD

12.3

13.?114.2π315.解：(1)根據(jù)題意，設(shè)A(x0,y0)，AB的中點(diǎn)為D(x,y)，

則x=x0+42y=y0+22，可得x0=2x?4y0=2y?2，

將A(2x?4,2y?2)代入圓C：x2+y2=4，得(2x?4)2+(2y?2)2=4．

化簡(jiǎn)得(x?2)2+(y?1)2=1，即為線段AB的中點(diǎn)D的軌跡方程；

(2)設(shè)圓心O到直線EF、GH的距離分別為d116.解：(1)證明：由于底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，則BC⊥CD，

由于二面角A?CD?P為直二面角，則BC⊥平面PCD，

由于PD?平面PCD，則PD⊥BC，又PC⊥PD，PC∩BC=C，PC、BC?平面PBC，

則PD⊥平面PBC，由于PB?平面PBC，則PB⊥PD．

(2)取CD中點(diǎn)F，連PF、BF，由PC=PD知PF⊥CD，由于二面角A?CD?P為直二面角，

則PF⊥平面ABC，于是PF⊥BF，由于底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，則PF=12CD=1，

BF=CF2+BC2=5，于是PB=PF2+BF2=6，同理PA=617.解：(1)因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，

所以c=2，

因?yàn)闄E圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為3，

所以a=b2+c2=3，

則b=a2?c2=1，

故橢圓C的方程為x23+y2=1，其“準(zhǔn)圓”方程為x2+y2=4；

(2)不妨設(shè)P(m,n)(?3≤m≤3)，

因?yàn)辄c(diǎn)18.解：(1)(i)若m=0，折疊前直線l的方程為y=x，

聯(lián)立y=xx2+y2=1，解得x=22y=22或x=?22y=?22，

∴A(22,22)，B(?22,?22)，

∴折疊后三棱錐A?BMN的體積為：

V=13×12×2×22×22=16．

(ii)易知A(0,22,22)，B(22,?22,0)，M(0,?1,0)，N(0,1,0)，

AN=(0,1?22,?22)，BN=(?22,1+22,0)，

設(shè)平面ANB的法向量為n=(x,y,z)，

則AN?n=(1?22)y?22z=0BN?n=?19.解：(1)因?yàn)閨PE|+|PF|=|PA|+|PE|=4>|EF|=23，

所以點(diǎn)P的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4的橢圓，

焦距2c=|EF|=23，

此時(shí)b2=a